7.5: Платонічні тверді речовини

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66254

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Звичайно, ми живемо в тривимірному світі (принаймні!) , тому лише вивчення плоскої геометрії не має великого сенсу. Чому б не подумати і про деякі тривимірні об'єкти?

Визначення

Багатогранник - це суцільна (тривимірна) фігура, обмежена багатокутниками. Багатогранник має грані, які є плоскими багатокутниками, прямі ребра, де грані зустрічаються попарно, і вершини, де зустрічаються три або більше ребер.

Множина багатогранника є багатогранниками.

Подумайте/Пара/Поділитися

Подивіться на фотографії твердих тіл нижче, і вирішіть, які є багатогранниками, а які ні. Ви повинні вміти сказати, чому кожна фігура підходить або не відповідає визначенню.

^[1]
$Triangular_prism_wedge.png$
^[2]
$cylinder-225x243.png$
^[3]
$512px - евклід_ікосахедрон_3.svg_.png$
^[4]
$256px круговий_конус.svg_.png$
^[5]
$512px-Hexagonal_antiprism.png$
^[6]
$256px додехедрон. svg_.png$
^[7]
$512 шт. - Сфера.$
^[8]
$512px-Torus_illustration.png$
^[9]
$128px Зірка_восьмикутник.svg_.png$

Пам'ятайте, що правильний багатокутник має всі сторони однакової довжини і всі кути однакову міру. Існує подібне (якщо трохи складніше) поняття регулярного для твердих фігур.

Визначення

Регулярний багатогранник має грані, які є однаковими (конгруентними) правильними багатокутниками. Всі вершини також ідентичні (однакова кількість граней зустрічається на кожній вершині).

Регулярні багатогранники також називають платонічними твердими речовинами (названі на честь Платона).

Якщо ви зафіксуєте кількість сторін і їх довжину, є один і тільки один правильний багатокутник з такою кількістю сторін. Тобто кожен правильний чотирикутник - це квадрат, але квадрати можуть бути різного розміру. Кожен звичайний восьмикутник виглядає як знак зупинки, але він може бути збільшений вгору або вниз. Ваша робота в цьому розділі полягає в тому, щоб з'ясувати, що ми можемо сказати про регулярні багатогранники.

На свій розсуд

Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером. Вам потрібно буде зробити багато копій правильних багатокутників нижче. Скопіюйте і виріжте хоча б:

40 примірників рівностороннього трикутника,
15 примірників площі,
20 примірників звичайного п'ятикутника, і
10 копій кожного з шестикутника, гептагону та восьмикутника.

Також знадобиться трохи скотча.

$eqtri.png$

$square3.png$

$pentagon-300x277.png$

$hexagon-300x255.png$

$heptagon-300x287.png$

$octagon-300x293.png$

У будь-якому багатогранника на кожній вершині зустрічаються щонайменше три багатокутника. Почніть з рівносторонніх трикутників: Покладіть три з них разом, що зустрічаються у вершині, і склейте їх разом. Потім закрийте їх, щоб вони утворили тверду форму. Чи можете ви завершити цю форму в платонічну тверду речовину? Обов'язково перевірте, щоб на кожній вершині у вас було рівно три трикутника, що зустрічаються.
Тепер повторіть цей процес, але почніть з чотирьох рівносторонніх трикутників навколо однієї вершини. Потім закрийте їх, щоб вони утворили тверду форму. Чи можете ви завершити це в платонічну тверду речовину? Обов'язково перевірте, щоб на кожній вершині у вас було рівно чотири трикутника, що зустрічаються.
Повторіть цей процес з п'ятьма рівносторонніми трикутниками, потім шістьма, потім сімома і так далі. Продовжуйте йти, поки не переконаєтеся, що розумієте, що відбувається з платонічними твердими речовинами, які мають трикутні обличчя.
Коли ви закінчите з трикутними особами, перейдіть до квадратних граней. Працюйте систематично: Спробуйте побудувати платонічне тверде тіло з трьома квадратами на кожній вершині, потім чотирма, потім п'ятьма тощо Продовжуйте йти, поки не зможете зробити остаточне твердження про платонічні тверді тіла з квадратними гранями.
Повторіть цей процес з іншими правильними багатокутниками, які ви вирізали: п'ятикутники, шестикутники, гептикути та восьмикутники.

Ви, мабуть, помітили, що ситуація для платонічних твердих тіл зовсім відрізняється від ситуації для правильних полігонів. Є нескінченно багато правильних багатокутників (навіть якщо ви не враховуєте розмір). Існує правильний багатокутник з n сторонами для кожного значення n більше 2. Але для твердих тіл ми маємо наступний (можливо, дивовижний) результат.

Теорема

Є рівно п'ять платонічних твердих тіл.

Ключовим фактом є те, що для того, щоб тривимірне тверде тіло закривалося і утворило багатогранник, навколо кожної вершини має бути менше 360°. В іншому випадку він або лежить рівно (якщо є рівно 360°), або згинається на себе (якщо є більше 360°).

Проблема 9

Виходячи з вашої роботи в вправах, ви повинні вміти написати переконливе обгрунтування теореми вище. Ось ескіз, і вам слід заповнити пояснення.

Якщо платонічне тверде тіло має грані, які є рівносторонніми трикутниками, то на кожній вершині має зустрічатися менше 6 граней. Чому?
Якщо платонічне тверде тіло має квадратні грані, то на кожній вершині можуть зустрічатися три грані, але не більше цього. Чому?
Якщо платонічне тверде тіло має грані, які є правильними п'ятикутниками, то на кожній вершині можуть зустрічатися три грані, але не більше цього. Чому?
Регулярні шестикутники не можуть бути використані як грані для платонічного твердого тіла. Чому?
Аналогічно, регулярні n -кутники для n більших за 6 не можуть бути використані як грані для платонічного твердого тіла. Чому?

Зображення Тома Руена [Публічне надбання], через Вікісховище
Зображення через pixababy.com, ліцензія CC0 Creative Commons. ∴
Зображення Альдоальдоса (Власна робота) [CC BY-SA 3.0, через Вікісховище. ∴
Зображення від Thinkingarena (Власна робота) [CC BY-SA 4.0], через Вікісховище
Зображення програмного забезпечення Stella Роберта Вебба: http://www.software3d.com/Stella.php, через Вікісховище. ∴
Зображення [DTR CC-BY-SA-3.0], через Вікісховище
Зображення Стівена Г.Макатера (Власна робота) [CC BY-SA 3.0], через Вікісховище. ∴
Зображення через Вікісховище [Публічне надбання]. ∴
Зображення самостійно [CC BY-SA 3.0], через Вікісховище. ∴