4.6: Множення дробів
Модель площі
Однією з наших моделей для множення цілих чисел стала модель площі. Наприклад, твір23×37 - площа (кількість квадратів 1 × 1) прямокутника 23 на 37:
Так що добуток двох фракцій, скажімо, також47×23 повинен відповідати проблемі області.
Почнемо з відрізка деякої довжини, який ми називаємо 1 одиницею:
Тепер побудуйте квадрат, який має по одній одиниці з кожного боку:
Площа квадрата, звичайно ж,1×1=1 квадратна одиниця.
Тепер розділимо відрізок зверху на три однакових за розміром шматочки. (Таким чином, кожен шматок є13.) І розділимо відрізок збоку на сім рівних за розміром шматочків. (Таким чином, кожен шматок є17.)
Ми можемо використовувати ці позначки, щоб розділити весь квадрат на маленькі прямокутники рівного розміру. (Кожен прямокутник має одну сторону, яка вимірює,13 та іншу сторону, яка вимірює17.)
Тепер ми можемо відзначити чотири сьомі з одного боку і дві третини з іншого боку.
Результатом множення повинна стати площа прямокутника з47 одного і з іншого23 боку. Що це за область?
Пам'ятайте, вся площа була однією одиницею. Цей квадрат розділений на 21 рівний за розміром шматок, а наш прямокутник (той, що має сторони47 і23) містить вісім таких прямокутників. Оскільки затінена область є відповіддю на нашу проблему множення, ми робимо висновок, що
47×23=821.
- Використовуйте модель для обчислення кожного з наступних продуктів. Намалюйте картинку, щоб чітко побачити відповідь. розрив34 раз frac56, qquad frac38 раз frac45, qquad frac58 час frac37 ldotp
- Задача про площу47×23 дала діаграму із загальною кількістю 21 малих прямокутників. Поясніть, чому 21 відображається як загальна кількість прямокутників рівного розміру.
- Задача області47×23 дала діаграму з 8 маленькими затіненими прямокутниками. Поясніть, чому 8 відображається як кількість затінених прямокутників.
Як можна розширити модель площі для дробів більше 1? Спробуйте намалювати картинку для кожного з них:34⋅32,25⋅43,310⋅54,52⋅74.
На свій розсуд
Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером.
- Обчислити наступні продукти, максимально спростивши кожен з відповідей. Вам не потрібно малювати фотографії, але ви, безумовно, можете зробити це, якщо це допоможе! $\ розрив {5} {11}\ раз\ frac {7} {12},\ qquad\ frac {4} {7}\ раз\ frac {4} {4} {8},\ qquad\ frac {1} {1},\ qquad\ frac {2} {1}\ раз\ frac {3} {1},\ qquad\ frac {1} {5}\ раз\ frac {5} {1}\ ldotp$$
- Обчислити наступні продукти. (Не працюйте занадто старанно!) $\ frac {3} {4}\ раз\ frac {1} {3}\ раз\ frac {2} {5},\ qquad\ frac {5} {5} {5}\ раз\ frac {7} {8},\ qquad\ frac {88} {88}\ раз\ frac {541} {788},\ qquad\ frac {7776} {311}\ раз\ frac {311} {77876}\ ldotp$$
- Спробуйте цей. Чи можете ви скористатися правилом дробу,xaxb=ab щоб допомогти вам розрахувати? Як? \boldsymbol{\ гідророзриву {1} {2}\ раз\ гідророзриву {2} {3}\ раз\ гідророзриву {3} {4}\ раз\ гідророзриву {4} {5}\ раз\ frac {5} {6}\ раз\ frac {7} {7} {7} {8}\ раз\ frac {8} {8} {9}\ раз\ frac 9} {10}\ ldotp}
Чим ці дві проблеми відрізняються? Намалюйте малюнок кожного.
- Пем мав23 торт у холодильнику, і вона12 з'їла його. Скільки всього пирога вона з'їла?
- У понеділок Пем23 з'їла торт. У вівторок Пем12 з'їла торт. Обидва коржа були однакового розміру. Скільки всього пирога вона з'їла?
Коли проблема включає фразу на кшталт «23з...», учнів навчають розглядати «of» як множення, і використовувати це для вирішення проблеми. Як показують перераховані вище проблеми, в деяких випадках це має сенс, а в деяких випадках - ні. Важливо уважно читати і розуміти, про що задається проблема, а не запам'ятовувати правила про «переклад» проблем слів.
Пояснення правила
Ви, ймовірно, спростили свою роботу у вправах вище, використовуючи правило множення, як показано нижче.
ab⋅cd=a⋅cb⋅d.
Звичайно, ви можете вибрати спрощення остаточної відповіді, але відповідь завжди еквівалентна цій. Чому? Модель площі може допомогти нам пояснити, що відбувається.
По-перше, давайте чітко випишемо, як модель площі говорить множитиab⋅cd. Ми хочемо побудувати прямокутник, де одна сторона має довжину,ab а інша сторона має довжинуcd. Починаємо з квадрата, по одній одиниці з кожного боку.
- Розділіть верхній відрізок на
однакові за розміром шматочки.
Відтінок цих шматочків. (Це буде сторона прямокутника з довжиноюab.)
- Розділіть лівий відрізок на
однакові за розміром шматочки.
Відтінок цих шматочків. (Це буде сторона прямокутника з довжиноюcd.)
- Розділіть весь прямокутник відповідно до галочками з боків, зробивши прямокутники рівного розміру.
- Затіньте прямокутник, обмежений затіненими сегментами.
Якщо відповідь єa⋅cb⋅d, це означає, що в квадраті єb⋅d загальні однакові шматочки, іa⋅c з них затінені. З моделі ми бачимо, чому це так:
- Верхній сегмент був розділений на
однакові за розміром шматочки. Таким чином, є
стовпці в прямокутник.
- Бічний сегмент був розділений на
однакові за розміром шматочки. Таким чином, є
рядки в прямокутник.
- Прямокутник зі
стовпцями і
рядками маєb⋅d шматочки. (Модель площі для множення цілого числа!)
Дотримуйтеся загального правила множення
ab⋅cd=a⋅cb⋅d.
Напишіть чітке пояснення, чомуa⋅c з маленьких прямокутників будуть затінені.
Множення дробів на цілі числа
Часто учнів початкових класів вчать множити дроби на цілі числа за допомогою правила дробу.
Наприклад, щоб помножити2⋅37, ми думаємо про «2» як21 і обчислюємо таким чином2⋅37=21⋅37=2⋅31⋅7=67.
Ми також можемо думати з точки зору нашої оригінальної моделі «Пироги на дитину», щоб відповісти на такі запитання.
Ми знаємо, що37 означає кількість пирога кожна дитина отримує, коли 7 дітей рівномірно поділяють 3 пироги.
Якщо ми обчислюємо це означає2⋅37, що ми подвоїти кількість пирога кожен дитина отримує. Ми можемо зробити це, подвоївши кількість пирогів. Отже, відповідь така ж, як67: кількість пирога кожна дитина отримує, коли 7 дітей рівномірно поділяють 6 пирогів.
Нарешті, ми можемо думати з точки зору одиниць і об'єднання.
Дріб37 означає, що у мене 7 рівних штук (чогось), а я беру 3 з них.
Так2⋅37 значить, зробити це двічі. Якщо я візьму 3 штуки, а потім знову 3 штуки, то отримую в цілому 6 штук. Є ще 7 рівних штук в цілому, так що відповідь є67.
- Скористайтеся всіма трьома методами, щоб пояснити, як знайти кожен продукт: $3\ cdot\ frac {2} {5},\ qquad 4\ cdot\ frac {3} {8},\ qquad 6\ cdot\ frac {1} {5}\ ldotp$$
- Порівняйте ці різні способи мислення про множення дробів. Чи є хтось із них більш природним для вас? Чи один має більше сенсу, ніж інші? Чи впливають конкретні цифри в проблемі на вашу відповідь? Чи згоден ваш партнер?
Пояснення правила ключового дробу
Рой каже, що правило фракції
xaxb=ab
є «очевидним», якщо ви думаєте з точки зору множення дробів. Він міркує наступним чином:
Ми знаємо, що множення чогось на 1 не змінює число:
1⋅4=41⋅2014=20141⋅57=57
Отже, загалом,
1⋅ab=ab.
Тепер22=1, так що це означає, що
22⋅ab=1⋅ab=ab,
що означає
2a2b=ab.
За тими ж міркуваннями33=1, так що це означає, що
33⋅ab=1⋅ab=ab,
що означає
3a3b=ab.
Що ви думаєте про міркування Роя? Чи має сенс? Як би Рой пояснив загальне правило для позитивних цілих чисел:
xaxb=ab?