4.1: Градієнт, розбіжність і завиток
- Page ID
- 60892
«Градієнт, розбіжність і завиток», які зазвичай називають «град, div і curl», відносяться до дуже широко використовуваного сімейства диференціальних операторів і пов'язаних позначень, до яких ми отримаємо найближчим часом. Пізніше ми побачимо, що кожен має «фізичне» значення. Але навіть якби вони були лише скороченням 1, їх варто було б використовувати.
Наприклад, одним з рівнянь Максвелла (що стосуються електричного поля\(\textbf{E}\) і магнітного поля\(\textbf{B}\)), написаних без використання цього позначення, є
\[\begin{align*} &\Big(\frac{\partial E_3}{\partial y} -\frac{\partial E_2}{\partial z}\Big)\hat{\pmb{\imath}} -\Big(\frac{\partial E_3}{\partial x} -\frac{\partial E_1}{\partial z}\Big)\hat{\pmb{\jmath}} +\Big(\frac{\partial E_2}{\partial x} -\frac{\partial E_1}{\partial y}\Big)\hat{\mathbf{k}}\\ &\hskip2.5in=-\frac{1}{c}\Big(\frac{\partial B_1}{\partial t} \hat{\pmb{\imath}} +\frac{\partial B_2}{\partial t} \hat{\pmb{\jmath}} +\frac{\partial B_3}{\partial t} \hat{\mathbf{k}}\Big) \end{align*}\]
Те саме рівняння, записане за допомогою цього позначення, є
\[ \vecs{ \nabla} \times\textbf{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t} \nonumber \]
Найкоротший спосіб запису (і найпростіший спосіб запам'ятати) градієнт, розбіжність і завиток використовує символ «\(\vecs{ \nabla} \)», який є диференціальним оператором, як\(\frac{\partial }{\partial x}\text{.}\) Він визначається
\[ \vecs{ \nabla} = \hat{\pmb{\imath}}\frac{\partial }{\partial x} +\hat{\pmb{\jmath}}\frac{\partial }{\partial y} +\hat{\mathbf{k}}\frac{\partial }{\partial z} \nonumber \]
і називається «дель» або «набла». Ось визначення.
- Градієнт скалярно-значної функції\(f(x,y,z)\) - векторне поле
\[ \text{grad}\,f=\vecs{ \nabla} f = \frac{\partial f}{\partial x}\hat{\pmb{\imath}} +\frac{\partial f}{\partial y}\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{\partial f}{\partial z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Зауважте, що вхідні дані\(f\text{,}\) для градієнта є скалярно-значною функцією, тоді як вихід\(\vecs{ \nabla} f\text{,}\) - векторно-значна функція. - Розбіжність векторного поля\(\vecs{F} (x,y,z)\) - скалярно-значна функція
\[ \text{div}\,\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} +\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z} \nonumber \]
Зверніть увагу, що вхідні дані\(\vecs{F} \text{,}\) для розбіжності є векторно-значною функцією, тоді як вихід\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \text{,}\) - це скалярно-значна функція. - Завиток векторного поля\(\vecs{F} (x,y,z)\) - це векторне поле
\[ \text{curl}\,\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = \Big(\frac{\partial F_3}{\partial y} -\frac{\partial F_2}{\partial z}\Big)\hat{\pmb{\imath}} -\Big(\frac{\partial F_3}{\partial x} -\frac{\partial F_1}{\partial z}\Big)\hat{\pmb{\jmath}} +\Big(\frac{\partial F_2}{\partial x} -\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Зауважте, що вхідні дані,\(\vecs{F} \text{,}\) для curl, є векторно-значною функцією, а вихід\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \text{,}\) - це знову векторно-значна функція. - Лапласиан 2 скалярно-значної функції\(f(x,y,z)\) є скалярно-значною функцією
\[ \Delta f= \vecs{ \nabla} ^2 f =\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \nonumber \]
Лапласиан векторного поля\(\vecs{F} (x,y,z)\) є векторним полем\[ \Delta\vecs{F} = \vecs{ \nabla} ^2\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{ \nabla} \vecs{F} = \frac{\partial^2 \vecs{F} }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \vecs{F} }{\partial y^2} +\frac{\partial^2 \vecs{F} }{\partial z^2} \nonumber \]
Зауважте, що Лапласіан зіставляє або скалярно-значну функцію зі скалярною функцією, або векторну функцію до векторної функції.
Градієнт, розбіжність і лапласіан мають очевидні узагальнення до розмірів, відмінних від трьох. Це не стосується локона. Він має, далеко не очевидне, узагальнення, яке використовує диференціальні форми. Диференціальні форми виходять далеко за межі нашої сфери застосування, але введені в необов'язковому §4.7.
Як приклад застосування, в якому з'являються як дивергенція, так і завиток, ми маємо рівняння Максвелла 3 4 5, які складають основу класичного електромагнетизму.
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{E} &= 4\pi\rho\\ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B} &= 0\\ \vecs{ \nabla} \times\textbf{E} +\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}&=0\\ \vecs{ \nabla} \times\textbf{B} -\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}&=\frac{4\pi}{c}\textbf{J} \end{align*}\]
Тут\(\textbf{E}\) знаходиться електричне поле,\(\textbf{B}\) це магнітне поле,\(\rho\) це щільність заряду,\(\textbf{J}\) це щільність струму і\(c\) швидкість світла.
Векторні ідентичності
Двома обчислювально-надзвичайно важливими властивостями похідної\(\dfrac{d\ }{dx}\) є лінійність та правило добутку.
\[\begin{align*} \dfrac{d\ }{dx}\big(af(x)+bg(x)\big) &=a\dfrac{df}{dx}(x)+b\dfrac{dg}{dx}(x)\\ \dfrac{d\ }{dx}\big(f(x)\,g(x)\big) &=g(x)\,\dfrac{df}{dx}(x)+f(x)\,\dfrac{dg}{dx}(x) \end{align*}\]
Градієнт, розбіжність і завиток також мають такі властивості, які дійсно випливають (часто легко) від них. По-перше, ось висловлювання купи з них. (Допомога пам'яті та докази прийдуть пізніше.) Насправді, тут їх дуже велика кількість. Багато хто з них включені тільки для повноти. Лише порівняно невелика кількість використовується багато. Вони в червоному кольорі.
- \(\displaystyle \color{red}{\vecs{ \nabla} (f+g)=\vecs{ \nabla} f+\vecs{ \nabla} g}\)
- \(\color{red}{\vecs{ \nabla} (cf)=c\,\vecs{ \nabla} f}\text{,}\)для будь-якої постійної\(c\)
- \(\displaystyle \color{red}{\vecs{ \nabla} (fg)=(\vecs{ \nabla} f)g+ f(\vecs{ \nabla} g)}\)
- \(\vecs{ \nabla} (f/g)=\big(g\,\vecs{ \nabla} f-f\,\vecs{ \nabla} g\big)/g^2\)в точках\(\textbf{x}\), де\(g(\textbf{x})\ne 0\text{.}\)
- \(\vecs{ \nabla} (\vecs{F} \cdot\textbf{G})=\vecs{F} \times(\vecs{ \nabla} \times\textbf{G})- (\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\times\textbf{G}+(\textbf{G}\cdot\vecs{ \nabla} )\vecs{F} +(\vecs{F} \cdot\vecs{ \nabla} )\textbf{G}\)
Тут 6
\[ (\textbf{G}\cdot\vecs{ \nabla} )\vecs{F} =\textbf{G}_1\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x} +\textbf{G}_2\frac{\partial\vecs{F} }{\partial y} +\textbf{G}_3\frac{\partial\vecs{F} }{\partial z} \nonumber \]
- \(\displaystyle \color{red}{\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{F} +\textbf{G})=\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} +\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G}}\)
- \(\color{red}{\vecs{ \nabla} \cdot(c\vecs{F} )=c\,\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} }\text{,}\)для будь-якої постійної\(c\)
- \(\displaystyle \color{red}{\vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} )=(\vecs{ \nabla} f)\cdot\vecs{F} + f\,\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} }\)
- \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{F} \times\textbf{G})=(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )\cdot\textbf{G} - \vecs{F} \cdot(\vecs{ \nabla} \times\textbf{G})\)
- \(\displaystyle \color{red}{\vecs{ \nabla} \times(\vecs{F} +\textbf{G})=\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} +\vecs{ \nabla} \times\textbf{G}} \)
- \(\color{red}{\vecs{ \nabla} \times(c\vecs{F} )=c\,\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} } \text{,}\)для будь-якої постійної\(c\)
- \(\displaystyle \color{red}{\vecs{ \nabla} \times(f\vecs{F} )=(\vecs{ \nabla} f)\times\vecs{F} +f\,\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} } \)
- \(\vecs{ \nabla} \times(\vecs{F} \times\textbf{G}) =\vecs{F} (\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G})-(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} )\textbf{G} +(\textbf{G}\cdot\vecs{ \nabla} )\vecs{F} -(\vecs{F} \cdot\vecs{ \nabla} )\textbf{G}\)
Тут
\[ (\textbf{G}\cdot\vecs{ \nabla} )\vecs{F} =\textbf{G}_1\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x} +\textbf{G}_2\frac{\partial\vecs{F} }{\partial y} +\textbf{G}_3\frac{\partial\vecs{F} }{\partial z} \nonumber \]
- \(\displaystyle \color{red}{ \vecs{ \nabla} ^2(f+g)=\vecs{ \nabla} ^2 f+\vecs{ \nabla} ^2 g }\)
- \(\color{red}{\vecs{ \nabla} ^2(cf)=c\,\vecs{ \nabla} ^2 f}\text{,}\)для будь-якої постійної\(c\)
- \(\displaystyle \vecs{ \nabla} ^2(fg)=f\,\vecs{ \nabla} ^2 g+2\vecs{ \nabla} f\cdot\vecs{ \nabla} g+g\,\vecs{ \nabla} ^2 f\)
- \(\color{red}{\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )=0 \qquad}\)(Розбіжність завитка)
- \(\color{red}{\vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} f)=0 \qquad}\)(завиток градієнта)
- \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot\big(f\{\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h\}\big) =\vecs{ \nabla} f\cdot(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h)\)
- \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{ \nabla} g-g\vecs{ \nabla} f)=f\,\vecs{ \nabla} ^2g-g\,\vecs{ \nabla} ^2f\)
- \(\vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )=\vecs{ \nabla} (\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} )-\vecs{ \nabla} ^2\vecs{F} \qquad\)(Завиток локона)
Допомога пам'яті. Більшість векторних тотожностей (насправді всі вони, крім теореми 4.1.3.e, теореми 4.1.5.d і теореми 4.1.7) дійсно легко здогадатися. Просто об'єднайте звичайну лінійність і правила продукту з фактами, які
- якщо ліва сторона - вектор (скалярна), то права сторона також повинна бути вектором (скалярним) і
- єдиними дійсними добутками двох векторів є крапковий і перехресний добуток і
- добуток скаляра зі скаляром або вектором не може бути ні крапкою, ні перехресним добутком і
- \(\textbf{A}\times\textbf{B} = - \textbf{B}\times\textbf{A}\text{.}\)(Хрестовий твір антисиметричний.)
Наприклад, розглянемо теорему 4.1.4.c, в якій йдеться\(\vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} )=(\vecs{ \nabla} f)\cdot\vecs{F} + f\,\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \text{.}\)
- Ліва сторона,\(\vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} )\text{,}\) є скаляром, тому права сторона також повинна бути скаляром.
- Ліва сторона,\(\vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} )\text{,}\) є похідною від добутку\(f\) і\(\vecs{F} \text{,}\) так, імітуючи правило добутку, права сторона буде сумою двох членів, один з\(\vecs{F} \) множенням похідної\(f\text{,}\) і один з\(f\) множенням похідної від\(\vecs{F} \text{.}\)
- Похідна, що діє на,\(f\) повинна бути\(\vecs{ \nabla} f\text{,}\) тому, що\(\vecs{ \nabla} \cdot f\) і не\(\vecs{ \nabla} \times f\) є чітко визначеною. Щоб в кінцевому підсумку зі скалярним, а не вектором, ми повинні взяти точковий добуток\(\vecs{ \nabla} f\) і\(\vecs{F} \text{.}\) Так що термін є\((\vecs{ \nabla} f)\cdot\vecs{F} \text{.}\)
- Похідна, що діє на,\(\vecs{F} \) повинна бути\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \) або або\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \text{.}\) Нам також потрібно помножити на скаляр\(f\) і закінчити скаляром. Отже, похідна повинна бути скалярною, тобто\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \) і цей термін\(f\{\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \}\text{.}\)
- Наша остаточна здогадка полягає в тому,\(\vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} )=(\vecs{ \nabla} f)\cdot\vecs{F} + f\,\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \text{,}\) що, на щастя, є правильним.
-
Усі докази (крім теореми 4.1.7.c, d, до яких ми повернемося пізніше) складаються з
- виписування визначення лівої сторони і
- виписування визначення правої сторони і
- спостерігаючи (можливо, після невеликої маніпуляції), що вони однакові.
Для теореми 4.1.3.a, b, теореми 4.1.4.a, b, теореми 4.1.5.a, b та теореми 4.1.6.a, b, обчислення тривіальне — один рядок на ідентичність, якщо використовувати деякі ефективні позначення. Перейменуйте\(x,y,z\) координати в\(x_1,x_2,x_3\) і стандартні вектори\(\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\)\(\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\)\(\hat{\mathbf{k}}\) одиниці базису на\(\hat{\pmb{\imath}}_1\text{,}\)\(\hat{\pmb{\imath}}_2\text{,}\)\(\hat{\pmb{\imath}}_3\text{.}\) Тоді\(\vecs{ \nabla} = \sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\frac{\partial\ }{\partial x_n}\) і доказом, наприклад, теореми 4.1.4.a є
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{F} +\textbf{G}) &=\sum_{n=1}^3\frac{\partial\ }{\partial x_n} \hat{\pmb{\imath}}_n\cdot(\vecs{F} +\textbf{G})\\ &=\sum_{n=1}^3\frac{\partial\ }{\partial x_n} \hat{\pmb{\imath}}_n\cdot\vecs{F} +\sum_{n=1}^3\frac{\partial\ }{\partial x_n} \hat{\pmb{\imath}}_n\cdot\textbf{G} =\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} +\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G} \end{align*}\]
Для теореми 4.1.3.c, d, теореми 4.1.4.c, теореми 4.1.5.c та теореми 4.1.6.c обчислення є простим - кілька рядків на ідентичність. Наприклад, доказом теореми 4.1.5.c є
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times(f\vecs{F} ) &=\sum_{n=1}^3\frac{\partial }{\partial x_n}\hat{\pmb{\imath}}_n\times(f \vecs{F} ) =\sum_{n=1}^3\frac{\partial }{\partial x_n}\big(f\, \{\hat{\pmb{\imath}}_n\times\vecs{F} \}\big)\\ &=\sum_{n=1}^3\frac{\partial f}{\partial x_n}\hat{\pmb{\imath}}_n\times\vecs{F} +f\sum_{n=1}^3\frac{\partial }{\partial x_n}\hat{\pmb{\imath}}_n\times\vecs{F} \\ &=(\vecs{ \nabla} f)\times\vecs{F} + f\,\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \end{align*}\]
У другому рядку ми використали теорему 1.1.3.b. Подібну перевірку теорем 4.1.3.c, d, 4.1.4.c та 4.1.6.c залишають як вправи. Останні дві частини (a) і (c) Питання 3 в розділі 4.1 книги проблем CLP-4.
Для теореми 4.1.4.d обчислення також легко, якщо використовувати той факт, що
\[ \textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot\textbf{c} \nonumber \]
який є Lemma 4.1.8.a нижче. Перевірка теореми 4.1.4.d є частиною (b) питання 3 в розділі 4.1 проблемного книги CLP-4.
Це залишає докази теореми 4.1.3.e, теореми 4.1.5.d, теореми 4.1.7.a, b, c, d, e, які ми виписуємо явно.
Теорема 4.1.3.e: Спочатку випишіть ліву частину як
\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} (\vecs{F} \cdot\textbf{G}) =\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\frac{\partial }{\partial x_n}(\vecs{F} \cdot\textbf{G}) =\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\Big(\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x_n}\cdot\textbf{G}\Big) +\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\Big(\vecs{F} \cdot\frac{\partial\textbf{G}}{\partial x_n}\Big) \end{gather*}\]
Потім перепишіть\(\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b}-(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c}\text{,}\) який Lemma 4.1.8.b нижче, як
\[ (\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b}=\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})+(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c} \nonumber \]
Застосовуючи його один раз з\(\textbf{b}=\hat{\pmb{\imath}}_n\text{,}\)\(\textbf{c}=\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x_n}\text{,}\)\(\textbf{a}=\textbf{G}\) і один раз з\(\textbf{b}=\hat{\pmb{\imath}}_n\text{,}\)\(\textbf{c}=\frac{\partial\textbf{G}}{\partial x_n}\text{,}\)\(\textbf{a}=\vecs{F} \) дає
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} (\vecs{F} \cdot\textbf{G}) &=\sum_{n=1}^3\bigg[ \textbf{G}\times\Big(\hat{\pmb{\imath}}_n\times\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x_n}\Big) +(\textbf{G}\cdot\hat{\pmb{\imath}}_n)\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x_n}\bigg]\\ &\hskip1in+\sum_{n=1}^3\bigg[ \vecs{F} \times\Big(\hat{\pmb{\imath}}_n\times\frac{\partial\textbf{G}}{\partial x_n}\Big) +(\vecs{F} \cdot\hat{\pmb{\imath}}_n)\frac{\partial\textbf{G}}{\partial x_n}\bigg]\\ &=\textbf{G}\times(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} ) +(\textbf{G}\cdot\vecs{ \nabla} )\vecs{F} +\vecs{F} \times(\vecs{ \nabla} \times\textbf{G}) +(\vecs{F} \cdot\vecs{ \nabla} )\textbf{G} \end{align*}\]
Теорема 4.1.5.d: Використовуємо той же трюк. Випишіть ліву сторону як
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times(\vecs{F} \times\textbf{G}) &=\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\times\frac{\partial }{\partial x_n}(\vecs{F} \times\textbf{G})\\ &=\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\times\Big(\frac{\partial\vecs{F} }{\partial x_n}\times\textbf{G}\Big) +\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\times\Big(\vecs{F} \times\frac{\partial\textbf{G}}{\partial x_n}\Big) \end{align*}\]
Застосування\(\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b}-(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c}\text{,}\) якого є Lemma 4.1.8.b нижче,
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times(\vecs{F} \times\textbf{G})&= \sum_{n=1}^3\Big[G_n\frac{\partial \vecs{F} }{\partial x_n} -\frac{\partial F_n}{\partial x_n}\textbf{G}\Big] +\sum_{n=1}^3\Big[\frac{\partial G_n}{\partial x_n}\vecs{F} -F_n\frac{\partial \textbf{G}}{\partial x_n}\Big]\cr &=(\textbf{G}\cdot\vecs{ \nabla} )\vecs{F} -(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} )\textbf{G}+(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{G})\vecs{F} -(\vecs{F} \cdot\vecs{ \nabla} )\textbf{G} \end{align*}\]
Теорема 4.1.7.a: Підстановка в
\ begin {align*}\ vecs {\ nabla}\ times\ vecs {F} &=\ Великий (\ frac {\ частковий F_3} {\ частковий y} -\ частковий F_2} {\ частковий z}\ великий)\ капелюх {\ pmb {\ imath}} -\ великий (\ frac {\ частковий F_3} {\ частковий х}\ frac {\ частковий F_1} {\ частковий z}\ великий)\ hat {\ pmb {\ jmath}} +\ Великий (\ frac {\ частковий F_2} {\ частковий x} -\ frac {\ частковий F_1} {\ частковий y}\ великий)\ капелюх {\ mathbf {k}}\\ кінець {align*}дає
\ begin {align*}\ vecs {\ nabla}\ cdot\ великий (\ vecs {\ nabla}\ раз F\ великий) &=\ frac {\ частковий} {\ частковий х}\ великий (\ частковий F_3} {\ частковий y} -\ частковий F_2} {\ частковий z}\ великий) -\ frac {\ частковий F_2} {\ partial z}\ Big) -\ frac {\ partial}\ частковий y}\ Великий (\ розрив {\ частковий F_3} {\ частковий x} -\ розрив {\ частковий F_1} {\ частковий z}\ Великий) +\ гідророзриву {\ частковий} {\ частковий} {\ частковий z}\ Великий (\ розрив {\ частковий F_2} {\ частковий x} -\ розрив {\ частковий F_1} {\ частковий у}\ великий)\ cr &= {\ колір {\ frac {\ частковий ^ 2 F_3} {\ частковий х\ частковий y}}} - {\ колір {синій} {\ frac {\ частковий ^ 2 F_2} {\ частковий х\ частковий z}}} - {\ колір {червоний} {\ розрив {\ частковий ^ 2 F_3} {\ частковий y\ частковий x}}} +\ розрив {\ частковий ^ 2 F_1} {\ частковий y\ частковий z} + {\ колір {синій} {\ розрив {\ частковий ^2 F_2} {\ частковий z\ частковий x}}} -\ розрив {\ частковий ^ 2 F_1} {\ частковий z\ частковий y}\\ &=0\ end {align*}оскільки два червоні терміни скасовані, два сині терміни скасовані, а два чорні терміни скасовані.
Теорема 4.1.7.b: Підстановка в
\ begin {align*}\ vecs {\ nabla} f &=\ frac {\ частковий f} {\ частковий х}\ hat {\ pmb {\ imath}} +\ frac {\ часткове е}\ hat {\ pmb {\ jmath}} +\ частковий f} {\ частковий z}\ hat {\ mathbf {\ jmath}}\ cr\\\ кінець {вирівнювати*}дає
\ begin {align*}\ vecs {\ nabla}\ раз\ великий (\ vecs {\ nabla} f\ big) &=\ Великий (\ frac {\ partial} {\ partial y}\ frac {\ partial f} {\ partial z} {\ partial f} {\ partial f} {\ partial y}\ Big)\ капелюх {\ partial z} pmb {\ imath}} -\ Великий (\ frac {\ частковий} {\ частковий x}\ frac {\ частковий f} {\ частковий z} -\ frac {\ частковий} {\ частковий} {\ частковий z}\ frac {\ частковий f} {\ частковий x}\ великий)\ hat {\ pmb {\ jmath}}\\ &\ hskip1in+\ Великий (\ frac {\ частковий} {\ частковий x}\ frac {\ partial f} {\ partial y} {\ partial x}\ Великий)\ капелюх {\ mathbf {k}}\\ &=0\ кінець {align*}Теорема 4.1.7.c: За теоремою 4.1.4.c, а потім теорема 4.1.4.d,
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\big[f(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h)\big] &=\vecs{ \nabla} f\cdot(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h) +f\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h)\\ &=\vecs{ \nabla} f\cdot(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h) +f\big[(\vecs{ \nabla} \times\vecs{ \nabla} g)\cdot\vecs{ \nabla} h-\vecs{ \nabla} g\cdot(\vecs{ \nabla} \times\vecs{ \nabla} h)\big] \end{align*}\]
За теоремою 4.1.7.b,\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{ \nabla} g=\vecs{ \nabla} \times\vecs{ \nabla} h=0\text{,}\) так
\[ \vecs{ \nabla} \cdot\big[f(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} f)\big] =\vecs{ \nabla} f\cdot(\vecs{ \nabla} g\times\vecs{ \nabla} h) \nonumber \]
Теорема 4.1.7.d: За теоремою 4.1.4.c
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{ \nabla} g-g\vecs{ \nabla} f) &= (\vecs{ \nabla} f)\cdot(\vecs{ \nabla} g) +f\,\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} g) -(\vecs{ \nabla} g)\cdot(\vecs{ \nabla} f) +g\,\vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} f)\\ &=f\,\vecs{ \nabla} ^2g-g\,\vecs{ \nabla} ^2f \end{align*}\]
Теорема 4.1.7.e:
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} ) &=\sum_{\ell=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_\ell\frac{\partial } {\partial x_\ell} \times\bigg(\sum_{m=1}^3 \hat{\pmb{\imath}}_m\frac{\partial } {\partial x_m} \times\sum_{n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n F_n\bigg)\\ &=\sum_{\ell,m,n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_\ell\times \big(\hat{\pmb{\imath}}_m\times\hat{\pmb{\imath}}_n\big)\ \frac{\partial^2 F_n } {\partial x_\ell\partial x_m} \end{align*}\]
Використовуючи у\(\textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b}-(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c}\text{,}\) нас є
\[ \hat{\pmb{\imath}}_\ell\times \big(\hat{\pmb{\imath}}_m\times\hat{\pmb{\imath}}_n\big) =(\hat{\pmb{\imath}}_\ell\cdot\hat{\pmb{\imath}}_n)\hat{\pmb{\imath}}_m -(\hat{\pmb{\imath}}_\ell\cdot\hat{\pmb{\imath}}_m)\hat{\pmb{\imath}}_n =\delta_{\ell,n}\hat{\pmb{\imath}}_m -\delta_{\ell,m}\hat{\pmb{\imath}}_n \nonumber \]
де 7
\[ \delta_{m,n} =\begin{cases} 1& \text{if } m=n \\ 0& \text{if } m\ne n \end{cases} \nonumber \]
Звідси
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} ) &=\sum_{\ell,m,n=1}^3\delta_{\ell,n}\hat{\pmb{\imath}}_m\ \frac{\partial^2 F_n } {\partial x_\ell\partial x_m} -\sum_{\ell,m,n=1}^3\delta_{\ell,m}\hat{\pmb{\imath}}_n\ \frac{\partial^2 F_n } {\partial x_\ell\partial x_m}\\ &=\sum_{m,n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_m\ \frac{\partial }{\partial x_m} \frac{\partial F_n }{\partial x_n} -\sum_{m,n=1}^3\hat{\pmb{\imath}}_n\ \frac{\partial^2 F_n}{\partial x_m^2}\cr &= \vecs{ \nabla} (\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} )-\vecs{ \nabla} ^2\vecs{F} \end{align*}\]
- \(\displaystyle \textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot\textbf{c}\)
- \(\displaystyle \textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c})=(\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b}-(\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c}\)
-
(а) Ось два докази. Для першого просто випишіть обидві сторони
\[\begin{align*} \textbf{a}\cdot(\textbf{b}\times\textbf{c}) &=(a_1,a_2,a_3)\cdot(b_2c_3-b_3c_2\,,\,b_3c_1-b_1c_3\,,\,b_1c_2-b_2c_1)\\ &=a_1b_2c_3-a_1b_3c_2+a_2b_3c_1-a_2b_1c_3+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1\\ (\textbf{a}\times\textbf{b})\cdot\textbf{c} &=(a_2b_3-a_3b_2\,,\,a_3b_1-a_1b_3\,,\,a_1b_2-a_2b_1)\cdot(c_1,c_2,c_3)\\ &=a_2b_3c_1-a_3b_2c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2+a_1b_2c_3-a_2b_1c_3 \end{align*}\]
і спостерігайте, що вони однакові.
Для другого доказу знову виписуємо обидві сторони, але на цей раз висловлюємо їх в плані детермінант.
\[\begin{align*} \textbf{a}\cdot\textbf{b}\times\textbf{c} &=(a_1,a_2,a_3)\cdot\det\left[\begin{matrix}\hat{\pmb{\imath}}&\hat{\pmb{\jmath}}&\hat{\mathbf{k}} \\ b_1&b_2&b_3 \\ c_1&c_2&c_3\end{matrix}\right]\\ &=a_1\det\left[\begin{matrix} b_2&b_3 \\ c_2&c_3\end{matrix}\right] -a_2\det\left[\begin{matrix} b_1&b_3 \\ c_1&c_3\end{matrix}\right] +a_3\det\left[\begin{matrix} b_1&b_2 \\ c_1&c_2\end{matrix}\right]\\ &=\det\left[\begin{matrix}a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3 \\ c_1&c_2&c_3\end{matrix}\right]\\ \textbf{a}\times\textbf{b}\cdot\textbf{c} &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\pmb{\imath}}&\hat{\pmb{\jmath}}&\hat{\mathbf{k}} \\ a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3\end{matrix}\right]\cdot(c_1,c_2,c_3)\\ &=c_1\det\left[\begin{matrix} a_2&a_3 \\ b_2&b_3\end{matrix}\right] -c_2\det\left[\begin{matrix} a_1&a_3 \\ b_1&b_3\end{matrix}\right] +c_3\det\left[\begin{matrix} a_1&a_2 \\ b_1&b_2\end{matrix}\right]\\ &=\det\left[\begin{matrix}c_1&c_2&c_3\cr a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3 \end{matrix}\right] \end{align*}\]
Обмін двома рядками в детермінант змінює знак детермінанта. Переміщення верхнього ряду\(3\times 3\) визначника в нижній ряд вимагає двох обмінів рядів. Таким чином, дві\(3\times 3\) детермінанти рівні.
(б) Доказ не є винятково складним — просто випишіть обидві сторони і шліфуйте. Заміна в
\[ \textbf{b}\times\textbf{c} \ =\ (b_2c_3-b_3c_2)\hat{\pmb{\imath}}-(b_1c_3-b_3c_1)\hat{\pmb{\jmath}} + (b_1c_2-b_2c_1)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
дає, за ліву сторону,
\[\begin{align*} \textbf{a}\times(\textbf{b}\times\textbf{c}) =\phantom{-}&\!\!\!\det\left[\begin{matrix}\hat{\pmb{\imath}}&\hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ a_1&a_2&a_3 \\ b_2c_3-b_3c_2&-b_1c_3+b_3c_1&b_1c_2-b_2c_1 \end{matrix}\right]\\ =\phantom{-}&\hat{\pmb{\imath}}\big[a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(-b_1c_3+b_3c_1)\big]\\ -&\hat{\pmb{\jmath}}\big[a_1(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_2c_3-b_3c_2)\big]\\ +&\hat{\mathbf{k}}\big[a_1(-b_1c_3+b_3c_1)-a_2(b_2c_3-b_3c_2)\big] \end{align*}\]
З іншого боку, права сторона
\[\begin{align*} (\textbf{a}\cdot\textbf{c})\textbf{b}-(\textbf{a}\cdot\textbf{b})\textbf{c}\ =\ &(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)(b_1\hat{\pmb{\imath}}+b_2\hat{\pmb{\jmath}}+b_3\hat{\mathbf{k}})\\ &\hskip0.5in-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)(c_1\hat{\pmb{\imath}}+c_2\hat{\pmb{\jmath}}+c_3\hat{\mathbf{k}})\\ =\ & \hat{\pmb{\imath}}\ \big[{\color{blue}{a_1b_1c_1}} +a_2b_1c_2+a_3b_1c_3- {\color{blue}{a_1b_1c_1}} -a_2b_2c_1-a_3b_3c_1\big]\\ {+}&\hat{\pmb{\jmath}}\ \big[a_1b_2c_1 +{\color{blue}{a_2b_2c_2}} +a_3b_2c_3-a_1b_1c_2 -{\color{blue}{a_2b_2c_2}} -a_3b_3c_2\big]\\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\ \big[a_1b_3c_1+a_2b_3c_2 +{\color{blue}{a_3b_3c_3}} -a_1b_1c_3-a_2b_2c_3 -{\color{blue}{a_3b_3c_3}}\big]\\ {=}\ & \hat{\pmb{\imath}}\ [a_2b_1c_2+a_3b_1c_3-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1]\\ {+}&\hat{\pmb{\jmath}}\ [a_1b_2c_1+a_3b_2c_3-a_1b_1c_2-a_3b_3c_2]\\ {+}&\hat{\mathbf{k}}\ [a_1b_3c_1+a_2b_3c_2-a_1b_1c_3-a_2b_2c_3] \end{align*}\]
Остання формула, яку ми мали для лівої сторони, така ж, як і остання формула, яку ми мали для правої сторони.
Ми бачили теорему векторної ідентичності 4.1.7.b раніше. Він говорить, що якщо\(\vecs{F} \) векторне поле має вигляд\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \varphi\) для якоїсь функції\(\varphi\) (\(\vecs{F} \)тобто якщо консервативне), то
\[ \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} \varphi) = 0 \nonumber \]
І навпаки, ми також бачили, в теоремі 2.4.8, що, якщо визначено і має\(\vecs{F} \) неперервні часткові похідні першого порядку на всіх\(\mathbb{R}^3\text{,}\) і якщо\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0\text{,}\) тоді\(\vecs{F} \) консервативний. Теорема векторної ідентичності 4.1.7.b - це наш скринінговий тест на консервативність.
Оскільки його права сторона дорівнює нулю, Теорема векторної ідентичності 4.1.7.a є сугестивною. Він говорить, що якщо\(\vecs{F} \) векторне поле має форму\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \times\textbf{A}\) для деякого векторного поля,\(\textbf{A}\text{,}\) то
\[ \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{ \nabla} \times\textbf{A}) = 0 \nonumber \]
Коли\(\vecs{F} = \vecs{ \nabla} \times\textbf{A}\text{,}\)\(\textbf{A}\) називається векторним потенціалом для\(\vecs{F} \text{.}\) Ми побачимо в теоремі 4.1.16, нижче, що, навпаки, якщо визначено і має\(\vecs{F} (\textbf{x})\) неперервні часткові похідні першого порядку на всіх\(\mathbb{R}^3\text{,}\) і якщо\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} =0\text{,}\) тоді\(\vecs{F} \) має векторний потенціал 8 . Теорема векторної ідентичності 4.1.7.a справді є ще одним скринінговим тестом.
Як приклад розглянемо рівняння Максвелла
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B} &= 0\\ \vecs{ \nabla} \times\textbf{E} +\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}&=0 \end{align*}\]
що ми бачили в прикладі 4.1.2. Перше рівняння має на увазі, що (якщо припустити\(\textbf{B}\) досить гладке) існує векторне поле, яке\(\textbf{A}\text{,}\) називається магнітним потенціалом, при\(\textbf{B}=\vecs{ \nabla} \times\textbf{A}\text{.}\) підстановці цього в друге рівняння дає
\[ 0= \vecs{ \nabla} \times\textbf{E} +\frac{1}{c}\frac{\partial\ }{\partial t}\vecs{ \nabla} \times\textbf{A} =\vecs{ \nabla} \times\Big(\textbf{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{A} }{\partial t}\Big) \nonumber \]
Так\(\textbf{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{A} }{\partial t}\) проходить скринінговий тест теореми 4.1.7.b і є функція\(\varphi\) (звана електричним потенціалом) з
\[ \textbf{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial\textbf{A}}{\partial t} = -\nabla \varphi \nonumber \]
Ми поставили знак мінус якраз для забезпечення сумісності зі звичайною фізикою термінологією.
Дозволяти\(\vecs{r} (x,y,z) = x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\) і\(\psi(x,y,z)\) нехай довільна функція. Переконайтеся, що
\[ \vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{r} \times\vecs{ \nabla} \psi\big) = 0 \nonumber \]
Рішення
За векторною ідентичністю Теорема 4.1.4.d
\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{r} \times\vecs{ \nabla} \psi\big) =(\vecs{ \nabla} \times\vecs{r} )\cdot\vecs{ \nabla} \psi -\vecs{r} \cdot\big(\vecs{ \nabla} \times(\vecs{ \nabla} \psi)\big) \end{gather*}\]
За теоремою векторної ідентичності 4.1.7.b другий член дорівнює нулю. Тепер з тих пір
\[ \vecs{ \nabla} \times\vecs{r} = \Big(\frac{\partial z}{\partial y} -\frac{\partial y}{\partial z}\Big)\hat{\pmb{\imath}} -\Big(\frac{\partial z}{\partial x} -\frac{\partial x}{\partial z}\Big)\hat{\pmb{\jmath}} +\Big(\frac{\partial y}{\partial x} -\frac{\partial x}{\partial y}\Big)\hat{\mathbf{k}} =\vecs{0} \nonumber \]
перший член також дорівнює нулю. Дійсно\(\vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{r} \times\vecs{ \nabla} \psi\big) = 0\) тримається за будь-який локон безкоштовно\(\vecs{r} (x,y,z)\text{.}\)
Векторні потенціали
Тепер ми далі вивчимо векторні потенціали, які були введені в прикладі 4.1.9. По-перше, ось формальне визначення.
\(\textbf{A}\)Векторне поле, як кажуть, є векторним потенціалом для векторного поля,\(\textbf{B}\) якщо
\[ \textbf{B}=\vecs{ \nabla} \times\textbf{A} \nonumber \]
Як ми бачили в прикладі 4.1.9, якщо векторне поле\(\textbf{B}\) має векторний потенціал, то теорема ідентичності вектора 4.1.7.a передбачає, що\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B}=0\text{.}\) Цей факт заслуговує на те, щоб називатися теоремою.
Якщо існує векторний потенціал для векторного поля,\(\textbf{B}\text{,}\) то
\[ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B}=0 \nonumber \]
Звичайно, ми розглянемо зворотне найближчим часом. Також відзначимо, що векторний потенціал, коли він існує, далеко не унікальний. Два векторних поля\(\textbf{A}\) і обидва\(\tilde{\textbf{A}}\) векторні потенціали для одного і того ж векторного поля, якщо і тільки якщо
\[ \vecs{ \nabla} \times\textbf{A}=\vecs{ \nabla} \times\tilde{\textbf{A}} \iff \vecs{ \nabla} \times(\textbf{A}-\tilde{\textbf{A}})=\vecs{0} \nonumber \]
Тобто тоді і тільки в тому випадку, якщо різниця\(\textbf{A}-\tilde{\textbf{A}}\) проходить консервативний польовий скринінговий тест теорем 2.3.9 і 2.4.8. Зокрема, якщо\(\textbf{A}\) є одним векторним потенціалом для векторного поля\(\textbf{B}\) (тобто if\(\textbf{B}=\vecs{ \nabla} \times\textbf{A}\)), а якщо\(\psi\) є будь-якою функцією, то
\[ \vecs{ \nabla} \times(\textbf{A}+\vecs{ \nabla} \psi) =\vecs{ \nabla} \times\textbf{A} + \vecs{ \nabla} \times\vecs{ \nabla} \psi =\textbf{B} \nonumber \]
за теоремою векторної ідентичності 4.1.7.b. Тобто є ще одним\(\textbf{A}+\vecs{ \nabla} \psi\) векторним потенціалом для\(\textbf{B}\text{.}\)
Для спрощення обчислень ми завжди можемо вибрати\(\psi\) так, щоб, наприклад, третя складова,\(\textbf{A}+\vecs{ \nabla} \psi\text{,}\) а\(\big(\textbf{A}+\vecs{ \nabla} \psi\big)\cdot\hat{\mathbf{k}}= \textbf{A}_3+\frac{\partial\psi}{\partial z}\text{,}\) саме нуль — просто\(\psi = -\int \textbf{A}_3\, \text{d}z\text{.}\) вибираємо Ми тільки що довели
Якщо\(\textbf{B}\) векторне поле має векторний потенціал, то, зокрема, існує векторний потенціал\(\textbf{A}\) для\(\textbf{B}\) з 9\(\textbf{A}_3=0\text{.}\)
Ось приклад, який використовує цей вибір для спрощення обчислень, що використовуються для пошуку векторного потенціалу.
Нехай
\[\textbf{B} = yz\,\hat{\pmb{\imath}} + zx\,\hat{\pmb{\jmath}} + xy\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Це векторне поле було створено ретельно, щоб підкорятися
\[ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B} = \frac{\partial }{\partial x}(yz) +\frac{\partial }{\partial y}(zx) +\frac{\partial }{\partial z}(xy) =0 \nonumber \]
і так проходить скринінговий тест теореми 4.1.12.
Давайте спробуємо знайти векторний потенціал для\(\textbf{B}\text{.}\) Тобто, давайте спробуємо знайти векторне поле,\(\textbf{A}= A_1\,\hat{\pmb{\imath}} + A_2\,\hat{\pmb{\jmath}} + A_3\,\hat{\mathbf{k}}\) яке підпорядковується\(\vecs{ \nabla} \times\textbf{A} = \textbf{B}\text{,}\) або еквівалентно,
\[\begin{align*} \frac{\partial A_3}{\partial y} -\frac{\partial A_2}{\partial z} &= B_1 =yz\\ -\frac{\partial A_3}{\partial x} +\frac{\partial A_1}{\partial z}&=B_2=zx\\ \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y}&=B_3=xy \end{align*}\]
Ця система є неприємною для вирішення, тому що кожне рівняння містить більше одного з трьох невідомих,\(A_1\text{,}\)\(A_2\text{,}\)\(A_3\text{.}\) Давайте скористаємося нашим спостереженням вище, що, якщо будь-який векторний потенціал існує, то, зокрема, векторний потенціал\(\textbf{A}\) існує, який також підкоряється\(A_3=0\text{.}\) Так нехай також вимагають, щоб\(A_3=0\text{.}\) Тоді рівняння вище спростити
\[\begin{align*} -\frac{\partial A_2}{\partial z} &=yz\\ \frac{\partial A_1}{\partial z} &=zx\\ \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y}&=xy \end{align*}\]
Ця система набагато простіша, тому що тепер, коли ми вибрали\(A_3=0\text{,}\) перше рівняння містить лише одне невідоме, а саме,\(A_2\) і ми можемо знайти все\(A_2\), що підкоряються першому рівнянню, просто інтегруючи щодо\(z\text{:}\)
\[ A_2 = -\frac{yz^2}{2} + N(x,y) \nonumber \]
Зверніть увагу, що, оскільки\(\frac{\partial }{\partial z}\) трактує\(x\) і\(y\) як константи, константа інтеграції\(N\) дозволяється залежати від\(x\) і\(y\text{.}\)
Аналогічно, друге рівняння містить лише одне невідоме,\(A_1\text{,}\) і легко вирішується інтеграцією щодо другого рівняння задовольняється тоді і тільки тоді, коли\(z\text{.}\)
\[ A_1 = \frac{xz^2}{2} + M(x,y) \nonumber \]
для якоїсь функції\(M\text{.}\)
Нарешті, третє рівняння також задовольняється тоді і тільки тоді, коли\(M(x,y)\) і\(N(x,y)\) підкорятися
\[ \frac{\partial }{\partial x}\Big(-\frac{yz^2}{2} + N(x,y)\Big) -\frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{xz^2}{2} + M(x,y)\Big)=xy \nonumber \]
що спрощує
\[ \frac{\partial N}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) =xy \nonumber \]
Це одне лінійне рівняння в двох невідомих,\(M\) і\(N\text{.}\) зазвичай ми можемо легко вирішити одне лінійне рівняння в одному невідомому. Тож ми вільні усунути одне з невідомих, встановивши, наприклад,\(M=0\text{,}\) а потім вибираємо будь-який,\(N\) який підкоряється
\[ \frac{\partial N}{\partial x}(x,y) = xy \nonumber \]
Інтеграція щодо\(x\) дає, як один можливий вибір,\(N(x,y) = \frac{x^2y}{2}\text{.}\) Таким чином, ми знайшли векторний потенціал. А саме
\[ \textbf{A} = \frac{xz^2}{2} \hat{\pmb{\imath}} +\Big(-\frac{yz^2}{2} + \frac{x^2y}{2}\Big)\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]
Можна, і справді слід швидко перевірити, що\(\vecs{ \nabla} \times\textbf{A}=\textbf{B}\text{.}\)
Давайте зробимо інше.
Нехай
\[ \textbf{B} = (2x)\,\hat{\pmb{\imath}}+(2z-2x)\,\hat{\pmb{\jmath}} +(2x-2z)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Це векторне поле підпорядковується
\[ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B} = \frac{\partial }{\partial x}(2x) +\frac{\partial }{\partial y}(2z-2x) +\frac{\partial }{\partial z}(2x-2z) =0 \nonumber \]
і так проходить скринінговий тест теореми 4.1.12. Тепер ми знайдемо векторний потенціал\(\textbf{A}= A_1\,\hat{\pmb{\imath}} + A_2\,\hat{\pmb{\jmath}} + A_3\,\hat{\mathbf{k}}\) для\(\textbf{B}\text{.}\) Як в останньому прикладі, ми спростимо обчислення, додатково вимагаючи 10, що\(A_3=0\text{.}\)
Вимоги, які\(\vecs{ \nabla} \times\textbf{A} = \textbf{B}\) і\(A_3=0\) зводяться до
\[\begin{align*} -\frac{\partial A_2}{\partial z} &=2x\\ \frac{\partial A_1}{\partial z} &=2z-2x\\ \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y}&=2x-2z \end{align*}\]
Оскільки\(\frac{\partial }{\partial z}\) трактує\(x\) і\(y\) як константи, перше рівняння задовольняється тоді і тільки тоді, коли є функція\(N(x,y)\)
\[ A_2 = -2xz + N(x,y) \nonumber \]
і друге рівняння задовольняється тоді і тільки тоді, коли є функція\(M(x,y)\)
\[ A_1 = z^2-2xz + M(x,y) \nonumber \]
Нарешті, третє рівняння також задовольняється тоді і тільки тоді, коли\(M(x,y)\) і\(N(x,y)\) підкорятися
\[\begin{align*} &\frac{\partial }{\partial x}\Big(-2xz + N(x,y)\Big) -\frac{\partial }{\partial y}\Big(z^2-2xz + M(x,y))\Big)=2x-2z\\ &\iff -2z+\frac{\partial N}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) =2x -2z\\ &\iff \phantom{-2z+\ \,} \frac{\partial N}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) =2x \end{align*}\]
Всі в цьому рівнянні скасували з 11, і ми можемо вибрати, наприклад,\(M(x,y)=0\) і\(N(x,y) = x^2\text{.}\) Таким чином, ми знайшли векторний потенціал.\(z\) А саме
\[ \textbf{A} = (z^2-2xz) \hat{\pmb{\imath}} +(x^2-2xz)\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]
Знову ж таки, це гарна ідея, щоб перевірити це\(\vecs{ \nabla} \times\textbf{A}=\textbf{B}\text{.}\)
Ми можемо використовувати саме стратегію останніх прикладів, щоб довести
\(\textbf{B}\)Дозволяти векторне поле, яке визначено і має всі його часткові похідні першого порядку безперервні на всіх\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Тоді існує векторний потенціал для\(\textbf{B}\) якщо і тільки якщо він проходить скринінговий тест.\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B}=0\text{.}\)
-
Ми вже знаємо, що існування векторного потенціалу означає, що\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B}=0\text{.}\) Отже, ми просто повинні припустити, що\(\vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B}=0\) і довести, що це означає існування векторного поля\(\textbf{A}\), яке підкоряється\(\vecs{ \nabla} \times\textbf{A} = \textbf{B}\text{.}\) Отже, нам потрібно вирішити
\[\begin{align*} \frac{\partial A_3}{\partial y} -\frac{\partial A_2}{\partial z} &= B_1(x,y,z)\\ -\frac{\partial A_3}{\partial x} +\frac{\partial A_1}{\partial z}&=B_2(x,y,z)\\ \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y}&=B_3(x,y,z) \end{align*}\]
Ми явно знайдемо таку,\(\textbf{A}\) використовуючи саме стратегію Прикладу 4.1.14. Зокрема, ми будемо шукати,\(\textbf{A}\) який також має\(A_3=0\text{.}\) Тоді рівняння спростити
\[\begin{align*} -\frac{\partial A_2}{\partial z} &=B_1(x,y,z)\\ \frac{\partial A_1}{\partial z} &=B_2(x,y,z)\\ \frac{\partial A_2}{\partial x} -\frac{\partial A_1}{\partial y}&=B_3(x,y,z) \end{align*}\]
Перше рівняння задовольняється тоді і тільки якщо
\[ A_2(x,y,z) = -\int_0^z B_1(x,y,\tilde z)\ \text{d}\tilde z +N(x,y) \nonumber \]
для деякої функції\(N(x,y)\text{.}\) І друге рівняння задовольняється тоді і тільки якщо
\[ A_1(x,y,z) = \int_0^z B_2(x,y,\tilde z)\ \text{d}\tilde z +M(x,y) \nonumber \]
Таким чином, всі три рівняння задовольняються, якщо і тільки якщо ми можемо знайти\(M(x,y)\) і\(N(x,y)\) що підкорятися
\[\begin{align*} &\frac{\partial }{\partial x}\Big( \overbrace{-\int_0^z B_1(x,y,\tilde z)\ \text{d}\tilde z +N(x,y)}^{A_2(x,y,z)}\Big)\\ &\hskip1in -\frac{\partial }{\partial y}\Big( \overbrace{\int_0^z B_2(x,y,\tilde z)\ \text{d}\tilde z +M(x,y)}^{A_1(x,y,z)}\Big) =B_3(x,y,z) \end{align*}\]
що має місце, якщо і тільки якщо
\[\begin{gather*} \frac{\partial N}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) = B_3(x,y,z) + \int_0^z\Big(\frac{\partial B_1}{\partial x}(x,y,\tilde z) + \frac{\partial B_2}{\partial y}(x,y,\tilde z)\Big) \ \text{d}\tilde z \end{gather*}\]
Дах! На перший погляд, схоже, у нас тут дуже велика проблема. Незалежно від того, що\(N\) і\(M\) ми вибираємо ліву сторону буде залежати\(x\) і\(y\) тільки - не від\(z\text{.}\) Але здається, що права сторона залежить від\(z\) теж. На щастя, скринінговий тест (який ми не використовували до цього моменту в доказі) йде на допомогу і гарантує, що права рука насправді не залежить\(z\text{.}\) від скринінгового тесту,
\[ \vecs{ \nabla} \cdot\textbf{B} =\frac{\partial B_1}{\partial x} +\frac{\partial B_2}{\partial y} +\frac{\partial B_3}{\partial z}=0 \nonumber \]
і ми маємо
\[ \frac{\partial B_1}{\partial x} +\frac{\partial B_2}{\partial y} =-\frac{\partial B_3}{\partial z} \nonumber \]
щоб права сторона була
\[\begin{align*} B_3(x,y,z) + \int_0^z\Big(-\frac{\partial B_3}{\partial z}(x,y,\tilde z) \Big) \ \text{d}\tilde z &= B_3(x,y,z) +\Big[-B_3(x,y,\tilde z\Big]^{\tilde z=z}_{\tilde z=0}\\ &=B_3(x,y,0) \end{align*}\]
за фундаментальною теоремою числення. Так що нам залишається тільки вибирати\(M\) і\(N\) підкорятися
\[\begin{gather*} \frac{\partial N}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) = B_3(x,y,0) \end{gather*}\]
Наприклад,\(M=0\text{,}\)\(N(x,y) = \int _0^x B_3(\tilde x,y,0)\ \text{d}\tilde x\) робота. Тож ми не тільки довели, що векторний потенціал існує, але й знайшли для нього формулу.
Зверніть увагу, що в теоремі 4.1.16 ми припускаємо, що\(\textbf{B}\) проходить скринінговий тест на всіх\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Якщо це не так, наприклад, тому що векторне поле не визначено на всіх,\(\mathbb{R} ^3\text{,}\) то\(\textbf{B}\) може не мати векторного потенціалу. Приклад (точкове джерело) наведено в прикладі 4.4.8.
тлумачення градієнта
У цьому розділі ми розробимо інтерпретацію градієнта\(\vecs{ \nabla} f(\vecs{r} _0)\text{.}\) Це повинен бути лише огляд матеріалу, який ви бачили раніше.
Припустимо, що ви рухаєтеся через простір і що ваше положення в час\(t\) є\(\vecs{r} (t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)\text{.}\) Коли ви рухаєтеся, ви вимірюєте, наприклад, температуру. Якщо температура в положенні\((x,y,z)\) є,\(f(x,y,z)\text{,}\) то температура, яку ви вимірюєте під час,\(t\) є\(f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\text{.}\) Таким чином, швидкість зміни температури, яку ви відчуваєте, є
\[\begin{align*} &\dfrac{d }{dt}f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\\ &\hskip0.3in =\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t),y(t),z(t)\big) \dfrac{dx}{dt}(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t),y(t),z(t)\big) \dfrac{dy}{dt}(t)\\ &\hskip1in +\frac{\partial f}{\partial z}\big(x(t),y(t),z(t)\big) \dfrac{dz}{dt}(t) \qquad \text{(by the chain rule)}\\ &\hskip0.3in=\vecs{ \nabla} f\big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\vecs{r} '(t)\\ &\hskip0.3in=\big|\vecs{ \nabla} f\big(\vecs{r} (t)\big)\big| \,\big|\vecs{r} '(t)\big|\,\cos\theta \end{align*}\]
де\(\theta\) - кут між вектором\(\vecs{ \nabla} f\big(\vecs{r} (t)\big)\) градієнта і вектором швидкості\(\vecs{r} '(t)\text{.}\) Це швидкість зміни за одиницю часу. Ми можемо отримати швидкість зміни на одиницю пройденої відстані, рухаючись зі швидкістю один, так що\(\big|\vecs{r} '(t)\big|=1\) і потім
\[\begin{gather*} \dfrac{d }{dt}f\big(\vecs{r} (t)\big) =\big|\vecs{ \nabla} f\big(\vecs{r} (t)\big)\big|\,\cos\theta \end{gather*}\]
Якщо, в даний момент\(t=t_0\text{,}\) ви перебуваєте в\(\vecs{r} (t_0)=\vecs{r} _0\text{,}\) то
\[\begin{gather*} \dfrac{d }{dt}f\big(\vecs{r} (t)\big)\Big|_{t=t_0} =\big|\vecs{ \nabla} f(\vecs{r} _0)\big|\,\cos\theta \end{gather*}\]
Нагадаємо, що\(\theta\) це кут між нашим напрямком руху та вектором градієнта.\(\vecs{ \nabla} f(\vecs{r} _0)\text{.}\) Отже, щоб максимізувати швидкість зміни температури, яку ми відчуваємо, коли\(\vecs{r} _0\text{,}\) ми проходимо, ми повинні вибрати напрямок руху, щоб бути напрямком вектора\(\vecs{ \nabla} f(\vecs{r} _0)\text{.}\) градієнта.
\[\begin{alignat*}{2} \vecs{ \nabla} f(\vecs{r} _0) & \text{ has direction } && \left\{ \begin{array}{l} \text{direction of maximum rate of change}\\ \text{of $f$ at $\vecs{r} _0$} \end{array}\right.\\ & \text{ has magnitude } && \left\{ \begin{array}{l} \text{magnitude of maximum rate of change} \\ \text{ (per unit distance) of $f$ at $\vecs{r} _0$} \end{array} \right. \end{alignat*}\]
тлумачення розбіжності
У цьому розділі ми розробимо інтерпретацію\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{r} _0)\) розбіжності векторного поля\(\vecs{v} (\vecs{r} )\) в точці\(\vecs{r} _0\text{.}\) Ми зробимо це в два етапи.
- Спочатку ми висловимо\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{r} _0)\) в терміні інтегралів потоку.
- Тоді ми використаємо інтерпретацію інтегралів потоку, наведену в Lemma 3.4.1, щоб отримати інтерпретацію\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{r} _0)\text{.}\)
Подумайте про швидкість рідини в\((x,y,z)\) і фіксуйте будь-яку точку\(\vecs{r} _0=(x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Нехай, для будь-якої\(\varepsilon \gt 0\text{,}\)\(S_\varepsilon\) сфери\(\vecs{v} (x,y,z)\)
- по центру\(\vecs{r} _0\)
- радіусу\(\varepsilon\text{.}\)
- Позначимо\(\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\) назовні нормаль до\(S_\varepsilon\) at\((x,y,z)\text{.}\)
Ми доведемо в Lemma 4.1.20 нижче, що ми можемо написати\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{r} _0)\) як межа
\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (x_0,y_0,z_0) =\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\frac{4}{3}\pi\varepsilon^3} \iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S \end{gather*}\]
Після того, як ми маємо цю лему, ми можемо використовувати це
- \(\frac{4}{3}\pi\varepsilon^3\)це обсяг внутрішньої частини сфери\(S_\varepsilon\) і
- по Lemma 3.4.1,\(\iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S\) це швидкість 12, з якою рідина виходить\(S_\varepsilon\)
зробити висновок, що
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{r} _0) & =\left\{ \begin{array}{l} \text{rate at which fluid is exiting an }\\ \text{infinitesimal sphere centred }\\ \text{at $\vecs{r} _0$, per unit time, per unit volume} \end{array} \right.\\ &=\text{strength of the source at $\vecs{r} _0$} \end{align*}\]
Ось критичні обчислення.
\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (x_0,y_0,z_0) =\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\frac{4}{3}\pi\varepsilon^3} \iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S \end{gather*}\]
-
Ось один доказ 13 з Лемми 4.1.20.
Переводячи нашу систему координат, досить розглянути\(\vecs{r} _0=(x_0,y_0,z_0) = (0,0,0)\text{.}\) Тоді
\[\begin{gather*} S_\varepsilon = \left \{(x,y,z)||(x,y,z)|=\varepsilon\right \}\qquad \hat{\textbf{n}}(x,y,z) = \frac{1}{\varepsilon}(x,y,z) \end{gather*}\]
Ми розширюємося\(\vecs{v} (x,y,z)\) в розширенні Тейлора в\(x\text{,}\)\(y\text{,}\)\(z\text{,}\) повноваженнях і до першого порядку, з терміном помилки другого порядку.
\[\begin{gather*} \vecs{v} (x,y,z) = \textbf{A} + \textbf{B}\,x +\textbf{C}\,y +\textbf{D}\, z +\textbf{R}(x,y,z) \end{gather*}\]
де
\[\begin{gather*} \textbf{A}=\vecs{v} (0,0,0) \qquad \textbf{B}=\frac{\partial \vecs{v} }{\partial x}(0,0,0) \qquad \textbf{C}=\frac{\partial \vecs{v} }{\partial y}(0,0,0) \qquad \textbf{D}=\frac{\partial \vecs{v} }{\partial z}(0,0,0) \end{gather*}\]
а термін помилки\(\textbf{R}(x,y,z)\) обмежений постійною часом 14\(x^2+y^2+z^2\text{.}\) Зокрема існує константа\(K\) так, що, на\(S_\varepsilon\text{,}\)
\[ |\textbf{R}(x,y,z)|\le K\varepsilon^2 \nonumber \]
Так
\[\begin{align*} &\iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S\\ &\hskip1in= \frac{1}{\varepsilon} \iint_{S_\varepsilon}\big( \textbf{A} + \textbf{B}\,x +\textbf{C}\,y +\textbf{D}\, z +\textbf{R}(x,y,z) \big)\cdot (x,y,z)\,\text{d}S \end{align*}\]
Помножте крапковий добуток так, щоб ціле число стало
\[\begin{alignat*}{3} &\phantom{+}\ \textbf{A}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,x &&+\ \textbf{A}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,y &&+\textbf{A}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,z\\ &+\textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,x^2 &&+\ \textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,xy &&+\textbf{B}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,xz\\ &+\textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,xy &&+\ \textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,y^2 &&+\textbf{C}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,yz\\ &+\textbf{D}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,xz\ &&+\ \textbf{D}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,yz &&+\textbf{D}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,z^2\\ &+\textbf{R}(x,y,z)\cdot (x,y,z) \end{alignat*}\]
Це дуже багато термінів. Але більшість з них інтегруються до нуля, просто тому, що інтеграл непарної функції над парною областю дорівнює нулю. Тому\(S_\varepsilon\) що інваріантний під\(x\rightarrow -x\) і під\(y\rightarrow -y\) і під\(z\rightarrow -z\) ми маємо
\[\begin{gather*} \iint_{S_\varepsilon}\!\! x\,\text{d}S =\iint_{S_\varepsilon}\!\! y\,\text{d}S =\iint_{S_\varepsilon}\!\! z\,\text{d}S =\iint_{S_\varepsilon}\!\! xy\,\text{d}S =\iint_{S_\varepsilon}\!\! xz\,\text{d}S =\iint_{S_\varepsilon}\!\! yz\,\text{d}S =0 \end{gather*}\]
що є рельєфом. Тепер нам залишилося
\[\begin{align*} \iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S &= \frac{1}{\varepsilon} \iint_{S_\varepsilon}\big( \textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,x^2 +\textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,y^2 +\textbf{D}\cdot\hat{\mathbf{k}}\, z^2 \big)\,\text{d}S\\ &\hskip1in +\frac{1}{\varepsilon} \iint_{S_\varepsilon}\textbf{R}(x,y,z)\cdot (x,y,z)\,\text{d}S \end{align*}\]
А також\(S_\varepsilon\) інваріантний 15 під обмін,\(x\)\(y\) а також під взаємозв'язком\(x\) і,\(z\text{.}\) отже,
\[\begin{align*} \iint_{S_\varepsilon} x^2\,\text{d}S &=\iint_{S_\varepsilon} y^2\,\text{d}S =\iint_{S_\varepsilon} z^2\,\text{d}S =\frac{1}{3}\iint_{S_\varepsilon}\big[x^2+y^2+ z^2\big]\,\text{d}S\\ &=\frac{1}{3}\iint_{S_\varepsilon}\varepsilon^2\,\text{d}S \qquad\text{since $x^2+y^2+z^2=\varepsilon^2$ on } S_\varepsilon\\ &=\frac{4}{3}\pi\varepsilon^4 \end{align*}\]
так як площа поверхні сфери\(S_\varepsilon\)\(4\pi\varepsilon^2\text{.}\) поки що ми маємо
\[\begin{align*} &\iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S = \frac{4}{3}\pi\varepsilon^3 \big(\textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\imath}} +\textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\jmath}} +\textbf{D}\cdot\hat{\mathbf{k}}\big)\\ &\hskip2in+\frac{1}{\varepsilon} \iint_{S_\varepsilon}\textbf{R}(x,y,z)\cdot (x,y,z)\,\text{d}S\\ &\hskip0.75in= \frac{4}{3}\pi\varepsilon^3 \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{0}) +\frac{1}{\varepsilon} \iint_{S_\varepsilon}\textbf{R}(x,y,z)\cdot (x,y,z)\,\text{d}S\\ &\hskip2in\text{(review the definitions of } \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D}) \end{align*}\]
що має на увазі
\[\begin{align*} &\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\frac{4}{3}\pi\varepsilon^3} \iint_{S_\varepsilon}\vecs{v} (x,y,z)\cdot\hat{\textbf{n}}(x,y,z)\,\text{d}S\\ &\hskip1in= \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{0}) +\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{3}{4\pi\varepsilon^4} \iint_{S_\varepsilon}\textbf{R}(x,y,z)\cdot (x,y,z)\,\text{d}S \end{align*}\]
Нарешті, досить згадати, що\(|\textbf{R}(x,y,z)|\le K\varepsilon^2\) і, на\(S_\varepsilon\text{,}\)\(|(x,y,z)|=\varepsilon\text{,}\) так що
\[\begin{align*} \frac{3}{4\pi\varepsilon^4}\bigg| \iint_{S_\varepsilon}\textbf{R}(x,y,z)\cdot (x,y,z)\,\text{d}S \bigg| &\le \frac{3}{4\pi\varepsilon^4} \iint_{S_\varepsilon}|\textbf{R}(x,y,z)|\,|(x,y,z)|\,\text{d}S\\ &\le \frac{3}{4\pi\varepsilon^4} \iint_{S_\varepsilon}K\varepsilon^3\,\text{d}S = \frac{3}{4\pi\varepsilon^4} \ K\varepsilon^3\,\big(4\pi \varepsilon^2)\\ &= 3K\varepsilon \end{align*}\]
сходиться до нуля, як\(\varepsilon\rightarrow 0\text{.}\) Таким чином, ми залишаємося з потрібним результатом.
Ось ескіз векторного поля\(\vecs{v} (x,y,z) = x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\) і сфери з центром на початку, як\(S_\varepsilon\text{.}\)
Це поле швидкості має рідину, яка створюється і виштовхується через сферу. У нас є
\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{0}) = 3 \end{gather*}\]
узгоджується з нашою інтерпретацією 4.1.19.
Ось ескіз векторного поля\(\vecs{v} (x,y,z) = -y\,\hat{\pmb{\imath}}+x\,\hat{\pmb{\jmath}}\) і сфери з центром на початку, як\(S_\varepsilon\text{.}\)
Це поле швидкості просто має рідину, що йде по колах. Жодна рідина насправді не перетинає сферу. розбіжність
\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{0}) = 0 \end{gather*}\]
узгоджується з нашою інтерпретацією 4.1.19.
Ось ескіз векторного поля\(\vecs{v} (x,y,z) = \hat{\pmb{\imath}}\) і сфери з центром на початку, як\(S_\varepsilon\text{.}\)
Це поле швидкості просто має рідина, що рухається рівномірно вправо. Рідина надходить в сферу зліва і виходить через праву з точно такою ж швидкістю, так що чиста швидкість при перетині рідини через сферу дорівнює нулю. розбіжність
\[\begin{gather*} \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{v} (\vecs{0}) = 0 \end{gather*}\]
знову узгоджується з нашою інтерпретацією 4.1.19.
тлумачення локона
Ми зараз розробимо інтерпретацію завитка, а точніше,\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (\vecs{r} _0)\cdot\hat{\textbf{n}}\) для будь-якого вектора одиниці.\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) Як ми це робили при розробці інтерпретації дивергенції, ми будемо
- перший експрес\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (\vecs{r} _0)\cdot\hat{\textbf{n}}\) як межа інтегралів, і
- то ми будемо інтерпретувати інтеграли.
Щоб вказати інтеграли, що беруть участь, нехай\(C_\varepsilon\) буде коло, який
- зосереджена на\(\vecs{r} _0\)
- має радіус\(\varepsilon\)
- лежить в площині через\(\vecs{r} _0\) перпендикулярно\(\hat{\textbf{n}}\)
- орієнтований стандартним чином по відношенню до\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\) Уявіть, що стоїть на колі з ногами на площині через\(\vecs{r} _0\) перпендикулярно\(\hat{\textbf{n}}\text{,}\) з вектором від ніг до голови в тому ж напрямку, що\(\hat{\textbf{n}}\) і з лівою рукою точки в сторону\(\vecs{r} _0\text{.}\) Тоді ваші є звернення в позитивну сторону для\(C_\varepsilon\text{.}\)
Ми покажемо в Lemma 4.1.25 нижче, що
\[ \vecs{ \nabla} \times v(\vecs{r} _0)\cdot \hat{\textbf{n}} =\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{1}{\pi\varepsilon^2} \oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]
Тепер давайте попрацюємо над інтерпретацією правої сторони, і, зокрема, над інтерпретацією інтеграла,\(\oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} \text{,}\) який називається циркуляцією\(\vecs{v} \) навколо\(C_\varepsilon\text{.}\) Помістіть крихітне весло в рідину з його віссю, що йде вздовж\(\hat{\textbf{n}}\) і його веслами уздовж,\(C_\varepsilon\text{,}\) як на малюнку нижче, хіба що
весло є дійсно дорогим і має набагато більше, ніж просто чотири весла. Прикиньте 16, що ви один з весла.
- Якщо весло обертається з\(\Omega\) радіанами в одиницю часу, то за одну одиницю часу ви змітаєте дугу окружності радіуса\(\varepsilon\), яка зменшує кут Ця дуга має довжину\(\Omega\varepsilon\text{.}\) Таким чином\(\Omega\text{.}\), ви рухаєтеся зі швидкістю\(\Omega\varepsilon\text{.}\)
- Якщо ви перебуваєте\(\vecs{r} \text{,}\) на складовій швидкості рідини у вашому напрямку руху, тобто дотичній до\(C_\varepsilon\text{,}\) є\(\vecs{v} (\vecs{r} )\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{ds}\text{,}\) тому, що\(\hat{\textbf{t}}=\dfrac{d\vecs{r} }{ds}\text{,}\) з\(s\) позначенням довжини дуги по колу, є одиничним вектором, тангенціальним до\(C_\varepsilon\text{.}\)
- Всі весла повинні рухатися з однаковою швидкістю. Так що швидкість обертання лопаток,\(\Omega\varepsilon\text{,}\) повинна бути середнім значенням\(\vecs{v} (\vecs{r} )\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{ds}\) по колу.
Таким чином, швидкість\(\Omega\text{,}\) обертання, лопатевого колеса повинна визначатися
\[\begin{align*} \Omega \varepsilon &= \frac{\oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot\dfrac{d\vecs{r} }{ds}\text{d}s} {\oint_{C_\varepsilon}\text{d}s} = \frac{\oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot\text{d}\vecs{r} } {2\pi\varepsilon} \end{align*}\]
Отже\(\vecs{ \nabla} \times v(\vecs{r} _0)\cdot \hat{\textbf{n}}\), межа як\(\varepsilon\) (радіус лопастного колеса) прагне до нуля
\[\begin{gather*} \frac{1}{\pi\varepsilon^2} \oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} =2\Omega \end{gather*}\]
Це наша інтерпретація.
Якщо рідина має поле швидкості,\(\vecs{v} \) і ви розміщуєте нескінченно мале весло на його вісь у напрямку,\(\vecs{n} \text{,}\) то вона обертається\(\vecs{r} _0\) з\(\frac{1}{2}\vecs{ \nabla} \times \vecs{v} (\vecs{r} _0)\cdot \hat{\textbf{n}}\) радіанами за одиницю часу. Зокрема, щоб максимально збільшити швидкість обертання, зорієнтуйте весло так, щоб\(\hat{\textbf{n}}\parallel\vecs{ \nabla} \times \vecs{v} (\vecs{r} _0)\text{.}\)
У кінці цього розділу буде кілька прикладів. Спочатку показуємо
\[ \vecs{ \nabla} \times \vecs{v} (\vecs{r} _0)\cdot \hat{\textbf{n}} =\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{1}{\pi\varepsilon^2} \oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} \nonumber \]
-
Ось один з доказів 17 Лемма 4.1.25.
Так само, як ми зробили в доказ Lemma 4.1.20, ми завжди можемо перевести нашу систему координат так що\(\vecs{r} _0=(x_0,y_0,z_0) = (0,0,0)\text{.}\) Ми також можемо повернути нашу систему координат так, що\(\hat{\textbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Тому що\(\vecs{r} _0=(0,0,0)\) і\(\hat{\textbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) так, що\(C_\varepsilon\) лежить в\(xy\) -площині, ми можемо параметризувати\(C_\varepsilon\) по
\[ \vecs{r} (t) =\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]
Знову ж таки, як ми зробили в доказі Lemma 4.1.20, розширити\(\vecs{v} (x,y,z)\) розширення Тейлора в\(x\text{,}\)\(y\text{,}\)\(z\text{,}\) повноваженнях і до першого порядку, з терміном помилки другого порядку.
\[\begin{gather*} \vecs{v} (x,y,z) = \textbf{A} + \textbf{B}\,x +\textbf{C}\,y +\textbf{D}\, z +\textbf{R}(x,y,z) \end{gather*}\]
де
\[\begin{gather*}\textbf{A}=\vecs{v} (0,0,0) \qquad \textbf{B}=\frac{\partial \vecs{v} }{\partial x}(0,0,0) \qquad \textbf{C}=\frac{\partial \vecs{v} }{\partial y}(0,0,0) \qquad \textbf{D}=\frac{\partial \vecs{v} }{\partial z}(0,0,0) \end{gather*}\]
і термін помилки\(\textbf{R}(x,y,z)\) обмежений постійним часом\(x^2+y^2+z^2\text{.}\) Зокрема існує константа\(K\) так, що, на\(C_\varepsilon\text{,}\)
\[ |\textbf{R}(x,y,z)|\le K\varepsilon^2 \nonumber \]
Так
\[\begin{align*} &\oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} \\ &\hskip0.25in=\int_0^{2\pi} \big(\textbf{A} + \textbf{B}\,\varepsilon\,\cos t +\textbf{C}\,\varepsilon\,\sin t +\textbf{R}(\vecs{r} (t))\big) \cdot \big(-\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\ \text{d}t \end{align*}\]
Знову ж таки, помножте точковий добуток так, щоб цілісний став
\[\begin{alignat*}{2} & -\varepsilon\textbf{A}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,\sin t &&+\ \varepsilon\textbf{A}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,\cos t\\ &-\varepsilon^2\textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,\sin t\cos t &&+\varepsilon^2\textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,\cos^2t\\ &-\varepsilon^2\textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\imath}}\,\sin^2 t &&+\ \varepsilon^2\textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\jmath}}\,\sin t\cos t\\ &+\textbf{R}(\vecs{r} (t))\cdot \big(-\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) \end{alignat*}\]
Знову ж більшість цих термінів інтегруються в нуль, тому що
\[\begin{alignat*}{2} \int_0^{2\pi}\sin t\ \text{d}t &=\hskip10pt\int_0^{2\pi}\cos t\ \text{d}t &&=0\\ \int_0^{2\pi}\sin t\cos t\ \text{d}t &= \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\sin(2t)\ \text{d}t &&=0 \end{alignat*}\]
і\(\cos^2 t\) терміни\(\sin^2t\) і легко інтегруються за допомогою (див. Приклад 2.4.4)
\[ \int_0^{2\pi}\sin^2 t\ \text{d}t=\int_0^{2\pi}\cos^2 t\ \text{d}t =\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\big[\sin^2t+\cos^2 t\big]\ \text{d}t=\pi \nonumber \]
Таким чином, ми залишилися з
\[\begin{align*} \oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} &= \pi\varepsilon^2\textbf{B}\cdot\hat{\pmb{\jmath}} - \pi\varepsilon^2\textbf{C}\cdot\hat{\pmb{\imath}} +\int_0^{2\pi} \textbf{R}(\vecs{r} (t)) \cdot \big(-\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\ \text{d}t \end{align*}\]
що означає, що
\[\begin{align*} \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{1}{\pi\varepsilon^2} \oint_{C_\varepsilon} \vecs{v} (\vecs{r} )\cdot \text{d}\vecs{r} &= \frac{\partial \vecs{v} _2}{\partial x}(0,0,0) - \frac{\partial \vecs{v} _1}{\partial y}(0,0,0)\\ &\hskip0.5in +\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\! \frac{1}{\pi\varepsilon^2} \int_0^{2\pi}\!\!\!\! \textbf{R}(\vecs{r} (t)) \cdot \big(-\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\,\text{d}t\\ &= \big(\vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (0,0,0)\big)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &\hskip0.5in +\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\pi\varepsilon^2} \int_0^{2\pi} \textbf{R}(\vecs{r} (t)) \cdot \big(-\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\ \text{d}t \end{align*}\]
Нарешті, досить згадати, що\(|\textbf{R}(x,y,z)|\le K\varepsilon^2\text{,}\) так
\[\begin{align*} \frac{1}{\pi\varepsilon^2}\bigg| \int_0^{2\pi} \textbf{R}(\vecs{r} (t)) \cdot \big(-\varepsilon\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\varepsilon\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\ \text{d}t \bigg| &\le \frac{1}{\pi\varepsilon} \int_0^{2\pi}|\textbf{R}(\vecs{r} (t))|\,\text{d}t\\ &\le \frac{1}{\pi\varepsilon} \int_0^{2\pi}K\varepsilon^2\,\text{d}t\\ &= \frac{1}{\pi\varepsilon} \ K\varepsilon^2\,(2\pi)\\ &= 2K\varepsilon \end{align*}\]
сходиться до нуля як\(\varepsilon\rightarrow 0\text{.}\)
Ось кілька прикладів. Ми будемо використовувати ті ж векторні поля, що і в прикладах 4.1.21, 4.1.22 і 4.1.23. У всіх прикладах зорієнтуємо весло так, щоб\(\hat{\textbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}\) і накидаємо вид зверху, щоб весло виглядало як
Ось ескіз векторного поля\(\vecs{v} (x,y,z) = x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\) і кола з центром на початку, як\(C_\varepsilon\text{.}\)
Це поле швидкості має рідину, що рухається паралельно лопастям, тому лопастне колесо взагалі не повинно обертатися. Обчислення
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (\vecs{0}) = \det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ x & y & z \end{matrix} \right] =\vecs{0} \implies \vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (\vecs{0})\cdot\hat{\mathbf{k}} = 0 \end{align*}\]
узгоджується з нашою інтерпретацією 4.1.24.
Ось ескіз векторного поля\(\vecs{v} (x,y,z) = -y\,\hat{\pmb{\imath}}+x\,\hat{\pmb{\jmath}}\) і кола з центром на початку, як\(C_\varepsilon\text{.}\)
Це поле швидкості має рідину, що йде по колу, проти годинникової стрілки. Таким чином, весло повинно обертатися і проти годинникової стрілки. Тобто вона повинна мати позитивну кутову швидкість. Наша інтерпретація 4.1.24 прогнозує кутову швидкість в половину
\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (\vecs{0})\cdot\hat{\mathbf{k}} = \det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ -y & x & 0 \end{matrix} \right] \cdot\hat{\mathbf{k}} =2\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{k}} =2 \end{align*}\]
який дійсно позитивний 18.
Ось ескіз векторного поля\(\vecs{v} (x,y,z) = \hat{\pmb{\imath}}\) і кола з центром на початку, як\(C_\varepsilon\text{.}\)
Рідина, що штовхає на верхню лопатку, намагається змусити весло обертатися за годинниковою стрілкою. Рідина, що штовхає на нижню лопатку, намагається змусити лопатеве колесо обертатися проти годинникової стрілки, з тією ж швидкістю. Так що весло не повинно обертатися взагалі. Наша інтерпретація 4.1.24 прогнозує кутову швидкість
\[\begin{align*} \frac{1}{2}\cdot\vecs{ \nabla} \times\vecs{v} (\vecs{0})\cdot\hat{\mathbf{k}} =\frac{1}{2} \det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \cdot\hat{\mathbf{k}} =\vecs{0}\cdot\hat{\mathbf{k}} =0 \end{align*}\]
як очікувалося.
Вправи
Етап 1
\(\vecs{F} = P\,\hat{\pmb{\imath}} + Q\,\hat{\pmb{\jmath}}\)Дозволяти двовимірне векторне поле, показане нижче.
- Припускаючи, що векторне поле на зображенні є силовим полем, робота, виконана векторним полем над частинкою, що рухається з точки\(A\) в\(B\) уздовж заданого шляху, така:
- Позитивні
- Негативний
- Нуль
- Недостатньо інформації для визначення.
- Яке твердження є найбільш вірним щодо лінійного інтеграла\(\int_{C_2} \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \text{:}\)
- \(\displaystyle \int_{C_2} \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \gt 0\)
- \(\displaystyle \int_{C_2} \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} =0\)
- \(\displaystyle \int_{C_2} \vecs{F} \cdot\text{d}\vecs{r} \lt 0\)
- Недостатньо інформації для визначення.
\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \)в точці\(N\) (на малюнку) знаходиться:
- Позитивні
- Негативний
- Нуль
- Недостатньо інформації для визначення.
- \(Q_x - P_y\)в точці\(Q\) знаходиться:
- Позитивні
- Негативний
- Нуль
- Недостатньо інформації для визначення.
- Припускаючи, що\(\vecs{F} = P\,\hat{\pmb{\imath}} + Q\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) яке з наступних тверджень є правильним\(\frac{\partial P}{\partial x}\) у точці\(D\text{?}\)
- \(\frac{\partial P}{\partial x}=0\)в\(D\text{.}\)
- \(\frac{\partial P}{\partial x} \gt 0\)в\(D\text{.}\)
- \(\frac{\partial P}{\partial x} \lt 0\)в\(D\text{.}\)
- Знак\(\frac{\partial P}{\partial x}\) ат\(D\) неможливо визначити за наведеними відомостями.
Чи\(\vecs{ \nabla} \times \vecs{F} \) повинен бути перпендикулярний\(\vecs{F} \text{?}\)
Перевірка векторних ідентичностей
- \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot(f\vecs{F} )=f\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} +\vecs{F} \cdot\vecs{ \nabla} f\)
- \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot(\vecs{F} \times\textbf{G}) =\textbf{G}\cdot(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} )- \vecs{F} \cdot(\vecs{ \nabla} \times\textbf{G})\)
- \(\displaystyle \vecs{ \nabla} ^2(fg)=f\,\vecs{ \nabla} ^2 g+2\vecs{ \nabla} f\cdot\vecs{ \nabla} g+g\,\vecs{ \nabla} ^2 f\)
Етап 2
Оцінити\(\vecs{ \nabla} \cdot\vecs{F} \) і\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \) для кожного з наступних векторних полів.
- \(\displaystyle \vecs{F} =x\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}\)
- \(\displaystyle \vecs{F} =xy^2\hat{\pmb{\imath}}-yz^2\hat{\pmb{\jmath}}+zx^2\hat{\mathbf{k}}\)
- \(\vecs{F} =\frac{x\hat{\pmb{\imath}}+y\hat{\pmb{\jmath}}}{\sqrt{x^2+y^2}}\)(полярний базисний вектор\(\hat{\bf r}\) у 2d)
- \(\vecs{F} =\frac{-y\hat{\pmb{\imath}}+x\hat{\pmb{\jmath}}}{\sqrt{x^2+y^2}}\)(полярний базисний вектор\(\hat{\pmb{\theta}}\) у 2d)
- Обчислити і спростити\(\vecs{ \nabla} \cdot\big(\frac{\vecs{r} }{r}\big)\) для\(\vecs{r} =(x,y,z)\) і\(r=|(x,y,z)|\text{.}\) висловити свою відповідь з точки зору\(r\text{.}\)
- Обчислити\(\vecs{ \nabla} \times\big(yz\,\hat{\pmb{\imath}} + 2xz\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{xy}\,\hat{\mathbf{k}}\big)\text{.}\)
У наступному ми використовуємо позначення\(\vecs{r} = x\,\hat{\pmb{\imath}} + y\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\)\(r = |\vecs{r} |\text{,}\) і\(k\) є деяким числом\(k = 0, 1, -1, 2, -2, \dots\text{.}\)
- Знайдіть значення,\(k\) для якого
\[ \vecs{ \nabla} (r^k) = -3\frac{\vecs{r} }{r^5} \nonumber \]
- Знайдіть значення,\(k\) для якого
\[ \vecs{ \nabla} \cdot (r^k\vecs{r} ) = 5r^2 \nonumber \]
- Знайдіть значення,\(k\) для якого
\[ \vecs{ \nabla} ^2 (r^k) = \frac{2}{r^4} \nonumber \]
\(\vecs{r} \)Дозволяти векторне поле\(\vecs{r} = x\,\hat{\pmb{\imath}} + y\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}}\) і\(r = |\vecs{r} |\text{.}\) нехай\(r\) функція\(\textbf{a}\) Дозволяти бути постійний вектор\(\textbf{a} = a_1\,\hat{\pmb{\imath}} + a_2\,\hat{\pmb{\jmath}} + a_3\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Обчислити і спростити наступні величини. Відповіді повинні бути виражені з точки зору\(\textbf{a}\text{,}\)\(\vecs{r} \text{,}\) і\(r\text{.}\) Там повинні бути ні,\(x\) '\(y\)s, або\(z\)' s у ваших відповідях.
- \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot\vecs{r} \)
- \(\displaystyle \vecs{ \nabla} (r^2)\)
- \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \times(\vecs{r} \times\textbf{a})\)
- \(\displaystyle \vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{ \nabla} (r)\big)\)
Нехай
\[ \vecs{r} = x\,\hat{\pmb{\imath}} + y\,\hat{\pmb{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}},\qquad r = |\vecs{r} | \nonumber \]
- Обчислити\(a\) де\(\vecs{ \nabla} \big(\frac{1}{r}\big) =- r^a\,\vecs{r} \text{.}\)
- Обчислити\(a\) де\(\vecs{ \nabla} \cdot\big(r\,\vecs{r} \big) = ar\text{.}\)
- Обчислити\(a\) де\(\vecs{ \nabla} \cdot\big(\vecs{ \nabla} (r^3)\big) = ar\text{.}\)
Знайти, якщо можливо, векторне поле,\(\textbf{A}\) яке має\(\hat{\mathbf{k}}\) компонент\(A_3=0\) і є векторним потенціалом для
- \(\displaystyle \vecs{F} =(1+yz)\hat{\pmb{\imath}}+(2y+zx)\hat{\pmb{\jmath}}+(3z^2+xy)\hat{\mathbf{k}}\)
- \(\displaystyle \textbf{G}= yz\hat{\pmb{\imath}}+zx\hat{\pmb{\jmath}}+xy\hat{\mathbf{k}}\)
Етап 3
Нехай
\[\begin{gather*} \vecs{F} = \frac{-z}{x^2+z^2}\,\hat{\pmb{\imath}} +y\,\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{x}{x^2+z^2}\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]
- Визначаємо домен\(\vecs{F} \text{.}\)
- Визначте локон\(\vecs{F} \text{.}\) спростити, якщо це можливо.
- Визначте розбіжність\(\vecs{F} \text{.}\) спростити, якщо це можливо.
- Є\(\vecs{F} \) консервативним? Дайте привід для вашої відповіді.
Фізик вивчає векторне поле\(\vecs{F} \) у своїй лабораторії. Вона знає з теоретичних міркувань, які\(\vecs{F} \) повинні мати форму\(\vecs{F} =\nabla\times\textbf{G}\text{,}\) для деякого гладкого векторного поля.\(\textbf{G}\text{.}\) Експерименти також показують, що\(\vecs{F} \) має бути форми.
\[ \vecs{F} (x,y,z)=(xz+xy)\hat{\pmb{\imath}}+\alpha(yz-xy)\hat{\pmb{\jmath}}+\beta(yz+xz)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
де\(\alpha\) і\(\beta\) є постійними.
- Визначте\(\alpha\) і\(\beta\text{.}\)
- Подальші експерименти показують, що\(\textbf{G}=xyz\hat{\pmb{\imath}}-xyz\hat{\pmb{\jmath}}+g(x,y,z)\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Знайти невідому функцію\(g(x,y,z)\text{.}\)
Тверде тіло обертається з кутовою швидкістю\(\Omega\) рад/сек навколо осі, яка проходить через початок і має напрямок\(\hat{\mathbf{a}}\text{.}\) Коли ви стоїте в голові\(\hat{\mathbf{a}}\) дивлячись на початок, обертання відбувається проти годинникової стрілки. Набір\(\boldsymbol{\Omega}=\Omega\hat{\mathbf{a}}\text{.}\)
- Покажіть, що швидкість точки\(\vecs{r} =(x,y,z)\) на тілі дорівнює\(\boldsymbol{\Omega}\times\vecs{r} \text{.}\)
- Оцінювати\(\vecs{ \nabla} \times(\boldsymbol{\Omega}\times\vecs{r} )\) і\(\vecs{ \nabla} \cdot(\boldsymbol{\Omega}\times\vecs{r} )\text{,}\)\(\boldsymbol{\Omega}\) трактувати як константу.
- Знайти швидкість учнів в класі, розташованому на широті\(49^\circ\) N за рахунок обертання Землі. Ігноруйте рух Землі про Сонце, Сонце в Галактиці і так далі. Радіус Землі - 6378 км.
Припустимо, що векторне поле\(\vecs{F} \) підкоряється\(\vecs{ \nabla} \cdot \vecs{F} =0\) у всіх\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Let
\[ \vecs{r} (t)=tx\,\hat{\pmb{\imath}}+ty\,\hat{\pmb{\jmath}}+tz\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0\le t\le 1 \nonumber \]
бути параметризацією відрізка лінії від початку до\((x,y,z)\text{.}\) Define
\[ \textbf{G}(x,y,z)=\int_0^1 t\,\vecs{F} \big(\vecs{r} (t)\big)\times\frac{d\vecs{r} }{dt}(t)\,dt \nonumber \]
Покажіть, що на\(\vecs{ \nabla} \times \textbf{G}=\vecs{F} \) протязі\(\mathbb{R}^3\text{.}\)
- Хороша стенографія не тільки більш коротка, але і допомагає зрозуміти «лісу, приховуючи дерева».
- П'єр-Симон Лаплас (1749—1827) був французьким математиком і астрономом. Він також є рівнянням Лапласа Лапласа, перетворенням Лапласа та оцінкою Лапласа-Байєса. Він був екзаменатором Наполеона, коли Наполеон відвідував Ecole Militaire в Парижі.
- Щоб бути прискіпливим, це рівняння Максвелла за відсутності матеріального середовища та в гауссових одиницях.
- Одним з важливих наслідків рівнянь Максвелла є те, що електромагнітне випромінювання, як і світло, поширюється зі швидкістю світла.
- Джеймс Клерк Максвелл (1831—1879) був шотландським фізиком-математиком. У опитуванні видатних фізиків Максвелл був визнаний третім за величиною фізиком усіх часів. Тільки Ньютон і Ейнштейн побили його.
- Це дійсно єдине визначення, яке має сенс. Наприклад,\(\textbf{G}\cdot(\vecs{ \nabla} \vecs{F} )\) не має сенсу, оскільки ви не можете взяти градієнт векторної функції.
- \(\delta_{m,n}\)називається дельта-функцією Кронекера. Він названий на честь німецького теоретика чисел і логіка Леопольда Кронекера (1823—1891). Він, як відомо, сказав: «Бог зробив цілі числа. Все інше - справа людини».
- Це нагадує вам теорему 2.4.8? Це повинно.
- Нічого особливого в індексі\(3\) тут немає. Точно таким же аргументом ми могли б придумати інший векторний потенціал, другий компонент якого дорівнює нулю, і з третім векторним потенціалом, перший компонент якого дорівнює нулю.
-
Звичайно, ми могли б однаково добре підібрати\(A_1=0\) або\(A_2=0\text{.}\)
-
\(z\)Якби не було скасовано, ні\(N(x,y)\) і\(M(x,y)\text{,}\) які зрештою не\(z\text{,}\) залежать від може задовольнити рівняння. Це було б вірною ознакою помилки користувача.
-
Лема 3.4.1 застосовується з\(\rho\) встановленою щільністю, рівною одиниці, так, точніше, норма - це кількість одиниць об'єму рідини, що виходить\(S_\varepsilon\) за одиницю часу.
-
Є ще одне, простіше зрозуміти, доказ цього результату, наведене в §4.4.1. Ми не можемо дати цього доказу тут, оскільки він використовує теорему розбіжності, до якої ми дістанемося пізніше в розділі.
-
Терміни на\(xy\text{,}\)\(xz\) кшталт і не\(yz\) потрібні, тому що, наприклад,\(|xy|\le \frac{1}{2}(x^2+y^2)\text{.}\) ця нерівність еквівалентна\(\big(|x|-|y|\big)^2\ge 0\text{.}\)
-
Сфери мають багато симетрії!
-
Метод дії може допомогти вам тут.
-
Є ще одне, простіше зрозуміти, доказ цього результату, наведене в §4.4.1. Ми не можемо дати цей доказ тут, оскільки він використовує теорему Стокса, до якої ми дістанемося пізніше в розділі.
-
Навіть для невеликих значень\(2\text{.}\)