8.2: Спадщина

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65776

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Адже в 1595 році хетський рейд поклав край і без того слабкому старовавилонському державному і соціальному устрою. Після рейду влада була захоплена Кассітами, племінною групою, яка була присутня у Вавилонії як трудові мігранти та мародери з часів Хаммурапі. Це спричинило різкий кінець Старовавилонської епохи та її особливої культури.

Школа писаря зникла. Протягом століть використання письма було сильно скорочено, і навіть після цього вчені-книжники викладалися як підмайстри в «книжних сім'ях» (мабуть, родові сім'ї, а не учнівство, оформлене як усиновлення).

Зникла навіть складна математика. Соціальна потреба в практичному розрахунку, хоча і зменшилася, не зникла; але професійна гордість вчених-книжників тепер будується на дотриманні шановної традиції. Писець тепер розумів себе як того, хто вмів писати, навіть літературу, а не як калькулятор; значна частина суспільно необхідного розрахунку, можливо, вже зараз спиралася на фахівців, мізерна літературна підготовка яких не кваліфікувала їх як «книжників» (в першому тисячолітті такий розкол є досить певним).

1200 років, що слідують за розпадом Старовавилонського культурного комплексу, не залишили жодного алгебри тексту. Само по собі це не говорить багато, оскільки збереглася лише дуже мала кількість математичних текстів навіть у невизначеному сенсі (кілька бухгалтерських текстів, сліди опитування, деякі таблиці взаємних та квадратів). Але коли мінімум математичних текстів, написаних вченими-книжниками, з'являється знову після 400 до н.е., термінологія дозволяє нам відрізнити те, що було передано в їхньому власному середовищі, від того, що було запозичено ще раз з «лежачого» середовища. До останньої категорії належить невелика жменька проблем про квадрати і прямокутники. вони не містять жодного представлення, ніяких варіацій коефіцієнтів, нічого складного, як «зламана очерет» або торгівля нафтою, лише проблеми, близькі до початкових загадок; навряд чи буде виправдано говорити про них як представники «алгебри».

Ці пізні тексти, очевидно, не інформують нас ні прямо, ні опосередковано, про середовище, де були передані загадки, хоча продовження традиції геодезистів є найбільш достовірною гіпотезою. Джерела з класичної античності, а також ісламського середньовіччя принаймні дають зрозуміти, що традиція, яка колись надихнула старовавилонську алгебру, збереглася, незважаючи на зникнення її потомства високого рівня.

Найкращі докази пропонують арабський посібник з практичної геометрії, написаний, можливо, близько 800 ce (можливо, пізніше, але з термінологією та традицією, яка вказує на цю дату), і відомий з латинського перекладу дванадцятого століття. ⁷ Він містить усі проблеми, описані вище до загадки традиції, за винятком тих, що стосуються двох квадратів та проблеми кола, зокрема, завдання про «чотири сторони та область», у тому ж порядку, що і БМ 13901 #23, і все ще з розв'язком 10 (ні\(10^{\prime}\). Він також зберігає складне чергування граматичних осіб, гіпотетичного «когось», який задає питання в багатьох найраніших шкільних текстах, заклик зберегти щось в пам'яті, і навіть випадкове обгрунтування кроку в процедурі за допомогою цитати слів з заяву як те, що «він» сказав. Проблеми такого ж роду виникають знову і знову в наступні століття - «чотири сторони і область» (мабуть, в останній раз) у Сумі арифметики Луки Пачолі від 1494, «сторона і площа» квадрата в Libro de algebra en arifmetica y geometia Педро Нуньєса від 1567 (в обох випадках в традиційному порядку загадок, і в Суммі з розв'язком 10).

Малюнок\(8.1\): «Площа, приєднана до периметра» Geometrica.

З моменту відкриття вавилонської алгебри часто стверджувалося, що одним з компонентів грецької теоретичної геометрії (а саме Елементів Евкліда II. 1-10) повинен бути переклад результатів вавилонської алгебри на геометричну мову. Ця ідея не є безпроблемною; Евклід, наприклад, не вирішує проблеми, а доводить конструкції та теореми. Геометрична інтерпретація старовавилонської техніки, з іншого боку, здавалося б, говорить на користь гіпотези.

Однак, якщо вирівняти десять теорем Elements II. 1-10 зі списком оригінальних загадок, ми зробимо несподіване відкриття: всі десять теорем можуть бути пов'язані безпосередньо зі списком - вони дійсно є демонстрацією того, що наївні методи традиції загадок можуть бути виправдані відповідно до кращі теоретичні стандарти днів Евкліда. Навпаки, в Евкліді немає нічого, що можна було б пов'язати з нововведеннями Старовавилонської школи. Його алгебра виявилася сліпою алеєю - не незважаючи на високий рівень, а скоріше через цей рівень, що дозволило їй вижити лише в дуже особливому старовавилонському шкільному середовищі.

Надзвичайне значення Стихій в історії математики не викликає сумнівів. Тим не менш, найважливіший вплив традиції геодезистів у сучасній математиці обумовлено її взаємодією з середньовічною арабською алгеброю.

Навіть арабська алгебра, здається, спочатку намальована на загадці традиції. Як згадувалося вище (сторінка 92), його фундаментальні рівняння стосуються суми грошей («володіння») та його квадратного кореня. Вони були вирішені за правилами без доказів, як цей для справи «володіння і десять його коренів зроблені рівними 39 динарам»:

ви зменшуєте вдвічі коріння, яких в цьому питанні 5. Потім ви множите їх з собою, з чого виникає 25; додайте їх до 39, і вони будуть 64. Слід взяти корінь цього, який дорівнює 8. Далі видаляємо з неї половину коренів, яка дорівнює 5. Потім залишається 3, що є коренем володіння. А володіння - 9.

Вже перший автор трактату про алгебру, який ми знали (це, мабуть, перший трактат на тему ⁸) —аль-Хваризмі, починаючи з початку дев'ятого століття н.е., не задовольнявся правилами, які не ґрунтуються на міркуваннях чи доказах. Тому він прийняв геометричні докази традиції геодезистів, відповідні рисункам 3.1, 3.3, 4.1 і, перш за все, характерну конфігурацію малюнка 4.12. Пізніше математики, такі як Фібоначчі, Лука Пачолі та Кардано, розглядали ці докази як саму суть алгебри, не знаючи про поліноміальну алгебру, створену аль-Караджі, Ас-Самаваль та їх наступниками (ще один чудовий тупик). Таким чином стара традиція геодезистів завоювала дисципліну зсередини; слово перепис, латинський переклад «володіння», стало розуміти як інше слово для «квадрат». Все це відбувалося у взаємодії з елементами II—однаково заборгованість перед традицією геодезистів, як ми щойно бачили.

Таким чином, хоча алгебра клинописних табличок була сліпою алеєю - славною, але сліпий все-таки - принципів, які вона запозичила у практиків без ерудиції, не було. Без цього натхнення важко побачити, як могла виникнути сучасна математика. Як вже було сказано про Бога: «Якби його не існувало, треба було б його придумати».