4.3: Таблиці істинності

Оскільки складні логічні заяви можуть отримати складно думати про, ми можемо створити таблицю істинності, щоб відстежувати те, що значення істини для простих тверджень роблять складне твердження істинним і хибним.

Визначення: Таблиця істинності

Таблиця, що показує, яке результуюче значення істинності складного твердження для всіх можливих значень істинності для простих тверджень.

Приклад$\PageIndex{1}$

Припустимо, ви вибираєте новий диван, а ваша друга половинка каже «отримати секційний або щось з шезлонгом».

Рішення

Це складне твердження, зроблене з двох більш простих умов: «є секційний», і «має шезлонг». Для простоти скористаємося S для позначення «є секційним», а C для позначення «має шезлонг». Умова S вірно, якщо кушетка секційна.

Таблиця істинності для цього виглядала б так:

S	C	S або C
Т	Т	Т
Т	F	Т
F	Т	Т
F	F	F

У таблиці T використовується для true, а F - для false. У першому рядку if$S$ true і$C$ також true, то складне твердження «$S$або$C$» вірно. Це була б секція, яка також має шезлонг, який відповідає нашому бажанню.

Пам'ятайте також, що або в логіці не є ексклюзивним; якщо диван має обидві функції, він відповідає умові.

Щоб скоротити наші позначення далі, ми збираємося ввести деякі символи, які зазвичай використовуються для і, або, і ні.

Визначення: Символи

Символ$⋀$ використовується для і: A і B позначається$A ⋀ B$.

Символ$⋁$ використовується для або: A або B позначається$A ⋁ B$

Символ ~ використовується для not: not A позначається ~$A$

Перші два символи можна запам'ятати, зв'язавши їх з формами об'єднання та перетину. $A ⋀ B$були б елементи, які існують в обох наборах, в$A ⋂ B$. Так само$A ⋁ B$ були б елементи, які існують в будь-якому наборі, в$A ⋃ B$.

У попередньому прикладі таблиця істини насправді просто підсумовувала те, що ми вже знаємо про те, як працює твердження або. Таблиці істинності для основних і, або, і не висловлювань наведені нижче.

Основні таблиці істинності

А	Б	A B
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	F

А	Б	A B
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	F

А	~А
Т	F
F	Т

Таблиці істинності дійсно стають корисними при аналізі більш складних логічних тверджень.

Приклад$\PageIndex{2}$

Створіть таблицю істинності для твердження$A ⋀$ ~$(B ⋁ C)$.

Рішення

Він допомагає працювати зсередини при створенні таблиць істинності, і створювати таблиці для проміжних операцій. Ми почнемо з перерахування всіх можливих комбінацій істинних значень для$A$$B$, і$C$. Зверніть увагу, як перший стовпець містить 4 Ts, а потім 4 Fs, другий стовпець містить 2 Ts, 2 Fs, потім повторюється, а останній стовпець чергується. Цей візерунок гарантує, що всі комбінації розглядаються. Поряд з цими початковими значеннями, ми перерахуємо істинні значення для самого потаємного виразу,$B ⋁ C$.

А	Б	C	Б С
Т	Т	Т	Т
Т	Т	F	Т
Т	F	Т	Т
Т	F	F	F
F	Т	Т	Т
F	Т	F	Т
F	F	Т	Т
F	F	F	F

Далі ми можемо знайти заперечення$B ⋁ C$, відпрацювавши тільки що створену нами$B ⋁ C$ колонку.

А	Б	C	Б С	~ (B C)
Т	Т	Т	Т	F
Т	Т	F	Т	F
Т	F	Т	Т	F
Т	F	F	F	Т
F	Т	Т	Т	F
F	Т	F	Т	F
F	F	Т	Т	F
F	F	F	F	Т

Нарешті, знаходимо значення$A$ і ~$(B ⋁ C)$

А	Б	C	Б С	~ (B C)	A ~ (B C)
Т	Т	Т	Т	F	F
Т	Т	F	Т	F	F
Т	F	Т	Т	F	F
Т	F	F	F	Т	Т
F	Т	Т	Т	F	F
F	Т	F	Т	F	F
F	F	Т	Т	F	F
F	F	F	F	Т	F

Виходить, що це складний вираз істинно тільки в одному випадку: якщо A істинно, B - брехня, а C - брехня.

Спробуйте зараз 1

Створіть таблицю істинності для цього твердження: (~$A ⋀ B) ⋁$ ~$B$

Коли ми обговорювали умови раніше, ми обговорювали тип, де ми робимо дію на основі значення умови. Зараз ми поговоримо про більш загальному варіанті умовного, іноді його називають імплікацією.

Визначення: Наслідки

Наслідки - це логічні умовні пропозиції про те$p$, що твердження, зване попередником, має на увазі наслідок$q$.

Наслідки зазвичай пишуться як$p → q$

Наслідки подібні до умовних тверджень, які ми розглядали раніше; p$→$ q зазвичай пишеться як «якщо p, то q», або «p тому q». Різниця між наслідками та умовними умовами полягає в тому, що умовні умови, про які ми говорили раніше, пропонують дію - якщо умова істинна, то ми робимо деякі дії в результаті. Наслідки - це логічні твердження, які говорять про те, що наслідок має логічно слідувати, якщо попередник істинний.

Приклад$\PageIndex{3}$

Англійське твердження «Якщо йде дощ, то є хмари - це небо» є логічним підтекстом. Це вагомий аргумент, оскільки якщо попереднє «йде дощ» вірно, то наслідок «на небі є хмари» також має бути правдою.

Зверніть увагу, що заява нічого не говорить нам про те, чого очікувати, якщо не йде дощ. Якщо попередник помилковий, то підтекст стає неактуальним.

Приклад$\PageIndex{4}$

Друг каже вам, що «якщо ви завантажите це зображення на Facebook, ви втратите роботу». Можливі чотири результати:

1. Ви завантажуєте картинку і зберігаєте свою роботу
2. Ви завантажуєте картинку і втрачаєте роботу
3. Ви не завантажуєте зображення і зберігаєте свою роботу
4. Ви не завантажуєте зображення і втрачаєте роботу

Є тільки один можливий випадок, коли ваш друг брехав — перший варіант, коли ви завантажуєте картинку і зберігаєте свою роботу. В останніх двох випадках ваш друг нічого не сказав про те, що станеться, якщо ви не завантажили зображення, тому ви не можете зробити висновок, що їхня заява є недійсною, навіть якщо ви не завантажили фотографію і все одно втратили роботу.

У традиційній логіці підтекст вважається дійсним (істинним) до тих пір, поки немає випадків, коли попередник є істинним, а наслідок - помилковим. Важливо пам'ятати, що символічна логіка не може вловити всі тонкощі англійської мови.

Істина цінності для наслідків

р	q	р → q
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

Приклад$\PageIndex{5}$

Побудувати таблицю істинності для твердження$(m ⋀$ ~$p) → r$

Рішення

Почнемо з побудови таблиці істинності для попередника.

м	р	~р	м ~р
Т	Т	F	F
Т	F	Т	Т
F	Т	F	F
F	F	Т	F

Тепер ми можемо побудувати таблицю правди для імплікації

м	р	~р	м ~р	р	(м ~р) → r
Т	Т	F	F	Т	Т
Т	F	Т	Т	Т	Т
F	Т	F	F	Т	Т
F	F	Т	F	Т	Т
Т	Т	F	F	F	Т
Т	F	Т	Т	F	F
F	Т	F	F	F	Т
F	F	Т	F	F	Т

У цьому випадку, коли$m$ є true,$p$ є false, і$r$ є false, то попереднє$m ⋀$ ~$p$ буде true, але наслідок false, що призводить до недійсного імплікації; кожен інший випадок дає дійсний підтекст.

Для будь-якого імплікації існують три пов'язані твердження: зворотне, зворотне та контрапозитивне.

Визначення: Пов'язані заяви

Початковий підтекст «якщо p, то q» p → q

Зворотне звучить так: «якщо q, то p» q → p

Обернене значення «якщо не р, то не q» ~ p → ~ q

Контрапозитивним є «якщо не q, то не р» ~ q → ~ p

Приклад$\PageIndex{6}$

Розглянемо ще раз дійсний підтекст «Якщо йде дощ, то на небі є хмари».

Зворотним буде «Якщо на небі є хмари, йде дощ». Це, звичайно, не завжди вірно.

Зворотним буде «Якщо не йде дощ, то на небі немає хмар». Так само це не завжди вірно.

Контрапозитивним буде «Якщо на небі немає хмар, то не йде дощ». Це твердження є дійсним, і еквівалентно початковому підтексту.

Дивлячись на таблиці істини, ми можемо побачити, що оригінальний умовний і контрапозитивний логічно еквівалентні, і що зворотне і зворотне логічно еквівалентні.

		Імплікація		Конверс		Зворотний		Контрапозитивний
р	q	р → q		q → р		~ р → ~ q		~ q → ~ р
Т	Т	Т		Т		Т		Т
Т	F	F		Т		Т		F
F	Т	Т		F		F		Т
F	F	Т		Т		Т		Т

Визначення: Еквівалентність

Умовне твердження і його контрапозитив логічно еквівалентні.

Зворотне і зворотне твердження логічно еквівалентні.