12.1: Вступ до багатоваріантних функцій

Визначення 77 Функція двох змінних

$D$Дозволяти бути підмножиною$\mathbb{R}^2$. $f$Функція двох змінних - це правило, яке присвоює кожній$(x,y)$$D$ парі значення$z=f(x,y)$ в$\mathbb{R}$. $D$є областю$f$; множина всіх виходів$f$ - це діапазон.

Приклад$\PageIndex{1}$: Understanding a function of two variables

Нехай$z=f(x,y) = x^2-y$. Оцінити$f(1,2)$$f(2,1)$, і$f(-2,4)$; знайти домен і діапазон$f$.

Рішення

Використовуючи визначення$f(x,y) = x^2-y$, ми маємо:

\ [\ почати {вирівнювати*}
f (1,2) &= 1^2-2 = -1\\
f (2,1) &= 2^2-1 = 3\\
f (-2,4) &= (-2) ^2-4 = 0
\ кінець {вирівнювати*}\]

Домен не вказано, тому ми приймаємо його$\mathbb{R}^2$ за всі можливі пари, в яких$f$ визначено. У цьому прикладі$f$ визначено для всіх пар$(x,y)$, тому домен$D$$f$ is$\mathbb{R}^2$.

Вихід$f$ може бути зроблений якомога більшим або малим; будь-яке дійсне число$r$ може бути виходом. (Фактично, задано будь-яке дійсне число$r$,$f(0,-r)=r$.) Таким чином,$R$ діапазон$f$ є$\mathbb{R}$.

Приклад$\PageIndex{2}$: Understanding a function of two variables

Нехай

$$f(x,y) = \sqrt{1-\frac{x^2}9-\frac{y^2}4}. \nonumber$$

Знайдіть домен і діапазон доменів$f$.

Рішення

Домен - це всі пари,$(x,y)$ допустимі як вхідні дані$f$. Через квадрата-кореня нам знадобляться$(x,y)$ такі, що$0\leq1-\frac{x^2}9-\frac{y^2}4$:

\ [\ почати {вирівнювати*}
0&\ leq1-\ розрив {x^2} 9-\ розрив {y^2} 4\
\ розриву {x^2} 9+\ розриву {y^2} 4 &\ leq 1
\ end {align*}\]

Вищенаведене рівняння описує внутрішню частину еліпса, як показано на малюнку$\PageIndex{1}$. Ми можемо представляти домен$D$ графічно з малюнком; в множині позначення, ми можемо написати$D = \{(x,y)|\,\frac{x^2}9+\frac{y^2}4 \leq 1\}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Ілюстрація домену$f(x,y)$ у прикладі 12.1.2

Діапазон - це набір всіх можливих вихідних значень. Квадратний корінь гарантує, що всі вихідні дані є$\geq 0$. Оскільки$x$ і$y$ терміни квадратні, то віднімаються, всередині квадратного кореня найбільше вихідне значення приходить на$x=0$,$y=0$:$f(0,0) = 1$. Таким чином, діапазон$R$ є інтервалом$[0,1]$.

Графічні функції двох змінних

Графік функції$f$ двох змінних - це множина всіх точок$\big(x,y,f(x,y)\big)$, де$(x,y)$ знаходиться в області$f$. Це створює поверхню в просторі.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Графік функції двох змінних.

Можна розпочати ескіз графіка шляхом побудови точок, але це має обмеження. Розглянемо Малюнок,$\PageIndex{2a}$ де було нанесено 25 точок$f(x,y) = \frac1{x^2+y^2+1}$. Більше точок було побудовано, ніж можна було б розумно зробити вручну, але зовсім не зрозуміло, як виглядає графік функції. Технологія дозволяє нам будувати багато точок, з'єднувати сусідні точки з лініями та додавати затінення, щоб створити графік, подібний до малюнка,$\PageIndex{2b}$ який робить набагато кращу роботу з ілюстрації поведінки$f$.

Хоча технологія легко доступна, щоб допомогти нам графічні функції двох змінних, все ще існує підхід з паперу та олівця, який корисний для розуміння та освоєння, оскільки він у поєднанні з високоякісною графікою дає одне велике уявлення про поведінку функції. Ця техніка відома як замальовування кривих рівня.

Криві рівня

Це може бути дивно виявити, що проблема представлення тривимірної поверхні на папері знайома більшості людей (вони просто не усвідомлюють цього). Топографічні карти, як і показані на малюнку$\PageIndex{3}$, представляють поверхню Землі, вказуючи точки з однаковою висотою контурними лініями. Позначені висоти однаково розташовані; у цьому прикладі кожна тонка лінія вказує на зміну висоти з кроком 50 футів, а кожна товста лінія вказує на зміну 200 футів. Коли лінії намальовані близько один до одного, висота швидко змінюється (оскільки не потрібно їхати далеко, щоб піднятися на 50 футів). Коли лінії знаходяться далеко один від одного, наприклад, поблизу «Aspen Campground», висота змінюється поступово, оскільки потрібно йти далі, щоб піднятися на 50 футів.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Топографічна карта відображає висоту шляхом малювання контурних ліній, поряд з висотою є постійною.

З огляду на функцію$z=f(x,y)$, ми можемо намалювати «топографічну карту»,$f$ намалювавши криві рівня (або, контурні лінії). Крива рівня в -$z=c$ це крива в$y$ площині$x$ - така, що для всіх точок$(x,y)$ на кривій,$f(x,y) = c$.

При малюванні кривих рівня важливо, щоб$c$ значення були розташовані однаково один від одного, оскільки це дає найкраще уявлення про те, як швидко змінюється «висота». Приклади допоможуть розібратися в цьому понятті.

Приклад$\PageIndex{3}$: Drawing Level Curves

Нехай$f(x,y) = \sqrt{1-\frac{x^2}9-\frac{y^2}4}$. Знайти криві рівня$f$ for$c=0$,$0.2$$0.4$,$0.6$,$0.8$ і$1$.

Рішення

Розглянемо спочатку$c=0$. Крива рівня для$c=0$ - це множина всіх точок,$(x,y)$ таких, що$0=\sqrt{1-\frac{x^2}9-\frac{y^2}4}$. Квадратування обох сторін дає нам

$$\frac{x^2}9+\frac{y^2}4=1,$$

$(0,0)$еліпс по центру з горизонтальною великою віссю довжиною 6 і малою віссю довжини 4. Таким чином, для будь-якої точки$(x,y)$ на цій кривій,$f(x,y) = 0$.

Тепер розглянемо криву рівня для$c=0.2$

\ [\ почати {вирівнювати*}
0.2 &=\ sqrt {1-\ розрив {x^2} 9-\ розрив {y^2} 4}\\
0.04 &= 1-\ розрив {x^2} 9-\ frac {y^2} 4
\\ гідророзриву {x^2} 9+\ гідророзриву {y^2} 4 &=0.96
\\ frac {x^2} {8.64} +\ розрив {y^2} {3.84} &=1.
\ end {вирівнювати*}\]

Це теж еліпс, де$a = \sqrt{8.64}\approx 2.94$ і$b=\sqrt{3.84}\approx 1.96$.

Загалом, для$z=c$, крива рівня буває:

\ [\ почати {вирівнювати*}
c &=\ sqrt {1-\ розрив {x^2} 9-\ розрив {y^2} 4}\\
c^2 &= 1-\ гідророзриву {x^2} 9-\ розрив {y^2} 4
\\ розрив {x^2} 9+\ гідророзриву {y^2} 4 &=1-c^2\
\ розрив {x^2} {9 (1-c^2)} +\ розрив {y^2} {4 (1-c^2)} &=1,
\ end {align*}\]

еліпси, які зменшуються в розмірі зі$c$ збільшенням. Особливий випадок - коли$c=1$; там еліпс - це лише точка$(0,0)$.

Криві рівня показані на малюнку 12.4 (a). Зверніть увагу, як криві рівня для$c=0$ і$c=0.2$ дуже, дуже близькі один до одного: це вказує на те, що швидко$f$ зростає вздовж цих кривих.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Графік кривих рівня в прикладі 12.1.4

На$\PageIndex{4b}$ малюнку криві малюються на графіку$f$ в просторі. Зверніть увагу на те, як височини розташовані рівномірно. Близько кривих рівня$c=0$ і$c=0.2$ ми бачимо, що$f$ дійсно швидко зростає.

Приклад$\PageIndex{4}$: Analyzing Level Curves

Нехай$f(x,y) = \frac{x+y}{x^2+y^2+1}$. Знайдіть криві рівня для$z=c$.

Рішення

Ми починаємо з встановлення$f(x,y)=c$ довільного$c$ і бачимо, чи алгебраїчна маніпуляція рівнянням виявляє щось значне.

$$\begin{align*} \frac{x+y}{x^2+y^2+1} &= c \\ x+y &= c(x^2+y^2+1). \end{align*}$$

Ми визнаємо це як коло, хоча центр і радіус ще не ясні. Завершивши квадрат, ми можемо отримати:

$$\left(x-\frac{1}{2c}\right)^2+\left(y-\frac1{2c}\right)^2=\frac{1}{2c^2}-1,$$

коло по центру$\big(1/(2c),1/(2c)\big)$ з радіусом$\sqrt{1/(2c^2)-1}$, де$|c|<1/\sqrt{2}$. Криві рівня для$c=\pm 0.2,\ \pm 0.4$ та$\pm0.6$ намальовані на малюнку$\PageIndex{5a}$. Щоб допомогти проілюструвати «висоту», ми використовуємо товщі лінії для$c$ значень поблизу 0, а пунктирні лінії вказують, де$c<0$.

Існує одна спеціальна крива рівня, коли$c=0$. Крива рівня в цій ситуації є$x+y=0$, лінія$y=-x$.

На малюнку$\PageIndex{5b}$ ми бачимо графік поверхні. Зверніть увагу на те, як$y$ вісь -спрямована від глядача, щоб більше нагадувати орієнтацію кривих рівня у (a).

Малюнок$\PageIndex{5}$: Графік кривих рівня в прикладі 12.1.4

Побачення кривих рівня допомагає нам зрозуміти графік. Наприклад, графік не дає зрозуміти, що можна «ходити» по лінії$y=-x$ без зміни висоти, хоча крива рівня робить це.

Функції трьох змінних

Розширено наше дослідження багатозмінних функцій на функції трьох змінних. (Можна зробити функцію стільки змінних, скільки подобається; ми обмежуємо наше дослідження трьома змінними.)

Визначення 78 Функція трьох змінних

$D$Дозволяти бути підмножиною$\mathbb{R}^3$. $f$Функція трьох змінних - це правило, яке присвоює кожній$(x,y,z)$$D$ трійці значення$w=f(x,y,z)$ в$\mathbb{R}$. $D$є областю$f$; множина всіх виходів$f$ - це діапазон.

Зверніть увагу, як це визначення дуже нагадує визначення 77.

Приклад$\PageIndex{5}$: Understanding a function of three variables

Нехай

$$f(x,y,z) = \dfrac{x^2+z+3\sin y}{x+2y-z}. \nonumber$$

Оцініть$f$ в точці$(3,0,2)$ і знайдіть домен і діапазон$f$.

Рішення

$$f(3,0,2) = \frac{3^2+2+3\sin 0}{3+2(0)-2} = 11. \nonumber$$

Оскільки домен не вказано, ми приймаємо його як набір всіх трійок,$(x,y,z)$ для яких$f(x,y,z)$ визначено.$f$ Оскільки ми не можемо розділити на$0$, ми знаходимо$D$ домен

$$D = \{(x,y,z)\ |\ x+2y-z\neq 0\}. \nonumber$$

Ми визнаємо, що множина всіх точок в$\mathbb{R}^3$ тому, що не є у$D$ формі площини в просторі, яка проходить через початок (з нормальним вектором$\langle 1,2,-1\rangle$).

Визначаємо діапазон$R$ є$\mathbb{R}$; тобто всі дійсні числа є можливими виходами$f$. Не існує встановленого способу встановлення цього. Швидше за все, щоб отримати цифри біля 0 ми можемо дозволити$y=0$ і вибрати$z \approx -x^2$. Щоб отримати числа довільно великої величини, ми можемо дозволити$z\approx x+2y$.

Рівні поверхні

Дуже важко зробити осмислений графік функції трьох змінних. Функція однієї змінної - це крива, намальована в 2-х вимірах; функція двох змінних - це поверхня, намальована в 3-х вимірах; функція трьох змінних - це гіперповерхня, намальована в 4 розміри.

Є кілька методів, які можна використовувати, щоб спробувати «зобразити» графік з трьох змінних. Один - аналог кривих рівня: рівні поверхні. Враховуючи$w=f(x,y,z)$, що рівною поверхнею у$w=c$ є поверхня в просторі, утворена усіма точками$(x,y,z)$ де$f(x,y,z)=c$.

Приклад$\PageIndex{6}$: Finding level surfaces

Якщо$S$ точкове джерело випромінює енергію, інтенсивність$I$$P$ в даній точці простору обернено пропорційна квадрату відстані між$S$ і$P$. Тобто, коли$S=(0,0,0)$,$I(x,y,z) = \frac{k}{x^2+y^2+z^2}$ для якоїсь постійної$k$.

$k=1$Дозволяти; знайти рівні поверхні$I$.

Рішення
Ми можемо (в основному) відповісти на це питання, використовуючи «здоровий глузд». Якщо енергія (скажімо, у вигляді світла) виходить від походження, її інтенсивність буде однаковою у всіх точках, рівновіддалених від походження. Тобто в будь-якій точці на поверхні кулі, зосередженої на початку, інтенсивність повинна бути однаковою. Тому рівні поверхні - це сфери.

Ми зараз знаходимо це математично. Рівень поверхні при$I=c$ визначається

$$c = \frac{1}{x^2+y^2+z^2}.$$

Невелика кількість алгебри розкриває

$$x^2+y^2+z^2 = \frac1c.$$

З огляду на інтенсивність$c$, рівна поверхня$I=c$ являє собою сферу радіуса$1/\sqrt{c}$, зосереджену в початковій точці.

Рисунок$\PageIndex{6}$: Таблиця значень c і відповідного радіуса r сфер постійної величини в прикладі 12.1.6

На малюнку$\PageIndex{6}$ наведено таблицю радіусів сфер для заданих$c$ значень. Зазвичай можна використовувати однаково розташовані$c$ значення, але ці значення були обрані цілеспрямовано. На відстані 0,25 від точкового джерела інтенсивність становить 16; щоб перейти до точки половини цієї інтенсивності, один просто висувається від 0,1 до 0,35 - зовсім не багато. Щоб знову вдвічі зменшити інтенсивність, один рухається на 0,15, трохи більше, ніж раніше.

Зверніть увагу, як кожен раз, коли інтенсивність зменшується вдвічі, відстань, необхідна для відходу, зростає. Робимо висновок, що чим ближче до джерела, тим швидше змінюється інтенсивність.

У наступному розділі ми застосуємо поняття обмежень до функцій двох і більше змінних.