Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4: Інтегральні теореми

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    60875

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    • 4.1: Градієнт, розбіжність і завиток
      «Градієнт, розбіжність і завиток», які зазвичай називають «град, div і curl», відносяться до дуже широко використовуваного сімейства диференціальних операторів і пов'язаних позначень, до яких ми отримаємо найближчим часом. Пізніше ми побачимо, що кожен має «фізичне» значення. Але навіть якби вони були лише стенографічними, їх варто було б використовувати.
    • 4.2: Теорема про розбіжність
      Решта цієї глави стосується трьох теорем: теореми розбіжності, теореми Гріна та теореми Стокса. Поверхнево вони виглядають зовсім несхожими один на одного. Але, насправді, всі вони дуже тісно пов'язані між собою і всі три є узагальненням фундаментальної теореми числення.
    • 4.3: Теорема Гріна
      Наступним варіантом фундаментальної теореми числення є теорема Гріна 1, яка пов'язує інтеграл похідної (векторно-значної) функції, над областю в\(xy\) -площині, з інтегралом функції над кривою, що обмежує область. Для початку нам потрібно визначити деякі властивості кривих.
    • 4.4: Теорема Стокса
      Наш останній варіант фундаментальної теореми числення - теорема Стокса 1, яка схожа на теорему Гріна, але в трьох вимірах. Він пов'язує інтеграл над скінченною поверхнею в\(\mathbb{R}^3\) з інтегралом над кривою, що обмежує поверхню.
    • 4.5: Необов'язково - Які векторні поля підкоряються × F = 0
      Ми вже знаємо, що якщо векторне поле\(\vecs{F} \) проходить скринінговий тест\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0\) на всіх\(\mathbb{R}^2\) або\(\mathbb{R}^3\text{,}\) тоді існує функція\(\varphi\) з\(\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{.}\)
    • 4.6: Насправді необов'язково - більше інтерпретації Div і Curl
      Зараз ми збираємось визначити набагато детальніше, ніж раніше, що розбіжність та завиток векторного поля говорить нам про потік цього векторного поля.
    • 4.7: Необов'язково - Узагальнена теорема Стокса
      Як ми бачили, фундаментальна теорема числення, теорема розбіжності, теорема Грінса та теорема Стокса мають низку спільних рис. Насправді існує єдина структура, яка охоплює і узагальнює їх усі, і існує єдина теорема, про яку всі вони є окремими випадками.

    Мініатюра: Діаграма довільного об'єму, розділена на кілька частин, що ілюструє, що потік з початкового об'єму дорівнює сумі потоку з об'ємів компонента. (CC0; Четверно через Вікіпедію)