1.5: Площа між кривими
- Page ID
- 60946
Перш ніж продовжити дослідження різних методів інтеграції функцій, ми маємо достатньо інструментів для вивчення деяких простих застосувань певних інтегралів. Однією з мотивів для нашого визначення «інтеграла» стала проблема знаходження площі між деякою кривою і\(x\) -віссю для\(x\) бігу між двома зазначеними значеннями. Точніше
\ begin {збирати*}\ int_a^b f (x)\, d {x}\ end {збирати*}
дорівнює знакової площі між кривою\(y=f(x)\text{,}\)\(x\) -віссю, і вертикальними лініями\(x=a\) і\(x=b\text{.}\)
Ми знайшли площу цієї області, наблизивши її об'єднанням високих тонких прямокутників, а потім знайшли точну площу, взявши межу, оскільки ширина наближених прямокутників пішла до нуля. Ми можемо використовувати ту саму стратегію, щоб знайти області більш складних регіонів у\(xy\) -plane.
Як попередній перегляд матеріалу, нехай\(f(x) \gt g(x) \gt 0\)\(a \lt b\) і припустимо, що нас цікавить область регіону
\ begin {збирати*} S_1=\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ ле х\ ле б\,,, g (x)\ ле y\ ле f (x)\\\ великий\}\ кінець {збирати*}
що намальовано в лівій руці малюнок нижче.
Ми вже знаємо, що\(\int_a^b f(x)\,\, d{x}\) це область області
\ begin {збирати*} S_2=\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b\,,, 0\ le y\ le f (x)\\ big\}\ end {gather*}
намальований на середній малюнок вище, і\(\int_a^b g(x)\,\, d{x}\) це область області
\ begin {збирати*} S_3=\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b\,,, 0\ le y\ le g (x)\\ big\}\ end {gather*}
накидали в правій руці малюнок вище. Тепер область фігури\(S_1\) лівої руки можна побудувати, взявши область\(S_2\) центральної фігури і видаливши з неї область фігури\(S_3\) правої руки. Таким чином,\(S_1\) площа точно
\ begin {align*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} -\ int_a^b г (x)\,\, d {x} &=\ int_a^b\ великий (f (x) -g (x)\ великий)\,\, d {x}\ end {align*}
Цей розрахунок залежав від припущення, що\(f(x) \gt g(x)\) і, зокрема, що криві\(y=g(x)\) і\(y=f(x)\) не перетинаються. Якщо вони роблять хрест, як на цьому малюнку
тоді ми повинні бути набагато обережнішими. Ідея полягає в тому, щоб розділити область інтеграції залежно від того, де знака\(f(x) - g(x)\) змін - тобто де криві перетинаються. Ми проілюструємо це в прикладі 1.5.5 нижче.
Почнемо з прикладу, який робить посилання на суми Рімана та певні інтеграли досить явним.
Знайдіть площу, обмежену кривими\(y=4-x^2\text{,}\)\(y=x\text{,}\)\(x=-1\) і\(x=1\text{.}\)
Рішення
- Перш ніж ми зробимо будь-яке обчислення, дуже гарна ідея зробити ескіз відповідної області. \(x=1\)Криві\(y=x\text{,}\)\(x=-1\) і всі прямі лінії, в той час як крива\(y=4-x^2\) є параболою, вершина якої знаходиться в,\((0,4)\) а потім криві вниз (через знак мінус в\(-x^2\)) з\(x\) -перехоплює на\((\pm2,0)\text{.}\) Покладання цих разом дає
Зверніть увагу, що криві\(y=4-x^2\) і\(y=x\) перетинаються, коли\(4-x^2=x\text{,}\) саме коли\(x= \frac{1}{2}\left(-1\pm\sqrt{17}\right) \approx 1.56,-2.56\text{.}\) Отже крива\(y=4-x^2\) лежить над лінією\(y=x\) для всіх\(-1\le x\le 1\text{.}\)
- Нам належить знайти область затіненої області. Кожна точка\((x,y)\) в цій затіненій області має\(-1\le x\le 1\) і\(x \le y \le 4-x^2\text{.}\) Коли ми визначали інтеграл (шлях назад у Визначення 1.1.9) ми використовували\(a\) і\(b\) для позначення найменших і найбільших дозволених значень\(x\text{;}\) давайте зробимо це тут теж. Давайте також використаємо\(B(x)\) для позначення нижньої кривої (тобто для позначення найменшого дозволеного значення\(y\) для заданого\(x\)) і використаємо\(T(x)\) для позначення верхньої кривої (тобто для позначення найбільшого дозволеного значення\(y\) для даного\(x\)). Отже, в цьому прикладі
\ begin {вирівнювати*} a=-1&B = 1&& B (x) =x&& T (x) = 4-х^2\ кінець {вирівнювати*}
і затінена область\ begin {збирати*}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b,\ B (x)\ le y\ le T (x)\\ big\}\ end {gather*}
- Ми використовуємо ту ж стратегію, яку ми використовували при визначенні інтеграла в Розділі 1.1.4:
- Виберіть натуральне число\(n\) (яке ми згодом надішлемо до нескінченності), потім
- поділіть область на\(n\) вузькі зрізи, кожен шириною\(\Delta x=\frac{b-a}{n}\text{.}\)
- Для кожного\(i=1,2,\cdots,n\text{,}\) зрізу номер\(i\) проходить від\(x=x_{i-1}\) до\(x=x_i\text{,}\) і ми наближаємо його площа площею прямокутника. Ми вибираємо число\(x_i^*\) між\(x_{i-1}\) і\(x_i\) і наближаємо зріз прямокутником, верх якого знаходиться в\(y=T(x_i^*)\) і нижній частині якого знаходиться на\(y=B(x_i^*)\text{.}\)
- При цьому площа зрізу\(i\) приблизно\(\big[T(x_i^*)-B(x_i^*)\big]\Delta x\) (як показано на малюнку нижче).
- Отже, сума Рімана наближення площі дорівнює
\ begin {align*}\ text {Площа} &\ приблизно\ sum_ {i = 1} ^n\ big [T (x_i^*) -B (x_i^*)\ великий]\ дельта х\ кінець {align*}
- Приймаючи межу як\(n \to \infty\) (тобто приймаючи межу, оскільки ширина прямокутників йде до нуля), ми перетворюємо суму Рімана в певний інтеграл (див. Визначення 1.1.9) і в той же час наше наближення площі стає точною площею:
\ begin {align*}\ lim_ {n\ праворуч\ infty}\ sum_ {i = 1} ^n\ великий [Т (x_i ^*) -B (x_i ^*)\ великий]\ Дельта х &=\ int_a^b\ великий [T (x) -B (x)\ великий]\, d {x}\\ &\ hskip1in\ текст {сума Рімана $\ до$ інтеграл}\\ &=\ int_ {-1} ^1\ великий [(4-х ^ 2) -х\ великий]\, d {x}\\ &=\ int_ {-1} ^1\ великий [4-х-х ^ 2\ великий]\, d {x}\\ &=\ bigg [4x -\ frac {x^2} {} -\ гідророзриву { x^3} {3}\ bigg] _ {-1} ^1\ &=\ ліворуч (4 -\ розрив {1} {2} -\ гідророзриву {1} {3}\ праворуч) -\ лівий (-4-\ розрив {1} {2} {1} {3}\ праворуч)\\ &=\ frac {24-3-2} {6}\ frac {1}\ frac {1}\ frac {1}\ frac c {-24-3+2} {6}\\ &=\ гідророзриву {19} {6} +\ гідророзриву {25} {6}\\ &=\ гідророзриву {44} {6} =\ гідророзриву {22} {3}. \ end {вирівнювати*}
Of! На щастя, нам, як правило, не потрібно проходити кроки суми Riemann, щоб дістатися до відповіді. Зазвичай, за умови, що ми обережні, щоб перевірити, де криві перетинаються і яка крива лежить над якою, ми можемо просто стрибати прямо до інтеграла
\[ \text{Area} = \int_a^b \big[T(x)-B(x)\big]\, d{x}. \nonumber \]
Отже, давайте повторити вищевказаний приклад.
Знайдіть площу, обмежену кривими\(y=4-x^2\text{,}\)\(y=x\text{,}\)\(x=-1\) і\(x=1\text{.}\)
Рішення
- Спочатку накидаємо регіон
і перевірити 1, що\(y=T(x)=4-x^2\) лежить вище кривої\(y=B(x)=x\) на області\(-1\leq x\leq 1\text{.}\)
- Площа між кривими тоді
\ begin {align*}\ текст {Площа} &=\ int_a^b\ великий [T (x) -B (x)\ великий]\, d {x}\ &=\ int_ {-1} ^1\ великий [4-х-х ^ 2\\ великий]\, d {x}\\ &=\ bigg [4x -\ frac {x^2} {2}\ frac c {x^3} {3}\ bigg] _ {-1} ^1\ &=\ гідророзриву {19} {6} +\ гідророзриву {25} {6} =\ гідророзриву {44} {6} =\ гідророзриву {22} {3}. \ end {вирівнювати*}
Знайти площу скінченної області, обмеженої\(y=x^2\) і\(y=6x-2x^2\text{.}\)
Рішення
Це трохи відрізняється від попереднього питання, оскільки нам не дано обмежувальних ліній\(x=a\) і\(x=b\) — замість цього ми повинні визначити мінімальні та максимально допустимі значення,\(x\) визначаючи, де криві перетинаються. Отже, наше найперше завдання - отримати гарне уявлення про те, як виглядає регіон, намалювавши його.
- Почніть з ескізу регіону:
- \(y=x^2\)Крива - парабола. Точка на цій параболі з найменшою\(y\) -координатою є\((0,0)\text{.}\) As\(|x|\)\(y\) збільшується, тому парабола відкривається вгору.
- Крива також\(y=6x-2x^2 =-2(x^2-3x) =-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}\) є параболою. Точка на цій параболі з найбільшим значенням\(y\) has\(x=\frac{3}{2}\) (так що негативний член in\(-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}\) дорівнює нулю). Таким чином, точка з найбільшим значенням\(y\) є\((\frac{3}{2},\frac{9}{2})\text{.}\) Як\(x\) рухається\(\frac{3}{2}\text{,}\) або вправо або вліво,\(y\) зменшується. Так парабола відкривається вниз. Парабола перетинає\(x\) -вісь коли\(0=6x-2x^2=2x(3-x)\text{.}\) Тобто, коли\(x=0\) і\(x=3\text{.}\)
- Дві параболи перетинаються, коли\(x^2= 6x-2x^2\text{,}\) або
\ begin {вирівнювати*} 3x^2-6x&= 0\\ 3x (x-2) &=0\ кінець {вирівнювати*}
Таким чином, є дві точки перетину, одна істота,\(x=0\text{,}\)\(y=0^2=0\) а інша істота\(x=2\text{,}\)\(y=2^2=4\text{.}\) - Кінцева область між кривими лежить між цими двома точками перетину.
Це призводить нас до ескізу
- Таким чином, на цій області\(0\leq x\leq 2\text{,}\) у нас є верхня крива є\(T(x)=6x-x^2\) і нижня крива\(B(x)=x^2\text{.}\) Отже площа задається
\ begin {align*}\ текст {Площа} &=\ int_a^b\ великий [T (x) -B (x)\ великий]\, d {x}\ &=\ int_0^2\ великий [(6x-2x^2) - (x^2)\ великий]\, d {x}\ &=\ int_0^2\ великий [6x-3x^2]\ великий]\, d {x}\\ &=\ bigg [6\ розрив {x^2} {2} -3\ розрив {x^3} {3}\ bigg] _0^2\ &=3 (2) ^2-2^3 =4\ end {align*}
Знайти площу скінченної області, обмеженої\(y^2=2x+6\) і\(y=x-1\text{.}\)
Рішення
Ми показуємо два різних рішення цієї проблеми. Перший використовує підхід, який ми маємо в прикладі 1.5.3, але призводить до брудної алгебри. Другий вимагає трохи мислення на початку, але потім досить простий. Перш ніж ми дійдемо до цього, ми повинні почати з ескізу регіону.
- Крива\(y^2=2x+6\text{,}\) або\(x=\frac{1}{2} y^2-3\) еквівалентно - парабола. Точка на цій параболі з найменшою\(x\) -координатою має\(y=0\) (так що позитивний член in\(\frac{1}{2} y^2-3\) дорівнює нулю). Таким чином, точка на цій параболі з найменшою\(x\)\((-3,0)\text{.}\) -координатою є Як\(|y|\)\(x\) збільшується, збільшується так парабола відкривається праворуч.
- Крива\(y=x-1\) являє собою пряму лінію нахилу\(1\), яка проходить крізь\(x=1\text{,}\)\(y=0\text{.}\)
- Дві криві перетинаються, коли\(\frac{y^2}{2}-3=y+1\text{,}\) або
\ почати {вирівнювати*} y^2-6 &= 2y+2\\ y^2-2y-8 &= 0\\ (y+2) (y+2) (y-2) &= 0\ кінець {вирівнювати*}
Таким чином, є дві точки перетину, одна істота,\(y=4\text{,}\)\(x=4+1=5\) а інша істота\(y=-2\text{,}\)\(x=-2+1=-1\text{.}\) - Збираючи це все разом, ми отримуємо ескіз
Як зазначалося вище, ми можемо знайти площу цієї області, наблизивши її об'єднанням вузьких вертикальних прямокутників, як це було в прикладі 1.5.3 - хоча це трохи складніше. Найпростіший спосіб - наблизити його об'єднанням вузьких горизонтальних прямокутників. Просто для практики, ось важке рішення. Легке рішення - після нього.
Більш важке рішення:
- Як ми вже робили раніше, ми наближаємо область об'єднанням вузьких вертикальних прямокутників, кожен ширини\(\Delta x\text{.}\) Два з цих прямокутників проілюстровані на ескізі
- У цій області\(x\) проходить від\(a=-3\)\(b=5\text{.}\) до Крива у верхній частині області
\ почати {вирівнювати*} Y&=T\ великий (x) =\ sqrt {2x+6}\ end {align*}
Крива внизу області складніша. Зліва від\((-1,-2)\) нижньої половини параболи віддає нижню частину області, тоді як праворуч від\((-1,-2)\) прямої дає нижню частину області. Так\ begin {align*} B (x) &=\ begin {випадки} -\ sqrt {2x+6} &\ текст {якщо} -3\ ле х\ ле -1\ x-1 &\ text {якщо} -1\ ле x\ le 5\ end {випадки}\ end {align*}
- Так само, як і раніше, площа все ще дається за формулою,\(\int_a^b \big[T(x)-B(x)\big]\, d{x}\text{,}\) але для розміщення нашого\(B(x)\text{,}\) ми повинні розділити область інтеграції, коли ми оцінюємо інтеграл.
\ begin {align*} &\ int_a^b\ великий [T (x) -B (x)\ великий]\, d {x}\\ &=\ int_ {-3} ^ {-1}\ великий [T (x) -B (x)\ великий]\, d {x} +\ int_ {-1} ^5\ великий [T (x) -B (x)\ великий]\, d {x}\ &=\ int_ {-3} ^ {-1}\ великий [\ sqrt {2x+6} - (-\ sqrt {2x+6})\ великий]\, d {x} +\ int_ {-1} ^5\ великий [\ sqrt {2x+6} - (x-1)\ великий]\, d {x}\\ &= 2\ int_ {-3} {-1}\ sqrt {2x+6}\, d {x} +\ int_ {-1} ^5\ sqrt {2x+6} -\ int_ {-1} ^5 (x-1)\, d {x}\ end {align*}
- Третій інтеграл є простим, тоді як ми оцінюємо перші два за допомогою правила підміни. Зокрема, встановити\(u=2x+6\) і замінити\(\, d{x} \rightarrow \frac{1}{2}\, d{u}\text{.}\) також\(u(-3)=0, u(-1)=4, u(5)=16\text{.}\) Отже
\ почати {вирівнювати*}\ текст {Площа} &= 2\ int_0^4\ sqrt {u}\\ розрив {\, d {u}} {2} +\ int_4^ {16}\ sqrt {u}\\ frac {\, d {u}} {2} -\ int_ {-1} ^5 (x-1)\, d {x}\\ &= 2\ bigg [\ розрив {u^ {\ frac {3} {2}}} {\ гідророзрив {3} {2}} {2} {2}\ bigg] _0^4 +\ bigg [\ frac {u^ {\ frac {3} {2}} {\ frac {3} {2}\ bigg] _4^ {16} -\ великий [\ розрив {x^2} {2} -х\ великий] _ {-1} ^5\\ & =\ гідророзриву {2} {3}\ великий [8-0] +\ гідророзрив {1} {3} [64-8] -\ Великий (\ гідророзрив {25} {2} -5\ Великий) -\ Великий (\ Frac {1} {2} +1\ Великий)\\ Великий]\\\ & =\ гідророзриву {72} {3}\ гідророзрив {24} {2} +6\\ &=18\ end {вирівнювати*}
Of!
Простіше рішення: Простий спосіб визначити площу нашого регіону - це наближення вузькими горизонтальними прямокутниками, а не вузькими вертикальними прямокутниками. (Дійсно, ми просто міняємо ролі\(x\) і\(y\) в цій проблемі)
- Подивіться на наш ескіз регіону ще раз — кожна точка\((x,y)\) в нашому регіоні має\(-2\le y\le 4\) і\(\frac{1}{2}(y^2-6)\le x \le y+1\text{.}\)
- Давайте скористаємося
- \(c\)для позначення найменшого допустимого значення\(y\text{,}\)
- \(d\)для позначення найбільшого дозволеного значення\(y\)
- \(L(y)\)(«\(L\)» означає «ліворуч») для позначення найменшого дозволеного значення,\(x\text{,}\) коли\(y\) -coordinate є\(y\text{,}\) і
- \(R(y)\)(«\(R\)» означає «право») для позначення найбільшого дозволеного значення,\(x\text{,}\) коли\(y\) -coordinate є\(y\text{.}\)
Отже, в цьому прикладі,
\ begin {вирівнювати*} c = -2&& d = 4 && L (y) =\ розрив {1} {2} (y^2-6) && R (y) =y+1\ end {вирівнює*}
і затінена область
\ begin {збирати*}\ великий\ {\ (x, y)\\ big|\ c\ le y\ le d,\ L (y)\ le x\ le R (y)\\ big\}\ end {gather*}
- Наша стратегія тепер майже така ж, як і в прикладі 1.5.1:
- Виберіть натуральне число\(n\) (яке ми згодом надішлемо до нескінченності), потім
- поділіть інтервал\(c\le y\le d\) на\(n\) вузькі підінтервали, кожен ширини\(\Delta y=\frac{d-c}{n}\text{.}\) Кожен підінтервал відрізає тонкий горизонтальний зріз з області (див. Малюнок нижче).
- Наближаємо площу номера\(i\) зрізу площею тонкого горизонтального прямокутника (позначено темним прямокутником на малюнку нижче). На цьому фрагменті\(y\) -coordinate проходить у дуже вузькому діапазоні. Ми вибираємо число\(y_i^*\text{,}\) десь у цьому діапазоні. Ми\(i\) наближаємо зріз прямокутником, ліва сторона якого знаходиться в\(x=L(y_i^*)\) і чия права сторона знаходиться на\(x=R(y_i^*)\text{.}\)
- Таким чином, площа\(i\) зрізу приблизно\(\big[R(x_i^*)-L(x_i^*)\big]\Delta y\text{.}\)
- Бажана площа -
\ begin {align*} &\ lim_ {n\ праворуч\ infty}\ sum_ {i = 1} ^n\ великий [R (y_i^*) -L (y_i^*)\ великий]\ Дельта y =\ int_c^d\ великий [R (y) -L (y)\ великий]\, d {y}\\ &\ hskip2in\ текст {сума Рімана $\ стрілка$ інтеграл}\\ &\ hskip1in=\ int_ {-2} ^4\ великий [(y+1) -\ tfrac {1} {2}\ великий (y^2-6\ великий)\ великий]\, d {y}\\ &=\ int_ {-2} ^4\ великий [-\ tfrac {1} {2}} y^2+y+ 4\ великий]\, d {y}\ &=\ Великий [-\ tfrac {1} {6} y^3+\ tfrac {1} {2} y^2+4y\ Big] _ {-2} ^4\ &=-\ tfrac {1} {6}\ великий (64- (-8)\ великий) +\ tfrac {1} {2}} (16-4) +4 (4+2)\\ &=-12+6+24\\ &=18\ end {вирівнювати*}
Останній приклад.
Знайти область між кривими\(y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) і\(y=\sin(x)\) з\(x\) бігом від\(0\) до\(\frac{\pi}{2}\text{.}\)
Рішення:
Це трохи складніше, оскільки (як ми побачимо) регіон розділений на дві частини, і нам потрібно обробляти їх окремо.
- Знову починаємо з ескізу регіону.
Ми хочемо затінену область.
- На відміну від наших попередніх прикладів, обмежувальні криві\(y=\frac{1}{\sqrt{2}}\) і\(y=\sin(x)\) перетинаються посередині цікавить області. Вони перетинаються, коли\(y=\frac{1}{\sqrt{2}}\) і\(\sin(x)=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}\) тобто коли\(x=\frac{\pi}{4}\text{.}\) Так
- зліва від\(x=\frac{\pi}{4}\text{,}\) верхньої межі знаходиться частина прямої,\(y=\frac{1}{\sqrt{2}}\) а нижня межа - частина кривої\(y=\sin(x)\)
- тоді як праворуч від\(x=\frac{\pi}{4}\text{,}\) верхньої межі є частиною кривої,\(y=\sin(x)\) а нижня межа - частина прямої\(y=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}\)
- Таким чином, формули для верхньої та нижньої меж
\ begin {вирівнювати*} T (x) & =\ ліворуч. \ begin {випадки}\ frac {1} {\ sqrt {2}} &\ текст {якщо $0\ ле х\ ле\ ле\ frac {\ pi} {4} $}\\ sin (x) &\ текст {якщо $\ frac {\ pi} {2} $}\ кінець {\ frac {\ право\}\ B (x) & =\ ліворуч. \ begin {випадки}\ sin (x) &\ text {якщо $0\ ле х\ ле\ ле\ frac {\ pi} {4} $}\\ frac {1} {\ sqrt {2}} &\ text {якщо $\ frac {\ pi} {якщо $\ frac {\ pi} {якщо $\ frac {\ pi}\ кінець {випадків}\ право\}\ кінець {вирівнювати*}
Ми можемо обчислити область інтересів, використовуючи нашу консервовану формулу
\ begin {збирати*}\ текст {Площа} =\ int_a^b\ big [T (x) -B (x)\ великий]\, d {x}\ end {збирати*}
але оскільки формули для\(T(x)\) та\(B(x)\) зміни в точці\(x=\frac{\pi}{4}\text{,}\) ми повинні розділити область інтеграла на дві частини в цій точці 2.
- Наш інтеграл над доменом\(0\leq x \leq \frac{\pi}{2}\) розділений на цілісний знову\(0\le x\le \frac{\pi}{4}\) і один над\(\frac{\pi}{4}\le x\le \frac{\pi}{2}\text{:}\)
\ begin {align*}\ текст {Площа} &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ великий [T (x) -B (x)\ великий]\, d {x}\ &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {4}}\ великий [T (x) -B (x)\ великий]\\\ int_0^ {\ frac {\ pi} {4}}\ великий [T (x) -B (x)\ великий]\\ великий]\ d {x}\ int_ {\ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ великий [T (x) -B (x)\ великий]\, d {x}\ &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {4}}\ Великий [\ frac {1} {\ sqrt {2}} -\ sin (x) Великий]\, d {x} +\ int_ {\ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac { \ pi} {2}}\ Великий [\ sin (x) -\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ Великий]\, d {x}\\ &=\ Великий [\ frac {x} {\ sqrt {2}} +\ cos (x)\ Великий] _0^ {\ frac {\ pi} {4}} +\ Big [-\ cos (x) -\ розрив {x} {\ sqrt {2}}\ великий] _ {\ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\\ &=\ великий [\ frac {1} {\ sqrt {2}}}\ розрив {\ pi} {4} +\ frac {1} {\ sqrt {2}} -1 +\ великий [\ frac {1} {\ sqrt {2}} -\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ frac {\ pi} {4}\ Великий]\\ &=\ розрив {2} {\ sqrt {2}} -1\\ &=\ sqrt {2} -1\ кінець {align*}
Вправи
Етап 1
Ми хочемо наблизити площу між графіками\(y=\cos x\) і\(y=\sin x\) від\(x=0\) до,\(x=\pi\) використовуючи ліву суму Рімана з\(n=4\) прямокутниками.
- На графіку нижче намалюйте чотири прямокутники.
- Обчисліть наближення Рімана.
Ми хочемо наблизити обмежену область між кривими\(y=\arcsin\left(\dfrac{2x}{\pi}\right)\) і\(y=\sqrt{\dfrac{\pi x}{2}}\) за допомогою\(n=5\) прямокутників.
- Намалюйте п'ять (вертикальних) прямокутників на малюнку нижче, що відповідають правій сумі Рімана.
- Намалюйте п'ять прямокутників на малюнку нижче, ми могли б використовувати, якби ми використовували горизонтальні прямокутники.
Запишіть певний інтеграл, який представляє скінченну область, обмежену кривими,\(y=x^3-x\) і\(y=x\) для\(x\ge 0\text{.}\) Не оцінюйте інтеграл явно.
Запишіть певний інтеграл, який представляє площу області, обмеженої лінією\(y=-\dfrac{x}{2}\) та параболою\(y^2=6-\dfrac{5x}{4}\text{.}\) Не оцінюйте інтеграл явно.
Запишіть певний інтеграл, який представляє площу області скінченної площини, обмеженої\(y^2=4ax\) і\(x^2=4ay\text{,}\) де\(a \gt 0\) є константою. Не оцінюйте інтеграл явно.
Запишіть певний інтеграл, який представляє площу області, обмеженої між лінією\(x+12y+5=0\) та кривою\(x=4y^2\text{.}\) Не оцінюйте інтеграл явно.
Етап 2
Знайдіть площу області, обмеженої графіком\(f (x) = \dfrac{1}{(2x-4)^2}\) та\(x\) віссю —між\(x = 0\) і\(x = 1\text{.}\)
Знайдіть площу між кривими\(y=x\) і спочатку\(y=3x-x^2\text{,}\) ідентифікуючи точки перетину, а потім інтегруючи.
Обчисліть площу області, укладеної\(y = 2^x\) і\(y = \sqrt x+1\text{.}\)
Знайти площу скінченної області, обмеженої між двома кривими\(y = \sqrt{2} \cos(\pi x/4)\) і\(y = |x|\text{.}\)
Знайти площу скінченної області, яка обмежена графами\(f(x) = x^2\sqrt{x^3+1}\) і\(g(x) = 3x^2\text{.}\)
Знайдіть площу ліворуч від\(y\) осі —і праворуч від кривої\(x=y^2+y\text{.}\)
Знайдіть площу скінченної області нижче\(y=\sqrt{9-x^2}\) і вище обох\(y=|x|\) і\(y=\sqrt{1-x^2}\text{.}\)
Етап 3
На графіку нижче показана область між\(y = 4 + \pi \sin x\) і\(y = 4 + 2\pi - 2x\text{.}\)
Знайдіть площу цього регіону. 
Обчислити площу скінченної області, обмеженої кривими\(x=0\text{,}\) \(x=3\text{,}\) \(y=x+2\) and \(y=x^2\text{.}\)
Find the total area between the curves \(y = x \sqrt{25-x^2}\) and \(y=3x\text{,}\) on the interval \(0\le x\le 4\text{.}\)
Find the area of the finite region below \(y=\sqrt{9-x^2}\) and \(y=x\text{,}\) and above \(y=\sqrt{1-(x-1)^2}\text{.}\)
Find the area of the finite region bounded by the curve \(y=x(x^2-4)\) and the line \(y=x-2\text{.}\)
- We should do this by checking where the curves intersect; that is by solving \(T(x)=B(x)\) and seeing if any of the solutions lie in the range \(-1\leq x \leq 1\text{.}\)
- We are effectively computing the area of the region by computing the area of the two disjoint pieces separately. Alternatively, if we set \(f(x) = \sin(x)\) and \(g(x) =\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}\) we can rewrite the integral \(\int_a^b \big[T(x) - B(x)\big]\,\, d{x}\) as \(\int_a^b \big|f(x) - g(x)\big|\,\, d{x}\text{.}\) To see that the two integrals are the same, split the domain of integration where \(f(x)-g(x)\) changes sign.