4.13: З'єднання алгебри

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66429

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У просунутому курсі алгебри студентів часто просять працювати зі складними виразами, такими як:

\[\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{3}{x}} \nonumber \]

Ми можемо зробити його більш дружнім, використовуючи правило ключового дробу, точно таку ж техніку, яку ми використовували в розділі «Ділення дробів: інвертувати і множити». У цьому прикладі помножимо чисельник і знаменник кожен на $х$ . (Ви розумієте, чому це хороший вибір?) Отримуємо:

\[\frac{(\frac{1}{x} + 1) \cdot x}{(\frac{1}{x}) \cdot x} = \frac{1 + x}{3}, \nonumber \]

і$\frac{1+x}{3}$ набагато менше страшно.

Зверніть увагу, що вирази, як

\[\frac{1}{x} \nonumber \]

не можна переписати як десяткове число. Подібні вирази виникають у численних додатках, тому студентам математики та природничих наук важливо мати можливість працювати з дробами у формі дробу, не завжди вдаючись до перетворення в десяткові числа.

Приклад$\PageIndex{1}$:

В якості іншого прикладу наведено:

\[\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{ab}, \nonumber \]

може бути корисним помножити чисельник і знаменник кожен на, $a$ а потім кожен на $б$ :

\[\frac{(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) \cdot a \cdot b}{(ab) \cdot a \cdot b} = \frac{b - a}{a^{2} b^{2}} \ldotp \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{2}$:

Для

\[\frac{\frac{1}{(w+1)^{2}} - 2}{\frac{1}{w+1)^{2}} + 5}, \nonumber \]

це може бути добре, щоб помножити чисельник і знаменник кожен на$(w+1)^{2}$. (Чому?)

\[\frac{(\frac{1}{(w+1)^{2}} - 2) \cdot (w+1)^{2}}{(\frac{1}{w+1)^{2}} + 5) \cdot (w+1)^{2}} = \frac{1-2(w+1)^{2}}{1+5(w+1)^{2}} \ldotp \nonumber \]

На свій розсуд

Чи можете ви зробити так, щоб кожне з цих виразів виглядало менш страшно?

\[\frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}, \qquad \frac{\frac{1}{x+h} + 3}{\frac{1}{x+h}}, \qquad \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}, \qquad \frac{\frac{1}{x+a} - \frac{1}{x}}{a} \ldotp \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Приклад\(\PageIndex{2}\):

На свій розсуд