4.12: Єгипетські фракції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66428

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Приклад: Єгипетський дріб для 7/12

Розглянемо проблему: поділіть 7 пирогів порівну між 12 малюками. Звичайно, враховуючи нашу модель для дробів, кожна дитина повинна отримати кількість «$\frac{7}{12}$» Але ця відповідь має мало інтуїтивного відчуття.

Припустимо, ми сприйняли це завдання як дуже практичну проблему. Ось сім пирогів:

$Egyptian-fractions-whole-pies-300x138.png$

Чи можна кожному з малюків давати цілий пиріг? Ні.

Як щодо наступного найкращого - чи зможе кожна дитина отримати половину пирога? Так! Є, звичайно, 12 половина пирогів, щоб dole з. Існує також один пиріг, що залишився ще для спільного використання серед 12 дітей. Розділіть це на дванадцяті і вручите кожному малюкові зайвий шматочок.

$Egyptian-fractions-divided-pies-300x132.png$

Таким чином, кожна дитина отримує$\frac{1}{2} + \frac{1}{12}$ пиріг, і це дійсно правда, що

\[\frac{7}{12} = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} \ldotp \nonumber \]

(Перевірте цей розрахунок.. Не просто вірте!)

Це здається цілком розумним. Замість семи штук кожного розміру$\frac{1}{12}$, кожен малюк отримує шматок, який є,$\frac{1}{2}$ і шматок, який є$\frac{1}{12}$. Це набагато менше різання, і набагато менш безладно!

Проблема 32

1. Припустимо, ви хочете поділитися п'ятьма пирогами між шістьма дітьми, але ви хочете, щоб кожна дитина отримувала невелику кількість (відносно) великих шматочків, а не п'ять штук розміром$\frac{1}{6}$. Дотримуючись наведеного вище прикладу, як ви могли це зробити?

$fivepies-300x167.png$

Використовуючи подібні ідеї, як можна розділити 4 пирога серед 7 дітей?

Історія: Ридній папірус

Єгиптяни (ймовірно) особливо не були стурбовані розщепленням пирогів. Але насправді у них був дуже дивний (для нас) спосіб вираження дробів. Ми знаємо це, вивчаючи Ріндський папірус. Цей стародавній документ вказує на те, що фракції використовувалися цілих чотири тисячі років тому в Єгипті, але єгиптяни, схоже, працювали в першу чергу з одиничними фракціями. Вони наполягали на написанні всіх своїх дробів у вигляді сум дробів з чисельниками, рівними 1, і наполягали на тому, щоб знаменники дробів були всі різні.

Точна розплата за допитування речей, і пізнання всього, таємниць... всіх таємниць.

Rhind Papyrus - стародавній розповідь єгипетської математики, названий на честь Олександра Генрі Рінда. Рінд був шотландець, який придбав стародавній папірус в 1858 році в Луксорі, Єгипет.

Папірус датується приблизно 1650 роком до н.е., Він був скопійований писарем на ім'я Ахмес (найдавніший відомий учасник у галузі математики!) з втраченого тексту, написаного під час правління короля Аменехата III. Вступна цитата взята з вступу Ахмеса до Хіндського папірусу ^[1]. Папірус охоплює теми, що стосуються дробів, обсягу, площі, пірамід тощо.

$Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg$

Задній папірус

Єгипетські дроби

Щоб записати дріб як єгипетський дріб, необхідно переписати дріб як:

сума одиничних дробів (тобто чисельник дорівнює 1), і
знаменники все повинні бути різними.

Приклад: єгипетські дроби для 3/10 і 5/7

Єгиптяни не писали б$\frac{3}{10}$, і навіть не писали б$\frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10}$. Замість цього вони написали

\[\frac{1}{4} + \frac{1}{20} \ldotp \nonumber \]

Єгиптяни не писали б$\frac{5}{7}$, і навіть не писали б$\frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7}$. Замість цього вони написали

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{70} \ldotp \nonumber \]

(Ви повинні перевірити, чи наведені вище суми дають правильні результуючі дроби!)

Проблема 33

Запишіть наступне у вигляді суми двох різних одиничних дробів. Обов'язково перевірте свої відповіді.

\[\frac{2}{3}, \qquad \frac{2}{5}, \qquad \frac{2}{7}, \qquad \frac{2}{9} \ldotp \nonumber \]

Чи можете ви знайти загальне правило, як писати$\frac{2}{n}$ як єгипетський дріб? (Припустимо $п$ , це непарне число.)

Проблема 34

Запишіть наступне як суму окремих одиничних дробів. («Distinct» означає, що дроби повинні мати різні знаменники.) Зверніть увагу, що в деяких сумах може знадобитися використовувати більше двох одиничних дробів. Обов'язково перевірте свої відповіді.

\[\frac{3}{4}, \qquad \frac{5}{6}, \qquad \frac{3}{5}, \qquad \frac{5}{9} \ldotp \nonumber \]

Чи можете ви знайти загальний процес для дробів, більших за$\frac{1}{2}$?

Приклад$\PageIndex{1}$:

Запишіть такі дроби як єгипетські дроби.

\[\frac{17}{20}, \qquad \frac{3}{7} \ldotp \nonumber \]

Чи можете ви знайти загальний алгоритм, який перетворить будь-яку дріб взагалі в єгипетську дріб?

Зображення Ріндського папірусу з Вікісховища, публічне надбання. ✅