4.3: ПДВ 7532

Малюнок\(4.5\): Діаграма ПДВ 7532. «Верхня ширина» - зліва

Обв.

1 Трапеція. Я відрізав очерет. Я взяв очерет, по його цілісності

2 1 шістдесят (уздовж) довжини я пішов. 6-а частина

3 розірвався для мене:\(1‵12\) до довжини, яку я зробив слідувати.

4 Я повернувся назад. Третя частина і\(\frac{1}{3}\) kuš розірвався для мене:

5 3 шістдесят (уздовж) верхньої ширини я пішов.

6 З тим, що розірвалося для мене, я збільшив його:

7 36 (уздовж) ширина я пішов. 1 на поверхню. Голова (початкова величина) очерету яка?

8 Ти, твоїм провадженням, (бо) очерету, якого ти не знаєш,

9 1 може ти розмістив позицію. Його 6-у частину зробіть обрив,\(50^{\prime}\) ви йдете.

10 років\(50^{\prime}\) від'єднати,\(1^{\circ} 12^{\prime}\) щоб 1 шістдесят підняти:

11\(1‵12\)\(1‵12\) приєднатися:\(2‵24\) помилкова довжина, яку вона дає вам.

12 (Бо) очерет, якого ви не знаєте, 1 може ви позиціонувати. Його 3-ю частину роблять відламати,

13\(40^{\prime}\) на 3 шістдесят верхньої ширини піднімають:

14\(2‵\) це дає вам. \(2‵\)і 36 нижньої ширини купи,

15\(2‵36\) до\(2‵24\) помилкової довжини підняти,\(6``14`24\) фальш-поверхню.

16 Поверхня на 2\(1``\) повторити,\(6``14`24\) підняти

17\(6````14```24``\) це дає вам. І\(\frac{1}{3}\) куш, який розірвався

18 до 3 шістдесят підвищення: 5 до\(2‵24\), помилкова довжина,

19 підвищення:\(12‵\). \(\frac{1}{2}\)\(12‵\)перерви,\(6‵\) зробіть зустріч,

Преподобний

1\(36``\)\(6````14```24``\) приєднатися,\(6````15```\) це дає вам.

2 За\(6````15```\),\(2``30^{\prime}\) дорівнює. \(6`\)який у вас залишився

3\(2``30`\) приєднатися,\(2``36`\) це дає вам. Так\(6``14`24\),

4 помилкова поверхня, я не знаю. Що робити\(6``14`24\)

5 чи можу я позиціонувати, що\(2``36\) дає мені? \(25^{\prime}\)посада.

6 З 6-ї частини розірвалася раніше,

7 6 вписати: 1 змусити піти, 5 ви залишаєте.

8 щоб 5 від'єднати,\(12^{\prime}\) щоб 25 підняти,\(5^{\prime}\) це дає вам. \(5^{\prime}\)\(25^{\prime}\)приєднатися:\(\frac{1}{2} \mathrm{NINDAN}\), голова очерету вона дає вам.

Ця проблема також стосується поля - ще з полем, з яким геодезист зіткнувся б лише уві сні (а точніше, в кошмарі). «Реальне життя» входить через посилання на одиницю бур, одиницю, що належить до практичного управління сільським господарством, і через посилання на вимірювання за допомогою очеретяного зрізу для цієї мети; його довжина (\(\frac{1}{2} \mathrm{NINDAN}\)) дійсно відповідає вимірювальній одиниці, яка часто використовується в практичному житті і називається саме a «очеретяний» (ги по-шумерському). Можна також уявити, що такий очерет легко зламається. Нарешті, використання числівника «шістдесят» показує нам один із способів однозначно висловити числа.

Все інше, однак, тобто площа поля відома до того, як вона вимірюється, а також способи позначення мір шматків, які відриваються від очерету - показує, які руси майстри старовавилонської школи повинні були використовувати для того, щоб створити проблеми другого ступеня, які мають певний смак практичне життя.

Одного разу на малюнку 4.5 відтворюється діаграма, яка простежується на самому планшеті. Загалом, як і тут, схеми малюються на табличках лише тоді, коли вони служать для уточнення твердження; вони ніколи не використовуються для пояснення процедури. З іншого боку, малюнок 4.5 ще раз показує, що рішення відомо заздалегідь: числа\(1‵\), 45 і 15 - це дійсно міри сторін, виражені в\(\mathrm{NINDAN}\).

Ми при цьому беремося вимірювати трапецію за допомогою тростини невідомої довжини\(R\). Нам вдається виміряти довжини\(1`\) очерету по довжині трапеції до того, як очерет втратить шосту частину своєї довжини і скоротиться до\(r=\frac{5}{6} R\). Те, що залишилося довжини, виходить\(1^{\prime} 12 r\) (лінії обв. 2-3).

Потім очерет ламається вдруге. За лініями Обв. 4 і 5 міра «верхньої ширини» (зліва) ⁶ дорівнює\(3` z\), де\(z=\frac{2}{3} r-\frac{1}{3}\) kš - довжина очерету після цього другого зменшення.

Шматок, який відірвався останнім, ставиться назад на місце, а «(нижня) ширина» (очевидно праворуч) йде (лінія Obv. 7) як\(36 r\). Нарешті дізнаємося, що площа поданого 1 br =\(30`\) sar (1 sar = 1\(\mathrm{NINDAN}^{2}\)), див. Сторінка 17). Нас просять знайти початкову довжину очерету - його «голову» у значенні «початок».

Лінії обв. 9-11 визначають довжину в одиницях\(r\) за допомогою помилкового положення:\(R\) якби була дорівнює 1, то була\(r\) б\(50^{\prime}\); навпаки,\(R\) повинна відповідати\(r\) помножена на igi\(50^{\prime}=1^{\circ} 12^{\prime}\). \(1`\)кроків\(R\) при цьому відповідають\(1`12 \cdot r\), а повна довжина буде

\(1` 12 \cdot r+1` 12 \cdot r=2` 24 \cdot r\).

Малюнок\(4.6\): Подвоєна трапеція ПДВ 7532.

Текст говорить про\(2`24\) «помилкову довжину», тобто довжину, виражену в одиницях\(r\).

Ще одне помилкове положення застосовується в рядку Обв. 12. Текст відкладає 1 для\(r\) довжини тростини після скорочення, і відраховує, що те, що залишається після втрати,\(\frac{1}{3}\) має дорівнювати\(40^{\prime}\). Залишаючи осторонь зайві втрати\(\frac{1}{3}\) kš, помилкова верхня ширина (верхня ширина вимірюється в одиницях\(r\)), таким чином,\(40^{\prime}\) раз 3 шістдесятих, тобто\(40^{\prime} \cdot 3^{\prime}=2`\). Іншими словами, верхня ширина вимірює\(2` r\) —все ще залишаючи осторонь відсутній шматок\(\frac{1}{3}\) куш.

Оскільки лінія Obv. 7 вказує на те, що помилкова (нижня) ширина 36, ми, таким чином, знаємо - з тим самим резервом щодо відсутнього\(\frac{1}{3}\) kš- трьох сторін, які дозволять нам визначити площу трапеції в одиницях\(\square(r)\).

І все ж текст не обчислює цю площу: Поверхня 2 повторюємо. Замість цього він подвоює трапецію так, щоб сформувати прямокутник (див. Ліву частину рис. 4.6), а лінії Обв. 14—16 обчислюють площу цього прямокутника («помилкова поверхня»), знаходячи\(6``14`24\) (в неявній одиниці\(\square(r)\)).

Якби очерет не втратив прихований шматок\(\frac{1}{3}\) kš, ми могли б тепер знайти рішення за допомогою остаточного помилкового положення, подібного до BM 13901 #10 (див. Сторінка 46): відповідно до лінії Obv. 7, площа поля становить 1 день, подвоєна площа отже 2 br =\(1`` \mathrm{NINDAN}^{2}\) (Obv. 16: Поверхня до 2 повторень,\(1``\)). Однак тут справи йдуть складніше. Для кожного з\(3`\) кроків, зроблених двічі скорочений очерет шматок\(\frac{1}{3}\) kš відсутній з нашого розрахунку, в цілому таким чином\(3` \cdot \frac{1}{3} \mathrm{kùš}=1` \mathrm{kùš}=5 \mathrm{NINDAN} \left(1 \mathrm{kùš}=\frac{1}{12} \mathrm{NINDAN}\right)\): І\(\frac{1}{3}\) kš який розірвався до 3 шістдесят підняти: 5 (Obv. 17-18). Тому площа реального поля не відповідає тому, що ми бачимо зліва на малюнку 4.6, а тому, що залишається після усунення затіненої смуги праворуч. Площа цієї смуги становить\(5 \cdot 2` 24 r=12` r\):\(5\) щоб\(2`24\), помилкова довжина, підняти:\(12`\). Співвідношення між «помилковою поверхнею» та поверхнею подвоєної дійсної трапеції тепер можна виразити рівнянням

\(6``14` 24 \square(r)-12` r=1``\).

Це ненормоване рівняння вирішується звичайним способом. Спочатку його множать на\(6``14` 24\):\(1``\) \(6``14` 24\)підняти\(6````14```24``\) його дає вам (Обв. 16-17). Це призводить до нормованого рівняння

\(\square\left(6`` 14` 24 r\right)-12` \cdot\left(6`` 14` 24 r\right)=6```` 14``` 24``\)

або,\(s=6`` 14` 24 r\)\(r\) як невідомо,

\(\square(s)-12 s=6```` 14``` 24``\).

Звідси і далі процедура збігається з процедурою БМ 13901 #2 (сторінка 43), з невеликою варіацією в кінці. розрахунки можна слідувати на малюнку 4.7.

Площа\(6```` 14``` 24``\) відповідає прямокутнику (висоті)\(s\) і ширині\(s-12`\). Половину перевищення висоти по ширині «розбивають» і переставляють, як показано на схемі: злегка затінюють у вихідних положеннях, сильно затінюють, куди вона переміщена. Побудова завершального квадрата описується одним із синонімів «зробити утримання», а саме «зробити зустріч» (Обв. 19).

Малюнок\(4.7\)

Після звичайних операцій знаходимо\(s=6`` 14` 24 r=2`` 36`\), що, і в рядку Преподобного 5 що\(r=25^{\prime}\). Однак ми спостерігаємо, що «фрагмент», який був переміщений навколо, не повертається у вихідне положення, яке\(s\) відновилося б у вертикальному напрямку. Натомість інший «фрагмент», спочатку залишений на місці, також переміщується, що дозволяє горизонтальне відновлення\(s=6`` 14` 24 r=2`` 36\):\(6`\) яке ви залишили\(2``30`\) приєднатися,\(2``36`\) це дає вам. ⁷

У рядках Rev. 6-8 калькулятор вводить третю помилкову позицію:\(R\) якби було дорівнює 6, то\(r\) було б 5. Різниця 1 між\(R\) і\(r\)\(\frac{1}{5}\) становить\(r\) або\(12^{\prime}\) раз\(r\). Тепер справжня цінність\(r\) є\(25^{\prime}\); для того, щоб отримати,\(R\) ми повинні, отже, «приєднатися»\(12^{\prime} \cdot 25^{\prime}=5^{\prime}\) до нього. Тому\(R=25^{\prime}+5^{\prime}=30^{\prime}=\frac{1}{2} \mathrm{NINDAN}\).

Можна вважати, що цей тип проблеми є одним з абсолютних фаворитів старовавилонських вчителів витонченої математики. Відомо чотири його варіанти, що відрізняються вибором числових параметрів. Однак всі вони належать лише на двох планшетах, що мають низку термінологічних особливостей - наприклад, використання логограми\(\frac{1}{2}\) для «фрагмента» та звичка, що результати «даються», а не (наприклад) «бачили» або «придумують». Обидві таблички, безумовно, продукти однієї місцевості та місцевої традиції (відповідно до орфографії, заснованої на Уруке), і, ймовірно, походять з тієї ж школи або навіть тієї ж руки. Простіший варіант з прямокутним полем, однак, зустрічається в більш ранньому тексті північного походження, а також в тексті, що належить разом з варіантами трапеції; якщо не фаворит, то зламана очерет, ймовірно, був улюбленим.