Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

Додаток C: Парадокси

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65498

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Парадокс - це твердження, яке можна показати, використовуючи заданий набір аксіом і визначень, як істинний, так і хибний. Нагадаємо, що аксіома - це твердження, яке вважається істинним без доказів. Це основні будівельні блоки, з яких доведені всі теореми. Парадокси часто використовуються, щоб показати невідповідності в недосконалій аксіоматичній теорії. Термін парадокс також використовується неофіційно для опису дивовижного або неінтуїтивного результату, який випливає з заданого набору правил. У розділі 3.2 ми зіткнулися з двома парадоксами:

    • Севільський цирульник (проблема 3.24)

    • Парадокс Рассела (проблема 3.26)

    Нижче наведено кілька додаткових парадоксів, які варто вивчити.

    1. Парадокс бібліотекаря. Бібліотекарю дається незавидна задача створення двох нових книг для бібліотеки. Книга А містить назви всіх книг у бібліотеці, які посилаються на себе, а Книга Б містить назви всіх книг у бібліотеці, які не посилаються на себе. Але бібліотекар щойно створив дві нові книги для бібліотеки, тому їх назви повинні бути або в Книзі А, або в Книзі Б. Ясно, що книга А може бути вказана в Книзі Б, але де бібліотекар повинен перелічити Книгу Б?

    2. Парадокс брехуна. Розглянемо твердження: це речення помилкове. Це правда чи брехня?

    3. Ягідний парадокс. Розглянемо твердження: кожне натуральне число можна однозначно описати чотирнадцятьма словами або менше. Здається зрозумілим, що це твердження є помилковим, але якщо це так, то існує якесь найменше натуральне число, яке не можна однозначно описати чотирнадцятьма словами або менше. Давайте назвемо це\(n\). Але зараз\(n\) це «найменше натуральне число, яке не можна однозначно описати чотирнадцятьма словами або менше». Це повне і однозначне опис чотирнадцяти\(n\) словами, що суперечить тому, що\(n\) передбачалося не мати такого опису. Тому всі натуральні числа можна однозначно описати чотирнадцятьма словами або менше!

    4. Парадокс іменування чисел. Розглянемо твердження: кожне натуральне число можна однозначно описати, використовуючи не більше 50 символів (де символ - a—z, 0—9 і «пробіл»). Наприклад, ми можемо описати 9 як «9» або «дев'ять» або «квадрат другого простого числа». Всього 37 символів, тому ми можемо описати в більшості\(37^{50}\) чисел, що дуже велике, але не нескінченне. Так що твердження помилкове. Однак ось «доказ» того, що це правда. \(S\)Дозволяти набір натуральних чисел, які можна однозначно описати, використовуючи не більше 50 символів. Заради протиріччя, припустимо, це ще не все\(\mathbb{N}\). Потім йде найменша кількість\(t\in\mathbb{N}\setminus S\). Ми можемо описати\(t\) як: найменше натуральне число не в\(S\). При цьому\(t\) можна описати, використовуючи не більше 50 символів. Отже\(t\in S\), протиріччя.

    5. Еватл і Протагор. Єватл хотів стати адвокатом, але не міг заплатити Протагорас. Протагорас погодився навчити його за умови, що якщо Еватл виграє свою першу справу, він заплатить Протагорасу, інакше ні. Еватл закінчив свій курс навчання і нічого не зробив. Протагор подав до суду на свій гонорар. Він стверджував:
      Якщо Еватл програє цю справу, то він повинен заплатити (за рішенням суду).
      Якщо Еватл виграє цю справу, то він повинен заплатити (за умовами договору).
      Він повинен або виграти, або програти цю справу.
      Тому Єватл повинен заплатити мені.
      Але Єватл добре навчився мистецтву риторики. Він відповів:
      Якщо я виграю цю справу, мені не доведеться платити (за рішенням суду).
      Якщо я програю цю справу, мені не доведеться платити (за договором).
      Я повинен або виграти, або програти справу.
      Тому мені не доведеться платити Протагорас.