3.4: Розрахунок потужності - індекс потужності Банжафа
- Page ID
- 66296
Індекс потужності Банжафа спочатку був створений в 1946 році Ліонелем Пенроузом, але був знову введений Джоном Банжафом в 1965 році. Індекс влади - це числовий спосіб погляду на владу в ситуації зваженого голосування.
Для розрахунку індексу потужності Банжафа:
- Перелічити всі коаліції-переможці
- У кожній коаліції визначте гравців, які критичні
- Підрахуйте, скільки разів кожен гравець критичний
- Перетворіть ці підрахунки на дробові або десяткові дроби, розділивши на загальну кількість разів, коли критичний для будь-якого гравця.
Знайдіть індекс потужності Банжафа для системи голосування\([8: 6, 3, 2]\).
Рішення
Почнемо з перерахування всіх коаліцій-переможців. Якщо ви не впевнені, як це зробити, ви можете перерахувати всі коаліції, а потім ліквідувати непереможні коаліції. Жоден гравець не є диктатором, тому ми розглянемо лише дві та три коаліції гравців.
\(\left\{P_{1}, P_{2}\right\}\)Загальна вага: 9. Відповідає квоті.
\(\left\{P_{1}, P_{3}\right\}\)Загальна вага: 8. Відповідає квоті.
\(\left\{P_{2}, P_{3}\right\}\)Загальна вага: 5. Не відповідає квоті.
\(\left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}\right\}\)Загальна вага: 11. Відповідає квоті.
Далі ми визначаємо, які гравці критичні в кожній коаліції-переможниці. У виграшних коаліціях двох гравців обидва гравці мають вирішальне значення, оскільки жоден гравець не може задовольнити квоту поодинці. Підкреслюючи критичних гравців, щоб полегшити підрахунок:
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}\right\}\)
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{3}\right\}\)
У коаліції з трьох осіб\(P_2\) або\(P_3\) може вийти з коаліції, а решта гравців все ще можуть відповідати квоті, тому жодна з них не є критичною. Якби\(P_1\) були піти, інші гравці не змогли досягти квоти,\(P_1\) тому критично.
\(\left\{\underline{P}_{1}, P_{2}, P_{3}\right\}\)
Загалом\(P_1\) критичний 3 рази,\(P_2\) критичний 1 раз, і\(P_3\) критичний 1 раз.
Перетворення в відсотки:
\(P_{1}=3 / 5=60 \%\)
\(P_{2}=1 / 5=20 \%\)
\(P_{3}=1 / 5=20 \%\)
Розглянемо систему голосування\([16: 7, 6, 3, 3, 2]\). Знайдіть індекс потужності Банжафа.
Рішення
Коаліції-переможці наведені нижче, з підкресленням критичних гравців.
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}, \underline{P}_{3}\right\}\)
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}, \underline{P}_{4}\right\}\)
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}, P_{3}, P_{4}\right\}\)
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}, \underline{P}_{3}, P_{5}\right\}\)
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}, \underline{P}_{4}, P_{5}\right\}\)
\(\left\{\underline{P}_{1}, \underline{P}_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\right\}\)
Підрахунок часу, який кожен гравець є критичним:
\(P_{1}=6\)
\(P_{2}=6\)
\(P_{3}=2\)
\(P_{4}=2\)
\(P_{5}=0\)
Всього: 16
Розділіть кількість кожного гравця на 16, щоб перетворити на дроби або відсотки:
\(P_{1}=6 / 16=3 / 8=37.5 \%\)
\(P_{2}=6 / 16=3 / 8=37.5 \%\)
\(P_{3}=2 / 16=1 / 8=12.5 \%\)
\(P_{4}=2 / 16=1 / 8=12.5 \%\)
\(P_{5}=0 / 16=0=0 \%\)
Індекс потужності Банжафа вимірює здатність гравця впливати на результат голосування. Зверніть увагу, що гравець 5 має індекс потужності 0, що вказує на те, що немає коаліції, в якій вони мали б критичну силу і могли б вплинути на результат. Це означає, що гравець 5 є манекеном, як ми відзначали раніше.
Переглядаючи шотландський парламент, з системою голосування\([65: 47, 46, 17, 16, 2]\), перелічені коаліції-переможці, з підкресленням критичних гравців.
Рішення
\ (\ begin {масив} {ll}
\ лівий\ {\ підкреслення {P} _ {1},\ підкреслення {P} _ {2}\ вправо\}\
\ ліворуч\ {\ підкреслення {P} _ {1},\ підкреслення {P} _ {2}, P_ {3}\ вправо\} &\ ліворуч\ {\ підкреслення {P} _ {1},\ підкреслення рядок {P} _ {2}, P_ {4}\ праворуч\}\\ ліворуч\ {\ підкреслення {P} _ {1},\ підкреслення {P} _ {2}, P_ {5}\ праворуч\} &\ ліворуч\ {\ підкреслення {P} _ {1},\ підкреслення {P} _ {3},\ підкреслення {P} _ {4}\ вправо\}\\ вліво\\ підкреслення {P} _ {1},\ підкреслення {P} _ {3},\ підкреслення {P} _ {5}\ вправо\} &\ ліворуч\ {\ підкреслення {P} _1,\ підкреслення {P} {P} _ {5}\ вправо\} і\ ліворуч\ {\ підкреслення {P} _1,\ підкреслення {P} {P}} _ {4},\ підкреслення {P} _ {5}\ вправо\}\\ ліворуч\ {\ підкреслення {P} _ {2},\ підкреслення {P} _ {3},\ підкреслення {P} _ {4}\ вправо\} &\ ліворуч\ {\ підкреслення {P} _ {2},\ підкреслення {P} _ {3},\ підкреслення {P} _ {5}\ праворуч\}\\ ліворуч\ {P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}\ праворуч\} &\ ліворуч\ {P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {5}\ праворуч\}\\ ліворуч\ {\ підкреслення {P} _ {1}, P_ {2}, P_ {4}, P_ {5}\ праворуч\} &\ ліворуч\ {\ підкреслення {P} _ {1}, P_ {3}, P_ {4}, P_ {5}\ вправо\}\\ ліворуч\ {\ підкреслення {P} _ {2},\ підкреслення {P} _ {2},\ підкреслення {P} _ {2} {3}, P_ {4}, P_ {5}\ праворуч\} &\\ ліворуч\ {P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}, P_ {5}\ праворуч\} &\ end {масив}\)
Підрахунок часу, який кожен гравець є критичним:
\ (\ begin {масив} {|l|l|}
\ hline\ textbf {Район} &\ textbf {Критичний час} &\ textbf {Індекс потужності}\
\ hline P_ {1}\ текст {(Шотландська національна партія)} & 9 & 9/27=33.3\\
\ hline P_ {2}\ текст (Лейбористська партія)} & 7 & 7/27=25.9\%\\
\ hline P_ {3}\ текст {(Консервативна партія)} & 5 & 5/27=18,5\%\
\ hline P_ {4}\ текст {(Партія Ліберал-демократів)} & 3 & 3/27=11.1\
\ hline P_ {5}\ text {(партія шотландських зелених)} & 3 & 3/27=11.1\\
\ hline
\ end {масив}\)
Цікаво, що навіть незважаючи на те, що партія ліберал-демократів має лише одного менш представника, ніж Консервативна партія, і на 14 більше, ніж партія шотландських зелених, їх індекс влади Банцхафа такий же, як шотландська партія зелених. результати, і здатність партії допомогти коаліції досягти квоти визначає її вплив.
Знайдіть індекс потужності Банжафа для зваженої системи голосування\(\bf{[36: 20, 17, 16, 3]}\).
- Відповідь
-
Система голосування говорить нам, що квота становить 36, що гравець 1 має 20 голосів (або еквівалентно має вагу 20), Гравець 2 має 17 голосів, Гравець 3 має 16 голосів, а Гравець 4 має 3 голоси.
Коаліція - це будь-яка група з одного або декількох гравців. Ми шукаємо виграшні коаліції - коаліції, об'єднані голоси (ваги) яких додають до квоти або більше. Тож коаліція не\(\{\mathrm{P} 3, \mathrm{P} 4\}\) є коаліцією-переможцем\(16+3=19\), оскільки загальна вага є нижчою за квоту.
Тому ми розглянемо кожну можливу комбінацію гравців і визначаємо виграшні:
\(\begin{array} {ll} {\{\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 2\}(\text { weight }: 37)} & {\{\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 3\} \text { (weight: } 36)} \\ {\{\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 2, \mathrm{P} 3\} \text { (weight: } 53)} & {\{\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 2, \mathrm{P} 4\} \text { (weight: } 40)} \\ {\{\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 3, \mathrm{P} 4\} \text { (weight: } 39)} & {\{\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 2, \mathrm{P} 3, \mathrm{P} 4\} \text { (weight: } 56)} \\ {\{\mathrm{P} 2, \mathrm{P} 3, \mathrm{P} 4\}(\text { weight: } 36)} \end{array}\)
Банжаф використовував цей індекс, щоб стверджувати, що зважена система голосування, яка використовується в Раді наглядових органів округу Нассау в Нью-Йорку, була несправедливою. Округ був розділений на 6 округів, кожен з яких отримував вагу голосу, пропорційну чисельності населення в окрузі, як показано нижче. Розрахуйте індекс потужності для кожного району.
\ (\ почати {масив} {|l|l|}
\ hline\ textbf {Район} &\ textbf {Вага}
\\ hline\ текст {Хемпстед #1} & 31\
\ hline\ текст {Хемпстед #2} & 31\
\ hline\ текст {Устрична затока} & 28\
\ hline\ текст {Північний Хемпстед} & amp; 21\
\ hline\ текст {Лонг-Біч} & 2\\ hline
\ text {Глен Коув} & 2\
\ hline
\ end {масив}\)
Рішення
У перекладі на зважену систему голосування, припускаючи, що для прийняття пропозиції потрібна проста більшість:
\([58: 31, 31, 28, 21, 2, 2]\)
Перерахування коаліцій-переможців та маркування критичних гравців:
\(\begin{array} {lll} {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{LB}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}, \mathrm{GC}}\} \\{\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{GC}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{LB}, \mathrm{GC}}\} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{NH}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}, \mathrm{GC}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{LB}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \mathrm{OB}, \mathrm{NH}, \mathrm{GC}\}} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{GC}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{LB}, \mathrm{GC}\}} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}, \mathrm{NH}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB} . \mathrm{GC}\}} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}, \mathrm{LB}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{NH}, \mathrm{GC}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{NH}\}} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}, \mathrm{GC}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{LB}, \mathrm{GC}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{LB}\}} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}\}} \\{\{\underline{\mathrm{H} 1}, \underline{\mathrm{H} 2}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}, \mathrm{GC}\}} & {\{\underline{\mathrm{H} 2}, \underline{\mathrm{OB}}, \mathrm{GC}\}} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}, \mathrm{NH}, \mathrm{GC}\}} \\ {} & {} & {\{\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 2, \mathrm{OB}, \mathrm{NH}, \mathrm{LB}, \mathrm{GC}\}}\end{array}\)
Їх дуже багато! Підрахувавши, скільки разів кожен гравець критичний,
\ (\ begin {масив} {|l|l|l|}
\ hline\ textbf {Район} &\ textbf {Критичний час} &\ textbf {Індекс потужності}\\ hline
\ текст {Хемпстед #1} & 16/48=1/3=33\\\ hline\ текст {Хемпстед #2} & 16/48=1/3=33\\ hline\ текст {Хемпстед} & 16/48=1/3=33\%\\
\ hline\ текст {Устрична затока} & 16 & 16/48=1/3 = 33
\%\\ hline\ текст {Північний Хемпстед} & 0/48=0\
\\ hline\ текст {Лонг-Біч} & 0 & 0/48=0\\
\ hline\ текст {Глен-Коув} & 0/48=0\\\
\ hline
\ end {масив}\)
Виявляється, три менших округу - манекени. Будь-яка коаліція-переможець вимагає двох великих округів.
Зважена система голосування, з якою американці найбільш знайомі, - це система колегії вибірників, яка використовується для обрання президента. У колегії вибірників штатам надається кількість голосів, що дорівнює кількості їх представників конгресу (палата + сенат). Більшість штатів віддають усі свої виборчі голоси кандидату, який виграє більшість у своїй державі, перетворюючи колегію вибірників у зважену систему голосування, в якій гравцями є держави. Як я впевнений, ви можете собі уявити, існують мільярди можливих виграшних коаліцій, тому індекс потужності для колегії вибірників повинен обчислюватися комп'ютером за допомогою методів наближення.