2.6: Програми — Моделі Леонтьєва

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67154

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

У цьому розділі ми розглянемо застосування матриць для моделювання економічних систем.

У 1930-х роках Василь Леонтьєв використовував матриці для моделювання економічних систем. Його моделі, які часто називають моделями «вхід-випуск», поділяють економіку на сектори, де кожен сектор виробляє товари та послуги не тільки для себе, але і для інших галузей. Ці сектори залежать один від одного і загальний вхід завжди дорівнює загальному виходу. У 1973 році він отримав Нобелівську премію з економіки за роботу в цій галузі. У цьому розділі ми розглянемо як закриті, так і відкриті моделі, які він розробив.

Закрита модель

Як приклад закритої моделі ми розглянемо дуже просту економіку, де є лише три сектори: їжа, житло та одяг.

Приклад$\PageIndex{1}$

Ми припускаємо, що в селі є фермер, тесляр та кравець, які забезпечують три необхідні товари: їжу, житло та одяг. Припустимо, фермер сам споживає 40% виробленої ним їжі, і віддає 40% теслі, а 20% кравцю. Тридцять відсотків продукції тесляра споживає сам, 40% - фермер, а 30% - тесляр. П'ятдесят відсотків продукції кравця використовує сам, 30% - фермер, а 20% - кравець. Напишіть матрицю, яка описує цю замкнуту модель.

Рішення

У таблиці нижче описана вищевказана інформація.

	Пропорція, вироблена фермером	Пропорція, вироблена тесляром	Пропорція, вироблена кравцем
Пропорція, яку використовує фермер	4.0	4.0	3.0
Пропорція, яку використовує тесляр	4.0	3.0	2.0
Пропорція, яку використовує кравець	2.0	3.0	5.0

У матричному вигляді його можна записати наступним чином.

\ [A=\ лівий [\ почати {масив} {lll}
.40 & .40 & .30\\
.40 & .30\ .20\ .20 &
.30 & .30 & .50
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Ця матриця називається матрицею введення-виведення. Важливо, щоб ми правильно прочитали матрицю. Наприклад$A_{23}$, запис, запис у рядку 2 та стовпці 3, представляє наступне.

$A_{23}$= 20% кравецької продукції використовується столяром.

$A_{33}$= 50% продукції кравця використовується кравцем.

Приклад$\PageIndex{2}$

У прикладі$\PageIndex{1}$ вище, скільки повинна отримати кожна людина за свої зусилля?

Рішення

Вибираємо наступні змінні.

$x$= Оплата праці фермера$y$ = Карпентер зарплата$z$ = Кравець 's платити

Як ми вже говорили раніше, в цій моделі вхід повинен дорівнювати виходу. Тобто сума, що сплачується кожним, дорівнює сумі, отриманої кожним.

Припустимо, фермер отримує платні$x$ долари. Давайте тепер подивимося на витрати фермера. Фермер використовує до 40% власного виробництва, тобто з х доларів, які йому платять, він платить собі 0,40x доларів, він платить .40y доларів тесляру та .30z кравцю. Так як витрати дорівнюють заробітній платі, отримуємо наступне рівняння.

\[x=.40 x+.40 y+.30 z \nonumber \]

Таким же чином отримуємо

\ почати {вирівняний}
y=&.40 x+.30 y+.20 z\
z=&.20 x+.30 y+.50 z
\ кінець {вирівняний}

Вищевказану систему можна записати як

\ [\ left [\ begin {масив} {l}
x\
y\\
z
\ end {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {lll}
.40 & .40 & .30\
.20\ .20 & .50\
end {масив}\ праворуч]
\ лівий [\ початок {масив]\ left [\ почати {масив } {l}
х\\
y\\
z
\ end {масив}\ право]\ nonumber\]

Цю систему часто називають$X = AX$

Спрощення результатів у системі рівнянь$(I - A) X = 0$

\ почати {вирівняний}
.60 x-.40 y-.30 z &=0\\
-.40 x+.70 y-.20 z &=0\\
-.20 x-.30 y+.50 z &=0
\ кінець {вирівняний}

Вирішуючи for$x$$y$, і$z$ використовуючи метод Гауса-Джордана, отримаємо

\[x =\frac{29}{26}t \quad y = \frac{12}{13}t \quad \text{ and } z = t \nonumber \]

Оскільки ми лише намагаємося визначити пропорції оплати праці, ми можемо вибрати t будь-яке значення. Припустимо, ми дозволимо\ (t\ (= $2600, то отримуємо

\[x =\$2900 \quad y = \$2400 \quad \text{ and } z = \$2600 \nonumber \]

Примітка: Настійно рекомендується використання графічного калькулятора або комп'ютерного додатка при розв'язанні систем лінійних матричних рівнянь у цих задачах.

Відкрита модель

Відкрита модель є більш реалістичною, оскільки стосується економіки, де сектори економіки не тільки задовольняють потреби один одного, але й задовольняють деякі зовнішні вимоги. При цьому зовнішні вимоги пред'являються споживачем. Але основне припущення все те ж саме; тобто все, що виробляється, споживається.

Давайте знову розглянемо дуже простий сценарій. Припустимо, господарство складається з трьох осіб, фермера Ф, тесляра С, і кравця Т. Частина виробництва фермера використовується всіма трьома, а решта використовується споживачем. Таким же чином частина столярного і кравецького виробництва використовується всіма трьома, а решта - споживачем.

Припустимо, що все, що виробляє фермер, 20% використовується ним, 15% - тесляром, 10% - кравцем, а споживач використовує інші 40 мільярдів доларів їжі. Десять відсотків продукції тесляра використовує він, 25% - фермер, 5% - кравець, а споживач — 50 мільярдів доларів. П'ятнадцять відсотків одягу використовує кравець, 10% - фермер, 5% - тесляр, а решта 60 мільярдів доларів - споживач. Внутрішнє споживання запишемо в наступну таблицю, а попит виражаємо у вигляді матриці D.

	F виробляє	C виробляє	Т виробляє
F використовує	2.0	2.5	1.0
C використовує	1.5	1.0	.05
T використовує	1.0	.05	1.5

Споживчий попит на кожну галузь в мільярдах доларів наведено нижче.

\ [\ mathrm {D} =\ лівий [\ begin {масив} {c}
40\\
50\
60
\ end {масив}\ право]\ nonumber\]

Приклад$\PageIndex{3}$

У наведеному вище прикладі, яким має бути в мільярдах доларів необхідний обсяг виробництва кожної галузі для задоволення попиту, заданого матрицею$D$?

Рішення

Вибираємо наступні змінні.

x = Вихід фермера

y = Вихід теслярів

z = Кравець вихід

У замкнутій моделі наше рівняння було$X = AX$, тобто загальний вхід дорівнює загальному виходу. Цього разу наше рівняння схоже за винятком попиту споживача.

Таким чином, наше рівняння для відкритої моделі має бути$X = AX + D$, де$D$ являє собою матрицю попиту.

Висловлюємо це наступним чином:

\[X = AX + D \nonumber \]

\ [\ left [\ begin {масив} {l}
x\
y\
\
z\ end {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {lll}
.20 & .25 &
.10\ .10\ .10\
.10 & .05 & .15
\ end {масив}\ праворуч]\ ліворуч [\ почати { масив} {л}
х\\
y\\
z
\ end {масив}\ справа] +\ лівий [\ початок {масив} {l}
40\\
50\
60
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Щоб вирішити цю систему, ми пишемо її як

\ [\ begin {масив} {l} X
= A X+D\\
(I-A) X = D\ quad\ text {де я - матриця ідентичності 3 на 3}\
X =( I-A) ^ {-1} D
\ end {масив}\ nonumber\]

\ [\ mathrm {I} -\ mathrm {A} =\ left [\ begin {масив} {ccc}
.80 & -.25 & -.10\\
-.15 & .90 & -.05\
-.10 & -.05 & .85
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\ [(\ mathrm {I} -\ математика {A}) ^ {-1} =\ лівий [\ почати {масив} {ccc}
1.3445 & .3835 & .1807\\
.2336 & 1.1814 & .097\\
.1719 & .1146 & 1.2034
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nomnumber\]

\ [{X} =\ лівий [\ почати {масив} {ccc}
1.3445 & .3835 & .1807\\
.2336 & 1.1814\ .097\
.1719 & .1146 & 1.2034
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ почати {масив} {c}
40\
50\
60
\ кінець { масив}\ право]\ nonumber\]

\ [X=\ лівий [\ почати {масив} {l}
83.7999\
74.2341\\
84.8138
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Три галузі повинні виробляти наступну кількість товарів у мільярдах доларів.

Фермер = $83.7999 Тесляр = $74.2341 Кравець = $84.813

Ми зробимо ще одну проблему, подібну до наведеної вище, за винятком цього разу ми дамо суму внутрішнього та зовнішнього споживання в доларах і запитуємо частку сум, споживаних кожною з галузей. Іншими словами, просимо матрицю$A$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Припустимо, економіка складається з трьох галузей F, C і T. кожна з галузей виробляє для внутрішнього споживання між собою, а також для зовнішнього попиту споживачем. У таблиці показано використання продукції кожної галузі, в доларах.

	F	C	Т	Попит	Всього
F	40	50	60	100	250
C	30	40	40	110	220
Т	20	30	30	120	200

Перший ряд говорить, що з $250 доларів виробництва промисловості F, $40 використовується F, $50 використовується C, $60 використовується T, а решта $100 використовується споживачем. Інші ряди описуються аналогічним чином.

Ще раз, загальний вхід дорівнює загальному виводу. Знайдіть частку обсягів, споживаних кожною з галузей. Іншими словами, знайдіть матрицю$A$.

Рішення

Нас просять визначити наступне:

Скільки виробництва кожної з трьох галузей промисловості, F, C і T потрібно для виробництва однієї одиниці F? Таким же чином, скільки продукції кожної з трьох галузей промисловості, F, C і T потрібно для виробництва однієї одиниці С? І нарешті, скільки виробництва кожної з трьох галузей промисловості, F, C і T потрібно для виробництва однієї одиниці Т?

Оскільки ми шукаємо пропорції, нам потрібно розділити виробництво кожної галузі на загальне виробництво для кожної галузі.

Аналізуємо наступним чином:

Щоб виготовити 250 одиниць F, нам потрібно використовувати 40 одиниць F, 30 одиниць С і 20 одиниць Т.

Тому для отримання 1 одиниці F нам потрібно використовувати 40/250 одиниць F, 30/250 одиниць С і 20/250 одиниць Т.

Для отримання 220 одиниць С нам потрібно використовувати 50 одиниць F, 40 одиниць С і 30 одиниць Т.

Тому для отримання 1 одиниці С нам потрібно використовувати 50/220 одиниць F, 40/220 одиниць С і 30/220 одиниць Т.

Щоб виготовити 200 одиниць Т, нам потрібно використовувати 60 одиниць F, 40 одиниць С і 30 одиниць Т.

Тому для отримання 1 одиниці Т нам потрібно використовувати 60/200 одиниць F, 40/200 одиниць С і 30/200 одиниць Т.

Отримуємо наступну матрицю.

\ [\ mathrm {A} =\ лівий [\ почати {масив} {lll}
40/250 & 50/220 & 60/200\
30 & 40/220 & 40/200\
20/250 & 30/200\ кінець {масив}\ праворуч] =
\ лівий [\ почати {масив} {масив} {ccc}
.1600 & .2273 & .3000\\
.1200 & .1818 & .2000\\
.0800 & .1364 & .1500
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonnumber\]

Чітко$AX + D = X$

\ [\ ліворуч [\ почати {масив} {lll}
40/250 & 50/220 & 60/200\
30/250 & 40/220 & 40/200\
20/250 & 30/220 & 30/200
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ begin {масив} {л}
250\
220\
200
\ end {масив}\ праворуч] +\ лівий [\ begin {масив} {l}
100\
110\
120
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ begin {масив} {l}
250\
220\
200
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Підсумовуємо наступним чином:

ЗАКРИТА МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЄВА

Все споживання знаходиться в межах галузей. Зовнішнього попиту немає.
Вхід = Вихід
$X = AX$або$(I - A)X = 0$

ВІДКРИТА МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЄВА

Крім внутрішнього споживання, існує і зовнішній попит з боку споживача.
Вхід = Вихід
$X = AX + D$або$X = (I - A)^{-1} D$

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)