6.2: Алгебра?

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65667

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

До сих пір з міркувань зручності та за згодою з більшістю істориків математики ми говорили про давньо-вавилонську «алгебру» без значення слід приписувати цьому сучасному слову у вавилонському контексті, і не намагаючись пояснити, чому (чи чи) геометрична техніка може насправді вважатися «алгеброю».

Однак на нашому шляху ми накопичили ряд спостережень, які можуть допомогти нам сформувати аргументовану думку (часом натякаючи на роль, яку ці спостереження зіграють у аргументі).

Спочатку потрібно сказати, що сучасна алгебра, до якої, можливо, може бути асимільована старовавилонська техніка, є саме технікою, а саме практикою рівнянь. Ніщо в старовавилонських текстах не дозволяє припускати, що вавилоняни володіли найменшим натяком на щось на зразок алгебраїчної теорії, що склалася з шістнадцятого століття (щодо зв'язку між коефіцієнтами і коренями тощо) —ні до того, щоб прирівняти те, що вони зробили, з тим, що професійні математики сьогодні називають алгеброю (теорія груп і все, що спирається на або розширює цю область). Алгебра сьогодні, про яку ми повинні думати, - це те, що вивчається в школі і виражається в рівняннях.

Ми бачили вище (стор. 29) сенс, в якому старовавилонські постановки задачі можна розуміти як рівняння: вони можуть вказувати на загальну міру комбінації величин (часто, але не завжди геометричних величин); вони можуть оголосити, що міра однієї комбінації дорівнює мірі інший; або що перший перевищує або не дотягує до останнього на вказану суму. Принцип не відрізняється від принципу будь-якої прикладної алгебри, а значить і не від рівнянь, з якими сьогодні працює інженер або економіст. У цьому сенсі старовавилонські постановки задачі є істинними рівняннями.

Але різниця є. Сучасний інженер оперує своїми рівняннями: величини, які він рухається справа наліво, коефіцієнти, які він множить, функції, які він інтегрує тощо - все це існує лише як елементи рівняння і не мають іншого уявлення. Операції вавилонян, навпаки, були реалізовані в межах іншого подання, виміряних геометричних величин. ²

За кількома винятками (з яких ми не стикалися з жодним вище) старовавилонські рішення є аналітичними. Це також робить їх схожими на нашу сучасну алгебру рівнянь. Крім того, більшість їх процедур є «гомоморфними», хоча і не «ізоморфними» аналогами наших, або, принаймні, легко пояснюються з точки зору сучасної алгебри.

Ці спільні характеристики - твердження, сформовані як рівняння, аналіз, гомоморфні процедури - спонукали багатьох істориків математики говорити про «вавилонську алгебру» (спокушений, деякі критики говорили протягом останніх 40 років). Але є ще одна причина цієї характеристики, причина, яка може бути більш вирішальною, хоча вона в основному залишилася непоміченою.

Сьогоднішня алгебра рівняння має нейтральне «фундаментальне уявлення» (див. стор. 16): абстрактні числа. Це нейтральне уявлення - це порожній контейнер, який може отримувати всілякі вимірювані величини: відстані, площі, електричні заряди та струми, запліднення населення тощо Грецький геометричний аналіз, з іншого боку, не стосується нічого, крім геометричних величин, з якими він займається, вони не представляють нічого, крім які вони

У цьому відношенні вавилонська техніка, отже, ближче до сучасної алгебри рівнянь, ніж грецький аналіз. Як ми бачили, його лінійні сегменти можуть представляти області, ціни (краще, зворотні ціни) - і в інших текстах кількість працівників і кількість днів, які вони працюють тощо. Ми можемо повірити (тому що ми звикли плутати абстрактний геометричний план та папір, на якій ми малюємо), що геометрія менш нейтральна, ніж абстрактні числа - ми прекрасно знаємо, щоб відрізнити абстрактне число 3 від 3 камінчиків, але, як правило, беремо красиво намальований трикутник для самого трикутника. Але навіть якщо ми залишаємося в нашій плутанини, ми повинні визнати, що з функціональної точки зору Старовавилонська геометрія виміряних величин також є порожнім контейнером.

Сьогоднішня алгебра рівнянь - це, таким чином, техніка пошуку за допомогою вигадки, яку ми вже знайшли (аналіз, з подальшим маніпулюванням невідомими величинами, ніби вони були відомі - все в межах представлення, яке функціонально порожнє (а саме, область абстрактного) цифри). Замінюючи числа вимірними геометричними величинами, ми можемо сказати те саме про старовавилонську техніку - з невеликим запасом, до якого ми повернемося в даний час. Якщо сучасну техніку розуміють як «алгебру», незважаючи на її величезну концептуальну віддаленість від теорії груп та її нащадків, здається розумним класифікувати старовавилонську техніку, як ми стикалися з нею в розділах 2 - 4 під тим самим заголовок.

Це не означає, що немає відмінностей; є, і навіть важливі відмінності; але вони не такі, які зазвичай використовуються для відокремлення «алгебри» від того, що не є алгеброю.

Окрім подання геометрією вимірюваних величин, найважливішою відмінністю, ймовірно, є те, що стара вавилонська алгебра другого (і вищого) ступеня не мала практичного застосування - не тому, що вона не могла мати з принципових причин (це могло б цілком добре), а тому, що жодної практичної проблеми всередині горизонт старовавилонського робочого писаря попросив застосування вищої алгебри. Тому всі проблеми, що виходять за межі першого ступеня, є штучними, і всі вони побудовані назад від відомого рішення (багато проблем першого ступеня теж так). Наприклад, автор починає з\(10^{\prime}\) квадрата сторони, а потім знаходить, що сума чотирьох сторін і площі дорівнює\(41^{\prime} 40^{\prime \prime}\). Проблема, яку він будує тоді, констатує це значення і вимагає (з формулюванням, яке було на користь серед калькуляторів середньовіччя, але яка також присутня в TMS XVI та TMS XVII), щоб сторони та область були «відокремлені» або «розкидані». ³

Цей вид алгебри сьогодні дуже знайомий. Це дозволяє вчителям і авторам підручників будувати проблеми для школярів, для яких вони можуть бути впевнені в наявності розумного рішення. Різниця полягає в тому, що наші штучні проблеми повинні навчати студентів методам, які згодом будуть служити в контекстах «реального життя».

Те, що ми не знаємо, - це відвертість, з якою певні старовавилонські тексти говорять про значення величин, які в принципі не повинні бути відомими.Однак, оскільки текст чітко розрізняє дані та просто відомі величини, використовуючи останні лише для ідентифікації і педагогічне пояснення, ця, здавалося б, відхиляється звичка насамперед ілюструє необхідність мови\(\ell\),\(\lambda\) якою можна описати процедуру - альтернативу нашій алгебрі та «сегменту\(AB\)» нашої геометрії.\(L\) Оскільки тексти являють собою «посібник для вчителя» (незважаючи на «ти», який претендує на адресу учня), ми не можемо виключити, що справжнє усне виклад для студентів замість цього використовуватиме палець, що вказує на діаграму («ця ширина тут», «ця поверхня там»). Також ми не можемо стверджувати, що речі дійсно відбулися, як that— у нас немає кращого вікна для дидактичної практики Старовавилонської математики, ніж те, що пропонується TMS XVI 3 #1 (сторінка 27).