4.4: ТМС ХІІІ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65688

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Як і TMS VII #2, ця проблема досить складна. Наведено дивовижний приклад застосування геометричної техніки до негеометричного питання.

1 2 гур 2 пі 5 бана олії я купив. Від покупки 1 шекеля срібла,

2 4 silà, кожен (шекель), масла я відрізав.

3\(\frac{2}{3}\) хв срібла як прибуток я бачив. Відповідно до чого

4 чи купив я і відповідав тому, що я продав?

5 Ви, 4 silà нафтової позиції і 40, (порядку) міна, прибуток позит.

6 щоб 40 від'єднати,\(1^{\prime} 30^{\prime \prime}\) ви бачите, 4\(1^{\prime} 30^{\prime \prime}\) підняти, 6′ ви бачите.

7\(6^{\prime}\) щоб\(12‵50\), масло, підняти,\(1‵17\) ви бачите.

8\(\frac{1}{2}\) з 4 перерви, 2 ви бачите, 2 зробіть утримання, 4 ви бачите.

9 4\(1‵17\) приєднатися,\(1‵21\) бачите. Що дорівнює? 9 дорівнює.

10 - 9 позиція аналога. \(\frac{1}{2}\)з 4, які ви вирізали перерву, 2 ви бачите.

11 2 до 1-го 9 приєднатися, 11 ви бачите; з 2-ї сльози,

12 7 ви бачите. 11 silà кожен (шекель) ви купили, 7 silà ви продали.

13 Срібло відповідає чому? Що до 11 ^¿silà^?багато я позу

14 що\(12‵50\) з нафти мені дає? \(1‵10\)позит, 1 хв 10 шекель срібла.

15 За 7 silà кожен (шекель), що ви продаєте нафти,

16 що з 40 срібла, що відповідає чому? 40 до 7 підвищення,

17\(4‵40\) ви бачите,\(4‵40\) масла.

Це ще одна проблема, яка при поверхневому читанні, здається, відображає ситуацію реального практичного (тут, комерційного) життя. Однак при найближчому розгляді він виявляється таким же штучним, як і попереднє розбите очеретяне питання: купець купив\(M=2\mathrm{gur} 2\mathrm{pi} 5\mathrm{bán}\) (=\(12‵50 \mathrm{sìla}\)) дрібної олії (ймовірно, кунжутної олії). Нам не кажуть, скільки він заплатив, але текст повідомляє нам, що з кількості нафти, яку він купив за один шекель (а) він відрізав 4 сіла, продаючи те, що залишилося (\(v=a-4\)) за 1 шекель;\(a\) і, таким чином,\(v\) взаємні дві ціни—ми можемо говорити про них як про «ставки» купівля-продаж. Більш того, загальний прибуток\(w\) становить\(\frac{2}{3}\) міна = 40 шекель срібла. Для нас, знайомих з алгебраїчною символікою літер, легко побачити, що загальна ціна покупки (інвестиція) повинна бути\(M \div a\), загальна ціна продажу та прибуток\(M \div v\), як наслідок\(w=(M \div v)-(M \div a)\). \(a \cdot v\)Множимо на, таким чином отримуємо рівняння

\(M \cdot(a-v)=w \cdot a v\),

і з тих пір\(v=a-4\), система

\(a-v=4 \quad, \quad a \cdot v=(4 M) \div w\).

Ця система - того ж типу, що і запропонована в YBC 6967, проблема igûm-igibûm (сторінка 46) - дійсно та, яка вирішується з рядка 8 далі. Але це, звичайно, не було досягнуто так, як щойно описано: з одного боку, тому що вавилоняни не мали нашої символіки літер, з іншого, тому що вони тоді знайшли б величину,\((4 M) \div w\) а не, як вони насправді роблять,\((4 \div w) \cdot M\).

Підказка до їх методу повертається до кінця тексту. Тут текст спочатку знаходить загальний обсяг інвестицій, а далі прибуток в нафту (\(4`40\)сіла). Ці розрахунки не є доказом, оскільки ці величини не входять до числа даних проблеми. Однак вони також не просять. Вони повинні представляти інтерес, оскільки зіграли певну роль у пошуку рішення.

На малюнку 4.8 показано можливе і в його принципах правдоподібне тлумачення. Загальна кількість нафти представлена прямокутником, висота якого відповідає загальній ціні продажу в шекель, а ширина якого - «швидкість продажу»\(v\) (сіла за шекель). Загальну ціну продажу можна розділити на прибуток (40 шекель) та інвестиції (ціна покупки), а кількість нафти аналогічно на прибуток від нафти та кількість, продаж якої повертає інвестиції.

Співвідношення між двома останніми величинами має збігатися з тією, на яку було поділено куплене за один шекель кількість — тобто співвідношення між 4 сіла і тим, що продається за 1 шекель (таким чином\(v\)).

Зміна вертикальної шкали за рахунок коефіцієнта, який зменшує 40 до 4, тобто в\(4 \div w=4 \div 40=6^{\prime}\) один раз інвестиції будуть зменшені до\(v\), а площа до\((4 \div w) \cdot M=1` 17\). Таким чином ми отримуємо прямокутник праворуч, для якого ми знаємо область (\(a \cdot v=1` 17\)) та різницю між сторонами (\(a-v=4\)), точно так, як ми повинні. Більше того, ми стежимо за текстом в порядку операцій, і прибуток від нафти, а також інвестиції відіграють певну роль.

Малюнок\(4.8\): Геометричне зображення ТМС XIII.

В цілому завершальна частина процедури йде за моделлю YBC 6967 (і інших однотипних завдань). Єдина різниця відбувається в рядку 10: замість того, щоб використовувати «moiety», з\(a-v\) якого ми «зробили утримання» в рядку 8,\(a-v\) «зламається» вдруге. Це дозволяє нам спочатку «приєднатися» (те, що приєднується, вже є в розпорядженні), а потім «вирвати».

У YBC 6967, задачі igûm-igibûm (стор. 46), геометричні величини служили для представлення величин різної природи, а саме абстрактних чисел. Тут уявлення більш тонке: один сегмент являє собою кількість срібла, інший - кількість олії, що відповідає шеклю срібла.