4: Інтегральні теореми

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.5: Орієнтація поверхонь
- 4.1: Градієнт, розбіжність і завиток

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

4.1: Градієнт, розбіжність і завиток
«Градієнт, розбіжність і завиток», які зазвичай називають «град, div і curl», відносяться до дуже широко використовуваного сімейства диференціальних операторів і пов'язаних позначень, до яких ми отримаємо найближчим часом. Пізніше ми побачимо, що кожен має «фізичне» значення. Але навіть якби вони були лише стенографічними, їх варто було б використовувати.
4.2: Теорема про розбіжність
Решта цієї глави стосується трьох теорем: теореми розбіжності, теореми Гріна та теореми Стокса. Поверхнево вони виглядають зовсім несхожими один на одного. Але, насправді, всі вони дуже тісно пов'язані між собою і всі три є узагальненням фундаментальної теореми числення.
4.3: Теорема Гріна
Наступним варіантом фундаментальної теореми числення є теорема Гріна 1, яка пов'язує інтеграл похідної (векторно-значної) функції, над областю в $xy$ -площині, з інтегралом функції над кривою, що обмежує область. Для початку нам потрібно визначити деякі властивості кривих.
4.4: Теорема Стокса
Наш останній варіант фундаментальної теореми числення - теорема Стокса 1, яка схожа на теорему Гріна, але в трьох вимірах. Він пов'язує інтеграл над скінченною поверхнею в $\mathbb{R}^3$ з інтегралом над кривою, що обмежує поверхню.
4.5: Необов'язково - Які векторні поля підкоряються × F = 0
Ми вже знаємо, що якщо векторне поле $\vecs{F}$ проходить скринінговий тест $\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0$ на всіх $\mathbb{R}^2$ або $\mathbb{R}^3\text{,}$ тоді існує функція $\varphi$ з $\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{.}$
4.6: Насправді необов'язково - більше інтерпретації Div і Curl
Зараз ми збираємось визначити набагато детальніше, ніж раніше, що розбіжність та завиток векторного поля говорить нам про потік цього векторного поля.
4.7: Необов'язково - Узагальнена теорема Стокса
Як ми бачили, фундаментальна теорема числення, теорема розбіжності, теорема Грінса та теорема Стокса мають низку спільних рис. Насправді існує єдина структура, яка охоплює і узагальнює їх усі, і існує єдина теорема, про яку всі вони є окремими випадками.

Мініатюра: Діаграма довільного об'єму, розділена на кілька частин, що ілюструє, що потік з початкового об'єму дорівнює сумі потоку з об'ємів компонента. (CC0; Четверно через Вікіпедію)