3.5: Розрахунок потужності - індекс потужності Шеплі-Шубіка
- Page ID
- 66319
Індекс потужності Шеплі-Шубіка був введений в 1954 році економістами Ллойдом Шеплі і Мартіном Шубіком, і забезпечує інший підхід до розрахунку потужності.
У таких ситуаціях, як політичні альянси, порядок, в якому гравці вступають в альянс, може вважатися найважливішим фактором. Зокрема, якщо буде введена пропозиція, гравець, який приєднується до коаліції і дозволяє їй досягти квоти, може вважатися найбільш важливим. Індекс потужності Шеплі-Шубіка підраховує, наскільки ймовірно, що гравець буде ключовим. Що це означає для гравця, щоб бути ключовим?
По-перше, нам потрібно змінити наш підхід до коаліцій. Раніше коаліція\(\left\{P_{1}, P_{2}\right\}\) і\(\left\{P_{2}, P_{1}\right\}\) вважалася рівнозначною, так як в них містяться однакові гравці. Тепер потрібно розглянути порядок, в якому гравці вступають до коаліції. Для цього ми розглянемо послідовні коаліції — коаліції, які містять усіх гравців, в яких перераховані гравці порядку відображають порядок їх вступу до коаліції. Наприклад, послідовна коаліція
\(<P_{2}, P_{1}, P_{3}>\)означатиме, що\(P_2\) приєднався до коаліції спочатку\(P_1\), потім і нарешті\(P_3\). Кутові дужки < > використовуються замість фігурних дужок для розрізнення послідовних коаліцій.
Послідовна коаліція перераховує гравців в тому порядку, в якому вони вступили в коаліцію.
Ключовим гравцем є гравець послідовної коаліції, яка змінює коаліцію з програшної коаліції на переможну. Зверніть увагу, що в будь-якій послідовній коаліції може бути лише один ключовий гравець.
У системі зваженого голосування\([8: 6, 4, 3, 2]\), який гравець є ключовим у послідовній коаліції\(<P_{3}, P_{2}, P_{4}, P_{1}>\)?
Рішення
Послідовна коаліція показує порядок, в якому гравці вступили в коаліцію. Розглянемо поточні тотали, коли кожен гравець приєднується:
\(\begin{array}{lll}P_{3} & \text { Total weight: } 3 & \text { Not winning } \\ P_{3}, P_{2} & \text { Total weight: } 3+4=7 & \text { Not winning } \\ P_{3}, P_{2}, P_{4} & \text { Total weight: } 3+4+2=9 & \text { Winning } \\ R_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{1} & \text { Total weight: } 3+4+2+6=15 & \text { Winning }\end{array}\)
Оскільки коаліція стає перемогою, коли\(P_4\)\(P_4\) приєднується, є ключовим гравцем у цій коаліції.
Щоб розрахувати індекс потужності Шеплі-Шубіка:
- Перелічити всі послідовні коаліції
- У кожній послідовній коаліції визначте ключового гравця
- Підрахуйте, скільки разів кожен гравець є ключовим
- Перетворіть ці підрахунки на дробові або десяткові дроби шляхом ділення на загальну кількість послідовних коаліцій
Скільки послідовних коаліцій ми повинні очікувати? Якщо в системі голосування N гравців, то є\(N\) можливості для першого гравця в коаліції,\(N – 1\) можливості для другого гравця в коаліції і так далі. Поєднуючи ці можливості, загальна кількість коаліцій становила б:\(N(N-1)(N-2)(N-3) \cdots(3)(2)(1)\). Цей розрахунок називається факторіалом, і\(N!\) позначається Кількість послідовних коаліцій з\(N\) гравцями дорівнює\(N!\)
Скільки послідовних коаліцій буде в системі голосування з 7 гравцями?
Рішення
Будуть\(7!\) послідовні коаліції. \(7 !=7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=5040\)
Як бачите, обчислити індекс потужності Шеплі-Шубіка вручну було б дуже складно для систем голосування, які не дуже малі.
Розглянемо зважену систему голосування\([6: 4, 3, 2]\). Ми перерахуємо всі послідовні коаліції і виявимо ключового гравця. У нас буде 3! = 6 послідовних коаліцій. Коаліції перераховані, а ключовий гравець підкреслений.
\ (\ begin {вирівняні}
&<P_ {1},\ underline {P} _ {2}, P_ {3} >\ quad<P_ {1},\ underline {P} _ {3}, P_ {2} >\ quad<P_ {2},\ underline {P} _ {1}, P_ {3} >\\
&<P_ {2}, P_ {3},\ underline {P} _ {1} >\ quad<P_ {3}, P_ {2},\ underline {P} _ {1} >\ quad<P_ {3},\ underline {P} _ {1}, P_ {2} >
\ кінець {вирівняний}\)
Рішення
\(\mathrm{P}_{1}\)є ключовим 4 рази,\(\mathrm{P}_{2}\) є ключовим 1 раз, і\(\mathrm{P}_{3}\) є ключовим 1 раз.
\ (\ почати {масив} {|l|l|l|}
\ hline\ textbf {Гравець} &\ textbf {Час опорного} &\ textbf {Індекс потужності}
\\ hline P_ {1} & 4 & 4/6=66.7
\\\ hline P _ {2} & 1 & 1/6=16.7
\\\ лінія P_ {3} & 1/6=16.7\%\
\ hline
\ end {масив}\)
Для порівняння, індекс влади Банжафа для тієї ж зваженої системи голосування був би\(\mathrm{P}_{1}: 60 \%, \mathrm{P}_{2}: 20 \%, \mathrm{P}_{3}: 20 \%\). Хоча індекс потужності Банжафа та індекс потужності Шаплі-Шубіка зазвичай не сильно відрізняються, два різні підходи зазвичай дають дещо різні результати.
Знайти індекс потужності Шаплі-Шубіка для системи зваженого голосування\(\bf{[36: 20, 17, 15]}\).
- Відповідь
-
Перерахування всіх послідовних коаліцій та визначення ключового гравця:
\(\begin{array} {lll} {<P_{1}, \underline{P}_{2}, P_{3}>} & {<P_{1}, P_{3}, \underline{P}_{2}>} & {<P_{2}, \underline{P}_{1}, P_{3}>} \\ {<P_{2}, P_{3}, \underline{P}_{1}>} & {<P_{3}, P_{2}, \underline{P}_{1}>} & {<P_{3}, P_{1}, \underline{P}_{2}>} \end{array}\)
\(\mathrm{P}_{1}\)є ключовим 3 рази,\(\mathrm{P}_{2}\) є ключовим 3 рази, і\(\mathrm{P}_{3}\) є ключовим 0 разів.
\ (\ почати {масив} {|l|l|l|}
\ hline\ textbf {Гравець} &\ textbf {Час опорного} &\ textbf {Індекс потужності}
\\ hline P_ {1} & 3 & 3/6=50
\\\ hline P_ {2} & 3 & 3/6=50
\\\ лінія P_ {3} & 0/6=0\% \\
\ hline
\ end {масив}\)