3: Кілька інтегралів
- Page ID
- 60193
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Кратний інтеграл - це узагальнення певного інтеграла з однією змінною на функції більш ніж однієї дійсної змінної. Для певних кратних інтегралів кожна змінна може мати різні межі інтеграції.
- 3.1: Подвійні інтеграли
- У обчисленні з однією змінною диференціація та інтеграція розглядаються як обернені операції. Існує подібний спосіб визначення інтеграції реальних функцій двох або більше змінних? Нагадаємо також, що певний інтеграл невід'ємної функції f (x) ≥0 представляв область «під» кривою y=f (x). Як ми зараз побачимо, подвійний інтеграл невід'ємної дійсної функції f (x, y) ≥0 представляє об'єм «під» поверхнею z=f (x, y).
- 3.2: Подвійні інтеграли над загальною областю
- Раніше ми отримали уявлення про те, що являє собою подвійний інтеграл над прямокутником. Тепер ми можемо визначити подвійний інтеграл дійсної функції f (x, y) над більш загальними регіонами в R2.
- 3.3: Потрійні інтеграли
- У той час як подвійний інтеграл можна розглядати як обсяг під двовимірною поверхнею. Виявляється, потрійний інтеграл просто узагальнює цю ідею: його можна вважати представленням гіпертоми під тривимірною гіперповерхнею в R4. Загалом, слово «обсяг» часто використовується як загальний термін для позначення того ж поняття для anynn -вимірного об'єкта (наприклад, довжина в R1, площа в R2).
- 3.4: Чисельне наближення кратних інтегралів
- Для складних функцій може бути неможливим оцінити один з ітераційних інтегралів у простому замкнутому вигляді. На щастя, існують числові методи наближення значення кратного інтеграла. Метод, який ми будемо обговорювати, називається методом Монте-Карло. Ідея, що стоїть за нею, заснована на концепції середнього значення функції, яку ви дізналися в однозмінному численні.
- 3.5: Зміна змінних в декількох інтегралах
- Враховуючи труднощі оцінки декількох інтегралів, читач може бути цікаво, чи можна спростити ці інтеграли, використовуючи відповідну заміну змінних. Відповідь так, хоча це трохи складніше, ніж метод підстановки, який ви дізналися в обчисленні з однією змінною.
- 3.6: Застосування - центр маси
- Центр маси розподілу маси в просторі - це унікальна точка, де зважене відносне положення розподіленої маси дорівнює нулю або точка, де, якщо сила прикладена, змушує її рухатися у напрямку сили без обертання. Розподіл маси врівноважується навколо центру мас і середнє значення зважених координат положення розподіленої маси визначає її координати. Розрахунки в механіці часто спрощуються за допомогою рецептур центру мас.
- 3.7: Застосування- Значення ймовірності та очікувань
- У цьому розділі ми коротко обговоримо деякі застосування множинних інтегралів у галузі теорії ймовірностей. Зокрема, ми побачимо способи, за допомогою яких множинні інтеграли можуть бути використані для обчислення ймовірностей та очікуваних значень.
- 3.E: Кілька інтегралів (вправи)
- Проблеми і вибір варіантів вирішення глави.
Дописувачі та авторства
- Template:ContribCorral
- Thumbnail: A diagram depicting a worked triple integral example. The questions is "Find the volume of the region bounded above by the sphere \(x^2+y^2+z^2 = a^2\) and below by the cone \(z^2 \sin^2(a) = (x^2+y^2)\cos^2(a)\) where \(a\) is in the interval \([0,π]\) (Public Domain; Inductiveload via Wikipedia).