Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

17.7: Закони Де Моргана

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66490

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Сучасник Буля, Август Де Морган, формалізував два правила логіки, які раніше були відомі неофіційно. Вони дозволяють переписати заперечення кон'юнкції як диз'юнкції, і навпаки.

    Наприклад, припустимо, що ви хочете запланувати зустріч з двома колегами\(4: 30 \mathrm{PM}\) на п'ятницю, і вам потрібно, щоб вони обидва були доступні на той час. Яка ситуація унеможливила б зустріч? Це НЕ так, що колега\(a\) доступний І колега\(b\) доступний:\(\sim(a \wedge b) .\) /Ця ситуація еквівалентна або колега\(a\) НЕ доступний АБО колега\(b\) НЕ доступний:\(\sim a \vee \sim b\)

    Закони Де Моргана

    Заперечення кон'юнкції еквівалентно диз'юнкції заперечення тверджень, що складають кон'юнкцію. Щоб заперечувати твердження «і», заперечуйте кожну частину і змініть «і» на «або».

    \(\sim(p \wedge q)\)еквівалентно\(\sim p \vee \sim q\)

    Заперечення диз'юнкції еквівалентно поєднанню заперечення тверджень, що складають диз'юнкцію. Щоб заперечувати твердження «або», заперечуйте кожну частину і змініть «або» на «і».

    \(\sim(p \vee q)\)еквівалентно\(\sim p \wedge \sim q\)

    Приклад 28

    На День Святого Валентина ви не отримали своїх солодких квітів чи цукерок: Яке з наступних тверджень логічно еквівалентно?

    1. Ви не отримали їм квіти або не отримали їх цукерки.
    2. Ви не отримали їм квіти і не отримали їх цукерки.
    3. Ви отримали їм квіти або отримали цукерки.
    Рішення
    1. Це твердження не йде досить далеко; це залишає відкритою можливість того, що ви отримали їх одну з двох речей.
    2. Це твердження еквівалентно оригіналу;\(\sim (f \vee c)\) еквівалентно\(-f \wedge \sim c\)
    3. Це твердження говорить про те, що ви їм щось отримали, але ми знаємо, що ви цього не зробили.
    Спробуйте зараз 8

    Щоб служити президентом США, людина повинна народилася в США, повинна бути не менше 35 років, і повинна проживати в США не менше 14 років. Який мінімальний набір умов може дискваліфікувати когось з посади президента?

    Відповідь

    Невиконання лише однієї з трьох умов - це все, що потрібно, щоб бути дискваліфікованим. Людина дискваліфікується, якщо вони не народилися в США, або не мають принаймні 35 років, або не прожили в США принаймні 14 років. Ключове слово тут - «або» замість «і».