4.2: Теорема про розбіжність

Решта цієї глави стосується трьох теорем: теореми розбіжності, теореми Гріна та теореми Стокса. Поверхнево вони виглядають зовсім несхожими один на одного. Але, насправді, всі вони дуже тісно пов'язані між собою і всі три є узагальненням фундаментальної теореми числення.

\[ \int_a^b \dfrac{df}{dt}(t)\ \text{d}t = f(b) -f(a) \nonumber \]

Ліва частина фундаментальної теореми числення є інтегралом похідної функції. Права сторона включає в себе тільки значення функції на межі області інтеграції. Теорема розбіжності, теорема Гріна та теорема Стокса також мають таку форму, але інтеграли знаходяться в більш ніж одному вимірі. Таким чином, похідні є багатовимірними, як завиток і розбіжність, і integrands можуть включати векторні поля.

• Для теореми розбіжності інтеграл з лівого боку знаходиться над (тривимірним) об'ємом, а права сторона є інтегралом над кордоном об'єму, який є поверхнею.
• Для теорем Гріна та Стокса інтеграл з лівого боку знаходиться над (двовимірною) поверхнею, а права сторона є інтегралом через межу поверхні, яка є кривою.

Теорема про дивергенцію буде співвідносити об'ємний інтеграл над твердим\(V\) тілом з інтегралом потоку над поверхнею\(V\text{.}\) Спочатку нам потрібна пара визначень щодо дозволених поверхонь. У багатьох додатках тверді тіла, наприклад куби, мають кути та ребра, де вектор нормалі не визначено. З іншого боку, щоб мати можливість обчислити інтеграл потоку над поверхнею, нам, безумовно, потрібно, щоб множина точок, де нормальний вектор не чітко визначена, досить мала, щоб існування інтеграла потоку не загрожувало. Це стосується «кусково-гладких» поверхонь, які ми зараз визначимо.

Визначення 4.2.1

1. Поверхня гладка, якщо вона має параметризацію\(\vecs{r} (u,v)\) з неперервними частинними похідними\(\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}\)\(\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}\) та з\(\frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}\times\frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}\) ненульовими.
2. Поверхня є кусково-гладкою, якщо вона складається з кінцевої кількості гладких шматочків, які зустрічаються уздовж гострих кривих і на гострих кутах.

Ось ескізи гладкої поверхні (ковбаски) і кусково-гладкої поверхні (конуса морозива), за якими слідує теорема розбіжності ¹.

Теорема 4.2.2. Теорема про розбіжність

Нехай

• \(V\)бути обмеженим твердим тілом з кусково гладкою поверхнею ²\(\partial V\)
• \(\vecs{F} \)бути векторним полем, що має неперервні перші часткові похідні в кожній точці\(V\text{.}\)

Тоді

\[\begin{align*} \iint_{\partial V} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V \end{align*}\]

де\(\hat{\textbf{n}}\) зовнішня одиниця нормальної\(\partial V\text{.}\)

Як і фундаментальна теорема числення, теорема розбіжності виражає інтеграл похідної функції (в даному випадку векторно-значної функції) над областю через значення функції на межі області.

Попередження 4.2.3

Зауважте, що в теоремі 4.2.2 ми припускаємо, що векторне поле\(\vecs{F} \) має неперервні перші часткові похідні в кожній точці\(V\text{.}\) Якщо це не так, наприклад, тому що\(\vecs{F} \) не визначено на всіх,\(V\text{,}\) то висновок теореми розбіжності може зазнати невдачі. Прикладом є\(\vecs{F} = \frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |^3}\text{,}\)\(V=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le 1\right \} \text{.}\) Див. Приклад 4.2.7.

Доказ

Ми повинні показати, що

\[\begin{align*} \iint_{\partial V} \Big( \vecs{F} _1\,\hat{\pmb{\imath}} + \vecs{F} _2\,\hat{\pmb{\jmath}} + \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}}\Big) \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\Big( \frac{\,\partial \vecs{F} _1}{\partial x} +\frac{\partial \vecs{F} _2}{\partial y} +\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\Big) \ \text{d}V \end{align*}\]

Зверніть увагу, що ліва сторона являє собою суму трьох термінів - один із залученням\(\vecs{F} _1\text{,}\) одного,\(\vecs{F} _2\) а один із залученням\(\vecs{F} _3\) - а права сторона являє собою суму трьох термінів - один із залученням одного,\(\vecs{F} _2\) а\(\vecs{F} _1\text{,}\) один із залученням\(\vecs{F} _3\text{.}\) Ми просто покажемо, що\(\vecs{F} _3\) умови на лівій і правій стороні рівні, тобто що

\[\begin{align*} \iint_{\partial V} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V \frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z} \ \text{d}V \end{align*}\]

Показуючи, що\(\vecs{F} _1\) умови збігаються, а\(\vecs{F} _2\) умови збігаються, виконується однаково ³.

Спеціальна геометрія

Спочатку припустимо, що тверде тіло має спеціальну форму.

\[ V = \left \{(x,y,z)| B(x,y)\le z\le T(x,y),\ \ (x,y)\in R_{xy}\right \} \nonumber \]

де\(R_{x,y}\) є деяка підмножина\(xy\) -plane. Далі ми можемо припустити, що для кожного у\((x,y) \in R_{xy}\text{,}\) нас є\(B(x,y)\le T(x,y)\text{.}\) Після того, як ми закінчили з цим особливим випадком, ми будемо обробляти загальний випадок.

Давайте попрацюємо над\(\iint_{\partial V} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) першим. Як на малюнку нижче,

поверхня\(\partial V\) складається з трьох частин — верхньої, нижньої і бічної. Ми розглянемо кожен по черзі.

• Вершина -\(\mathcal{T}=\left \{(x,y,z)| z= T(x,y),\ \ (x,y)\in R_{xy}\right \}\text{.}\) За 3.3.2, на\(\mathcal{T}\)

  \[ \hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = +\big[-T_x(x,y)\,\hat{\pmb{\imath}} - T_y(x,y)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}\big]\ \text{d}x\text{d}y \nonumber \]

  Як\(\hat{\textbf{n}}\) і зовнішня норма, вона повинна вказувати вгору на\(\mathcal{T}\text{.}\) Ось чому ми вибрали і підкреслили знак «\(+\)». Так\(\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = \text{d}x\text{d}y\) і

  \[ \iint_{\mathcal{T}} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\iint_{R_{xy}} \vecs{F} _3(x,y,T(x,y))\,\text{d}x\text{d}y \nonumber \]

• Дно -\(\mathcal{B}=\left \{(x,y,z)| z= B(x,y),\ \ (x,y)\in R_{xy}\right \}\text{.}\) За 3.3.2, на\(\mathcal{B}\)

  \[ \hat{\textbf{n}}\, \text{d}S = -\big[-B_x(x,y)\,\hat{\pmb{\imath}} - B_y(x,y)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}\big]\ \text{d}x\text{d}y \nonumber \]

  Як\(\hat{\textbf{n}}\) і зовнішня норма, вона повинна вказувати вниз на\(\mathcal{B}\text{.}\) Ось чому ми вибрали знак «\(-\)». Так\(\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = -\text{d}x\text{d}y\) і

  \[ \iint_{\mathcal{B}} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =-\iint_{R_{xy}} \vecs{F} _3(x,y,B(x,y))\,\text{d}x\text{d}y \nonumber \]

• Сторона є\(\mathcal{S}=\left \{(x,y,z)|(x,y)\in\partial R_{xy},\ B(x,y)\le z\le T(x,y)\right \}\text{.}\) Він проходить вертикально. Отже\(\mathcal{S}\), на нормальному векторі\(\partial V\) to паралельно\(xy\) -площині так, що\(\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\textbf{n}}=0\) і

  \[ \iint_{\mathcal{S}} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S = 0 \nonumber \]

Так все разом

\[\begin{align*} &\iint_{\partial V}\!\! \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\!\iint_{\mathcal{T}}\! \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \!+\!\iint_{\mathcal{B}}\! \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \!+\!\iint_{\mathcal{S}}\! \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \notag\\ &\hskip0.5in=\iint_{R_{xy}} \big[\vecs{F} _3(x,y,T(x,y)) -\vecs{F} _3(x,y,B(x,y))\big]\,\text{d}x\text{d}y +0 \tag{$\partial V$} \end{align*}\]

Тепер розберемо

\[\begin{align*} \iiint_V\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\ \text{d}V &=\iint_{R_{xy}}\text{d}x\text{d}y\int_{B(x,y)}^{T(x,y)}\text{d}z\ \frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}(x,y,z) \notag\\ &=\iint_{R_{xy}} \big[\vecs{F} _3(x,y,T(x,y)) -\vecs{F} _3(x,y,B(x,y))\big]\,\text{d}x\text{d}y \tag{$V$} \end{align*}\]

за фундаментальною теоремою числення. Це саме те, що ми повинні були показати. Інтеграли (\(\partial V\)) та (\(V\)) рівні.

Загальна геометрія

Тепер відкинемо припущення про\(V\) те, що ми нав'язали в розділі «Спеціальна геометрія» вище. Ключова ідея, яка робить доказ роботи, полягає в тому, що ми можемо розрізати будь-які ⁴\(V\) на шматки, кожен з яких підкоряється особливому припущенню, яке ми щойно розглянули. Розглянемо, наприклад, ковбасу у формі суцільної форми на малюнку зліва внизу.

Зателефонуйте ковбасі\(V\text{.}\) Розріжте його на дві половини, запустивши колун горизонтально через його центр. Це розбиває тверде\(V\) тіло на дві половини,\(V_1\) і\(V_2\) як на малюнку праворуч вгорі. Вона також розбиває\(\partial V\)\(V\) межу на дві половини\(S_1\) і\(S_2\text{,}\) також як на малюнку праворуч вгорі. Зауважте, що

• межа,\(\partial V_1\text{,}\) з\(V_1\) - об'єднання\(S_1\) і затіненого диска\(S_c\) (розріз, введений колуном). На\(S_c\text{,}\) розрізі назовні, що вказує нормаль\(V_1\) на\(-\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)
• Межа,\(\partial V_2\text{,}\) з\(V_2\) є об'єднанням\(S_2\) і затіненим диском\(S_c\text{.}\) На розрізі\(S_c\text{,}\) назовні, що вказує\(V_2\) нормаль на\(+\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

  Тепер обидва\(V_1\) і зовсім\(V_2\) задовольняють припущенню розділу «Спеціальна геометрія» вище. Так

  \[\begin{align*} &\iiint_V\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\ \text{d}V = \iiint_{V_1}\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\ \text{d}V +\iiint_{V_2}\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\ \text{d}V\\ &\hskip0.5in=\iint_{\partial V_1} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{\partial V_2} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\\ &\hskip0.5in=\iint_{S_1} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{S_c\downarrow} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{S_2} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\\ &\hskip1.5in +\iint_{S_c\uparrow} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

  \(S_c\downarrow\)Ось поверхня\(S_c\) з нормальним вектором\(-\hat{\mathbf{k}}\) і\(S_c\uparrow\) є поверхнею\(S_c\) з нормальним вектором\(-\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Таким чином, другий і четвертий інтеграли ідентичні за винятком того, що\(\hat{\textbf{n}}=-\hat{\mathbf{k}}\) в другому інтегралі і\(\hat{\textbf{n}}=+\hat{\mathbf{k}}\) в четвертому інтегралі. Так вони скасовують точно і

  \[\begin{align*} \iiint_V\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\ \text{d}V &=\iint_{S_1} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{S_2} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\iint_{\partial V} \vecs{F} _3\,\hat{\mathbf{k}} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

  за бажанням.

Приклад 4.2.4

Оцініть інтеграл потоку\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\), де\(\hat{\textbf{n}}\) знаходиться зовнішня нормаль\(S\text{,}\), до якої знаходиться поверхня напівсферичної області.

\[ V=\left \{(x,y,z|x^2+y^2+z^2\le a^2,\ z\ge 0\right \} \nonumber \]

і

\[ \vecs{F} = xz^2\,\hat{\pmb{\imath}} + (x^2y-z^3)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \big(2xy + y^2 z +e^{\cos y}\big)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Рішення

The\(e^{\cos y}\) в\(\vecs{F} \) говорить про те, що пряма оцінка інтеграла важко. Тому ми будемо використовувати невелику хитрість, щоб оцінити його. Не дивно, що враховуючи, що ми щойно довели теорему розбіжності, хитрість полягає в застосуванні теореми розбіжності ⁵. Так як

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} &= \frac{\partial \vecs{F} _1}{\partial x} +\frac{\partial \vecs{F} _2}{\partial y} +\frac{\partial \vecs{F} _3}{\partial z}\\ &=\frac{\partial }{\partial x}\big(xz^2\big) +\frac{\partial }{\partial y}\big(x^2y-z^3\big) +\frac{\partial }{\partial z}\big(2xy + y^2 z +e^{\cos y}\big)\\ &= z^2 + x^2 +y^2 \end{align*}\]

Теорема про розбіжність говорить нам, що

\[\begin{align*} \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\big(x^2+y^2+z^2\big)\ \text{d}V \end{align*}\]

Сферичні координати ідеально підходять для цього інтеграла. (Див. Додаток A.6.3, якщо вам потрібно оновити пам'ять.)

\[\begin{align*} \iiint_V\big(x^2+y^2+z^2\big)\ \text{d}V &=\int_0^{2\pi}\text{d}\theta\int_0^{\frac{\pi}{2}}\text{d}\varphi \int_0^a \text{d}\rho\,\rho^2\sin\varphi\ \rho^2\\ &=\bigg[\int_0^{2\pi}\text{d}\theta\bigg] \bigg[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\varphi\,\text{d}\varphi\bigg] \bigg[\int_0^{a}\rho^4\,\text{d}\rho\bigg]\\ &=\big[2\pi\big]\Big[-\cos\varphi\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \left[\frac{\rho^5}{5}\right]_0^a\\ &=\frac{2\pi a^5}{5} \end{align*}\]

Приклад 4.2.5

Оцініть інтеграл потоку\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\), де\(\hat{\textbf{n}}\) знаходиться зовнішня\(S\text{,}\) нормаль, до якої знаходиться частина поверхні,\(z^2=x^2+y^2\) з\(1\le z\le 2\text{,}\) і де

\[ \vecs{F} = 3x\,\hat{\pmb{\imath}} + (5y+e^{\cos x})\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Рішення

Знову ж таки,\(e^{\cos x}\) в\(\vecs{F} \) припускає, що пряма оцінка важка ⁶ і знову ми застосуємо теорему розбіжності. Але на цей раз\(S\) не межа твердого тіла\(V\text{.}\) Це частина конуса, окреслена червоним кольором на малюнку зліва внизу і не має верхньої або нижньої «шапки».

На щастя, є тверде\(V\) тіло, межа якого, хоча б не дорівнює\(S\text{,}\) принаймні містить\(S\text{.}\) Це (не дивно)

\[ V = \left \{(x,y,z)|x^2+y^2\le z^2,\ \ 1\le z\le 2\right \} \nonumber \]

і накидається на малюнку праворуч вгорі. Межа,\(\partial V\text{,}\) є об'єднанням\(S\) і двох дисків

\[\begin{align*} D_1 &= \left \{(x,y,z)|x^2+y^2\le z^2,\ \ z=1\right \}\\ D_2 &= \left \{(x,y,z)|x^2+y^2\le z^2,\ \ z=2\right \} \end{align*}\]

Отже, теорема про розбіжність дає

\[\begin{align*} \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V &= \iint_{\partial V} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\\ &= \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{D_2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

що має на увазі

\[\begin{align*} \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &= \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V -\iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S -\iint_{D_2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \end{align*}\]

Сенс цієї вправи полягає в тому, що ліва сторона, яку нелегко оцінити безпосередньо, є інтегралом, який ми хочемо, тоді як три інтеграли на правій стороні легко оцінити. Ми робимо це зараз. Зовнішній нормальний до (горизонтальний диск)\(D_2\)\(+\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Так

\[\begin{align*} \iint_{D_2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iint_{D_2} \vecs{F} \cdot\hat{\mathbf{k}}\,\text{d}S =\iint_{D_2} z\,\text{d}S \end{align*}\]

Як\(z=2\) на\(D_2\text{,}\) і\(D_2\) являє собою диск радіусу\(2\text{,}\)

\[ \iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =2\text{Area}(D_2) =2\pi 2^2 = 8\pi \nonumber \]

Аналогічно, зовнішній нормальний до (горизонтальний диск)\(D_1\)\(-\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Так

\[\begin{align*} \iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=-\iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\mathbf{k}}\,\text{d}S =-\iint_{D_1} z\,\text{d}S \end{align*}\]

Як\(z=1\) на\(D_1\text{,}\) і\(D_1\) являє собою диск радіусу\(1\text{,}\)

\[ \iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\text{Area}(D_1) =-\pi 1^2 = -\pi \nonumber \]

Нарешті, як\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = 3+5+1 = 9\)

\[\begin{gather*} \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V =9\,\text{Vol}(V) \end{gather*}\]

Обсяг\(V\) можна легко обчислити за допомогою методики першого року ⁷\(V\) нарізки на тонкі горизонтальні млинці, як намальовані на малюнку нижче.

Млинець на висоті\(z\) має

• товщина\(\text{d}z\text{,}\)
• круглий перетин радіуса\(z\) (пам'ятайте, що зовнішня межа\(V\) має рівняння\(x^2+y^2=z^2\)), і, отже, має
• площа поперечного перерізу\(\pi z^2\) і
• обсяг\(\pi z^2\,\text{d}z\text{.}\)

Так

\[\begin{gather*} \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V =9\,\text{Vol}(V) =9\int_1^2 \pi z^2\,\text{d}z =9\left[\frac{\pi z^3}{3}\right]_1^2 =9\times \pi\frac{7}{3} =21\pi \end{gather*}\]

і, всі разом

\[\begin{align*} \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &= \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V -\iint_{D_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S -\iint_{D_2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\\ &= 21\pi - (-\pi) -8\pi =14\pi \end{align*}\]

Приклад 4.2.6

Оцініть інтеграл потоку\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\), де\(\hat{\textbf{n}}\) є висхідною\(S\text{,}\) нормаллю, до якої є частиною\(z={\big(x^2+y^2\big)}^2\) з\(0\le z\le 1\text{,}\) і

\[ \vecs{F} = \big(x+e^{y^2}\big)\,\hat{\pmb{\imath}} + (y+\cos z)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Рішення

Цей інтеграл можна оцінити приблизно так само, як ми оцінювали інтеграл Прикладу 4.2.6. Спочатку ми визначаємо тверде тіло, межа\(V\) якого\(\partial V\) містить\(S\text{.}\) хороший, і, сподіваюся, очевидний, вибір

\[\begin{gather*} V = \left \{(x,y,z)|{\big(x^2+y^2\big)}^2\le z,\ \ 0\le z\le 1 \right \} \end{gather*}\]

Межа\(V\) - це об'єднання\(S\text{,}\) з назовні, що вказує нормаль\(-\vecs{n} \) (нагадаємо, що задача вказує на те, що символ\(\hat{\textbf{n}}\) посилається на нормаль, спрямовану вгору) і диск

\[ D = \left \{(x,y,z)|z= 1,\ \ {\big(x^2+y^2\big)}^2\le 1\right \} \nonumber \]

з назовні вказівним нормальним\(\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

Отже, теорема про розбіжність дає

\[\begin{gather*} \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V = -\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S +\iint_{D} \vecs{F} \cdot\hat{\mathbf{k}}\,\text{d}S \end{gather*}\]

що має на увазі

\[\begin{align*} \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &= -\iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V +\iint_{D} \vecs{F} \cdot\hat{\mathbf{k}}\,\text{d}S\\ &= -\iiint_V 2\ \text{d}V +\iint_{D} \text{d}S \end{align*}\]

\(D\)це круглий диск радіуса\(1\text{,}\) і так має площу\(\pi\text{.}\) Для оцінки об'єму інтеграла ми\(V\) нарізаємо в горизонтальні млинці з млинцем на висоті, що\(z\) має круглий перетин радіуса\(z^{\frac{1}{4}}\text{.}\) (Нагадаємо, що межа\(V\) має\({\big(x^2+y^2\big)}^2 = z\text{.}\)) Так

\[\begin{align*} \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &= -2\int_0^1\pi \sqrt{z}\ \text{d}z +\pi =-2\pi\times\frac{2}{3} +\pi =-\frac{\pi}{3} \end{align*}\]

Знову ж таки, ви можете бачити, що фактична інтеграція досить проста. Вся робота (або принаймні все мислення) відбувається в установці.

Приклад 4.2.7

У Warning 4.2.3 ми підкреслили, що висновок теореми дивергенції 4.2.2 може зазнати невдачі, якщо векторне поле\(\vecs{F} \) не визначено навіть в одній точці\(V\text{.}\) Here є прикладом. Сет

\[ \vecs{F} = \frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |^3} \qquad\text{where } \vecs{r} =x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}} +z\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

а\(V=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le 1\right \}\text{.}\) потім, якщо\((x,y,z)\ne\vecs{0}\text{,}\)

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} (x,y,z) &=\frac{\partial }{\partial x}\frac{x}{\big[x^2+y^2+z^2\big]^{3/2}} +\frac{\partial }{\partial y}\frac{y}{\big[x^2+y^2+z^2\big]^{3/2}}\\ &\hskip1in+\frac{\partial }{\partial z}\frac{z}{\big[x^2+y^2+z^2\big]^{3/2}}\\ &=\frac{\big[x^2+y^2+z^2\big]-x\frac{3}{2}(2x)}{\big[x^2+y^2+z^2\big]^{5/2}} +\frac{\big[x^2+y^2+z^2\big]-y\frac{3}{2}(2y)}{\big[x^2+y^2+z^2\big]^{5/2}}\\ &+\frac{\big[x^2+y^2+z^2\big]-z\frac{3}{2}(2z)}{\big[x^2+y^2+z^2\big]^{5/2}}\\ &=0 \end{align*}\]

З іншого боку, межа одиниці сфери\(\partial V = \left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2 = 1\right \}\text{.}\) Зовнішня одиниця нормальна до\(\partial V\)\(\hat{\textbf{n}} = \frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |}\) так, що\(V\)

\[\begin{align*} \int_{\partial V}\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S &=\int_{|\vecs{r} |=1} \frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |^3}\cdot \frac{\vecs{r} }{|\vecs{r} |}\ \text{d}S =\int_{|\vecs{r} |=1} \frac{1}{|\vecs{r} |^2}\ \text{d}S =\int_{|\vecs{r} |=1}\text{d}S\\ &=4\pi\ne 0 \end{align*}\]

Необов'язково — Застосування теореми розбіжності — рівняння теплоти

Виведення рівняння теплоти

Дозвольте\(T(x,y,z,t)\) бути температурою в\(t\) момент часу\((x,y,z)\) в точці в якомусь\(\mathcal{B}\text{.}\) об'єкті Рівняння теплоти ⁸ - це рівняння з частинними похідними, яке описує потік теплової енергії і, отже, поведінку\(T\text{.}\) Ми тепер використовуємо теорему розбіжності для отримання рівняння теплоти з двох фізичних «законів», які ми вважаємо дійсними:

• Кількість теплової енергії, необхідної для підвищення температури об'єкта на\(\Delta T\) градуси - це\(CM\,\Delta T\) де,\(M\) є масою об'єкта і\(C\) є позитивною фізичною константою, що визначається матеріалом, що міститься в об'єкті. Його називають питомою теплоємністю, або питомою теплоємністю ⁹, об'єкта.
• Подумайте про теплову енергію як про рухому рідину. Ми будемо облаштовувати його поле швидкості так, щоб тепло текло в напрямку, протилежному температурному градієнту. Точно, ми вибираємо його поле швидкості бути\(-\kappa\vecs{ \nabla} T(x,y,z,t)\text{.}\) Ось ще\(\kappa\) одна позитивна фізична константа називається теплопровідністю об'єкта. Отже, швидкість, з якою тепло проводиться через елемент площі поверхні\(\text{d}S\)\((x,y,z)\) у напрямку його одиниці нормальної,\(\hat{\textbf{n}}\) задається часом\(t\text{.}\) (\(-\kappa\hat{\textbf{n}}\cdot\vecs{ \nabla} T(x,y,z,t)\,\text{d}S\)Див. Lemma 3.4.1.) Наприклад, на малюнку

  

  градієнт температури, який вказує у бік підвищення температури, протилежний\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) Отже, швидкість\(-\kappa\hat{\textbf{n}}\cdot\vecs{ \nabla} T(x,y,z,t)\,\text{d}S\) потоку позитивна, що вказує на потік у напрямку\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) Це саме те, що ви очікуєте - теплові потоки з гарячих регіонів в холодні регіони. Також швидкість потоку збільшується в міру збільшення величини температурного градієнта. Це теж має сенс (і нагадує закон Ньютона охолодження).

\(V\subset\mathcal{B}\)Дозволяти будь тривимірна область в об'єкті і\(\partial V\) позначають поверхнею\(V\) і\(\hat{\textbf{n}}\) за зовнішнім нормальним кількість тепла, що надходить\(V\) через нескінченно малий\(\text{d}S\) шматок\(\partial V\) в\(\partial V\text{.}\) нескінченно малий\(\text{d}t\) часовий інтервал -\(-\big(-\kappa\hat{\textbf{n}}\cdot\vecs{ \nabla} T(x,y,z,t)\,\text{d}S\big)\,\text{d}t\text{.}\) кількість тепла, що надходить\(V\) через весь проміжок часу,\(\text{d}t\) задається інтегралом\(\partial V\)

\[ \iint_{\partial V} \kappa\hat{\textbf{n}}\cdot\vecs{ \nabla} T(x,y,z,t)\,\text{d}S\,\text{d}t \nonumber \]

У цьому ж часовому інтервалі температура\((x,y,z)\) в точці\(V\) змінюється на\(\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\text{d}t\text{.}\) Якщо щільність об'єкта в\((x,y,z)\) - це\(\rho(x,y,z)\text{,}\) кількість теплової енергії, необхідної для підвищення температури нескінченно малого об'єму\(\text{d}V\) об'єкта, зосередженого\((x,y,z)\) на \(\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\text{d}t\)є\(C(\rho\text{d}V)\,\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\text{d}t\text{.}\) Кількість теплової енергії, необхідної для підвищення температури\(\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\text{d}t\) на всіх точках\((x,y,z)\) в\(V\)

\[ \iiint_V C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\text{d}V\,\text{d}t \nonumber \]

Припускаючи, що об'єкт не виробляє і не руйнує ¹⁰ тепла сам, це повинно бути таким же, як і кількість тепла, що надійшло\(V\) в часовому інтервалі\(\text{d}t\text{.}\)

\[ \iint_{\partial V} \kappa\hat{\textbf{n}}\cdot\vecs{ \nabla} T\,\text{d}S\,\text{d}t =\iiint_V C\rho\frac{\partial T}{\partial t}\,\text{d}V\,\text{d}t \nonumber \]

Тепер ми скасуємо загальний коефіцієнт\(\text{d}t\text{.}\) Ми можемо потім переписати ліву частину як інтеграл,\(V\) застосувавши теорему розбіжності, що дає

\[ \iiint_{V} \kappa\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} T\,\text{d}V =\iiint_V C\rho\frac{\partial T}{\partial t}\,\text{d}V \nonumber \]

Оскільки обидва інтеграли мають один і той же об'єм,\(V\text{,}\) ми маємо

\[\begin{align*} &\iiint_{V} \kappa\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} T\,\text{d}V -\iiint_V C\rho\frac{\partial T}{\partial t}\,\text{d}V =0\\ &\hskip1in\implies \iiint_{V} \left[\kappa\vecs{ \nabla} ^2 T -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}\right]\,\text{d}V=0 \tag{H} \end{align*}\]

де\(\vecs{ \nabla} ^2=\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} =\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}\) знаходиться лаплакіан. Це повинно бути вірно для всіх обсягів\(V\) в об'єкті і на всі часи\(t\text{.}\) Ми стверджуємо, що це змушує

\[ \kappa\vecs{ \nabla} ^2 T(x,y,z,t)-C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)=0 \nonumber \]

для всіх\((x,y,z)\) в об'єкті і всіх\(t\text{.}\)

Припустимо, що навпаки була точка\((x_0,y_0,z_0)\) в об'єкті і час\(t_0\) з, наприклад, За\(\kappa\vecs{ \nabla} ^2 T(x_0,y_0,z_0,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x_0,y_0,z_0,t_0) \gt 0\text{.}\) безперервністю, яку ми припускаємо,\(\kappa\vecs{ \nabla} ^2 T(x,y,z,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t_0)\) повинна залишатися близькою до того,\(\kappa\vecs{ \nabla} ^2 T(x_0,y_0,z_0,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\) коли\((x,y,z)\) близька до\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Отже, ми б мали

\[ \kappa\vecs{ \nabla} ^2 T(x,y,z,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t_0) \gt 0 \nonumber \]

для всіх\((x,y,z)\) в якомусь маленькому кулі,\(B\) зосередженому на\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Потім, обов'язково,

\[ \iiint_{B} \Big[\kappa\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} T(x,y,z,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t_0)\Big]\,\text{d}V \gt 0 \nonumber \]

який порушує (H) для\(V=B\text{.}\) цього завершується наш вивід рівняння теплоти, який

Рівняння 4.2.8

\[ \frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t) =\alpha \vecs{ \nabla} ^2 T(x,y,z,t) \nonumber \]

де\(\alpha=\frac{\kappa}{C\rho}\) називається теплової дифузійністю.

Застосування рівняння теплоти

Як додаток ми дивимося на температуру на невеликій відстані нижче поверхні Землі. Для простоти ми робимо Землю плоскою ¹¹ і припускаємо, що температура,\(T\text{,}\) залежить тільки від часу, а вертикальна\(t\text{,}\) координата,\(z\text{.}\) Тоді рівняння тепловіддачі спрощує

\[ \frac{\partial T}{\partial t}(z,t) =\alpha \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}(z,t) \tag{HE} \nonumber \]

Вибираємо систему координат, що має поверхню Землі на\(z=0\) і має\(z\) збільшення вниз. Також припустимо, що температура\(T(0,t)\) на поверхні Землі в першу чергу визначається сонячним нагріванням і задається

\[ T(0,t)=T_0+T_A\cos(\sigma t)+T_D\cos(\delta t) \tag{BC} \nonumber \]

\(T_0\)Ось довгострокове середнє значення температури на поверхні Землі,\(T_A\cos(\sigma t)\) дає сезонні коливання температури і\(T_D\cos(\delta t)\) дає добові коливання температури.

Ми вимірюємо час у днях так, що\(\delta =2\pi\) і\(\sigma =\frac{2\pi}{1\ {\rm year}}=\frac{2\pi}{365{\rm days}}\text{.}\) Тоді\(T_A\cos(\sigma t)\) має період один рік і\(T_D\cos(\delta t)\) має період один день. Розв'язок задачі початкового значення (HE) + (BC) можна знайти шляхом поділу змінних, стандартної теми в курсах з рівнянь з частинними похідними. Рішення є

\[\begin{align*} T(z,t)&=T_0 +T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z\Big)\\ &\hskip1in+T_De^{-\sqrt{\delta \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\delta t-\sqrt{\frac{\delta }{2\alpha}}\ z\Big) \tag{SLN} \end{align*}\]

Незалежно від того, чи можете ви знайти це рішення, ви можете і повинні перевірити, що (SLN) задовольняє як (HE), так і (BC).

Тепер давайте подивимося, що ми можемо дізнатися з рішення (SLN). Для будь-якого\(z\text{,}\) фіксованого середнього часу\(T(z,t)\) є\(T_0\) (тільки тому, що середнє значення, якщо косинус дорівнює нулю), те саме,\(z=0\text{.}\) що і середня температура на поверхні Тобто, за гіпотезами, які ми зробили, довгострокова середня температура на будь-якій глибині\(z\) така ж, як довгострокова середня температура на поверхні.

термін\(T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z\Big)\)

• коливається в часі з періодом в один рік, так само, як\(T_A\cos(\sigma t)\)
• має амплітуду\(T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z}\), яка знаходиться\(T_A\) на поверхні і зменшується експоненціально зі\(z\) збільшенням. Збільшення глибини\(z\) на відстань\(\sqrt{\frac{2\alpha}{\sigma}}\) призводить до зменшення амплітуди коливань в рази\(\frac{1}{e}\text{.}\) Обидва ці перші дві точки кулі, ймовірно, дуже відповідають вашій інтуїції. Але цей термін має і третє властивість, яке ви можете знайти менш очевидним. Він має
• має часовий відставання\(\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}}\) по відношенню до\(T_A\cos(\sigma t)\text{.}\) поверхневий термін\(T_A\cos(\sigma t)\) приймає своє максимальне значення, коли\(t=0,\ \frac{2\pi}{\sigma},\ \frac{4\pi}{\sigma},\ \cdots\text{.}\) На\(z\text{,}\) глибині відповідний термін\(T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z\Big)\) приймає своє максимальне значення, коли\(\ \sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z =0,\ 2\pi, 4\pi,\ \cdots\) так, що\(t=\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}},\ \frac{2\pi}{\sigma}+\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}}, \ \frac{4\pi}{\sigma}+\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}},\ \cdots\text{.}\)

Аналогічно термін\(T_De^{-\sqrt{\delta \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\delta t-\sqrt{\frac{\delta }{2\alpha}}\ z\Big)\)

• коливається в часі з періодом в один день, так само, як\(T_D\cos(\delta t)\)
• має амплітуду, яка знаходиться\(T_D\) на поверхні і зменшується в\(\frac{1}{e}\) рази для кожного\(\sqrt{\frac{2\alpha}{\delta}}\) збільшення глибини.
• має часовий відставання по\(\frac{z}{\sqrt{2\alpha\delta}}\) відношенню до\(T_D\cos(\delta t)\text{.}\)

Для води\(\alpha\) приблизно\(0.012\) м\(^2\) /добу. Це\(\alpha\) дає

\[ \sqrt{\frac{2\alpha}{\sigma}}\approx 1.2\,{\rm m}\quad \sqrt{\frac{2\alpha}{\delta}}\approx 0.062\,{\rm m} \quad \frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}}\approx 49\, z\,{\rm days} \quad \frac{z}{\sqrt{2\alpha\delta}}\approx 2.6\, z\,{\rm days} \nonumber \]

для\(z\) вимірюється в сантиметрах. Так що на глибині пари метрів температура досить постійна в часі. Яка варіація є відстає від варіацій поверхні на кілька місяців.

Варіації теореми про дивергенцію

Ось кілька корисних варіацій теореми розбіжності.

Теорема 4.2.9. Варіації теореми розбіжності

Якщо\(V\) тверда речовина з поверхнею,\(\partial V\text{,}\) то

\[\begin{align*} \iint_{\partial V} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \ \text{d}V\\ \iint_{\partial V} f \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\vecs{ \nabla} f\ \text{d}V\\ \iint_{\partial V} \hat{\textbf{n}}\times\vecs{F} \,\text{d}S &=\iiint_V\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \ \text{d}V \end{align*}\]

де\(\hat{\textbf{n}}\) зовнішня одиниця нормальної\(\partial V\text{.}\)

Допомога пам'яті. Всі три формули можуть бути об'єднані в

\[ \iint_{\partial V} \hat{\textbf{n}} *\tilde F\,\text{d}S =\iiint_V\vecs{ \nabla} *\tilde F\ \text{d}V \nonumber \]

де\(*\) може бути\(\cdot\text{,}\)\(\times\) або нічого. Коли\(*=\cdot\) чи\(*=\times\text{,}\) то\(\tilde F=\vecs{F} \text{.}\)\(*\) коли нічого,\(\tilde F=f\text{.}\)

Доказ

Перша формула є саме теоремою розбіжності і була доведена в теоремі 4.2.2.

Щоб довести другу формулу, встановіть,\(\vecs{F} =f\textbf{a}\text{,}\) де\(\textbf{a}\) знаходиться будь-який постійний вектор, і застосуйте теорему розбіжності.

\[\begin{align*} \iint_{\partial V} f\textbf{a}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S &=\iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot(f\textbf{a})\ \text{d}V\\ &=\iiint_V\big[(\vecs{ \nabla} f)\cdot\textbf{a} +f\underbrace{\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{a}}_{=0}\big]\ \text{d}V\\ &=\iiint_V(\vecs{ \nabla} f)\cdot\textbf{a}\ \text{d}V \end{align*}\]

Щоб отримати другий рядок, ми використали теорему ідентичності вектора 4.1.4.c. Щоб отримати третій рядок, ми просто використовували, що\(\textbf{a}\) є константою, так що всі його похідні дорівнюють нулю. Перепишіть

\[ \iiint_V(\vecs{ \nabla} f)\cdot\textbf{a}\ \text{d}V =\iiint_V\textbf{a}\cdot(\vecs{ \nabla} f)\ \text{d}V \nonumber \]

Оскільки\(\textbf{a}\) це константа, ми можемо фактор його з обох інтегралів, так

\[\begin{align*} &\textbf{a}\cdot\iint_{\partial V} f\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =\textbf{a}\cdot\iiint_V\vecs{ \nabla} f\ \text{d}V\\ \implies &\textbf{a}\cdot\bigg\{\iint_{\partial V} f\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S -\iiint_V\vecs{ \nabla} f\ \text{d}V\bigg\}=0 \end{align*}\]

Зокрема, вибираючи\(\textbf{a}=\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\)\(\hat{\pmb{\jmath}}\) і\(\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) ми бачимо, що всі три складові вектора\(\iint_{\partial V} f\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S -\iiint_V\vecs{ \nabla} f\ \text{d}V\) дорівнюють нулю. Так

\[ \iint_{\partial V} f\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S -\iiint_V\vecs{ \nabla} f\ \text{d}V=0 \nonumber \]

це те, що ми хотіли показати.

Щоб довести третю формулу, застосуйте теорему розбіжності, але з\(\vecs{F} \) заміненою на\(\textbf{a}\times\vecs{F} \text{,}\) де\(\textbf{a}\) будь-який постійний вектор.

\[\begin{align*} &\iint_{\partial V} (\textbf{a}\times\vecs{F} )\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S =\iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot(\textbf{a}\times\vecs{F} )\ \text{d}V\\ &\hskip0.5in=\iiint_V\big[\vecs{F} \cdot\underbrace{(\vecs{ \nabla} \times \textbf{a})}_{=\vecs{0}} -\textbf{a}\cdot(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\big]\ \text{d}V\\ &\hskip0.5in=-\iiint_V\textbf{a}\cdot(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\ \text{d}V =-\textbf{a}\cdot\iiint_V\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \ \text{d}V \end{align*}\]

Щоб отримати другий рядок, ми використали теорему ідентичності вектора 4.1.4.d. Щоб отримати третій рядок, ми знову використовували те, що\(\textbf{a}\) є константою, так що всі її похідні дорівнюють нулю. Для всіх векторів\((\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot\textbf{c}=\textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})\) (у випадку, якщо ви цього не пам'ятаєте, це була Lemma 4.1.8.a) так що

\[ (\textbf{a}\times\vecs{F} )\cdot\hat{\textbf{n}} =\textbf{a}\cdot(\vecs{F} \times\hat{\textbf{n}}) \nonumber \]

і

\[\begin{align*} &\textbf{a}\cdot\iint_{\partial V} \vecs{F} \times\vecs{n} \ \text{d}S =-\textbf{a}\cdot\iiint_V\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \ \text{d}V\\ \implies &\textbf{a}\cdot\bigg\{\iint_{\partial V} \vecs{F} \times\vecs{n} \ \text{d}S +\iiint_V\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \ \text{d}V\bigg\}=0 \end{align*}\]

Зокрема, вибираючи\(\textbf{a}=\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\)\(\hat{\pmb{\jmath}}\) і\(\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) ми бачимо, що всі три складові вектора\(\iint_{\partial V} \vecs{F} \times\vecs{n} \ \text{d}S +\iiint_V\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \ \text{d}V\) дорівнюють нулю. Так

\[ \iiint_V\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \ \text{d}V =-\iint_{\partial V} \vecs{F} \times\vecs{n} \ \text{d}S =\iint_{\partial V} \hat{\textbf{n}}\times\vecs{F} \ \text{d}S \nonumber \]

це те, що ми хотіли показати.

Застосування теореми дивергенції - плавучість

У цьому розділі ми використовуємо теорему розбіжності, щоб показати, що при зануренні об'єкта в рідину чистий ефект тиску рідини, що діє на поверхню об'єкта, є вертикальною силою (званої плавучою силою), величина якої дорівнює вазі рідини, зміщеної об'єктом. Це відоме як принцип Архімеда ¹².

Ми також покажемо, що плавуча сила діє через «центр плавучості», який є центром маси рідини, витісненої об'єктом. Конструкція саморегульованих ¹³ човнів експлуатує той факт, що центр плавучості та центр ваги, де діє гравітація, не повинні бути однаковими.

Почнемо з обчислення загальної сили за рахунок тиску рідини, що штовхає на об'єкт. Нагадаємо, що тиск

• - сила на одиницю площі поверхні, яку рідина чинить на об'єкт
• діє перпендикулярно поверхні
• штовхає на об'єкт

Таким чином, сила внаслідок тиску, яка діє на нескінченно малий шматок поверхні об'єкта\(\vecs{r} =(x,y,z)\) з площею поверхні\(\text{d}S\) та назовні нормальним\(\hat{\textbf{n}}\) є\(-p(\vecs{r} )\,\hat{\textbf{n}} \text{d}S\text{.}\) Знак мінус є, оскільки тиск спрямований на об'єкт. Якщо об'єкт заповнює об'єм\(V\) і має поверхню,\(\partial V\text{,}\) то загальна сила на об'єкт через тиск рідини, яка називається плавучою силою, становить

\[ \textbf{B}=-\iint_{\partial V}p(\vecs{r} )\,\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

Зараз ми хочемо застосувати варіант теореми розбіжності для перезапису\(\textbf{B}=-\iiint_V \vecs{ \nabla} p\ \text{d}V\text{.}\) Але є проблема з цим:\(p(\vecs{r} )\) чи тиск рідини при\(\vecs{r} \) і визначається лише там, де є рідина. Зокрема, всередині об'єкта немає рідини ¹⁴,\(p(\vecs{r} )\) тому не визначено жодної\(\vecs{r} \) в інтер'єрі\(V\text{.}\)

Тому ми робимо вигляд, що видаляємо об'єкт з рідини і\(P(\vecs{r} )\) називаємо тиск рідини,\(\vecs{r} \) коли в рідині немає предмета. Також робимо припущення, що в будь-якій точці\(\vecs{r} \) поза об'єктом тиск при\(\vecs{r} \) не залежить від того, знаходиться об'єкт в рідині чи ні. Іншими словами, ми припускаємо, що

\[ p(\vecs{r} )=\begin{cases} P(\vecs{r} )& \text{if $\vecs{r} $ is not in $V$}\\ \text{not defined} & \text{if $\vecs{r} $ is in the $V$} \end{cases} \nonumber \]

Це припущення є лише наближенням до дійсності, але, на практиці, воно є дуже хорошим наближенням. Отже, за теоремою 4.2.9,

\[ \textbf{B}=-\iint_{\partial V}p(\vecs{r} )\,\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =-\iint_{\partial V}P(\vecs{r} )\,\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S =-\iiint_{V}\vecs{ \nabla} P(\vecs{r} )\,\text{d}V\label{eq_buoyancy}\tag{4.2.1} \]

Наша наступна робота полягає в тому, щоб обчислити\(\vecs{ \nabla} P\text{.}\) Концентрат на нескінченно малому кубі рідини, краї якого паралельні осям координат. Назвіть довжини ребер\(\text{d}x\text{,}\)\(\text{d}y\)\(\text{d}z\) і положення центру куба\((x,y,z)\text{.}\). Сили, прикладені до різних граней куба тиском рідини поза кубом, проілюстровані на малюнку.

Сумарна сила, обумовлена тиском, що діє на куб, є сумою

\[\begin{align*} &-P\left(x+\frac{\text{d}x}{2},y,z\right)\,dy\text{d}z\,\hat{\pmb{\imath}} +P\left(x-\frac{\text{d}x}{2},y,z\right)\,dy\text{d}z\,\hat{\pmb{\imath}}\\ &-P\left(x,y+\frac{dy}{2},z\right)\,\text{d}x\text{d}z\,\hat{\pmb{\jmath}} +P\left(x,y-\frac{dy}{2},z\right)\,\text{d}x\text{d}z\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ &-P\left(x,y,z+\frac{\text{d}z}{2}\right)\,\text{d}xdy\,\hat{\mathbf{k}} +P\left(x,y,z-\frac{\text{d}z}{2}\right)\,\text{d}xdy\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

сил, що діють на шість граней. Розглянемо\(\hat{\pmb{\imath}}\) компонент і переписуємо його як

\[\begin{align*} &-P\left(x+\frac{\text{d}x}{2},y,z\right)\,dy\text{d}z\,\hat{\pmb{\imath}} +P\left(x-\frac{\text{d}x}{2},y,z\right)\,dy\text{d}z\,\hat{\pmb{\imath}}\\ &\hskip1in =-\frac{P(x+{\text{d}x\over2},y,z)-P(x-{\text{d}x\over2},y,z)}{\text{d}x}\,\hat{\pmb{\imath}}\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z\\ &\hskip1in = - \frac{\partial P}{\partial x}(x,y,z)\,\hat{\pmb{\imath}}\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z \end{align*}\]

Роблячи це і для інших компонентів, ми бачимо, що загальна сила через тиск, що діє на куб, становить

\[\begin{gather*} -\Big\{\frac{\partial P}{\partial x}(x,y,z)\,\hat{\pmb{\imath}} \!+\!\frac{\partial P}{\partial y}(x,y,z)\,\hat{\pmb{\jmath}} \!+\!\frac{\partial P}{\partial z}(x,y,z)\,\hat{\mathbf{k}} \Big\}\text{d}x \text{d}y \text{d}z =-\vecs{ \nabla} P(x,y,z)\, \text{d}x \text{d}y \text{d}z \end{gather*}\]

Будемо вважати, що єдиною іншою силою, що діє на куб, є гравітація і що рідина нерухома (або, принаймні, не прискорюється). Звідси сумарна сила, що діє на куб, дорівнює нулю. Якщо рідина має щільність,\(\rho f\text{,}\) то куб має масу,\(\rho f\, \text{d}x\text{d}y\text{d}z\) так що сила\(- g\rho f\, \text{d}x\text{d}y\text{d}z\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) тяжіння - Зникнення загальної сили тепер говорить нам, що

\[ -\vecs{ \nabla} P(\vecs{r} )\, \text{d}x \text{d}y \text{d}z - g\rho f\, \text{d}x \text{d}y \text{d}z\,\hat{\mathbf{k}}=0 \implies \vecs{ \nabla} P(\vecs{r} )= - g\rho f \,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Введення цього в (4.2.1) дає

\[ \textbf{B}= g\,\hat{\mathbf{k}}\iiint_{V}\rho f\,\text{d}V = gM_f\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

де\(M_f =\iiint_V \rho f\,\text{d}V\) - маса рідини, витісненої об'єктом, а не маса самого предмета. Таким чином, плавуча сила діє прямо вгору і має величину, рівну\(gM_f \text{,}\) якій також величина сили тяжіння, що діє на рідину, зміщену об'єктом. Іншими словами, це вага витісненої рідини. Це саме принцип Архімеда.

Далі розглянемо обертальний рух нашого зануреного об'єкта. Фізичний закон, що визначає обертальний рух твердого тіла навколо точки\(\vecs{r} _0\), аналогічний знайомому закону Ньютона,\(m\frac{d\vecs{v} }{\text{d}t}=\vecs{F} \text{,}\) який визначає поступальний рух об'єкта. Для обертального закону руху,

• маса\(m\) замінюється фізичною величиною, характерною для об'єкта, званої моментом інерції, і
• звичайна швидкість\(\vecs{v} \) замінюється кутовою швидкістю, яка представляє собою вектор, довжина якого - швидкість обертання (тобто кут, повернутий за одиницю часу) і напрямок якого паралельно осі обертання (зі знаком, визначеним правилом правої руки), і
• сила\(\vecs{F} \) замінюється вектором під назвою крутний момент близько\(\vecs{r} _0\text{.}\) А сила,\(\vecs{F} \) прикладена при\(\vecs{r} =(x,y,z)\) виробляє крутний момент ¹⁵\((\vecs{r} -\vecs{r} _0)\times\vecs{F} \) про\(\vecs{r} _0\text{.}\)

Це виведено в необов'язковому §4.2.4 під назвою «Крутний момент», і це все, що нам потрібно знати про обертальний рух жорстких тіл у цій дискусії.

Виправте будь-яку точку\(\vecs{r} _0\text{.}\) Загальний крутний момент,\(\vecs{r} _0\) що виробляється силою тиску, що діє на поверхню зануреного об'єкта, є

\[ \vecs{T} =\iint_{\partial V} (\vecs{r} -\vecs{r} _0)\times\big(-p(\vecs{r} )\hat{\textbf{n}}\big)\,\text{d}S =\iint_{\partial V} \hat{\textbf{n}}\times\big(P(\vecs{r} )\, (\vecs{r} -\vecs{r} _0)\big)\,\text{d}S \nonumber \]

Нагадаємо, що в цих інтегралах\(\vecs{r} =(x,y,z)\) є положення нескінченно малого шматка\(\text{d}S\) поверхні\(S\text{.}\) Застосовуючи варіант поперечного добутку теореми розбіжності в теоремі 4.2.9, за яким слідує теорема ідентичності вектора 4.1.5.c, дає

\[\begin{align*} \vecs{T} &=\iiint_V \vecs{ \nabla} \times\big(P(\vecs{r} )\,(\vecs{r} -\vecs{r} _0)\big)\,\text{d}V\\ &=\iiint_V \big\{\vecs{ \nabla} P(\vecs{r} )\times(\vecs{r} -\vecs{r} _0) +P(\vecs{r} )\underbrace{\vecs{ \nabla} \times(\vecs{r} -\vecs{r} _0)}_{=\vecs{0}}\big\}\,\text{d}V\cr &=\iiint_V \vecs{ \nabla} P(\vecs{r} )\times(\vecs{r} -\vecs{r} _0)\,\text{d}V \end{align*}\]

оскільки\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{r} _0=0\text{,}\) тому що\(\vecs{r} _0\) є постійною, і

\[ \vecs{ \nabla} \times\vecs{r} =\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}}&\hat{\pmb{\jmath}}&\hat{\mathbf{k}}\cr \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ x&y&z \end{matrix}\right] =0 \nonumber \]

Ми вже з'ясували,\(\vecs{ \nabla} P(\vecs{r} )=-g\rho f\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) що Заміна його в дає

\[\begin{align*} \vecs{T} &=-\iiint_V g\rho f\hat{\mathbf{k}}\times(\vecs{r} -\vecs{r} _0)\,\text{d}V\\ &=-g\hat{\mathbf{k}}\times\iiint_V \rho f (\vecs{r} -\vecs{r} _0)\,\text{d}V\\ &=-g\hat{\mathbf{k}}\times\bigg\{\iiint_V\! \vecs{r} \rho f\,\text{d}V -\vecs{r} _0\!\iiint_V\! \rho f\,\text{d}V\bigg\}\\ &=-g\bigg\{\iiint_V\! \rho f\,\text{d}V\bigg\}\hat{\mathbf{k}}\times \bigg\{ \frac{\iiint_V \vecs{r} \rho f\,\text{d}V}{\iiint_V\rho f\, \text{d}V}-\vecs{r} _0\bigg\}\\ &=-\textbf{B}\times\bigg\{\frac{\iiint_V \vecs{r} \rho f\,\text{d}V} {\iiint_V\rho f\,\text{d}V}-\vecs{r} _0\bigg\}\\ &=\bigg\{\frac{\iiint_V \vecs{r} \rho f\,\text{d}V} {\iiint_V\rho f\,\text{d}V}-\vecs{r} _0\bigg\}\times\textbf{B} \end{align*}\]

Отже, крутний момент, що генерується тиском\(\vecs{r} _0\) по всій поверхні, однаковий крутний момент, що генерується при $\ vecs {r} _0$ силою,\(\textbf{B}\) прикладеною в одній точці

\[ \textbf{C}_\textbf{B}=\frac{\iiint_V \vecs{r} \rho f\,\text{d}V}{\iiint_V\rho f\,\text{d}V} \nonumber \]

Цю точку називають центром плавучості. Це центр маси витісненої рідини.

Мораль вищевказаного обговорення полягає в тому, що плавуча сила,\(\textbf{B}\text{,}\) на жорсткому тілі

• діє прямо вгору,
• має величину, рівну вазі витісненої рідини і
• діє в центрі плавучості, який є центром маси витісненої рідини.

Як і вище, позначаючи\(\rho b\) щільністю об'єкта, крутний момент приблизно за\(\vecs{r} _0\) рахунок сили тяжіння, що діє на об'єкт, є

\[ \iiint_V (\vecs{r} -\vecs{r} _0)\times(-g\rho b\hat{\mathbf{k}})\,\text{d}V =\bigg\{\frac{\iiint_V \vecs{r} \rho b\,\text{d}V} {\iiint_V\rho b\,\text{d}V}-\vecs{r} _0\bigg\}\times \left(-g\bigg\{\iiint_V \rho b\,\text{d}V\bigg\}\ \hat{\mathbf{k}}\right) \nonumber \]

Так сила гравітації,\(\textbf{G}\text{,}\)

• діє прямо вниз,
• має величину, рівну вазі\(g M_b=g\iiint_V \vecs{r} \rho b\,\text{d}V\) (де\(\rho b\) щільність предмета) об'єкта і
• діє в центрі маси,\(\textbf{C}_\textbf{G}=\frac{\iiint_V \vecs{r} \rho b\,\text{d}V}{\iiint_V\rho b\,\text{d}V} \text{,}\) об'єкта.

Оскільки масовий розподіл об'єкта не повинен бути таким же, як масовий розподіл витісненої рідини, плавучість і гравітація можуть діяти в двох різних точках. Це експлуатується в конструкції саморегульованих човнів.

Ці човни будуються з важким, часто свинцевим (який дешевий і щільний), кілем. В результаті центр ваги в човні нижче, ніж центр плавучості, який, оскільки витіснена рідина має постійну щільність, знаходиться в геометричному центрі човна. Як показано на малюнку нижче, правильна сторона вгору конфігурація такого човна стабільна, тоді як перевернута конфігурація нестабільна. Човен обертається таким чином, щоб тримати центр ваги прямо нижче центру плавучості. Щоб побачити це зробити вигляд, що ви тримаєтесь за човен однією рукою, тримаючи центр плавучості, а іншою рукою, що тримає центр ваги. Використовуйте руки, щоб докласти сили в напрямках стрілок і подумайте, як буде реагувати човен.

Додатково - крутний момент

У цьому розділі ми виведемо властивості крутного моменту, які ми використовували в останньому розділі. Закон руху Ньютона говорить про те, що положення\(\vecs{r} (t)\) однієї частинки, що рухається під впливом сили,\(\vecs{F} \) підкоряється\(m\vecs{r} ''(t)=\vecs{F} \text{.}\) Аналогічно положення\(\vecs{r} _i(t)\text{,}\)\(1\le i\le n\text{,}\) набору частинок, що рухаються під впливом сил,\(\vecs{F} _i\) підкоряються\(m\vecs{r} _i''(t)=\vecs{F} _i\text{,}\)\(1\le i\le n\text{.}\) Дуже часто системам представляють інтерес складаються з деякого невеликого числа жорстких тіл. Припустимо, що нас цікавить рух єдиного жорсткого тіла, скажімо шматка дерева. Дерев'яний шматок складається з величезної кількості ¹⁶ атомів. Отже, система рівнянь, що визначають рух всіх окремих атомів у шматку дерева, величезна. З іншого боку, ми побачимо, що оскільки шматок дерева жорсткий, його конфігурація повністю визначається положенням, наприклад, його центру маси та його орієнтацією (ми не будемо вникати в те, що саме мається на увазі під «орієнтацією», але це, безумовно, визначається, наприклад, положеннями кілька кутів шматка дерева). Якщо бути точним, то витягнемо з величезної системи рівнянь, що визначають рух всіх окремих атомів, малу систему рівнянь, що визначають рух центру мас і орієнтацію. Ми зробимо це зараз.

Уявіть собі шматок дерева, що рухається\(\mathbb{R} ^3\text{.}\)

Крім того, уявіть, що шматок дерева складається з величезної кількості частинок, з'єднаних величезною кількістю невагомих, але дуже міцних ¹⁷ сталевих прутів. Сталевий стрижень, що з'єднує частку номер один до частинки номер два, просто являє собою силу, що діє між частинками номер один і два. Припустимо, що

• є\(n\) частинки, з числом частинок,\(i\) що мають масу\(m_i\text{,}\)
• в той час число\(t\text{,}\) частинок\(i\) має позицію\(\vecs{r} _i(t)\text{,}\)
• в\(t\text{,}\) той час зовнішня сила (гравітація тощо), що діє на кількість частинок\(i\), є\(\vecs{F} _i(t)\text{,}\) і
• в\(t\text{,}\) той час сила, що діє на число частинок\(i\text{,}\) через сталевий стрижень, що з'єднує число частинок\(i\) до числа частинок,\(j\) є\(\vecs{F} _{i,j}(t)\text{.}\) Якщо немає сталевого стрижня, що з'єднує число частинок\(i\) і\(j\text{,}\) просто встановлений\(\vecs{F} _{i,j}(t)=0\text{.}\) Зокрема,\(\vecs{F} _{i,i}(t)=0\text{.}\)

Єдині припущення, які ми зробимо про сили сталевого стрижня, це

(А1)

для кожного\(i\ne j\text{,}\)\(\vecs{F} _{i,j}(t)=-\vecs{F} _{j,i}(t)\text{.}\) В словах сталевий стрижень, що з'єднує частинки\(i\) і\(j\) прикладає рівні і протилежні сили до частинок\(i\) і\(j\text{.}\)

(А2)

для кожного\(i\ne j\text{,}\) існує\(M_{i,j}(t)\) така функція, що\(\vecs{F} _{i,j}(t)=M_{i,j}(t)\big[\vecs{r} _i(t)-\vecs{r} _j(t)\big]\text{.}\) В словах сила, обумовлена стрижнем, що з'єднує частинки\(i\) і\(j\) діє паралельно лінії, що з'єднує частинки\(i\) і\(j\text{.}\) For (A1), щоб бути правдою, тобто мати\(M_{i,j}(t)\big[\vecs{r} _i(t)-\vecs{r} _j(t)\big] =-M_{j,i}(t)\big[\vecs{r} _j(t)-\vecs{r} _i(t)\big]\text{,}\) нам потрібно\(M_{i,j}(t)=M_{j,i}(t)\text{.}\)

Закон руху Ньютона, застосований до числа частинок,\(i\text{,}\) тепер говорить нам, що

\[ m_i \vecs{r} ''_i(t) = \vecs{F} _i(t)+\sum_{j=1}^n \vecs{F} _{i,j}(t) \tag{$N_i$} \nonumber \]

Складання всіх рівнянь (\(N_i\)), для\(i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n\) gives

\[ \sum_{i=1}^n m_i \vecs{r} ''_i(t) = \sum_{i=1}^n \vecs{F} _i(t)+\sum_{1\le i,j\le n} \vecs{F} _{i,j}(t) \tag{$\Sigma N_i$} \nonumber \]

Сума\(\sum\limits_{1\le i,j\le n} \vecs{F} _{i,j}(t)\) містить\(\vecs{F} _{1,2}(t)\) рівно один раз, і вона також містить\(\vecs{F} _{2,1}(t)\) рівно один раз, і ці два терміни скасовуються точно, за припущенням (A1). Таким чином, всі терміни\(\sum\limits_{1\le i,j\le n} \vecs{F} _{i,j}(t)\) з\(i\ne j\) точно скасувати. Всі терміни з\(i=j\) приймаються рівними нулю. Отже,\(\sum\limits_{1\le i,j\le n} \vecs{F} _{i,j}(t)=0\) і рівняння (\(\Sigma N_i\)) спрощує

\[ \sum_{i=1}^n m_i \vecs{r} ''_i(t) = \sum_{i=1}^n \vecs{F} _i(t) \tag{$ \Sigma N_i $} \nonumber \]

Фу! \(M=\sum\limits_{i=1}^n m_i\)Позначають загальною масою тіла, центром маси ¹⁸ тіла і загальною зовнішньою силою, що діє на систему.\(\textbf{R}(t)=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^n m_i\vecs{r} _i(t)\)\(\vecs{F} (t)=\sum\limits_{i=1}^n \vecs{F} _i(t)\) У цьому позначенні рівняння (\(\Sigma N_i\)) можна записати як

Рівняння 4.2.10

\[ M\textbf{R}''(t)=\vecs{F} (t) \nonumber \]

Підсумок полягає в тому, що центр маси системи рухається так само, як одна частинка маси,\(M\) підпорядкована загальній зовнішній силі. Ось чому ми часто можемо замінити розширений об'єкт точковою масою в центрі маси.

Тепер візьміть перехресний добуток\(\vecs{r} _i(t)\) і рівняння (\(N_i\)) і суму над\(i\text{.}\) This дає

\[\begin{align*} &\sum_{i=1}^n m_i\ \vecs{r} _i(t)\times\vecs{r} ''_i(t)\\ &\hskip0.5in= \sum_{i=1}^n \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _i(t) +\sum_{1\le i,j\le n} \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _{i,j}(t) \tag{$\Sigma \vecs{r} _i\times N_i$} \end{align*}\]

За припущенням (А2)

\ begin {align*}\ vecs {r} _1 (t)\ раз\ vecs {F} _ {1,2} (t) &=M_ {1,2} (t)\\ vecs {r} _1 (t)\ раз\ великий [\ vecs {r} _1 (t) -\ vecs {r} _2 (t)\ великий]\\ vecs {r}} _2 (t)\ час\ векс {F} _ {2,1} (t) &=М_ {2,1} (t)\\ vecs {r} _2 (t)\ раз\ великий [\ vecs {r} _2 (t) -\ vecs {r} _1 (t)\ великий]\\ &=-M_ {1,2} (t)\\ vecs {r} _2 (t)\ раз\ великий [\ vecs {r} _1 (t) -\ векс {r} _2 (t)\ великий]\\ кінець {align*}

так що

\ begin {align*}\ vecs {r} _1 (t)\ раз\ vecs {F} _ {1,2} (t) +\ vecs {r} _2 (t)\ раз\ vecs {F} _ {2,1} (t) &=M_ {1,2} (t)\\ великий [\ vecs {r} _1 (t) -\ vecs {r} _2 (t)\ великий]\ раз\ великий [\ vecs {r} _1 (t) -\ vecs {r} _2 (t)\ великий] =0\ кінець {align*}

тому що перехресний добуток будь-яких двох паралельних векторів дорівнює нулю.

Останнє рівняння говорить про те, що\(i=1\text{,}\)\(j=2\) термін в\(\sum\limits_{1\le i,j\le n} \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _{i,j}(t)\) точно скасовує\(i=2\text{,}\)\(j=1\) термін. Таким чином, всі терміни в\(\sum\limits_{1\le i,j\le n} \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _{i,j}(t)\) з\(i\ne j\) скасуванням. Кожен термін з\(i=j\) дорівнює рівному нулю,\(\vecs{F} _{ii}=0\text{.}\) тому що\(\sum\limits_{1\le i,j\le n} \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _{i,j}(t)=0\) So and (\(\Sigma \vecs{r} _i\times N_i\)) спрощує

\[ \sum_{i=1}^n m_i\ \vecs{r} _i(t)\times\vecs{r} ''_i(t) = \sum_{i=1}^n \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _i(t) \tag{$\Sigma \vecs{r} _i\times N_i$} \nonumber \]

На цьому етапі має сенс визначити вектори.

\[\begin{align*} \textbf{L}(t)&= \sum_{i=1}^n m_i\ \vecs{r} _i(t)\times\vecs{r} '_i(t)\\ \vecs{T} (t)&=\sum_{i=1}^n \vecs{r} _i(t)\times\vecs{F} _i(t) \end{align*}\]

тому що, в цьому позначенні, (\(\Sigma \vecs{r} _i\times N_i\)) стає

Рівняння 4.2.11

\[ \dfrac{d }{dt}\textbf{L}(t)=\vecs{T} (t) \nonumber \]

Рівняння 4.2.11 грає роль закону Ньютона руху для обертального руху. \(\vecs{T} (t)\)називається крутним моментом і грає роль «обертальної сили». \(\textbf{L}(t)\)називається кутовим імпульсом (про походження) і є мірою швидкості, з якою обертається шматок дерева. Наприклад, якщо частинка маси\(m\) рухається по колу радіуса\(\rho\) в\(xy\) -площині в\(\omega\) радіанах за одиницю часу, то\(\vecs{r} (t)=\rho\cos(\omega t)\hat{\pmb{\imath}}+\rho\sin(\omega t)\hat{\pmb{\jmath}}\) і

\[\begin{align*} m\vecs{r} (t)\times\vecs{r} '(t) &= m \big[\rho\cos(\omega t)\hat{\pmb{\imath}}+\rho\sin(\omega t)\hat{\pmb{\jmath}}\big] \times\big[-\omega\rho\sin(\omega t)\hat{\pmb{\imath}}+\omega\rho\cos(\omega t)\hat{\pmb{\jmath}}\big]\\ &=m \rho^2\ \omega\ \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

пропорційна\(\omega\text{,}\) якій швидкість обертання навколо початку і знаходиться в напрямку,\(\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) який є нормальним до площини, що містить коло.

У будь-якому випадку, для того щоб шматок дерева залишався нерухомим, рівняння 4.2.10 і 4.2.11 сили\(\vecs{F} (t)=\vecs{T} (t)=0\text{.}\)

Тепер припустимо, що шматок дерева - це ^{гойдалка 19}, яка спирається на точку опори при\(\textbf{p}\text{.}\) Сили складаються з сили тяжіння, що\(-m_ig\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) діють на число частинок\(i\text{,}\) для кожного\(1\le i\le n\text{,}\) і

сила,\(\boldsymbol{\Phi}\) накладена точкою опори, яка штовхає на частинку в\(\textbf{p}\text{.}\) Загальна зовнішня сила є\(\vecs{F} =\boldsymbol{\Phi}-\sum\limits_{i=1}^n m_ig\hat{\mathbf{k}} =\boldsymbol{\Phi}-Mg\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Якщо гойдалки повинні залишатися нерухомими, це повинно бути нулем, щоб\(\boldsymbol{\Phi}=Mg\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

Загальний крутний момент (про походження) дорівнює

\[ \vecs{T} =\textbf{p}\times\boldsymbol{\Phi}-\sum_{i=1}^n m_ig \vecs{r} _i\times\hat{\mathbf{k}} =g\Big(M\textbf{p}-\sum_{i=1}^n m_i \vecs{r} _i\Big)\times\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Якщо гойдалки повинні залишатися нерухомими, це також повинно дорівнювати нулю. Це буде в тому випадку, якщо точка опори розміщена на

\[ \textbf{p}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^n m_i \vecs{r} _i \nonumber \]

який є лише центром маси шматка дерева.

Більш загально, припустимо, що зовнішні сили, що\(\vecs{F} _i\text{,}\) діють на шматок дерева, складаються з дії на число частинок\(i\text{,}\) для кожного\(1\le i\le n\text{,}\) і «опорної сили», що\(\boldsymbol{\Phi}\) діє на частинку при\(\textbf{p}\text{.}\) Загальна зовнішня сила є\(\vecs{F} =\boldsymbol{\Phi}+\sum\limits_{i=1}^n \vecs{F} _i\text{.}\) Якщо шматок дерева повинен залишатися нерухомим, це повинно дорівнювати нулю,\(\boldsymbol{\Phi}=-\sum\limits_{i=1}^n \vecs{F} _i\text{.}\) щоб загальний крутний момент (про початок) дорівнював

\[ \vecs{T} =\textbf{p}\times\boldsymbol{\Phi}+\sum_{i=1}^n \vecs{r} _i\times\vecs{F} _i =\sum_{i=1}^n (\vecs{r} _i-\textbf{p})\times\vecs{F} _i \nonumber \]

Якщо шматок дерева повинен залишатися нерухомим, це також повинно дорівнювати нулю. Тобто крутний момент близько точки\(\textbf{p}\) за рахунок всіх сил\(\vecs{F} _i\text{,}\)\(1\le i\le n\text{,}\) повинен дорівнювати нулю.

Додатково - Розв'язування рівняння Пуассона

У цьому розділі ми використаємо теорему розбіжності, щоб знайти формулу розв'язку рівняння Пуассона.

\[ \vecs{ \nabla} ^2\varphi = 4\pi\rho \nonumber \]

\(\rho=\rho(\vecs{r} )\)Ось задана (безперервна) функція і\(\varphi\) є невідомою функцією, яку ми хочемо знайти. Це рівняння виникає, наприклад, в електростатиці, де\(\rho\) - щільність заряду і\(\varphi\) електричний потенціал.

Головним кроком у пошуку цієї формули рішення буде розгляд

• довільна (плавна) функція\(\varphi\) і
• довільна (гладка) область\(V\) в\(\mathbb{R} ^3\) і
• довільна точка\(\vecs{r} _0\) в інтер'єрі\(V\)

і знайти допоміжну формулу, яка\(\varphi(\vecs{r} _0)\) виражається в терміні

• \(\vecs{ \nabla} ^2\varphi(\vecs{r} )\text{,}\)з\(\vecs{r} \) перебігом\(V\) і
• \(\vecs{ \nabla} \varphi(\vecs{r} )\)і\(\varphi(\vecs{r} )\text{,}\) з\(\vecs{r} \) бігом тільки над\(\partial V\text{.}\)

Ця допоміжна формула, яку ми виведемо нижче, є

\[\begin{align*} \varphi(\vecs{r} _0)&=-\frac{1}{4\pi}\bigg\{ \iiint_V\frac{ \vecs{ \nabla} ^2\varphi(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\ d^3\vecs{r} -\iint_{\partial V}\varphi(\vecs{r} )\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^3}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\\ &\hskip1in-\iint_{\partial V}\frac{\vecs{ \nabla} \varphi(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\bigg\} \tag{$V$} \end{align*}\]

Коли ми беремо межу, як\(V\) розширюється, щоб заповнити всі\(\mathbb{R}^3\) потім, припускаючи, що\(\varphi\) і\(\vecs{ \nabla} \varphi\) йти до нуля досить швидко, ²⁰ при\(\infty\text{,}\) двох інтегралах більше\(\partial V\) зійдеться до нуля, і ми закінчимо з формулою

\[ \varphi(\vecs{r} _0)=-\frac{1}{4\pi} \iiint_{\mathbb{R}  ^3}\frac{ \vecs{ \nabla} ^2\varphi(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\ d^3\vecs{r} \nonumber \]

Це виражає\(\varphi\) оцінюється\(\mathbb{R}  ^3\) в довільній точці,\(\vecs{r} _0\text{,}\) з точки зору\(\vecs{ \nabla} ^2\varphi(\vecs{r} )\text{,}\) з\(\vecs{r} \) бігом над\(\mathbb{R}  ^3\text{,}\) який саме те, що ми хочемо, так як\(\vecs{ \nabla} ^2\varphi = 4\pi\rho\) для будь-якого рішення рівняння Пуассона. Отже, як тільки ми довели (V), ми довели ²¹

Теорема 4.2.12

Припустимо, що\(\rho(\vecs{r} )\) це безперервно і розпадається досить швидко, як\(\vecs{r} \rightarrow\infty\text{.}\) Якщо\(\varphi\) підкоряється\(\vecs{ \nabla} ^2\varphi = 4\pi\rho\)\(\mathbb{R}^3\text{,}\)\(\varphi\) і\(\vecs{ \nabla} \varphi\) розпадається досить швидко, як\(\vecs{r} \rightarrow\infty\text{,}\) тоді

\[ \varphi(\vecs{r} _0)= -\iiint_{\mathbb{R}^3}\frac{ \rho(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\ d^3\vecs{r} \nonumber \]

для всіх\(\vecs{r} _0\) в\(\mathbb{R}^3\text{.}\)

Нехай

\[\begin{align*} \vecs{r} (x,y,z)&=x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\\ \vecs{r} _0&=x_0\,\hat{\pmb{\imath}}+y_0\,\hat{\pmb{\jmath}}+z_0\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

Ми будемо використовувати три властивості функції\(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\text{.}\) Перші дві властивості:

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} &=-\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^3}\tag{P1}\\ \vecs{ \nabla} ^2 \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} &=-\vecs{ \nabla} \cdot\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^3} =0 \tag{P2} \end{align*}\]

і дійсні для всіх\(\vecs{r} \ne \vecs{r} _0\text{.}\) Перевірка першого властивості є простим обчисленням одного рядка. Перевірка другого властивості є простим трьохрядковим обчисленням. (Див. Рішення питання 6 в розділі 4.1.)

Інша властивість\(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\), яку ми будемо використовувати, полягає в наступному. \(S_\varepsilon\)Дозволяти бути сфера радіуса по\(\varepsilon\) центру\(\vecs{r} _0\text{.}\) Тоді, для будь-якої безперервної функції\(\psi(\vecs{r} )\text{,}\)

\[\begin{align*} \lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}\iint_{S_\varepsilon} \frac{\psi(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^p}\ \text{d}S &=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \frac{1}{\varepsilon^p} \iint_{S_\varepsilon} \psi(\vecs{r} )\ \text{d}S =\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}\frac{\psi(\vecs{r} _0)}{\varepsilon^p} \iint_{S_\varepsilon}\ \text{d}S\\ &=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}\frac{\psi(\vecs{r} _0)}{\varepsilon^p}4\pi\varepsilon^2 \notag\\ &=\begin{cases}4\pi\psi(\vecs{r} _0)& \text{if } p=2 \\ 0 & \text{if } p \lt 2\\ \text{undefined} & \text{if } p \gt 2 \end{cases} \tag{P3} \end{align*}\]

Виведення (V):

Ось виведення (\(V\)). \(V_\varepsilon\)Дозволяти бути частиною\(V\) поза\(S_\varepsilon\text{.}\)

Зауважте, що межа\(\partial V_\varepsilon\)\(V_\varepsilon\) складається з двох частин - межі\(\partial V\) і сфери\(S_\varepsilon\) -\(V\) і що одиниця зовнішньої нормалі до далі\(S_\varepsilon\) є\(-\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\text{,}\) тому, що вона вказує\(\partial V_\varepsilon\) на\(\vecs{r} _0\) і, отже, за межами\(V_\varepsilon\text{.}\)

Нагадаємо теорему векторної ідентичності 4.1.7.d, в якій йдеться

\[ \vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{ \nabla} g-g\vecs{ \nabla} f)=f\,\vecs{ \nabla} ^2g-g\,\vecs{ \nabla} ^2f \nonumber \]

Застосування цієї ідентичності з\(f= \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\) і\(g=\varphi\) дає

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\Big(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\vecs{ \nabla} \varphi -\varphi\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big) &=\frac{\vecs{ \nabla} ^2\varphi}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} -\varphi\,\overbrace{ \vecs{ \nabla} ^2\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} }^{=0\text{ by (P2)}}\\ &=\frac{\vecs{ \nabla} ^2\varphi}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} \end{align*}\]

який є цілим числом першого інтеграла на правій стороні (V). Отже, за теоремою розбіжності

\[\begin{align*} &\iiint_{V_\varepsilon} \frac{\vecs{ \nabla} ^2\varphi}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} dV =\iiint_{V_\varepsilon}\vecs{ \nabla} \cdot\Big(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\vecs{ \nabla} \varphi -\varphi\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big) dV\\ &\hskip0.25in=\iint_{\partial V}\Big(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\vecs{ \nabla} \varphi -\varphi\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big)\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\\ &\hskip1.0in+\iint_{S_\varepsilon}\Big(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\vecs{ \nabla} \varphi -\varphi\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big)\cdot \Big(-\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big) \text{d}S \tag{M} \end{align*}\]

Щоб побачити зв'язок між (M) та рештою (V), зверніть увагу, що,

• по (P1), перший член з правого боку (М) дорівнює

  \[\begin{align*} &\iint_{\partial V}\Big(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\vecs{ \nabla} \varphi -\varphi\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big)\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\\ &\hskip0.5in=\iint_{\partial V}\frac{\vecs{ \nabla} \varphi(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S +\iint_{\partial V}\varphi(\vecs{r} )\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^3}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S \tag{R1} \end{align*}\]

  що\(4\pi\) разів другий і третій терміни на правій стороні (V),
• і підставляючи в\(\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} =-\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^3}\text{,}\) з (P1), і застосування (P3) з\(p=2\text{,}\) межею другого члена на правій стороні (M) є

  \[\begin{align*} &\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \iint_{S_\varepsilon}\Big(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\vecs{ \nabla} \varphi -\varphi\vecs{ \nabla} \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big)\cdot \Big(-\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\Big) \text{d}S\\ &\hskip1in=-\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \iint_{B_\varepsilon}\big[\vecs{ \nabla} \varphi\cdot(\vecs{r} -\vecs{r} _0)+\varphi\big] \frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^2} \text{d}S\\ &\hskip1in=-4\pi\Big[\vecs{ \nabla} \varphi\cdot(\vecs{r} -\vecs{r} _0)+\varphi\Big]_{\vecs{r} =\vecs{r} _0}\\ &\hskip1in=-4\pi\varphi(\vecs{r} _0) \tag{R2} \end{align*}\]

Таким чином, застосування ²²\(\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}\) до (М) і заміщення в (R1) і (R2) дає

\[\begin{gather*} \iiint_{V}\frac{\vecs{ \nabla} ^2\varphi}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\ dV =\iint_{\partial V}\frac{\vecs{ \nabla} \varphi(\vecs{r} )}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S +\iint_{\partial V}\varphi(\vecs{r} )\frac{\vecs{r} -\vecs{r} _0}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^3}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S -4\pi\varphi(\vecs{r} _0) \end{gather*}\]

який є рівнянням (V).

вправи

Етап 1

1

Нехай\(V\) буде куб

\[\begin{gather*} V=\left \{(x,y,z)|0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1\right \} \end{gather*}\]

і\(R\) бути квадратом

\[\begin{gather*} R=\left \{(x,y)|0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\right \} \end{gather*}\]

і нехай\(f(x,y,z)\) мають безперервні перші часткові похідні.

1. Використовуйте фундаментальну теорему числення, щоб показати, що

   \[\begin{gather*} \iiint_V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\,\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z =\iint_R\! f(x,y,1)\,\text{d}x\,\text{d}y -\! \iint_R\! f(x,y,0)\,\text{d}x\,\text{d}y \end{gather*}\]

2. Використовуйте теорему про дивергенцію, щоб показати, що

   \[\begin{gather*} \iiint_V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\,\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z =\iint_R\! f(x,y,1)\,\text{d}x\,\text{d}y -\! \iint_R\! f(x,y,0)\,\text{d}x\,\text{d}y \end{gather*}\]

2

1. Застосовуючи теорему розбіжності,\(\vecs{F} =\phi\,\textbf{a}\text{,}\) де\(\textbf{a}\) є довільним постійним вектором, показати, що

   \[ \iiint_V \vecs{ \nabla} \phi\,\text{d}V=\iint_{\partial V}\phi\,\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

2. Показати, що центроїд\((\bar x,\bar y,\bar z)\) твердого тіла\(V\) з об'ємом\(|V|\) задається

   \[ (\bar x,\bar y,\bar z)=\frac{1}{2|V|}\iint_{\partial V} (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

Етап 2

3

\(S\)Дозволяти одиниці сфери з центром на початку і орієнтовані назовні, що вказує нормаль. Якщо

\[ \vecs{F} (x,y,z)=\big(x,y,z^2\big) \nonumber \]

оцінити потік\(\vecs{F} \) наскрізних\(S\)

1. безпосередньо і
2. застосовуючи теорему про дивергенцію.

4

Оцініть двома методами інтеграл,\(\iint_S\vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\) де поверхня\(x^2+y^2+z^2=a^2\) і\(\vecs{F} =z\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\)\(S\)\(\hat{\textbf{n}}\) є зовнішньою одиницею, що вказує, нормальна до\(S\text{.}\)

1. По-перше, шляхом безпосереднього обчислення поверхневого інтеграла.
2. По-друге, за допомогою теореми розбіжності.

5

Нехай

• \(\ \vecs{F} =zy^3\,\hat{\pmb{\imath}}+yx\, \hat{\pmb{\jmath}}+(2z+y^2)\hat{\mathbf{k}}\ \)і
• \(V\)бути твердим тілом у 3-просторі, визначеному

  \[ 0\le z\le \frac{9-x^2-y^2}{9+x^2+y^2} \nonumber \]

  і
• \(D\)бути нижньою поверхнею\(V\text{.}\) Тому що\(\frac{9-x^2-y^2}{9+x^2+y^2}\) є позитивним для\(x^2+y^2 \lt 9\) і негативним для\(x^2+y^2 \gt 9\text{,}\) нижньої поверхні є\(z=0\text{,}\)\(x^2+y^2\le 9\text{.}\)
• \(S\)Дозволяти бути вигнута частина межі\(V\text{.}\) It is\(z={9-x^2-y^2\over 9+x^2+y^2}\text{,}\)\(x^2+y^2\le 9\text{.}\) Ось ескіз першої октантної частини\(S\) і\(D\text{.}\)

Позначимо\(|V|\) за обсягом\(V\) і обчислюємо, в терміні\(|V|\text{,}\)

1. \(\displaystyle \iint_{D}\vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\)з\(\hat{\textbf{n}}\) вказівкою вниз
2. \(\displaystyle \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot F\,\text{d}V\)
3. \(\displaystyle \iint_S\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\)з\(\hat{\textbf{n}}\) вказівкою назовні

Використовуйте теорему про дивергенцію, щоб відповісти принаймні на одну з частин (a), (b) та (c).

6

Оцініть інтеграл\(\iint_S\vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\), де\(\vecs{F} =(x,y,1)\) і\(S\) є\(x^2+y^2\le 1\text{,}\) поверхнею\(z=1-x^2-y^2\text{,}\) для двох методів.

1. По-перше, шляхом безпосереднього обчислення поверхневого інтеграла.
2. По-друге, за допомогою теореми розбіжності.

7 ✳

1. Знайти розбіжність векторного поля\(\vecs{F} = (z + \sin y, zy, \sin x \cos y)\text{.}\)
2. Знайти потік\(\vecs{F} \) векторного поля (a) через сферу радіуса,\(3\) зосереджену на початку координат в\(\mathbb{R}^3\).

8

Сторони зернового силосу описуються частиною циліндра\(x^2 + y^2 = 1\) з\(0 \le z\le 1\text{.}\) верхньою частиною силосу задається частиною сфери,\(x^2+ y^2+ z^2 = 2\) що лежить всередині циліндра і вище\(xy\) -площині. Знайти потік векторного поля

\[ \textbf{V}(x,y,z) = (x^2yz\,,\, yz+e^xz\,,\, x^2+y ) \nonumber \]

з силосу.

9

\(B\)Дозволяти куля об'єму по\(V\) центру в точці\((x_0, y_0, z_0)\text{,}\) і нехай\(S\) буде сфера, яка є межею\(B\text{.}\) Знайти потік\(\vecs{F} = x^2\hat{\pmb{\imath}} + xy\hat{\pmb{\jmath}}+(3 z - yz)\hat{\mathbf{k}}\) назовні (від\(B\)) через\(S\text{.}\)

10 ✳

Нехай

\[ \vecs{F} (x, y, z) = \big( 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\, 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\,1\big) \nonumber \]

Нехай\(S\) буде частина поверхні

\[ x^2 + y^2 = 1 - z^4 \nonumber \]

який знаходиться над\(xy\) -площиною. Що таке потік\(\vecs{F} \) вниз через\(S\text{?}\)

11 ✳

Використовуйте теорему розбіжності, щоб знайти потік\(x\hat{\pmb{\imath}}+y\hat{\pmb{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}}\) через частину еліпсоїда

\[ x^2+y^2+2z^2=2 \nonumber \]

з\(z\ge 0\text{.}\) [Примітка: еліпсоїд\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) має об'єм\(\frac{4}{3}\pi abc\text{.}\)]

12 ✳

Нехай\(\vecs{F} (x,y,z) = \vecs{r} /r^3\) де\(\vecs{r} = x\,\hat{\pmb{\imath}} + y\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}}\) і\(r = |\vecs{r} |\text{.}\)

1. Знайти\(\vecs{ \nabla} \cdot \vecs{F} \text{.}\)
2. Знайти потік\(\vecs{F} \) назовні через сферичну поверхню\(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\text{.}\)
3. Чи суперечать результати (а) і (b) теоремі про дивергенцію? Поясніть свою відповідь.
4. \(E\)Дозволяти бути тверда область, обмежена поверхнями\(z^2 - x^2 - y^2 + 1 = 0\text{,}\)\(z = 1\) і\(z = -1\text{.}\)\(\sigma\) Дозволяти бути обмежуючою поверхнею\(E\text{.}\) Визначити потік\(\vecs{F} \) назовні через\(\sigma\text{.}\)
5. \(R\)Дозволяти бути тверда область, обмежена поверхнями\(z^2 - x^2 - y^2 + 4y - 3 = 0\text{,}\)\(z = 1\) і\(z = - 1\text{.}\)\(\Sigma\) Дозволяти бути обмежуючою поверхнею\(R\text{.}\) Визначити потік\(\vecs{F} \) назовні через\(\Sigma\text{.}\)

13 ✳

Розглянемо еліпсоїд,\(S\) заданий

\[ x^2 + \frac{y^2}{4} +\frac{z^2}{4} = 1 \nonumber \]

з одиницею нормальної спрямованості назовні.

1. Параметризувати\(S\text{.}\)
2. Обчислити потік\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S\) векторного поля

   \[ \vecs{F} (x,y,z) = (x, y, z) \nonumber \]

3. Перевірте свою відповідь у (b), використовуючи теорему розбіжності.

14 ✳

Оцініть інтеграл потоку\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S\text{,}\), де

\[ \vecs{F} (x,y,z) = \big(x^3 + \cos(y^2)\,,\, y^3 + ze^x\,,\, z^2 + \arctan(xy)\big) \nonumber \]

і\(S\) це поверхня твердої області обмежена циліндром\(x^2 + y^2 = 2\) і площинами\(z = 0\) і\(z = 2x + 3\text{.}\) Поверхня позитивно орієнтована (її одиниця нормальних точок назовні).

15 ✳

Знайдіть потік векторного поля\((x + y, x + z, y + z)\) через циліндричну поверхню, рівняння якої є\(x^2 + z^2 = 4\text{,}\) і яка поширюється від\(y = 0\) до\(y = 3\text{.}\) (Включається тільки криволінійна частина циліндра, а не два диска, що обмежують його зліва і справа.) Орієнтація поверхні назовні, тобто спрямована в сторону від\(y\) -осі.

16 ✳

Поверхня\(S\) - це частина над\(xy\) -площиною поверхні, отриманої обертанням графіка\(z = 1 - x^4\) навколо\(z\) -осі. Поверхня\(S\) орієнтована так, що вектор нормалі має позитивну\(z\) -складову. Коло з радіусом\(1\) і центром на початку в\(xy\) -площині є межею\(S\text{.}\)

Знайти потік безрозбіжного векторного поля\(\vecs{F} (x, y, z) = (yz, x + z, x^2 + y^2)\) через\(S\text{.}\)

17 ✳

\(S\)Дозволяти частина параболоїда,\(z = 2 - x^2 - y^2\) що міститься в конусі\(z = \sqrt{x^2+y^2}\) і орієнтована в напрямку вгору. Нехай

\[ \vecs{F} = (\tan \sqrt{z} + \sin(y^3))\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-x^2}\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Оцініть інтеграл потоку\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{.}\)

18 ✳

Оцініть інтеграл поверхні

\[ \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

де\(\vecs{F} (x, y, z) = \big(\cos z + xy^2\,,\, xe^{-z}\,,\, \sin y + x^2 z\big)\) і\(S\) - межа твердої області, укладеної параболоїдом\(z = x^2 + y^2\) і площиною\(z = 4\text{,}\) з назовні спрямованою нормаллю.

19 ✳

\(S\)Дозволяти бути частиною сфери\(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) між площинами\(z = 1\) і\(z = 0\) орієнтована далеко від початку. Нехай

\[\begin{gather*} \vecs{F} = (e^y + xz)\,\hat{\pmb{\imath}} + (zy + \sin(x))\,\hat{\pmb{\jmath}} + (z^2 - 1)\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]

Обчислити інтеграл потоку

\[\begin{gather*} \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S. \end{gather*}\]

20 ✳

\(B\)Дозволяти тверда область, що лежить між площинами\(x=-1\text{,}\)\(x=1\text{,}\)\(y=0\text{,}\)\(y=2\) і обмежена нижче площиною\(z=0\) і вище\(z+y=3\text{.}\) площиною\(S\) Дозволяти бути поверхнею\(B\text{.}\) Знайти потік векторного поля

\[ \vecs{F} (x,y,z) = \big(x^2 z +\cos \pi y\big)\,\hat{\pmb{\imath}} +\big(yz +\sin \pi z\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} +(x-y^2)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

21 ✳

\(S\)Дозволяти бути півсфера\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\text{,}\)\(z\ge 0\text{,}\) орієнтована з\(\hat{\textbf{n}}\) вказуючи подалі від початку. Оцініть інтеграл потоку

\[ \iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S \nonumber \]

де

\[ \vecs{F} = \big(x + \cos(z^2)\big)\,\hat{\pmb{\imath}} + \big(y + \ln(x^2 + z^5)\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \sqrt{x^2 + y^2}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

22 ✳

\(E\)Дозволяти бути твердої області між\(z = 4\) площиною і параболоїдом\(z = x^2 + y^2\text{.}\) Нехай

\[ \vecs{F} = \Big(-\frac{1}{3}x^3 + e^{z^2}\Big)\hat{\pmb{\imath}} + \Big(-\frac{1}{3}y^3 + x\tan z\Big)\hat{\pmb{\jmath}} + 4z\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

1. Обчислити потік\(\vecs{F} \) назовні через межу\(E\text{.}\)
2. \(S\)Дозволяти бути частиною параболоїда, що\(z = x^2 + y^2\) лежить нижче\(z = 4\) площини, орієнтованої так, що\(\hat{\textbf{n}}\) має позитивну\(\hat{\mathbf{k}}\) складову. Обчислити потік\(\vecs{F} \) наскрізних\(S\text{.}\)

23 ✳

Розглянемо векторне поле

\[ \vecs{F} (x,y,z) = \frac{x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}} {[x^2 + y^2 + z^2\big]^{3/2}} \nonumber \]

1. Обчислити\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \text{.}\)
2. Нехай\(S_1\) буде сфера, дана

   \[ x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 9 \nonumber \]

   орієнтовані назовні. Обчислити\(\displaystyle \iint_{S_1} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{.}\)
3. Нехай\(S_2\) буде сфера, дана

   \[ x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 1 \nonumber \]

   орієнтовані назовні. Обчислити\(\displaystyle \iint_{S_2} \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{.}\)
4. Ваші відповіді на (b) і (c) однакові чи різні? Дайте математичне пояснення вашої відповіді.

24 ✳

\(\vecs{F} \)Дозволяти векторне поле, визначене

\[ \vecs{F} (x,y, z) = \big(y^3 z + 2x\big)\,\hat{\pmb{\imath}} +\big(3y - e^{\sin z}\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \big(e^{x^2+y^2}+ z\big)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Обчисліть інтеграл потоку,\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) де\(S\) гранична поверхня твердої області

\[ E\ :\ 0 \le x \le 2,\quad 0 \le y \le 2,\quad 0 \le z \le 2+ y \nonumber \]

з зовнішнім нормальним.

25 ✳

Розглянемо векторне поле

\[ \vecs{F} (x, y, z) = \big(z \arctan(y^2)\,,\, z^3 \ln(x^2 + 1)\,,\, 3z\big) \nonumber \]

Нехай поверхня\(S\) буде тією частиною сфери\(x^2 + y^2 + z^2 = 4\), яка лежить над площиною\(z = 1\) і орієнтована вниз.

1. Знайдіть розбіжність\(\vecs{F} \text{.}\)
2. Обчислити інтеграл потоку\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{.}\)

26 ✳

Нехай\(S\) буде сфера,\(x^2+y^2+z^2=3\) орієнтована всередину. Обчислити інтеграл потоку

\[ \iint_S\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

де

\[ \vecs{F} = \big(xy^2 + y^4z^6\,,\, yz^2+x^4z\,,\,zx^2+xy^4\big) \nonumber \]

27 ✳

Розглянемо векторне поле\(\vecs{F} (x,y,z) =-2xy\,\hat{\pmb{\imath}}+\big(y^2+\sin(xz)\big)\,\hat{\pmb{\jmath}}+(x^2+y^2)\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

1. Обчисліть\(\nabla\cdot \vecs{F} \text{.}\)
2. Знайти потік\(\vecs{F} \) через поверхню,\(S\) визначену

   \[ x^2+y^2+(z-12)^2=13^2,\ z\ge 0 \nonumber \]

   використовуючи зовнішнє нормальне до\(S\text{.}\)

28 ✳

\(S\)Дозволяти бути частина\(x^2 + y^2 -z^2 = 1\) гіперболоїду між\(z=-1\) і\(z=1\text{.}\) знайти потік\(\vecs{F} = (x+e^{yz})\,\hat{\pmb{\imath}} +\big(2yz+\sin(xz)\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} +(xy-z-z^2)\,\hat{\mathbf{k}}\) з\(S\) (далеко від походження).

29 ✳

\(\vecs{F} \)Дозволяти векторне поле\(\vecs{F} (x,y,z)=(x^2-y-1)\,\hat{\pmb{\imath}}+(e^{\cos y}+z^3)\,\hat{\pmb{\jmath}}+(2xz+z^5)\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Оцініть\(\iint_S\vecs{ \nabla} \times \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) де\(S\) є частиною еліпсоїда\(x^2+y^2+2z^2=1\) з\(z\ge 0\text{.}\)

30 ✳

\(S\)Дозволяти бути частина сфери\(x^2+y^2+(z-1)^2=4\), яка лежить вище\(xy\) -площині. Знайти потік\(\vecs{F} =(x^2+e^{y^2})\,\hat{\pmb{\imath}}+(e^{x^2}+y^2)\,\hat{\pmb{\jmath}} +(4+5x)\,\hat{\mathbf{k}}\) назовні поперек\(S\text{.}\)

31 ✳

Знайти потік\(\vecs{F} =xy^2\hat{\pmb{\imath}}+x^2y\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\) назовні через напівсферичну поверхню

\[ x^2+y^2+z^2=4,\qquad z\ge 0 \nonumber \]

32 ✳

\(D\)Дозволяти циліндр\(x^2+y^2\le 1\text{,}\)\(0\le z\le 5\text{.}\) Обчислити потік векторного поля

\[ \vecs{F} =(x+xye^z)\,\hat{\pmb{\imath}}+\frac{1}{2} y^2ze^z\,\hat{\pmb{\jmath}}+(3z-yze^z)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

назовні через вигнуту частину поверхні\(D\text{.}\)

33

Знайти потік\(\vecs{F} =(y+xz)\hat{\pmb{\imath}}+(y+yz)\hat{\pmb{\jmath}}-(2x+z^2)\hat{\mathbf{k}}\) вгору через першу октантну частину сфери\(x^2+y^2+z^2=a^2\text{.}\)

34

Нехай\(\ \vecs{F} =(x-yz)\hat{\pmb{\imath}}+(y+xz)\hat{\pmb{\jmath}}+(z+2xy)\hat{\mathbf{k}}\ \) і нехай

• \(S_1\)бути частиною циліндра\(\ x^2+y^2=2\ \), яка лежить всередині сфери\(\ x^2+y^2+z^2=4\)
• \(S_2\)бути частиною сфери,\(\ x^2+y^2+z^2=4\ \) яка лежить поза циліндром\(\ x^2+y^2=2\ \)
• \(V\)бути твердим тілом, обмеженим\(S_1\) і\(S_2\)

Обчислити

1. \(\displaystyle \iint_{S_1}\vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\)з\(\hat{\textbf{n}}\) вказівкою всередину
2. \(\displaystyle \iiint_V\vecs{ \nabla} \cdot F\,\text{d}V\)
3. \(\displaystyle \iint_{S_2}\vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\)з\(\hat{\textbf{n}}\) вказівкою назовні

Використовуйте теорему про дивергенцію, щоб відповісти принаймні на одну з частин (a), (b) та (c).

Етап 3

35

\(\textbf{E}(\vecs{r} )\)Дозволяти електричне поле через конфігурацію заряду, яка має закон\(\rho(\vecs{r} )\text{.}\) Гауса щільності стверджує, що, якщо\(V\) є будь-яке тверде тіло в\(\mathbb{R}^3\) з поверхнею,\(\partial V\text{,}\) то електричний потік

\[ \iint_{\partial V}\textbf{E}\cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S=4\pi Q \qquad{\rm where}\qquad Q=\iiint_V\rho\ \text{d}V \nonumber \]

є загальним зарядом в\(V\text{.}\) Тут, як завжди,\(\hat{\textbf{n}}\) є зовнішнім вказівним одиницею нормальним, щоб\(\partial V\text{.}\) Показати, що

\[ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{E}(\vecs{r} )=4\pi \rho(\vecs{r} ) \nonumber \]

для всіх\(\vecs{r} \) в\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Це одне з рівнянь Максвелла. Припустимо, що\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{E}(\vecs{r} )\) і\(\rho(\vecs{r} )\) є чітко визначеними і безперервними всюди.

36

\(V\)Дозволяти бути твердим в\(\mathbb{R}^3\) з поверхнею\(\partial V\text{.}\) Показати, що

\[ \iint_{\partial V}\vecs{r} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S=3\,\text{Volume}(V) \nonumber \]

де\(\vecs{r} =x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\) і, як завжди,\(\hat{\textbf{n}}\) зовнішня норма, щоб\(\partial V\text{.}\) побачити, чи можете ви пояснити цей результат геометрично.

37 ✳

\(S\)Дозволяти бути сфера радіуса по\(3\text{,}\) центру на початку і з назовні орієнтації. Задано векторне поле\(\vecs{F} (x,y,z) = (0, 0, x + z)\text{:}\)

1. Обчисліть (використовуючи визначення) потік\(\vecs{F} \) наскрізних\(S\)

   \[ \iint_S \vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

   Тобто обчислити потік, оцінюючи поверхневий інтеграл безпосередньо.
2. Обчисліть той же потік, використовуючи теорему розбіжності.

38 ✳

Розглянемо куб довжини сторони\(1\), який повністю лежить у першому октанті (\(x \ge 0\text{,}\)\(y \ge 0\text{,}\)\(z \ge 0\)) з одним кутом у початку та іншим кутом у точці. Таким\((1, 1, 1)\text{.}\) чином, одна грань лежить у площині,\(x = 0\text{,}\) одна лежить у площині,\(y = 0\text{,}\) а інша лежить у площині. \(z = 0\text{.}\)Інші три грані лежать в площині\(x = 1\text{,}\)\(y = 1\text{,}\) і\(z = 1\text{.}\) позначають\(S\) як відкриту поверхню, яка складається з об'єднання\(5\) граней куба, які не лежать в площині\(z = 0\text{.}\) Поверхня\(S\) орієнтована таким чином, що одиниця нормальна вектори вказують назовні (тобто орієнтація\(S\) така, що одиниці нормальних векторів на верхній грані точки в бік позитивних\(z\) -напрямків). Визначаємо значення

\[ I=\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\, \text{d}S \nonumber \]

де\(\vecs{F} \) - векторне поле, задане

\[ \vecs{F} = \left(y \cos(y^2) + z - 1\,,\, \frac{z}{x+1}+1\,,\, xy e^{z^2}\right) \nonumber \]

39 ✳

1. Знайти спрямований вгору одиничний вектор нормалі до поверхні\(z = xy\) в точці\((1, 1, 1)\text{.}\)
2. Тепер розглянемо ту частину поверхні,\(z = xy\text{,}\) яка лежить всередині циліндра\(x^2 + y^2 = 9\) і назвемо її\(S\text{.}\) Обчислити висхідний потік\(\vecs{F} = (y, x, 3)\) наскрізного\(S\text{.}\)
3. Знайти потік\(\vecs{F} = (y, x, 3)\) через циліндричну поверхню\(x^2 + y^2 = 9\) між ними\(z = xy\) і\(z = 10\text{.}\) Орієнтація назовні, далеко від осі z.

40 ✳

1. Знайти розбіжність векторного поля\(\vecs{F} = (x + \sin y, z + y, z^2)\text{.}\)
2. Знайдіть потік\(\vecs{F} \) через верхню півкулю,\(x^2 + y^2 + z^2 = 25\text{,}\)\(z \ge 0\text{,}\) орієнтовану в позитивному\(z\) -напрямку.
3. Вкажіть орієнтовану замкнуту поверхню\(S\text{,}\) таким чином, щоб потік\(\iint_S\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) дорівнював\(-9\text{.}\)

41 ✳

Оцініть поверхневі інтеграли. (Використовуйте будь-який спосіб, який вам подобається.)

1. \(\iint_S z^2\,\text{d}S\text{,}\)якщо\(S\) частина конуса,\(x^2 + y^2 = 4z^2\) де\(0 \le x \le y\) і\(0 \le z \le 1\text{.}\)
2. \(\iint_S \vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\)if\(\vecs{F} = z\hat{\mathbf{k}}\) і\(S\) - прямокутник з вершинами,\((0, 2, 0)\text{,}\)\((0, 0, 4)\text{,}\)\((5, 2, 0)\text{,}\)\((5, 0, 4)\text{,}\) орієнтованими так, що вектор нормалі вказує вгору.
3. \(\iint_S \vecs{F} \cdot \hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\text{,}\)де\(\vecs{F} = (y - z^2 )\hat{\pmb{\imath}} + (z - x^2)\hat{\pmb{\jmath}} + z^2\hat{\mathbf{k}}\) і\(S\) - гранична поверхня коробки\(0 \le x \le 1\text{,}\)\(0 \le y \le 2\text{,}\)\(0 \le z \le 3\text{,}\) з вектором нормалі, спрямованим назовні.

42 ✳

\(\sigma_1\)Дозволяти відкрита поверхня, задана\(z = 1 - x^2 - y^2\text{,}\)\(z \ge 0\text{.}\)\(\sigma_2\) Дозволяти бути відкритою поверхнею,\(\sigma_3\) заданою\(z = x^2 + y^2 - 1\text{,}\)\(z \le 0\text{.}\) Let бути плоска поверхня, задана\(z = 0\text{,}\)\(x^2 + y^2 \le 1\text{.}\) Let\(\vecs{F} = [ a ( y^2 + z^2 ) + bxz ]\,\hat{\pmb{\imath}} + [ c ( x^2 + z^2 ) + dyz ]\,\hat{\pmb{\jmath}} + x^2\,\hat{\mathbf{k}}\) де\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) і\(d\) є константами.

1. Знайти потік\(\vecs{F} \) вгору поперек\(\sigma_1\text{.}\)
2. Знайти всі значення констант\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) і\(d\) так, щоб потік\(\vecs{F} \) назовні по замкнутій поверхні дорівнював\(\sigma_1 \cup \sigma_3\) нулю.
3. Знайти всі значення констант\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) і\(d\) так, щоб потік\(\vecs{F} \) назовні по замкнутій поверхні дорівнював\(\sigma_1 \cup \sigma_2\) нулю.

43 ✳

\(S\)Дозволяти бути еліпсоїд\(x^2+2y^2+3z^2=16\) і\(\hat{\textbf{n}}\) його зовнішня одиниця нормальна.

1. Знайти\(\iint_S \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) якщо\(\vecs{F} (x,y,z)=\dfrac{(x,y,z)-(2,1,1)}{\big[(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big]^{3/2}}\text{.}\)
2. Знайти\(\iint_S \textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S\) якщо\(\textbf{G}(x,y,z)=\dfrac{(x,y,z)-(3,2,2)}{\big[(x-3)^2+(y-2)^2+(z-2)^2\big]^{3/2}}\text{.}\)

44 ✳

\(\Omega\subset\mathbb{R}^3\)Дозволяти бути плавно обмежена область, з межею\(\partial\Omega\) і зовнішньої одиниці нормальної\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) Доведіть, що для будь-якого векторного поля\(\vecs{F} \), яке безперервно диференціюється в\(\Omega\cup\partial\Omega\text{,}\)

\[ \iiint_\Omega \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \,\text{d}V = -\iint_{\partial\Omega} \vecs{F} \times\hat{\textbf{n}}\,\text{d}S \nonumber \]

45 ✳

Нагадаємо, що якщо\(S\) це гладка замкнута поверхня з зовнішнім нормальним полем,\(\hat{\textbf{n}}\text{,}\) то для будь-якої гладкої функції\(p(x,y,z)\) у\(\mathbb{R}^3\text{,}\) нас є

\[ \iint_S p\hat{\textbf{n}}\ \text{d}s=\iiint_E \nabla p\ \text{d}V \nonumber \]

де\(E\) - тверде тіло, обмежене\(S\text{.}\) Шоу, що, як наслідок, сумарна сила, що чиниться на поверхні твердого тіла, що міститься в газі постійного тиску, дорівнює нулю. (Нагадаємо, що тиск діє в напрямку, нормальному до поверхні.)

46 ✳

\(\vecs{F} \)Дозволяти бути гладким 3-вимірним векторним полем таким чином, що потік\(\vecs{F} \) поза сферою\(x^2+y^2+z^2=a^2\) дорівнює\(\pi(a^3+2a^4)\) для кожного\(a \gt 0\text{.}\) Обчислення\(\vecs{ \nabla} \cdot \vecs{F} (0,0,0)\text{.}\)

47. ✳

Дозволяти\(\ \vecs{F} = (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\pmb{\imath}}+(e^{x^2}+y^2)\,\hat{\pmb{\jmath}}+(3+x+z)\,\hat{\mathbf{k}}\ \) і нехай\(S\) буде частина поверхні,\(\ x^2+y^2+z^2=2az+3a^2\ \)\(\ z\ge 0\text{,}\) орієнтуючись з нормальним вказуючи далеко від початку. Тут\(a \gt 0\) константа. Обчислити потік\(\vecs{F} \) наскрізних\(S\text{.}\)

48 ✳

\(u=u(x,y,z)\)Дозволяти буде розв'язком Рівняння Лапласа,

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0, \nonumber \]

в\(\mathbb{R}^3\text{.}\)\(\mathcal{R}\) Дозволяти бути гладкою твердою в\(\mathbb{R}^3\text{.}\)

1. Доведіть, що загальний потік\(\vecs{F} = \nabla u\) з через межу\(\mathcal{R}\) дорівнює нулю.
2. Довести, що загальний потік\(\mathcal{G} = u\nabla u\) з через межу\(\mathcal{R}\) дорівнює

   \[ \iiint_\mathcal{R} \Big[\Big(\frac{\partial u}{\partial x}\Big)^2 + \Big(\frac{\partial u}{\partial y}\Big)^2 + \Big(\frac{\partial u}{\partial z}\Big)^2\Big]\,\text{d}V \nonumber \]

49 ✳

\(\mathcal{R}\)Дозволяти бути частиною твердого циліндра\(x^2 + (y-1)^2 \le 1\) задовольняє\(0\le z \le y^2\text{;}\) нехай\(\mathcal{S}\) буде межа\(\mathcal{R}\text{.}\) заданого\(\vecs{F} = x^2\,\hat{\pmb{\imath}} + 2y\,\hat{\pmb{\jmath}} - 2z\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\)

1. Знайти загальний потік\(\vecs{F} \) назовні через\(\mathcal{S}\text{.}\)
2. Знайти сумарний потік\(\vecs{F} \) назовні через (вертикальні) циліндричні сторони\(\mathcal{S}\text{.}\)

   Підказка:\(\displaystyle \int_0^\pi \sin^{n}\theta\,\text{d}\theta = \frac{n-1}{ n}\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta\,\text{d}\theta\) для\(n=2,3,4,\ldots\text{.}\)

50. ✳

Гладка поверхня\(\mathcal{S}\) лежить над площиною\(z=0\) і має в якості своєї межі коло\(x^2+y^2=4y\) в площині\(z=0\text{.}\) Це коло також межує диск\(D\) у цій площині. Обсяг 3-мірної області,\(R\) обмеженої\(\mathcal{S}\) і\(D\) становить 10 кубічних одиниць. Знайти потік

\[ \vecs{F} (x,y,z)=(x+x^2y)\hat{\pmb{\imath}}+(y-xy^2)\hat{\pmb{\jmath}}+(z+2x+3y)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

через\(\mathcal{S}\) у напрямку назовні від\(R\text{.}\)

1. Він також відомий як теорема Гаусса. Йоганн Карл Фрідріх Гаусс (1777—1855) — німецький математик. Протягом 1990-х років портрет Гаусса з'являвся на німецькій десятизначній банкноті. Крім теореми Гаусса, в його честь названі розподіл Гауса (крива дзвона), розмагнічування і блок CGS для магнітного поля, а також кратер Гаусса на Місяці.
2. Ми будемо послідовно використовувати позначення\(\partial\) (річ) для позначення кордону (речі).
3. Мутатіс мутандіс.
4. Ми припускаємо, що\(V\) це «розумно».
5. Це майже так, ніби хтось сфальсифікував приклад з цим на увазі.
6. Насправді, оцінити цей інтеграл можна безпосередньо, якщо визнати, що потворна частина цілісності непарна\(y\rightarrow-y\) і інтегрується рівно до нуля.
7. Ви можете переглянути в §1.6 тексту CLP-2.
8. Рівняння тепловіддачі було сформульовано французьким математиком і фізиком Жан-Батістом Жозефом Фур'є в 1807 році. Він жив з 1768 по 1830 рік, період, який включав як французьку революцію, так і правління Наполеона. Дійсно Фур'є служив у своєму місцевому революційному комітеті, був ув'язнений ненадовго під час терору, і був науковим радником Наполеона Бонапарта в його єгипетській експедиції 1798 року. На його честь названі ряди Фур'є і перетворення Фур'є. Фур'є також приписують виявлення парникового ефекту.
9. Тепло тепер розуміється, що виникає з внутрішньої енергії об'єкта. У більш ранній теорії тепло розглядалося як вимірювання невидимої рідини, званої калорійністю. Кількість калорій, яку міг вмістити об'єкт, називав його «теплоємністю» шотландський лікар і хімік Джозеф Блек (1728—1799).
10. Теорія калорійності тепла була сама зруйнована гарматним нудним експериментом 1798 року. У цьому експерименті американський/британський фізик Бенджамін Томпсон (1753—1814) кип'ятив воду, просто використовуючи тепло, що утворюється тертям під час розточування гармати.
11. Вставте сюди саркастичну виноску.
12. Зацікавленому читачеві варто зайнятися мережевим пошуком повісті Архімеда і золотої корони.
13. Перший дизайн саморегулюючого човна був введений Вільямом Wouldhave в конкурсі дизайну рятувальних шлюпок, організованому комітетом South Shield Law House в 1789 році.
14. Чашка чаю на камбузі не рахується.
15. Це те, про що мав на увазі Архімед, коли сказав: «Дайте мені важіль і місце, щоб стояти, і я зрушу землю».
16. Всього в 12 грамах вуглецю міститься близько\(6\times 10^{23}\) атомів.
17. Математики та їх ідеалізації! Дійсно стрижні просто представляють атомні/хімічні сили, які утримують деревину разом.
18. Зверніть увагу, що це всього лише середньозважений показник (без каламбуру) положень частинок.
19. Або teeter-totter для тих, хто говорить на іншому англійському діалекті.
20. Припустимо, наприклад, що для великих\(|\vecs{r} -\vecs{r} _0|\text{,}\)\(|\varphi(\vecs{r} )|\) обмежується постійною часом\(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\) і\(|\vecs{ \nabla} \varphi(\vecs{r} )|\) обмежується постійними часами\(\frac{1}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^2}\text{.}\) Тоді, якщо\(\partial V\) сфера радіуса\(R\) по центру\(\vecs{r} _0\text{,}\)\(\partial V\) має площу поверхні\(4\pi R^2\) і два інтеграли над \(\partial V\)обмежені постійним часом\(\frac{1}{R}\text{.}\)
21. Зверніть увагу, що теорема не стверджує, що\(\varphi\) визначене в теоремі підпорядковується\(\vecs{ \nabla} ^2\varphi = 4\pi\rho\text{.}\) Це робить, але доказ виходить за межі нашої сфери.
22. Ви можете турбуватися про сингулярність\(\frac{\vecs{ \nabla} ^2\varphi}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|}\) при застосуванні\(\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}\) до\(\iiint_{V_\varepsilon} \frac{\vecs{ \nabla} ^2\varphi}{|\vecs{r} -\vecs{r} _0|} dV\text{.}\) Що ця сингулярність нешкідлива може бути помічена за допомогою сферичних координат, зосереджених на\(\vecs{r} _0\text{.}\) Тоді\(\text{d}V\) містить коефіцієнт\(|\vecs{r} -\vecs{r} _0|^2\) (див. §A.6.3), який повністю виключає сингулярність.