6.2: Множення
- Page ID
- 67126
Вам знадобляться: Позитивні та негативні лічильники (Матеріальні карти 18A і 18B)
Тепер ми розглянемо, як помножити позитивні і негативні числа за допомогою лічильників. Давайте ще раз розглянемо визначення множення для цілих чисел.
Якщо\(m\) і\(n\) є цілими числами, то там,\[m \times n = n + n + n + n + ... + n, \nonumber \] де\(n\) в цій сумі\(m\) додаються кінці.
Це визначення має сенс до тих пір, поки\(m\) і\(n\) є позитивними числами. Насправді, ми навіть можемо мати сенс і змінити це визначення, використовуючи лічильники до тих пір, поки m є позитивним шляхом переформулювання визначення трохи, як зазначено нижче:
Якщо\(m\) є цілим числом і\(n\) є будь-яким цілим числом,\( m \times n\) то виходить об'єднанням\(m\) підмножин колекції лічильників, що представляють\(n\). Число, яке представляє отримана колекція, є відповіддю на проблему\( m \times n\).
Ця вправа показує вам один із способів використання наведеного вище визначення для множення\(3 \times -4\). У цій задачі можна використовувати визначення, оскільки 3 - це ціле число, а -4 - ціле число. Нам потрібно об'єднати 3 підмножини колекції лічильників, які представляють -4.
- Використовуйте позитивні та негативні лічильники, щоб представляти колекцію лічильників, які представляють -4. Для цієї вправи вибирайте збірник з 5 негативів і 1 позитиву. Покажіть, як виглядає ваша колекція нижче:
- Тепер сформуйте ще дві збірки (загалом 3 підмножини) лічильників, які ви мали для частини a. Об'єднайте лічильники разом і покажіть, як виглядає велика колекція нижче:
- Після видалення всіх червоно-зелених пар (нуль) з вашої колекції в частині b, покажіть колекцію, яка залишилася нижче. Яке число це означає? _____
\(3 \times -4\)Зробіть ще раз, використовуючи іншу колекцію лічильників для представлення -4.
- Використовуйте позитивні та негативні лічильники, щоб представляти колекцію лічильників, які представляють -4. Цього разу виберіть збірник з 6 негативів і 2 позитивів. Покажіть, як виглядає ваша колекція нижче:
- Тепер сформуйте ще дві збірки (загалом 3 підмножини) лічильників, які ви мали для частини a. Об'єднайте лічильники разом і покажіть, як виглядає велика колекція нижче:
- Після видалення всіх червоно-зелених пар (нуль) з вашої колекції в частині b, покажіть колекцію, яка залишилася нижче. Яке число це означає? _____
Гаразд, давайте зробимо ще\(3 \times -4\) один раз, вибравши найпростіший спосіб представлення -4.
- Сформувати колекцію лічильників для представлення -4. Зробіть це легким, природним способом, використовуючи найменшу кількість лічильників, можливо. Покажіть, як виглядає ваша колекція нижче:
- Тепер сформуйте ще дві збірки (загалом 3 підмножини) лічильників, які ви мали для частини a. Об'єднайте лічильники разом і покажіть, як виглядає велика колекція нижче:
- Яке число представляє колекція в частині b? _____
Ну, сподіваюся, ви отримали відповідь -12 на вправи 1, 2 і 3, так як\(3 \times -4 = -12\)! Це ілюструє, що не має значення точно, яку колекцію лічильників ви використовуєте для представлення -4, якщо колекція дійсно дорівнює -4. Щоб обчислити\(3 \times -4\), ви можете об'єднати 3 підмножини колекції з 8 червоних і 4 зелених, або ви можете об'єднати 3 підмножини колекції з 7 червоних і 3 зелених тощо Ви завжди будете мати колекцію, яка представляє -12. Для вправи 3 ви вибрали 4 негативи як своє уявлення? Якщо так, ви помітили, що вам не довелося видаляти будь-які червоно-зелені пари, щоб відповісти на частину c? Відтепер давайте зробимо це простим способом, використовуючи найпростішу колекцію з можливих.
Використовуйте лічильники, щоб виконати кожну з наступних задач множення, використовуючи визначення множення цілого числа на ціле число. Потім поясніть, що означає дана задача множення з точки зору лічильників, і поясніть і покажіть окремі кроки. Скористайтеся наступним прикладом в якості моделі.
Помножити\(\bf 2 \times -6\).
Рішення
Множення\(2 \times -6\) означає об'єднати 2 підмножини по 6 червоних лічильників. Число, яке представляє отримана колекція, - це твір (відповідь). \(2 \times -6\)= РРРРРРРРРРРРРРРРРР = -12
|
a. множити\(4 \times -2\) Це означає |
|
б. множити\(3 \times 5\) Це означає |
|
c. множити\(5 \times -3\) Це означає |
|
d. множити\(7 \times 2\) Це означає |
|
е. множити\(0 \times -3\) Це означає |
Добре, тепер, коли ви освоїли, як помножити ціле число на ціле, давайте працювати над тим, як ми можемо використовувати лічильники, щоб помножити від'ємне ціле число на ціле. Давайте ще раз розглянемо визначення для множення\(m \times n\), коли m - це ціле число.
Визначення: Множення цілого числа на ціле число з використанням підходу повтореного додавання, з використанням позитивних і негативних лічильників
Якщо m є цілим числом, а n - будь-яке ціле число,\(m \times n\) отримується шляхом об'єднання m підмножин колекції лічильників, що представляють n. Число, яке представляє результуюча колекція, є відповіддю на задачу\(m \times n\).
Якщо m є негативним, це визначення не має сенсу, оскільки ви, звичайно, не можете об'єднати негативну кількість підмножин! Те, як ми переглянемо це визначення, щоб включити можливість того, що m може бути негативним, щоб погодитися, що якщо m є негативним, ми ВИДАЛИМО\(m\) підмножини колекції лічильників, що представляють\(n\). Хитрість для цього полягає в тому, щоб видалити підмножини з колекції лічильників, що представляють нуль. Отже, ось вичерпне визначення для множення будь-яких двох цілих чисел, використовуючи позитивні і негативні лічильники.
- Випадок 1: Якщо\(m\) є цілим числом і\(n\) є будь-яким цілим числом,\(m \times n\) отримується шляхом об'єднання\(m\) підмножин колекції лічильників, що представляють\(n\). Добуток m and\(n\)\(m \times n\), - це число, яке представляє отримана колекція.
- Випадок 2: Якщо\(m\) від'ємний і\(n\) є будь-яким цілим числом,\(m \times n\) отримується шляхом вилучення |m| підмножин колекції лічильників, що представляють\(n\) із колекції лічильників, що представляють нуль. Твір\(m\) і\(n\), - це число\(m \times n\), яке представляє отримана колекція.
Ця вправа показує вам, як використовувати вищевказане визначення для множення\(-4 \times 3\). Для цієї проблеми нам потрібно видалити 4 підмножини колекції лічильників, що представляє 3 з колекції лічильників, що представляють нуль. Найпростіша колекція для представлення 3 - це 3 позитиви, або 3 зелені лічильники. (Ми могли б використовувати більш складну колекцію і все одно прийти до тієї ж відповіді. Таку вправу ми робили в вправах 1 - 3. Переконайте себе, що тут теж не має значення.)
- Спочатку нам потрібно сформувати колекцію лічильників, яка представляє нуль, щоб можна було видалити 4 підмножини з 3 зелених лічильників. Для цього прикладу зробіть колекцію з 14 червоних і 14 зелених лічильників. Запишіть, як виглядає ваша колекція тут:
- З вашої колекції видаліть підмножину з 3 зелених лічильників. Потім видаліть ще 3 підмножини з 3 зелених лічильників. Ви тільки що видалили 4 підмножини 3 зелених лічильників з нуля. Щоб показати його на папері, обведіть підмножину з 3 зелених лічильників у збірці вище в частині a Потім обведіть ще 3 підмножини 3 зелених лічильників так, щоб чотири окремі підмножини були обведені. Після того, як ви видалите лічильники (які відображаються тим, що ви обвели в частині a), покажіть, що залишилося у вашій колекції нижче.
- Видаліть усі червоно-зелені пари (нуль) з вашої колекції, що залишилася. Покажіть це на папері, перехрестивши або обводячи будь-які червоно-зелені пари (нуль) з вашої колекції, показаної у частині b. Покажіть збірку, яка залишилася нижче. Яке число представляє ця колекція лічильників?
Скористайтеся визначенням ще раз для множення\(-4 \times 3\). Пам'ятайте, вам потрібно видалити 4 підмножини колекції лічильників, яка представляє 3.
- Спочатку нам потрібно сформувати колекцію лічильників, яка представляє нуль, щоб можна було видалити 4 підмножини з 3 зелених лічильників. Цього разу, покласти в найменшу колекцію лічильників можливо, так що ви зможете видалити 4 підмножини 3 зелених лічильників. Запишіть, як виглядає ваша колекція тут:
- З вашої колекції видаліть чотири підмножини з 3 зелених лічильників (вийміть одну підмножину з 3 зелених лічильників одночасно). Ви тільки що видалили 4 підмножини 3 зелених лічильників з нуля. Щоб показати його на папері, обведіть 4 різних підмножини з 3 зелених лічильників у збірці, показаної в частині a. Після того, як ви вилучите лічильники (які відображаються тим, що ви обвели у частині a), покажіть, що залишилося у вашій збірці нижче.
- Яке число представляє вищенаведена колекція?
Ви помітили, що якщо ви починаєте з мінімальної колекції, щоб представляти нуль, вам не доведеться видаляти будь-які червоно-зелені пари, коли ви дістанетеся до частини c? Це найпростіший спосіб зробити це, тому що ви знаєте, як розрахувати, що вийняти, перш ніж почати проблему. Однак, якщо ви навчали цьому когось, хто не міг зрозуміти, що завчасно, ви завжди можете почати з нуля, будучи 20 (або якийсь інший узгоджений номер) кожного лічильника.
На наступній сторінці кроки показані для example below— як використовувати лічильники, щоб зробити проблему множення, коли перше число є негативним цілим числом. Необхідно пояснити, що означає дана задача множення з точки зору лічильників, а потім пояснити і показати окремі кроки. Використовуйте приклад як модель для наступних вправ.
Множення\(-4 \times -3\) за допомогою визначення множення цілих чисел.
Рішення
Множення\(-4 \times -3\) означає видалити 4 підмножини 3 червоних лічильників з представлення нуля. Число, яке представляє отримана колекція, є відповіддю.
Так як залишилося 12 зелені, відповідь - +12. Хіба ви не завжди дивувалися, чому негативне число разів негативне число дорівнювало позитивному числу? Використовуючи визначення множення цілих чисел з лічильниками, ви дійсно можете зрозуміти, чому це правда. Після того, як ви зробите ще кілька проблем, не соромтеся виходити і показати всім своїм друзям, які все ще не розуміють цього або просто запам'ятали правила, тому що хтось сказав їм, що це так і є, і просто прийняти це. Гаразд, достатньо цього неприборканого ентузіазму від мене поки що.
Настав час для вас, щоб попрацювати кілька проблем. Деякі мають негативні числа перед знаком множення (почати з подання нуля і видалити підмножини, як в останньому прикладі), а деякі мають цілі числа перед знаком множення (так що просто об'єднати підмножини разом, як ви робили в попередніх вправах цього набору вправ). Це число перед знаком множення, яке вкаже, який випадок визначення ви будете використовувати.
Використовуйте лічильники, щоб зробити кожну з наступних проблем множення, використовуючи визначення множення двох цілих чисел з додатними і негативними лічильниками. Потім поясніть, що означає дана задача множення з точки зору лічильників, і поясніть і покажіть кожен з окремих кроків. Використовуйте приклад вище як модель, коли перше число від'ємне.
а.\(-5 \times 3\) ____ Це означає ________________________________________________________
Показати роботу і всі кроки нижче. Потім викладіть відповідь на проблему.
б.\(-3 \times 2\) ____ Це означає ________________________________________________________
Показати роботу і всі кроки нижче. Потім викладіть відповідь на проблему.
c.\(2 \times -3\) ____ Це означає ________________________________________________________
Показати роботу і всі кроки нижче. Потім викладіть відповідь на проблему.
ПРИМІТКА: Хоча відповідь на частину b така ж, як частина c через комутативну властивість множення, проблеми означають різні речі, кроки не схожі, а проблеми робляться по-різному.
д.\(-2 \times 3\) ____ Це означає ___________________________________________________________
Показати роботу і всі кроки нижче. Потім викладіть відповідь на проблему.
е.\(3 \times 2\) ____ Це означає ___________________________________________________________
Показати роботу і всі кроки нижче. Потім викладіть відповідь на проблему.
f.\(0 \times -4\) ____ Це означає ___________________________________________________________
Показати роботу і всі кроки нижче. Потім викладіть відповідь на проблему.
г.\(-4 \times 0\) (Це означає щось інше, ніж\(0 \times -4\)) ____ Це означає _____________________________
Показати роботу і всі кроки нижче. Потім викладіть відповідь на проблему.
Давайте зробимо ще кілька проблем, коли перше ціле число є негативним, використовуючи діаграму, щоб стежити за лічильниками. Перший стовпець буде задачею множення, другий покаже, яке подання нуля використовується, третій пояснить значення задачі множення (що потрібно робити у всіх цих випадках, підмножини видаляються з подання нуля), четвертий покаже, як багато з кожного з лічильників залишаються після видалення підмножин, а останній стовпець буде відповіддю, отриманим з представлення, показаного в четвертому стовпці.
Заповніть всі заготовки. ЗАПОВНИТИ ВСЮ ТАБЛИЦЮ АЖ ДО САМОГО НИЗУ! Ви повинні використовувати ваші реальні маніпулятори (червоний і зелений лічильники), як ви робите (більшість) ці проблеми. Я зробив перший, щоб ви використовували як модель.
| проблема | Лічильники для нуля | сенс проблеми | лічильники залишилися | відповідь |
|---|---|---|---|---|
| \(-3 \times 6\) | 20Г 20Р | видалити 3 комплекти по 6 G з нуля | 2Г 20Р | -18 |
| \(-3 \times 6\) | 23Г 23Р | |||
| \(-3 \times 6\) | 18Г 18Р | |||
| \(-4 \times 4\) | 18Г 18Р | |||
| \(-4 \times -4\) | 18Г 18Р | |||
| \(-5 \times 2\) | 14Г 14Р | |||
| \(-2 \times 5\) | 13Г 13Р | |||
| \(-5 \times -2\) | 11Г 11Р | |||
| \(-2 \times -5\) | ||||
| \(-3 \times 3\) | 10 Г 10Г | |||
| \(-3 \times -3\) | 12Г 12Г | |||
| \(-7 \times 2\) | ||||
| \(-2 \times 8\) | 18Г 18Р | |||
| \(-2 \times -8\) | 18Г 18Р |
Після виконання всіх вправ у цьому наборі вправ правило множення цілих чисел має мати сенс.
Правило множення двох цілих чисел разом:
- Щоб помножити два цілих числа, спочатку помножте абсолютні значення цілих чисел. Для визначення знака добутку: позитивне, якщо обидва цілих числа мають однаковий знак (обидва додатні або обидва негативні); інакше він від'ємний (якщо одне з цілих чисел додатне, а інше - від'ємне). Якщо одне з цілих чисел дорівнює нулю, відповідь дорівнює нулю.
Якщо ви множите більше двох цілих чисел разом, знак добутку можна визначити на скільки від'ємних чисел множиться. Для кожних двох негативних чисел, які множаться разом, відповідь позитивна. Тому, якщо є парне число від'ємних чисел, то знак добутку позитивний. Якщо є непарна кількість від'ємних чисел, то знак добутку негативний. Якщо одне з цілих чисел дорівнює нулю, відповідь дорівнює нулю.
Хоча ми не розглянули поділ в цьому наборі вправ, правило визначення знака частки таке ж, як правило визначення знака продукту.
Визначте, чи є кожен твір негативним (—), позитивним (+) або нулем (0). Не обчислюйте
Пам'ятайте, що для того, щоб набір був закритий під множення, твір будь-яких двох елементів у множині має бути в множині. Щоб довести, що множина не закрита при множенні, потрібно надати контрприклад.
Для кожного з наступних наборів визначте, чи закрита множина при множенні. Наведіть контрприклад, якщо він не закритий.
- Цілі числа
- Позитивні цілі числа
- Негативні цілі числа
- {-1, 0}
- {1, -1}
- {-1, 0, 1}
<) and Greater than (>Знаки less than () використовуються для упорядкування чисел.] (a < b\) якщо\(a\) знаходиться\(b\) ліворуч від числового рядка. \(a < b\)(читати «a менше b») також можна записати як\(b > a\) (прочитайте «b більше, ніж a.)
Визначте, які з перерахованих нижче є істинними, якщо a, b і c є будь-якими цілими числами, p - натуральне число, а n - від'ємне ціле число. Наведіть контрприклад, якщо він помилковий.
- Якщо a < b і b < c, то a < c
- Якщо a < b, то a + c < b + c
- Якщо a < b, то ap < bp
- Якщо < b, then ap > бп
- Якщо < b, then an > бн
- Якщо a < b, то a < bn
Вправа 11a, 11b, 11c та 11e - це чотири властивості впорядкування цілих чисел. 11a називається перехідною властивістю менше ніж. 11b називається властивістю менше, ніж і додавання. 11c - властивість менше, ніж і множення на позитивний 11. є властивістю менше, ніж і множення на Негативні. Якщо символи менше, ніж у 11a, 11b та 11c були замінені символами більше, ніж символи, ви мали б відповідні властивості більше, ніж. Для частини 11e, якби обидва знаки були переключені, ви мали б властивість більше ніж і множення на негативний.
Заповніть наступні властивості, якщо a, b і c є будь-якими цілими числами, p - натуральне число, а n - від'ємне.
- Перехідне властивість для більшого, ніж:
- Властивість більше ніж і додавання:
- Властивість більше ніж і множення на додатне:
- Властивість більше ніж і множення на негатив:
11.a, b і c аналогічні властивостям рівності. Різниця між рівностями та нерівностями (чи є менше або більше символу), якщо коли обидві сторони нерівності множаться на від'ємне число, знак нерівності змінює напрямки.