3.5: Орієнтація поверхонь

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60902

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Одна річ, яка зробила можливими інтеграли потоку останнього розділу, полягає в тому, що ми могли б вибрати розумні одиничні нормальні вектори$\hat{\textbf{n}}\text{.}$ У цьому розділі ми пояснюємо це більш ретельно.

Розглянемо сферу$x^2+y^2+z^2=1\text{.}$ Ми можемо думати, що ця поверхня має дві сторони - внутрішню (сторону, яку ви бачите, коли живете всередині сфери) та зовнішню (сторону, яку ви бачите, коли живете поза сферою). Сконцентруйтеся$(x_0,y_0,z_0)$ на одній точці на сфері. Поверхня$x^2+y^2+z^2=1$ має точно два одиничні нормальні вектори, а$(x_0,y_0,z_0)\text{,}$ саме:

\[ \hat{\textbf{n}}_+ = +(x_0,y_0,z_0)\qquad\text{and}\qquad \hat{\textbf{n}}_- = -(x_0,y_0,z_0) \nonumber \]

Ми можемо розглядати$\hat{\textbf{n}}_+$ як пов'язані (або прикріплені до) зовнішньої частини сфери і$\hat{\textbf{n}}_-$ як пов'язані з (або прикріплені до) внутрішньої частини сфери. Зауважимо, що, як ми рухаємося над сферою, обидва$\hat{\textbf{n}}_+$ і$\hat{\textbf{n}}_-$ змінюються безперервно.

Визначення 3.5.1

Орієнтована поверхня - це поверхня разом з безперервною функцією

\[ \hat{\textbf{N}}: S\rightarrow\mathbb{R} ^3 \nonumber \]

такий, що для кожної$p$ точки$S\text{,}$$\hat{\textbf{N}}(p)$ є одиницею нормальної$S$ в$p\text{.}$

Приклад 3.5.2. Сфера

Однією з напрямків сфери$S=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1 \right \}$ є

\[ \hat{\textbf{N}}(x,y,z) = (x,y,z) \nonumber \]

Він асоціюється з кожною точкою$p$$S$ зовнішньої одиниці, що вказує, нормально до$S$ в$p\text{.}$ Ми можемо думати про цю орієнтацію як зовнішню сторону$S$$S\text{.}$

Інша спрямованість сфери$S=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1 \right \}$ -

\[ \hat{\textbf{N}}(x,y,z) = -(x,y,z) \nonumber \]

Він асоціюється з$p$ кожною$S$ точкою всередину, вказуючи одиницю нормально$S$ на$p\text{.}$ Ми можемо думати$S$ з цією орієнтацією як про внутрішню сторону$S\text{.}$

Хоча ця дискусія може здатися надзвичайно прискіпливою, виявляється, що не всі поверхні можна орієнтувати. Наш наступний приклад демонструє один.

Приклад 3.5.3. Додатково - смуга Мебіуса

Є деякі поверхні,$S$ для яких неможливо вибрати карту безперервної орієнтації$\hat{\textbf{N}}: S\rightarrow\mathbb{R} ^3\text{.}$ Такі поверхні, як кажуть, не орієнтовані. Найвідоміша неорієнтована поверхня - смуга Möbius ¹ ², яку ви можете побудувати наступним чином. Візьміть прямокутну смужку паперу.

$mobiusC.svg$

Покладіть його рівно, а потім введіть половинку скручування так, щоб стрілка на правому кінці була спрямована вгору, а не вниз. Потім склейте два кінці смужки разом, при цьому дві стрілки збігаються. Це смуга Мебіуса.

$mobiusB.svg$

Давайте параметризуємо його. Подумайте про смужку паперу, яку ми використовували для побудови, як що складається з хребта (горизонтальна чорна лінія на малюнку нижче) з купою ребер (як товста синя лінія на малюнку), що виходить від неї.

$mobiusD.svg$

Коли ми склеюємо два кінці смужки між собою, чорна лінія утворює коло. Якщо смужка має довжину$\ell\text{,}$, коло матиме окружність$\ell$ і, отже, радіус,$\frac{\ell}{2\pi}\text{.}$ ми параметризуємо її як коло.

\[\begin{gather*} \frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}(\theta) \qquad\text{where } \hat{\textbf{r}}(\theta) = \cos(\theta)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(\theta)\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}\]

Це коло знаходиться в$xy$ -площині. Він являє собою чорне коло на малюнку нижче. (На малюнку показана лише частина кола в першому октанті, тобто з$x,y,z\ge 0\text{.}$)

$mobiusE.svg$

Тепер додамо в сині ребра. Ми поставимо синє ребро, що прикріплено до хребта$\frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}(\theta)\text{,}$ в площині, яка містить вектори$\hat{\textbf{r}}(\theta)$ і$\hat{\mathbf{k}}\text{.}$

Вид збоку площини, яка містить вектори$\hat{\textbf{r}}(\theta)$ і$\hat{\mathbf{k}}$ намальована на малюнку нижче.

$mobiusF.svg$

Щоб покласти половину скручування в смужку паперу, ми хочемо, щоб синій ребро обертався навколо хребта,$180^\circ\text{,}$ тобто$\pi$ радіани, як$\theta$ працює від$0$ до$2\pi\text{.}$ Це буде випадок, якщо ми вибираємо кут$\varphi$ на малюнку бути$\frac{\theta}{2}\text{.}$ вектор, який йде уздовж синє ребро на малюнку

\[ \textbf{u}(v,\theta,\varphi)=v\cos(\varphi)\,\hat{\textbf{r}}(\theta) + v\sin(\varphi)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

де довжина,$v\text{,}$ вектора - параметр. Якщо ширина нашої вихідної смужки паперу,$w\text{,}$ то як параметр$v$ проходить від$-\frac{w}{2}$ до$+\frac{w}{2}\text{,}$ кінчика вектора$\textbf{u}(v,\theta,\varphi)$ проходить по всьому синьому ребру. Отже, вибираючи$\varphi=\frac{\theta}{2}\text{,}$ нашу параметризацію смуги Мебіуса - це

\[\begin{align*} \vecs{r} (\theta,v) &= \frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}(\theta) + \textbf{u}\left(v,\theta,\frac{\theta}{2}\right)\\ &= \frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}(\theta) + v\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\textbf{r}}(\theta) + v\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\mathbf{k}}\\ & 0\le\theta \lt 2\pi,\ -\frac{w}{2}\le v\le \frac{w}{2} \end{align*}\]

де$\hat{\textbf{r}}(\theta) = \cos(\theta)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(\theta)\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}$

Тепер, коли ми параметризували смугу Мебіуса, повернемося до питання орієнтованості. Нагадаємо, з визначення 3.5.1, що, якби смуга Мебіуса була орієнтованою, існувала б неперервна функція,$\hat{\textbf{N}}$ яка призначає кожній точці$\vecs{r} $ смужки одиничний нормальний вектор$\hat{\textbf{N}}(\vecs{r} )$$\vecs{r} \text{.}$ спочатку, ми знайдемо нормальні вектори до поверхні за допомогою 3.3.1. Часткові похідні

\[\begin{align*} \frac{\partial\vecs{r} }{\partial\theta}(\theta,v) &=\frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}'(\theta) + v\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\textbf{r}}'(\theta) - \frac{v}{2}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\textbf{r}}(\theta) + \frac{v}{2}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(\theta,v) &=\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\textbf{r}}(\theta) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

відносно брудні, тому давайте просто розглянемо випадок$v=0$ (тобто знайти нормальні вектори на хребті). Тоді

\[\begin{align*} \frac{\partial\vecs{r} }{\partial\theta}(\theta,0) &=\frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}'(\theta)\\ \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(\theta,0) &=\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\textbf{r}}(\theta) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

Так як

\[\begin{align*} \hat{\textbf{r}}'(\theta)\times \hat{\textbf{r}}(\theta) &=\big(-\sin(\theta)\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos(\theta)\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\times \big(\cos(\theta)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(\theta)\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) =-\hat{\mathbf{k}}\\ \hat{\textbf{r}}'(\theta)\times \hat{\mathbf{k}} &=\big(-\sin(\theta)\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos(\theta)\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\times \hat{\mathbf{k}} =\hat{\textbf{r}}(\theta) \end{align*}\]

у нас є

\[\begin{gather*} \frac{\partial\vecs{r} }{\partial\theta}(\theta,0) \times \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(\theta,0) =-\frac{\ell}{2\pi}\Big[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\textbf{r}}(\theta) \Big] \end{gather*}\]

Як$\hat{\mathbf{k}}$ і$\hat{\textbf{r}}(\theta)$ є взаємно перпендикулярними одиничними векторами,$\cos\big(\frac{\theta}{2}\big)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\big(\frac{\theta}{2}\big)\,\hat{\textbf{r}}(\theta)$ має довжину один, а два одиничні$\vecs{r} (\theta,0)$ нормальні вектори до смуги Мебіуса в

\[ \pm \Big[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\textbf{r}}(\theta) \Big] \nonumber \]

Отже, для кожного$\theta\text{,}$$\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,0)\big)$ має бути або

\[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\big(\frac{\theta}{2}\big)\,\hat{\textbf{r}}(\theta) \qquad\text{or}\qquad -\Big[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\textbf{r}}(\theta) \Big] \nonumber \]

Уявіть, що йдете по смузі Мебіуса. Нормальний вектор$\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,v)\big)$ - це наше тіло, коли ми знаходимося$\vecs{r} (\theta,v)$ - наші ноги знаходяться в хвості вектора,$\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,v)\big)$ а наша голова - на стрілці$\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,v)\big)\text{.}$ Ми починаємо ходити по$\vecs{r} (0,0)=\frac{\ell}{2\pi}\hat{\pmb{\imath}}\text{.}$ Нашому тілу,$\hat{\textbf{N}}\big(\frac{\ell}{2\pi}\hat{\pmb{\imath}}\big)=\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (0,0)\big)$ має бути одним з$\pm \big(\cos(0)\,\hat{\mathbf{k}}-\sin(0)\, \hat{\textbf{r}} (0) \big)=\pm\hat{\mathbf{k}}\text{.}$ Давайте припустимо, що$\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (0,0)\big)=+\hat{\mathbf{k}}\text{.}$ (Ми починаємо вертикально). Тепер ми починаємо ходити по хребту смуги Мебіуса, збільшуючись$\theta\text{.}$ Тому що$\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,0)\big)$ має бути безперервним,$\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,0)\big)$ повинно бути$+\big(\cos\big(\frac{\theta}{2}\big)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\big(\frac{\theta}{2}\big)\, \hat{\textbf{r}} (\theta) \big)\text{.}$ Ми продовжуємо збільшуватися$\theta\text{.}$ За безперервністю,$\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,0)\big)$ має бути$+\big(\cos\big(\frac{\theta}{2}\big)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\big(\frac{\theta}{2}\big)\, \hat{\textbf{r}} (\theta) \big)$ більшим і більшим$\theta\text{.}$ Зрештою ми добираємося до$\theta=2\pi\text{,}$ тобто до

\[ \vecs{r} (2\pi,0)= \frac{\ell}{2\pi} \hat{\textbf{r}} (2\pi) = \frac{\ell}{2\pi}\hat{\pmb{\imath}} =\frac{\ell}{2\pi}\hat{\textbf{r}}(0)=\vecs{r} (0,0) \nonumber \]

Ми повернулися до своєї відправної точки. Безперервність змусила

\[ \hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (2\pi,0)\big) =\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (\theta,0)\big)\Big|_{\theta=2\pi} =+\Big[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\mathbf{k}} -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\hat{\textbf{r}}(\theta) \Big] \Big|_{\theta=2\pi} =-\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Таким чином, ми повернулися назад догори дном. Це проблема -$\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (2\pi,0)\big) =\hat{\textbf{N}}\big(\frac{\ell}{2\pi}\hat{\pmb{\imath}}\big)$ і ми вже визначили$\hat{\textbf{N}}\big(\frac{\ell}{2\pi}\hat{\pmb{\imath}}\big)=+\hat{\mathbf{k}}\text{,}$ не$-\hat{\mathbf{k}}\text{.}$ Тому смуга Мебіуса не орієнтується. Зацікавлений читач повинен подивитися на «Руді мурахи» М.К. Ешера «Мебіус Стріп II».

Август Фердинанд Мебіус (1790—1868) — німецький математик і астроном. Він був нащадком Мартіна Лютера і студентом Гаусса.
Ще одна відома неорієнтована поверхня - пляшка Кляйна. Ви можете легко знайти обговорення цього за допомогою вашої улюбленої пошукової системи.