Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.7: Симетрія

Математики використовують симетрію у всіляких ситуаціях. У розрахунках може бути симетрія, наприклад. Але найбільш впізнавані види симетрії - це геометричні конструкції.

Геометричні та реальні об'єкти можуть мати різні види симетрій [1].

512px-Mosaic_-_Mosquée_de_Paris.jpg512px-Apolleangasket_symmetry.png

512px-Swallowtail_Butterfly_Papilio_oribazus_8539896308.jpgStarfish_02_paulshaffner_cropped.jpgNormal_Distribution_NIST.gifwater-1759703_1920-300x160.jpg

Або вони можуть взагалі не мати симетрії [2].

PillarCoral-199x300.jpg512px-Large_breaking_wave.jpgpicasso-250x300.jpgskewnormal-300x218.pngserine.pngnotsym-300x225.png

Подумайте/Пара/Поділитися
  • Що ви вже знаєте про ідею симетрії? Що означає сказати, що дизайн симетричний?
  • Чи знаєте ви про різні типи симетрії? Які типи?
  • Чи можете ви навести приклади об'єктів реального світу, які є симетричними? А як щодо об'єктів, які не симетричні?

Симетрія ліній

Якщо ви можете перевернути фігуру над лінією - це називається відображенням фігури - а потім вона виглядає незмінною, тоді фігура має симетрію відображення або симетрію лінії. Лінія симетрії ділить об'єкт на дві дзеркально-зображувальні половини. Пунктирні лінії нижче - лінії симетрії:

linesym-768x403.png

Порівняйте з пунктирними лініями нижче. Незважаючи на те, що вони розрізають фігури навпіл, вони не створюють дзеркальних половин. Це не лінії симетрії:

notlinesym-768x392.png

Подумайте/Пара/Поділитися

Подивіться на перший набір картинок на початку цієї глави. Чи є у кого-небудь з них лінії симетрії? Як ви можете сказати?

Проблема 12

Для кожної з цифр [3] нижче:

  1. Вирішіть, чи має він якісь лінії симетрії. Якщо ні, то звідки ви знаєте?
  2. Якщо він має одну або кілька ліній симетрії, знайдіть/опишіть їх усі. Поясніть, як ви це зробили.

trap1-300x100.pngsmsq.png

256px еліпси_1.svg_.png256px-диск_1.svg_.png

rect-300x84.png

scaltri-300x81.pngscatri-300x83.png

Проблема 13

Кожна картинка нижче показує половину дизайну з лінійною симетрією. Показана лінія симетрії (пунктирна). Чи можете ви завершити дизайн? Поясніть, як ви це зробили.

finishlinesym1-185x300.png

finishlinesym2-300x285.png

Обертальна симетрія

Якщо ви можете повернути фігуру навколо центральної точки менше, ніж повне коло - це називається поворотом - і фігура виглядає незмінною, то фігура має обертальну симетрію. Точка, навколо якої ви обертаєте, називається центром повороту, а найменший кут, який потрібно повернути, називається кутом повороту.

Ця зірка має обертальну симетрію 72°, а центр обертання - центр зірки. Одна точка позначена, щоб допомогти вам візуалізувати обертання.

starrot1-300x295.pngstarrot2-300x300.png

Подумайте/Пара/Поділитися
  • Як можна бути впевненим, що кут повороту зірки дорівнює рівно 72°?
  • Подивіться на перший набір картинок на початку цієї глави. Чи є у кого-небудь з них обертальна симетрія? Як ви можете сказати?
Проблема 14

Кожна з представлених нижче фігур має обертальну симетрію. Знайдіть центр повороту і кут повороту. Поясніть своє мислення.

rotsym1.pngrotsym2-300x261.png

Проблема 15

На кожному малюнку нижче показана частина конструкції з позначеним центром повороту та заданим кутом повороту. Чи можете ви завершити конструкцію так, щоб вона мала правильну обертальну симетрію? Поясніть, як ви це зробили.

makerot1-195x300.pngmakerot2-300x293.png

90° 45°

Поступальна симетрія

Переклад (його також називають слайдом) передбачає переміщення фігури в певному напрямку на певну відстань. Вектор (відрізок лінії зі стрілкою на одному кінці) може бути використаний для опису перекладу, оскільки вектор повідомляє як відстань (довжину відрізка), так і напрямок (напрямок, на який вказує стрілка).

vectrans-300x172.png

Конструкція має поступальну симетрію, якщо на ній можна виконати переклад, і малюнок виглядає незмінним. Цегляна стіна [4] має поступальну симетрію у багатьох напрямках!

512px-Solna_Brick_wall_Stretcher_bond_variation1.jpg

Цегляна стіна - це один із прикладів тесселяції [5], про який ви дізнаєтеся більше в наступному розділі.

tritesselate-225x244.png512px-Uniform_tiling_333-t012.png512px-Snub_square_rhombic_tiling_2.png

Ви можете побачити симетрію перекладу у багатьох місцях. Це в архітектурі та дизайні [6].

512px-Israel-2013-Jerusalem-Temple_Mount-Dome_of_the_Rock-Detail_01.jpgmosque-300x225.jpg256px-British_Museum_Great_Court_roof.jpg

Це в мистецтві, найвідоміше, що M.C. Escher. (Можливо, ви захочете відвідати http://www.mcescher.com/gallery/symmetry/ і переглянути галерею «Симетрія».)

І це з'являється в традиційних гавайських та інших полінезійських татуюваннях [7].

256pX-ІЛС_Сендвіч_офіц_ду_рой_гранд_костюм_одессина_с_лерой_д.лерой_дапрес_JS. _Arago_grave_par_Lerouge_et_Forget.jpgtattoo1-225x300.jpgtattoo2-225x148.jpg

Подумайте/Пара/Поділитися
  • На кожній з картинок з поступальною симетрією вище накидайте вектор для позначення напрямку і відстані поступальної симетрії.
  • Створіть власний дизайн з поступальною симетрією. Поясніть, як ви це зробили.

  1. Мозаїчне зображення Марка Куперка (Flickr: Центральна мечеть Парижа) [CC BY 2.0], через Wikimedia Commons. Упаковка Аполлонського кола від Tomruen (Власна робота) [CC BY-SA 3.0], через Wikimedia Commons. Метелик Бернарда ДЮПОНА з ФРАНЦІЇ (Метелик ластівчин хвіст (Papilio oribazus)) [CC BY-SA 2.0], через Вікісховище. Морська зірка Пола Шафнера [CC BY 2.0], через Wikimedia Commons. Звичайне розповсюдження з Вікісховища [Публічне надбання]. Крапля води з pixababy.com [CC0 Creative Commons].
  2. Стовпні корали, хвилі та молекули з Вікісховища [Громадське надбання]. Голова жінки Пабло Пікассо, зображення з галереї Гендальфа на Flickr [CC-BY-NC-SA 2.0]
  3. Коло та еліпс Парижа 16 (Власна робота) [CC BY-SA 4.0], через Вікісховище
  4. Зображення Я, Xauxa [CC-BY-SA-3.0], через Вікісховище
  5. Трикутна тесселяція від pixababy [CC0]. Гексагональні та ромбічні тесселяції з Вікісховища [Публічне надбання].
  6. Плитка в Єрусалимському храмі Андрія Шиви/Вікіпедія, через Вікісховище [CC BY-SA 4. 0]. Мечеть Хішама Бінсувайфа через flickr [CC BY-SA 2. 0]. Великий суд Британського музею Ендрю Данна, http://www.andrewdunnphoto.com/ (Власна робота) [CC BY-SA 2.0], через Wikimedia Commons
  7. Королівський гавайський офіцер через Вікісховище [Публічне надбання]. Татуювання плечей та рук Мікаеля Faccio на мерехтінні [CC BY-2.0].