8.1: Походження - Загадки геодезистів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65777

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Навпаки, алгебра старовавилонської школи писарів не є продовженням столітніх (або тисячолітніх) традицій старої школи - нічого подібного не існувало протягом третього тисячоліття. Це один вираз серед інших нової писемної культури епохи. В принципі, алгебра могла бути винайдена в шкільному середовищі - робота над двомовними текстами та вивчення шумерської граматики з аккадської точки зору, безумовно, були. Таке походження відповідало б той факт, що центральна лексика для зйомки і частина того, що використовується в практичному обчисленні шумерською або принаймні написана шумерськими логограмами («довжина,» «ширина,» або, «бути рівним»), в той час як терміни, які характеризують алгебраїчні жанри, а також те, що служить для експрес-проблеми є на аккадском.

Однак винахід всередині писарської школи дуже погано погоджується з іншими джерелами. Зокрема, це суперечить тому, як проблеми та прийоми, що належать до однієї сім'ї, виникають у грецьких та середньовічних джерелах. Точний аналіз всього паралельного матеріалу виявляє зовсім іншу історію - матеріал занадто великий, щоб дозволити повне виклад аргументу тут, але частина його вплетена в наступне обговорення.

Геодезисти центрального Іраку (можливо, більш широкого регіону, але це залишається гіпотезою щодо цієї ранньої епохи) мали традицію геометричних загадок. Такі професійні загадки знайомі з інших досучасних середовищ практикуючих математиків (фахівців комерційних обчислень, бухгалтерського обліку, майстри-будівельників і звичайно геодезії), формування яких базувалося на учнівстві і не піклувалося більш-менш вивченою школою. Як приклад можна навести проблему «ста птахів», яку можна знайти в численних китайських, індійських, арабських та європейських проблемних колекціях середньовіччя:

Хтось йде на ринок і купує 100 птахів за 100 динарів. Гусак коштує йому 3 динара, курка - 2 динара, а з горобців він отримує по 3 динара. Підкажіть, якщо ви експерт калькулятора, що він купив! ¹

Рішень багато. 5 гусей, 32 курей і 63 горобця; 10 гусей, 24 курей і 66 горобців; і т.д. проте, відповідаючи на загадку, навіть математичну загадку, не потрібно давати вичерпного рішення, ні давати докази (крім числового доказу того, що відповідь виконує умови) 2 Хто здатний дати одну хорошу відповідь, показує себе грамотним калькулятором «до дурниці неосвіченого» (як говорить посібник з практичної арифметики від 1540).

Часто рішення подібної загадки просить застосування тієї чи іншої хитрості. Тут, наприклад, можна помітити, що потрібно купувати 3 горобців кожного разу, коли купують гусака - що дає 4 птахів за 4 динари - і 3 горобці на кожні дві курки - 5 птахів за 5 динарів.

Такі «рекреаційні проблеми» (як вони стали називатися після того, як вони були прийняті в математичну культуру, корінням в школі, де їх роль полягала в забезпеченні математичного задоволення) мали подвійну функцію в середовищі, де вони виникли. З одного боку, вони проходили навчання - навіть у сучасній школі лев, який їсть трьох вчителів математики на годину, може бути бажаною варіацією дітей, які отримують 3 солодощі на день. З іншого, і зокрема (оскільки центральні прийоми рідко служили в практичних обчисленнях), вони дозволили членам професії відчути себе «по-справжньому досвідченими калькуляторами» — паралельно тому, що було сказано вище про роль шумерської та «занадто просунутої» математики для старовавилонських книжників.

У якийсь момент між 2200 і 1800 рр. до н.е. Аккадські геодезисти винайшли трюк, який пізніше назвали «аккадським методом», тобто квадратичним завершенням; близько 1800 року циркулювала невелика кількість геометричних загадок про квадрати, прямокутники та кола, рішення яких ґрунтувалося на цьому трюку. Спільною характеристикою цих загадок було розглядати виключно елементи, які безпосередньо присутні на малюнках - наприклад, сторона або всі чотири сторони квадрата, ніколи не «в 3 рази більше площі»\(\frac{1}{3}\) або «площі». Можна сказати, що задачі визначаються без коефіцієнтів, або, як варіант, з «натуральними» коефіцієнтами.

Якщо\({ }_{4} c\) розшифровується як «4 сторони» та\(\square(c)\) площа квадрата,\(d\) діагоналі та альт \((\ell, w)\) площі прямокутника, список загадок, схоже, охопив такі проблеми:

\ (\ почати {вирівняний}
c+\ квадрат (c) &=110\\
4^ {c+}\ квадрат (c) &= 140\
\\ квадрат (c) -c &= 90\
\\ квадрат (c) - {} _ {4} c &= 60 (?)
\ end {вирівняний}\)

\(\ell+w=\alpha\), альт \((\ell, w)=\beta\)

\(\ell-w=\alpha\), альт \((\ell, w)=\beta\)

\(\ell+w=\alpha\),\((\ell-w)+\) альт \((\ell, w)=\beta\)

\(\ell-w=\alpha\),\((\ell+w)+\) альт \((\ell, w)=\beta\);

\(d=\alpha\), альт \((\ell, w)=\beta\).

Крім того, існували задачі про два квадрати (сума або різниця між сторонами, заданою разом із сумою або різницею між ділянками); задача, в якій задана сума периметра, діаметра та площі кола, і можлива проблема, що\(d-c=4\) стосується a квадрат, з псевдорозв'язком\(c=10\),\(d=14\); дві проблеми про прямокутник, вже відомі до 2200 до н.е., мають як свої дані, одна площа і ширина, інша площа і довжина. Це, здається, все. ³

Ці загадки, здається, були прийняті в Старовавилонську школу писарів, де вони стали відправною точкою для розвитку алгебри як справжньої дисципліни. І все ж школа не перейняла традицію загадки, як це було. Загадка, щоб викликати інтерес, повинна говорити про помітні сутності (сторона, всі чотири сторони тощо); шкільний заклад, з іншого боку, має тенденцію займатися систематичними варіаціями коефіцієнтів - зокрема, школа, яка, як і у Месопотамських книжників, оскільки винахід писемності в четвертому тисячолітті, завжди спирався на дуже систематичні варіації. ⁴ У загадці також нормально починати з того, що є найбільш природним (наприклад, чотири сторони квадрата), а потім перейти до похідних сутностей (тут площа). У школі, навпаки, здається природним привілейовувати процедуру, а тому говорити спочатку про ту поверхню, яка в кінцевому підсумку повинна бути забезпечена «проекцією» або «базою».

Такі міркування пояснюють, чому колекція проблем про квадрати, як BM 13901, рухається від одного до двох, а потім трьох квадратів, і чому всі проблеми, крім архаїзації #23, «чотири сторони і область», незмінно говорять про області, перш ніж згадувати сторони. Але трансформація на цьому не припиняється. По-перше, введення коефіцієнтів просило ввести нову техніку, зміна масштабу в одному напрямку (мураха потім різні зміни в двох напрямках, як в TMS IX #3); смілива варіація, що складається в додаванні обсягу і площі породила більш радикальне нововведення: використання факторизації. Винахід цих нових методик дозволило вирішити ще більш складні завдання.

З іншого боку, як наслідок буріння систематичних варіацій, вирішення фундаментальних проблем стало банальністю, на якій не могла будуватися професійна самооцінка: тим самим робота над складними проблемами стала не тільки можливістю, а й культурною необхідністю.

Можна припустити, що орієнтація книжної професії на широкий спектр практик запропонувала винахід проблем поза абстрактною геодезичною геометрією, де можна було б розгорнути алгебраїчні методи, і тому, навіть незважаючи на те, що «дослідження» не було метою скрибальної школи, вивчити можливості представництво. Таким чином, згідно з цією реконструкцією, перехід до школи дав техніці вирізання та вставки можливість стати серцем справжньої алгебри.

Інші зміни були менш важливими, хоча все ще помітними. У загадках 10 було кращим значенням для сторони квадрата, залишаючись таким до шістнадцятого століття н.е.; улюблене значення в школі було\(30^{\prime}\), і коли проблема архаїзації зберегла 10, вона була інтерпретована як\(10^{\prime}\). ⁵ Нарешті, як пояснювалося вище (стор. 34), гіпотетичне «хтось», що ставить запитання, було замінено професорським «І.»

BM 13901 #23 (сторінка 75), зберігаючи «чотири ширини та поверхню» (у такому порядку) та сторону 10 при зміні свого порядку, є характерною викопною, що вказує на загадку традиції. Навіть його мова архаїзує, припускаючи шляхи геодезистів, які не освічені в школі писаря. Беручи до уваги його позицію до кінця тексту (#23 з 24 проблем, #24 - найскладніша з усіх), ми можемо сприймати це як щось на кшталт «останньої проблеми перед Різдвом».

Схоже, що перший розвиток алгебраїчної дисципліни відбувся в регіоні Ешнунна, на північ від Вавилону, протягом перших десятиліть вісімнадцятого століття; ⁶ з цієї області та періоду у нас є ряд математичних текстів, які колись регулярно розкопаний і який, отже, може бути датований. На той час Ешнунна була культурним центром всієї північно-центральної частини Іраку; Ешнунна також випустила перший кодекс закону за межами шумерського півдня. Текст Db ₂ —146 (нижче, сторінка 126) походить з сайту, що належить до королівства Ешнунна.

У 1761 р. Ешнунна був завойований Хаммурапі і знищений. Ми знаємо, що Хаммурапі запозичив ідею закону, і можемо припустити, що він повернув поневолених вчених назад. Чи привів він також вчених, що займаються виробництвом або викладанням математики - не що інше, як здогадка (верстви Вавилону другого тисячоліття глибоко поховані під останками світового міста першого тисячоліття), але в будь-якому випадку колишній шумерський південь взявся за нову математичну дисципліну навколо 1750 - AO 8862 (вище, стор. 60), з його досі невирішеною термінологією та форматом, здається, є раннім зразком з цієї фази.

Проблеми з різних сайтів в регіоні Ешнунна стосуються багатьох тем, також відомих пізніше - ранній варіант прямокутника проблеми «зламано-очерету», згаданої на сторінці 70, є однією з них. Вражаюче, однак, немає жодного прикладу представлення. АТ 8862, з іншого боку, вже містить приклад, в якому ряд робітників, їх робочі дні та вироблені ними цеглини «наворочені». Це не вказує на процедуру, але чітко три величини повинні бути представлені сторонами прямокутника і його площею, помноженою на коефіцієнт. Значна частина текстів Ешнунни починається «Якщо хтось запитує вас таким чином [...]», не знайдено ні в AO 8862, ні в будь-якому пізнішому тексті (за винятком рудименту в архаїзуючому BM 13901 #23).

Не набагато пізніше ми маємо ряд текстів, які (судити з їх орфографії) були написані на півдні. Кілька текстових груп підкоряються дуже чітко визначеним канонам формату та термінології (не однакові у всіх групах), демонструючи свідоме прагнення до регулярності (сюди належать VAT- та STR-тексти). Однак приблизно в 1720 році весь південь відокремився, після чого писальна культура там була зведена до мінімуму; математика, здається, не збереглася. З кінця сімнадцятого століття у нас є неабияка кількість текстів з Сіппара, дещо на північ від Вавилону (BM 85200 + ПДВ 6599 є одним з них), і ще одна партія з Сузи в західному Ірані (TMS-тексти), які за своєю термінологією походять від північного типу, вперше розробленого в Ешнунні. А потім, більше нічого...