Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.6: Множення дробів

Модель площі

Однією з наших моделей для множення цілих чисел стала модель площі. Наприклад, твір23×37 - площа (кількість квадратів 1 × 1) прямокутника 23 на 37:

area-model-23-by-37-300x189.png

Так що добуток двох фракцій, скажімо, також47×23 повинен відповідати проблемі області.

Приклад: (4/7 × 2/3)

Почнемо з відрізка деякої довжини, який ми називаємо 1 одиницею:

unitseg-300x16.png

Тепер побудуйте квадрат, який має по одній одиниці з кожного боку:

unitsq-300x287.png

Площа квадрата, звичайно ж,1×1=1 квадратна одиниця.

Тепер розділимо відрізок зверху на три однакових за розміром шматочки. (Таким чином, кожен шматок є13.) І розділимо відрізок збоку на сім рівних за розміром шматочків. (Таким чином, кожен шматок є17.)

unitsqdiv-300x293.png

Ми можемо використовувати ці позначки, щоб розділити весь квадрат на маленькі прямокутники рівного розміру. (Кожен прямокутник має одну сторону, яка вимірює,13 та іншу сторону, яка вимірює17.)

unitsqdiv2-300x296.png

Тепер ми можемо відзначити чотири сьомі з одного боку і дві третини з іншого боку.

unitsqdiv3-300x296.png

Результатом множення повинна стати площа прямокутника з47 одного і з іншого23 боку. Що це за область?

areamodel2-300x297.png

Пам'ятайте, вся площа була однією одиницею. Цей квадрат розділений на 21 рівний за розміром шматок, а наш прямокутник (той, що має сторони47 і23) містить вісім таких прямокутників. Оскільки затінена область є відповіддю на нашу проблему множення, ми робимо висновок, що

47×23=821.

Подумайте/Пара/Поділитися
  1. Використовуйте модель для обчислення кожного з наступних продуктів. Намалюйте картинку, щоб чітко побачити відповідь.  розрив34 раз frac56, qquad frac38 раз frac45, qquad frac58 час frac37 ldotp
  2. Задача про площу47×23 дала діаграму із загальною кількістю 21 малих прямокутників. Поясніть, чому 21 відображається як загальна кількість прямокутників рівного розміру.
  3. Задача області47×23 дала діаграму з 8 маленькими затіненими прямокутниками. Поясніть, чому 8 відображається як кількість затінених прямокутників.
Проблема 5

Як можна розширити модель площі для дробів більше 1? Спробуйте намалювати картинку для кожного з них:3432,2543,31054,5274.

На свій розсуд

Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером.

  1. Обчислити наступні продукти, максимально спростивши кожен з відповідей. Вам не потрібно малювати фотографії, але ви, безумовно, можете зробити це, якщо це допоможе! $\ розрив {5} {11}\ раз\ frac {7} {12},\ qquad\ frac {4} {7}\ раз\ frac {4} {4} {8},\ qquad\ frac {1} {1},\ qquad\ frac {2} {1}\ раз\ frac {3} {1},\ qquad\ frac {1} {5}\ раз\ frac {5} {1}\ ldotp$$
  2. Обчислити наступні продукти. (Не працюйте занадто старанно!) $\ frac {3} {4}\ раз\ frac {1} {3}\ раз\ frac {2} {5},\ qquad\ frac {5} {5} {5}\ раз\ frac {7} {8},\ qquad\ frac {88} {88}\ раз\ frac {541} {788},\ qquad\ frac {7776} {311}\ раз\ frac {311} {77876}\ ldotp$$
  3. Спробуйте цей. Чи можете ви скористатися правилом дробу,xaxb=ab щоб допомогти вам розрахувати? Як? \boldsymbol{\ гідророзриву {1} {2}\ раз\ гідророзриву {2} {3}\ раз\ гідророзриву {3} {4}\ раз\ гідророзриву {4} {5}\ раз\ frac {5} {6}\ раз\ frac {7} {7} {7} {8}\ раз\ frac {8} {8} {9}\ раз\ frac 9} {10}\ ldotp}
Подумайте/Пара/Поділитися

Чим ці дві проблеми відрізняються? Намалюйте малюнок кожного.

  1. Пем мав23 торт у холодильнику, і вона12 з'їла його. Скільки всього пирога вона з'їла?
  2. У понеділок Пем23 з'їла торт. У вівторок Пем12 з'їла торт. Обидва коржа були однакового розміру. Скільки всього пирога вона з'їла?

Коли проблема включає фразу на кшталт «23з...», учнів навчають розглядати «of» як множення, і використовувати це для вирішення проблеми. Як показують перераховані вище проблеми, в деяких випадках це має сенс, а в деяких випадках - ні. Важливо уважно читати і розуміти, про що задається проблема, а не запам'ятовувати правила про «переклад» проблем слів.

Пояснення правила

Ви, ймовірно, спростили свою роботу у вправах вище, використовуючи правило множення, як показано нижче.

Множення дробів

abcd=acbd.

Звичайно, ви можете вибрати спрощення остаточної відповіді, але відповідь завжди еквівалентна цій. Чому? Модель площі може допомогти нам пояснити, що відбувається.

По-перше, давайте чітко випишемо, як модель площі говорить множитиabcd. Ми хочемо побудувати прямокутник, де одна сторона має довжину,ab а інша сторона має довжинуcd. Починаємо з квадрата, по одній одиниці з кожного боку.

  • Розділіть верхній відрізок наб однакові за розміром шматочки. aВідтінок цих шматочків. (Це буде сторона прямокутника з довжиноюab.)
  • Розділіть лівий відрізок наd однакові за розміром шматочки. cВідтінок цих шматочків. (Це буде сторона прямокутника з довжиноюcd.)
  • Розділіть весь прямокутник відповідно до галочками з боків, зробивши прямокутники рівного розміру.
  • Затіньте прямокутник, обмежений затіненими сегментами.

Якщо відповідь єacbd, це означає, що в квадраті єbd загальні однакові шматочки, іac з них затінені. З моделі ми бачимо, чому це так:

  • Верхній сегмент був розділений наб однакові за розміром шматочки. Таким чином, єб стовпці в прямокутник.
  • Бічний сегмент був розділений наd однакові за розміром шматочки. Таким чином, єd рядки в прямокутник.
  • Прямокутник зіб стовпцями іd рядками маєbd шматочки. (Модель площі для множення цілого числа!)
Подумайте/Пара/Поділитися

Дотримуйтеся загального правила множення

abcd=acbd.

Напишіть чітке пояснення, чомуac з маленьких прямокутників будуть затінені.

Множення дробів на цілі числа

Часто учнів початкових класів вчать множити дроби на цілі числа за допомогою правила дробу.

Приклад: Множення дробів

Наприклад, щоб помножити237, ми думаємо про «2» як21 і обчислюємо таким чином237=2137=2317=67.

Ми також можемо думати з точки зору нашої оригінальної моделі «Пироги на дитину», щоб відповісти на такі запитання.

Приклад: Пироги на дитину

Ми знаємо, що37 означає кількість пирога кожна дитина отримує, коли 7 дітей рівномірно поділяють 3 пироги.

Якщо ми обчислюємо це означає237, що ми подвоїти кількість пирога кожен дитина отримує. Ми можемо зробити це, подвоївши кількість пирогів. Отже, відповідь така ж, як67: кількість пирога кожна дитина отримує, коли 7 дітей рівномірно поділяють 6 пирогів.

Нарешті, ми можемо думати з точки зору одиниць і об'єднання.

Приклад: Одиниці

Дріб37 означає, що у мене 7 рівних штук (чогось), а я беру 3 з них.

Так237 значить, зробити це двічі. Якщо я візьму 3 штуки, а потім знову 3 штуки, то отримую в цілому 6 штук. Є ще 7 рівних штук в цілому, так що відповідь є67.

Подумайте/Пара/Поділитися
  1. Скористайтеся всіма трьома методами, щоб пояснити, як знайти кожен продукт: $3\ cdot\ frac {2} {5},\ qquad 4\ cdot\ frac {3} {8},\ qquad 6\ cdot\ frac {1} {5}\ ldotp$$
  2. Порівняйте ці різні способи мислення про множення дробів. Чи є хтось із них більш природним для вас? Чи один має більше сенсу, ніж інші? Чи впливають конкретні цифри в проблемі на вашу відповідь? Чи згоден ваш партнер?

Пояснення правила ключового дробу

Рой каже, що правило фракції

xaxb=ab

є «очевидним», якщо ви думаєте з точки зору множення дробів. Він міркує наступним чином:

Ми знаємо, що множення чогось на 1 не змінює число:

14=412014=2014157=57

Отже, загалом,

1ab=ab.

Тепер22=1, так що це означає, що

22ab=1ab=ab,

що означає

2a2b=ab.

За тими ж міркуваннями33=1, так що це означає, що

33ab=1ab=ab,

що означає

3a3b=ab.

Подумайте/Пара/Поділитися

Що ви думаєте про міркування Роя? Чи має сенс? Як би Рой пояснив загальне правило для позитивних цілих чиселх:

xaxb=ab?