2.4: Зворотні матриці

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся:

1. Знайти зворотну матрицю, якщо вона існує.
2. Використовуйте інверси для вирішення лінійних систем.

У цьому розділі ми навчимося знаходити зворотну матрицю, якщо вона існує. Пізніше ми будемо використовувати матричні інверси для вирішення лінійних систем.

Визначення зворотного:$n \times n$ Матриця має зворотну, якщо існує матриця$B$ така$AB = BA = I_n$, що, де$I_n$ є матриця$n \times n$ ідентичності. Зворотна матриця$A$, якщо вона існує, позначається символом$A^{-1}$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Задані матриці$A$ і$B$ нижче, переконайтеся, що вони зворотні.

\ [A=\ left [\ begin {масив} {ll}
4 & 1\
3 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad B =\ лівий [\ begin {масив} {cc}
1 & -1\\
-3 & 4
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Рішення

Матриці обернені, якщо добуток$AB$ і$BA$ обидва рівні ідентичності матриці розмірності$2 \times 2$:$I_2$,

\ [\ mathrm {AB} =\ лівий [\ почати {масив} {ll}
4 & 1\
3 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ початок {масив} {cc}
1 & -1\\
-3 & 4
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ початок {масив} {ll}
1 & 0\
0 & 1
\ end {масив}\ право] =\ mathrm {I} _ {2}\ nonumber\]

і

\ [\ mathrm {BA} =\ left [\ begin {масив} {cc}
1 & -1\\
-3 & 4
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ begin {масив} {ll}
4 & 1\
3 & 1
\ end {масив}\ праворуч] =\ left [\ begin {масив} {ll}
1 & 0\
0 & 1
\ end {масив}\ право] =\ mathrm {I} _ {2}\ nonumber\]

Зрозуміло, що так; отже, матриці A і B є зворотними один від одного.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти зворотну матрицю\ (\ mathrm {A} =\ left [\ begin {масив} {ll}
3 & 1\\
5 & 2
\ end {масив}\ право]\).

Рішення

Припустимо,$A$ має зворотне, і це

\ [B=\ left [\ begin {масив} {ll}
a & b\\
c & d
\ end {масив}\ право]\ nonumber\]

Потім$AB = I_2$:\ (\ left [\ begin {масив} {cc}
3 & 1\\
5 & 2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ begin {масив} {ll}
a & b\\
c & d
\ end {масив}\ право] =\ left [\ begin {масив} {ll}
1 & 0\
0 & ; 1
\ end {масив}\ право] =I_ {2}\)

Перемноживши дві матриці з лівого боку, отримуємо

\ [\ left [\ begin {масив} {cc}
3 a+c & 3 b+d\\
5 a+2 c & 5 b+2 d
\ end {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ begin {масив} {cc}
1 & 0\
0 & 1
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Прирівнявши відповідні записи, отримаємо чотири рівняння з чотирма невідомими:

\ [\ begin {масив} {ll}
3 a+c = 1 & 3 b+d = 0\\
5 a+2 c=0 & 5 b+2 d = 1
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Вирішуючи цю систему, отримуємо:$a = 2 \quad b = -1 \quad c = -5 \quad d = 3$
Отже, зворотна матриця$A$ дорівнює\ (B=\ left [\ begin {масив} {cc}
2 & -1\\
-5 & 3
\ end {масив}\ right]\ nonumber\)

У цій задачі знаходження зворотної матриці$A$ дорівнювало розв'язанню системи рівнянь:

\ [\ begin {масив} {ll}
3 a+c = 1 & 3 b+d = 0\\
5 a+2 c=0 & 5 b+2 d = 1
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Власне, вона може бути записана як дві системи, одна зі змінними$a$ і$c$, а інша з$b$ і$d$. Розширені матриці для обох наведені нижче.

\ [\ left [\ begin {масив} {llll}
3 & 1 & | & 1\\
5 & 2 & | & 0
\ кінець {масив}\ праворуч]\ текст {і}\ лівий [\ begin {масив} {llll}
3 & 1 & | & 0\
5 & 2 & | & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber \]

Коли ми дивимося на дві розширені матриці, ми помічаємо, що матриця коефіцієнтів для обох матриць однакова. Це означає, що рядкові операції методу Гауса-Джордана також будуть однаковими. Велика робота може бути збережена, якщо дві праві колонки згруповані разом, щоб сформувати одну розширену матрицю, як показано нижче.

\ [\ left [\ begin {масив} {lllll}
3 & 1 & | & 1 & 0\\
5 & 2 & | & 0 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

І вирішивши цю систему, ми отримуємо

Матриця з правого боку вертикальної лінії -$A^{-1}$ матриця.

Те, що ви тільки що стали свідками, не випадково. Це метод, який часто використовується при знаходженні зворотної матриці. Перерахуємо кроки, наступним чином:

Метод знаходження оберненої матриці

1. Напишіть доповнену матрицю$[ A | I_n ]$.

2. Запишіть доповнену матрицю на кроці 1 у вигляді скороченого рядка ешелону.

3. Якщо зменшений ряд ешелону форми в 2$B$ є$[ I_n | B]$, то є зворотним$A$.

4. Якщо ліва частина рядка зменшеного ешелону не є тотожною матрицею, зворотного не існує.

Приклад$\PageIndex{3}$

З огляду на матрицю A нижче, знайдіть її зворотну.

\ [A=\ left [\ begin {масив} {ccc}
1 & -1 & 1\\
2 & 3 & 0\
0 & -2 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Рішення

Розширену матрицю записуємо наступним чином.

\ [\ left [\ begin {масив} {ccccccc}
1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
0\ 0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Знизити цю матрицю ми будемо за допомогою методу Гауса-Джордана.

Помноживши перший ряд на -2 і склавши його в другий ряд, отримуємо

\ [\ left [\ begin {масив} {ccccccc}
1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 &
0\\ 0 & 5 & -2 & | & -2 & 1 & 0\
0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Якщо поміняти місцями другий і третій ряди, то отримаємо

\ [\ left [\ begin {масив} {ccccccc}
1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0\\
0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1\
0 & 1\ 0 & 5 & -2 & 2 & 1 & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Розділіть другий ряд на -2. Результатом є

\ [\ left [\ begin {масив} {ccccccc}
1 & -1 & 1 & | & 1 &
0\ 0 & 1\ 0 & 1 & -1/2 & | 0 & 0 & -1/2\\
0 & 5 & -2 & 2 & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Давайте зробимо дві операції тут. 1) Додайте другий рядок до першого, 2) Додайте -5 разів другий рядок до третього. І ми отримуємо

\ [\ лівий [\ початок {масив} {ccccccc}
1 & 0 & 1/2 & | & 1 & 0 & -1/2\\
0 & 1 & -1/2 & | 0 & 0 & -1/2\\
0 & 0 & 1/2 & 2 & 2 & 5/2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Множення третього рядка на 2 призводить до

\ [\ лівий [\ початок {масив} {ccccccc}
1 & 0 & 1/2 & | & 1 & 0 & -1/2\\
0 & 1 & -1/2 & | 0 & 0 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & 1 & | & 4 & 2 & 5
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Третій ряд множимо на 1/2 і додаємо до другого.
Також третій ряд множимо на -1/2 і додаємо його до першого.

\ [\ лівий [\ початок {масив} {ccccrrr}
1 & 0 & 0 & | & 3 & -1 & -3\\
0 & 1 & 0 & | -2 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & | & -4 & 2 & 5
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Отже, зворотна матриця$A$ дорівнює\ (\ mathrm {A} ^ {-1} =\ left [\ begin {масив} {rrr}
3 & -1 & -3\\
-2 & 1\\
-4 & 2 & 2 & 5
\ end {масив}\ право]\)

Потрібно перевірити результат шляхом множення двох матриць, щоб побачити, чи дійсно добуток дорівнює матриці ідентичності.

Тепер, коли ми знаємо, як знайти зворотну матрицю, ми будемо використовувати зворотні для вирішення систем рівнянь. Метод аналогічний розв'язанню простого рівняння, подібного до наведеного нижче. $$\frac{2}{3}x = 4 \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{4}$

Вирішіть наступне рівняння:$\frac{2}{3}x = 4$

Рішення

Для вирішення наведеного вище рівняння множимо обидві сторони рівняння на мультиплікативну обернену$\frac{2}{3}$, яка буває$\frac{3}{2}$. Ми отримуємо

\ [\ begin {масив} {l}
\ frac {3} {2}\ cdot\ frac {2} {3} x = 4\ cdot\ frac {3} {2}\
x = 6
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Ми використовуємо приклад$\PageIndex{4}$ як аналогію, щоб показати, як$AX = B$ розв'язуються лінійні системи форми.

Для вирішення лінійної системи спочатку запишемо систему в матричне рівняння$AX = B$, де$A$ - матриця коефіцієнтів,$X$ матриця змінних$B$, матриця постійних членів.
Потім ми помножимо обидві сторони цього рівняння на мультиплікативну обернену матрицю$A$.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{5}$

Вирішити наступну систему

\ begin {вирівняний}
3 x+y&= 3\\
5 x+2 y&=4
\ кінець {вирівняний}

Рішення

Щоб вирішити вищевказане рівняння, спочатку виражаємо систему як

$$AX = B \nonumber$$

де A - матриця коефіцієнтів, а B - матриця постійних членів. Ми отримуємо

\ [\ left [\ begin {масив} {ll}
3 & 1\\
5 & 2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ begin {масив} {l}
x\
y
\ end {масив}\ праворуч] =\ left [\ begin {масив} {l}
3\\
4
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Щоб розв'язати цю систему, множимо обидві сторони матричного рівняння$AX = B$ на$A^{-1}$. Матричне множення не є комутативним, тому нам потрібно помножити$A^{-1}$ на ліворуч по обидва боки рівняння.

Матриця$A$ - це та$A$ сама матриця, яку ми знайшли в прикладі$\PageIndex{2}$, тому\ (\ mathrm {A} ^ {-1} =\ left [\ begin {масив} {cc}
2 & -1\\
-5 & 3
\ end {масив}\ право]\)

Помноживши обидві сторони на$A^{-1}$, отримуємо

\ [\ begin {масив} {c}
{\ left [\ begin {масив} {cc}
2 & -1\\
-5 & 3
\ end {масив}\ праворуч]\ лівий [\ begin {масив} {cc}
3 & 1\\
5 & 2
\ end {масив}\ праворуч]\ left [\ begin {масив} {c}
x\\
y
\ end {масив}\ право] =\ лівий [\ почати {масив} {cc}
2 & -1\\
-5 & 3
\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ begin {масив} {c}
3\\
4
\ end {масив}\ праворуч]}\\
{\ left [\ begin {масив} {cc}
1 & 0\\
0 & 1
\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ почати {масив} {c}
x\
y
\ кінець {масив}\ право] =\ лівий [\ початок {масив} {c}
2\\
-3
\ кінець {масив}\ праворуч]}\\
{\ left [\ begin {масив} { c}
x\
y
\ end {масив}\ право] =\ лівий [\ begin {масив} {c}
2\\
-3
\ end {масив}\ право]}
\ end {масив}\ nonumber\]

Тому$x = 2$, і$y = -3$.

Приклад$\PageIndex{6}$

Вирішити наступну систему:

\ почати {вирівняний}
x-y+z &= 6\\
2 x+3 y &=1\
-2 y+z &= 5
\ кінець {вирівняний}

Рішення

Для вирішення вищевказаного рівняння запишемо систему в матричному вигляді$AX = B$ наступним чином:

\ [\ left [\ begin {масив} {rrr}
1 & -1 & 1\\
2 & 3 & 0\\
0 & -2 & 1
\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ початок {масив} {l}
x\
y\\
z
\ end {масив}\ справа] -\ left [\ begin {масив} {l}
6\\
1\\
5
\ end {масив}\ право]\ nonumber\]

Щоб вирішити цю систему, нам знадобиться зворотна$A$. З прикладу$\PageIndex{3}$,\ (\ mathrm {A} ^ {-1} =\ left [\ begin {масив} {rrr}
3 & -1 & -3\\
-2 & 1\\
-4 & 2 & 2 & 5
\ end {масив}\ праворуч]\)

Помноживши обидві сторони матричного рівняння$AX = B$ зліва на$A^{-1}$, отримаємо

\ [\ left [\ begin {масив} {rrr}
3 & -1 & -3\\
-2 & 1\\
-4 & 2\\ -4 & 2 & 5
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ begin {масив} {rrr}
1 & 1\\
2 & 3 & 0\
0 & 2 & 1
\ end {масив}\ праворуч]\ лівий [\ почати {масив} {l}
x\
y\\
z
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ початок {масив} {rrr}
3 & -1\\
-2 & 1\\ -4 & 2\\
-4 & 2 & 5
\ end {масив}\ праворуч]\ лівий [\ почати {масив} {l}
6\
1\\
5
\ end {масив}\ право]\ nonumber\]

Після множення матриць отримуємо

\ begin {вирівняний}
{\ лівий [\ begin {масив} {lll}
1 & 0\\
0 & 1\ 0 &
0\ 0 & 0 & 1
\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ begin {масив} {l}
x\
y\
z
\ end {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ begin {масив} {r}
2\
-1\\
3
\ кінець {масив}\ праворуч]}\\
{\ left [\ begin {масив} {l}
x\\
y\\
z
\ end {масив}\ справа] =\ лівий [\ begin {масив} {r}
2\\
- 1\\
3
\ end {масив}\ право]}
\ кінець {вирівняний}

Нагадуємо читачеві, що не кожна система рівнянь може бути вирішена матричним зворотним методом. Хоча метод Гауса-Джордана працює для кожної ситуації, матричний зворотний метод працює тільки в тих випадках, коли існує зворотна квадратна матриця. У таких випадках система має унікальне рішення.

Метод знаходження оберненої матриці

1. Напишіть доповнену матрицю$\left[\mathrm{A} | \mathrm{I}_{\mathrm{n}}\right]$.
2. Запишіть доповнену матрицю на кроці 1 у вигляді скороченого рядка ешелону.
3. Якщо зменшений ряд ешелону форми в 2$B$ є$\left[\mathrm{I}_{\mathrm{n}} | \mathrm{B}\right]$, то є зворотним$A$.
4. Якщо ліва частина рядка зменшеного ешелону не є тотожною матрицею, зворотного не існує.

Метод розв'язання системи рівнянь при існуванні унікального розв'язку

1. Висловіть систему в матричному рівнянні$AX = B$.

2. Для вирішення$AX = B$ рівняння множимо з обох сторін на$A^{-1}$.

$$AX = B \nonumber$$

$$A^{-1}AX = A^{-1}B \nonumber$$

$$I X = A^{-1}B \text{ where } I \text{ is the identity matrix} \nonumber$$