Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

18.4: Середнє поле наближення дискретних мереж

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    67421

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Аналіз динаміки дискретно-станових мережевих моделей вимагає іншого підходу, оскільки припущення про гладкому, безперервному просторі стану, на якому базується аналіз лінійної стійкості, більше не застосовується. Ця різниця аналогічна різниці між моделями безперервного поля і клітинними автоматами (СА). У розділі 12.3 ми проаналізували моделі СА з використанням наближення середнього поля. Оскільки CA - це лише окремий випадок дискретних динамічних мереж, ми повинні мати можливість застосовувати той самий аналіз і до динамічних мереж.

    По суті, наближення середнього поля працює на динамічних мережах майже так само, як і на СА. Але одне важливе питання, яке ми повинні розглянути, - як боротися з неоднорідними розмірами мікрорайонів. У CA кожна клітинка має однакову кількість сусідів, тому наближення середнього поля дуже легке. Але це вже не так на мережах, в яких вузли можуть мати будь-яку кількість сусідів. Існує кілька різних способів боротьби з цим питанням.

    Далі ми будемо працювати на простому прикладі бінарного стану, моделі сприйнятливо-інфікованого (SIS), яку ми розглянули в розділі 16.2. Як ви пам'ятаєте, правила переходу стану цієї моделі досить прості: чутливий вузол може заразитися зараженим сусідським вузлом з ймовірністю зараження\(p_i\) (на зараженого сусіда), тоді як заражений вузол може відновитися до чутливого вузла з ймовірністю відновлення\(p_r\). У попередньому розділі ми використовували асинхронне оновлення в моделюванні моделі SIS, але тут ми припускаємо синхронне одночасне оновлення, щоб зробити наближення середнього поля більш схожим на наближення, яке ми застосували до CA.

    Для наближення середнього поля нам потрібно представити стан системи макроскопічною змінною, тобто ймовірність (= щільність, дріб) заражених вузлів в мережі (скажімо,\(q\)) в даному випадку, а потім описати тимчасову динаміку цієї змінної, припускаючи, що ця ймовірність застосовується до скрізь у мережі однорідно (тобто «середнє поле»). У наступних розділах ми обговоримо, як застосувати наближення середнього поля до двох різних топологій мережі: випадкових мереж і безмасштабних мереж.