Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.8: Геометрія в мистецтві та науці

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66276

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Тесселяції

    Тесселяція [1] являє собою конструкцію з використанням однієї або більше геометричних фігур без накладок і без зазорів. Ідея полягає в тому, що дизайн можна продовжувати нескінченно далеко, щоб охопити всю площину (хоча, звичайно, ми можемо намалювати лише невелику частину).

    tritesselate-225x244.png512px-Uniform_tiling_333-t012.png512px-Snub_square_rhombic_tiling_2.png

    Багато тесселяції мають поступальну симетрію, але це не строго обов'язково. Плитка Пенроуза, показана нижче [2], не має поступальної симетрії.

    256px Ручка-троянда_кахельний_ромбі.svg_.png

    Насправді набагато складніше придумати ці «аперіодичні» тесселяції, ніж придумати ті, які мають поступальну симетрію. Тому ми зупинимося на тому, як зробити симетричні тесселяції.

    Перші дві тесселяції вище були зроблені з єдиною геометричною формою (називається плиткою), розробленою таким чином, щоб вони могли поєднуватися один з одним без зазорів або нахлестов. У третій конструкції використовуються дві основні плитки. Тесселяції часто називають плиткою, і ось про що слід подумати: якби у мене була плитка, виготовлена в такій формі, чи міг би я використовувати їх для облицювання підлоги на кухні? Або це було б неможливо?

    На свій розсуд

    Працюйте над цими вправами самостійно або з партнером. Вам знадобиться багато копій (можливо, по 10-15) кожної форми нижче. У кожній задачі зосередьтеся лише на одній плитці для створення вашої тесселяції.

    square2-300x297-1.png

    tessrect-300x114.png

    tessquad3-300x120.png

    tessquad2-300x212.png

    tessquad1-300x270.png

    eqtri.png

    tesstria-300x140.png

    tesstrib-300x114.png

    pentagon-300x277.png

    pent1-225x300.png

    hexagon-300x255.png

    heptagon-300x287.png

    octagon-300x293.png

    1. Почніть з квадратної плитки. Чи можете ви скласти квадрати разом у візерунок, який можна продовжувати назавжди, без прогалин і без перекриттів? Чи можете ви зробити це більш ніж одним способом?
    2. Тепер спробуйте одну з трикутних плиток. Чи можете ви використовувати багато копій одного трикутника для тесселяції площини?
    3. Повторіть цей процес з кожною з інших плиток. Слідкуйте за своїми висновками.
    Подумайте/Пара/Поділитися
    • Яку з наведених вище плиток тесселювати, а які ні?
    • Чи є у вас якісь домисли, засновані на цьому досвіді, про те, які форми будуть тесселювати, а які ні?

    Малюнки Ешера

    Художник М.К. Ешер створив безліч творів мистецтва, натхненних математикою, в тому числі кілька дуже красивих тесселяцій. Нижче ви побачите кілька зображень [3], натхненних його роботами. Подивитися реальну річ можна на сайті http://www.mcescher.com/ в галереї «Симетрія».

    birds-300x200.jpglizards-300x214.jpg

    Ви можете зробити свої власні малюнки, схожі на Ешер, використовуючи деякі факти, які ви дізналися під час вивчення тесселяцій.

    Теорема: Тесселяції

    Будь-трикутник буде тесселювати. Так буде будь-який чотирикутник.

    Пояснення цьому зводиться до того, що ви знаєте про суми кутів. Сума кутів у трикутнику дорівнює 180°.

    tesstri1-300x99.png

    Отже, якщо ви створите шість копій одного трикутника і з'єднаєте їх у точці, щоб кожен кут виглядав двічі, навколо точки буде загалом 360°, тобто трикутники ідеально поєднуються без зазорів і без перекриттів.

    tesstri2-300x102.png

    Потім ви можете повторити це на кожній вершині, використовуючи все більше копій тих самих трикутників.

    tesstri3-300x92.png

    Подумайте/Пара/Поділитися
    • Скористайтеся тим фактом, що сума кутів у будь-якому чотирикутнику дорівнює 360°, щоб пояснити, чому кожен чотирикутник буде тесселювати.
    • Використовуйте кути, щоб пояснити, чому правильні шестикутники будуть тесселювати.
    • Поясніть, чому звичайні п'ятикутники не будуть тесселювати.

    На свій розсуд

    Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером. Ось як ви можете створити власні малюнки, схожі на Ешер.

    1. Виберіть базову плитку. Перший раз, коли ви робите це, найпростіше почати з простої форми, яка, як ви знаєте, буде тесселювати, як рівносторонній трикутник, квадрат або правильний шестикутник.
    2. Намалюйте «замалку» з одного боку вашої основної плитки.

    eschdirect1-225x219.png

    1. Виріжте замалку, і перемістіть її на іншу сторону своєї фігури. Ви можете або перевести його прямо поперек або повернути його.
    eschdirect2-300x242.png або eschdirect3-225x261.png
    1. Важливо, щоб виріз вирівнювався уздовж нового краю в тому ж місці, де він з'явився на його первісному краю.
    2. Стрічкою замалкою на нове місце. Це ваша основна плитка. На великому аркуші паперу простежте навколо вашої плитки. Потім перемістіть його так само, як ви переміщали замалку (переводите або обертаєте) так, щоб замалка вписувалася саме там, де ви її вирізали.

    eschdirect4-768x739.png

    1. Форма все ще буде тесселювати, тому продовжуйте і заповніть свій папір.
    2. Тепер займіться творчістю. Колір у вашій базовій формі, щоб виглядати як щось — тварина? квітка? барвиста крапля? Додайте колір та дизайн протягом усієї тесселяції, щоб перетворити його на власний малюнок, подібний до Ешера.
    3. Якщо ви хочете спробувати більш складний варіант, виріжте дві різні карлики з двох різних сторін і перемістіть їх обидві.

    Будівельні вежі

    Для цієї діяльності вам знадобляться деякі будівельні матеріали:

    • Вам знадобиться багато зубочисток.
    • Також знадобиться щось, щоб з'єднати зубочистки між собою. Кращий матеріал для цього - міні-зефір, можна встромити кінці зубочисток в зефір, щоб з'єднати їх. Також можна використовувати шматочки глини, шматочки клейких цукерок або інший подібний (липкий) матеріал.
    Проблема 16

    Спробуйте це як розминку. Візьміть рівно шість зубочисток. Ваше завдання полягає в тому, щоб зробити чотири трикутника, використовуючи всі шість зубочисток. Ви не можете зламати жодну зубочистку або додати будь-які інші матеріали, крім з'єднувачів зефіру.

    Проблема 17

    Тепер настає головний виклик. У вас є десять хвилин, щоб побудувати найвищу окремо стоячу конструкцію, яку ви можете зробити. «Окремо стоїть» означає, що він встане самостійно. Ви не можете тримати його або притулитися до чогось. Коли десять хвилин закінчилися, відступите від вашої вежі і виміряйте її висоту.

    Подумайте/Пара/Поділитися

    Подивіться на власну вежу та на вежі інших учнів. Поговоріть про ці питання:

    • Який вибір дизайну призвів до більш високих вільних конструкцій? Чому ви думаєте, що це так?
    • Якби у вас було ще десять хвилин, щоб спробувати цю діяльність ще раз, що б ви зробили по-іншому і чому?
    1. Трикутна тесселяція від pixababy [CC0]. Гексагональні та ромбічні тесселяції з Вікісховища [Публічне надбання]. ←
    2. Зображення через Вікісховище [Публічний домен]. ←
    3. Зображення з flickr [CC BY-NC-SA 2.0]. Птахи Шерон Драммонд. Ящірка плитки Бена Лоусона. ←