Додаток D: Визначення в математиці

Важко переоцінити важливість визначень в математиці. Визначення грають в математиці іншу роль, ніж у повсякденному житті.

Припустимо, ви даруєте своєму другові аркуш паперу, що містить визначення рідко вживаного слова rodomontade. Відповідно до Оксфордського словника англійської мови ¹ (OED) це:

Марнославний похвалитися або похвалитися; екстравагантно хвастощі, зарозумілий, або бомбардистська мова або шматок письма; зарозумілий вчинок.

Дайте своєму другові трохи часу для вивчення визначення. Потім відніміть папір. Через десять хвилин попросіть її визначити родомонтад. Швидше за все вона зможе дати досить точне визначення. Можливо, вона б сказала щось на кшталт: «Це мова чи вчинок чи написання, створена помпезною або егоїстичною людиною, яка хоче показати, наскільки вони великі». Навряд чи вона буде цитувати ОЕД слово в слово. У повсякденній англійській мові це чудово - ви, мабуть, погодитеся, що ваш друг знає значення родомонтади. Це пояснюється тим, що більшість визначень є описовими. Вони описують загальне вживання слова.

Візьмемо математичний приклад. ОЕД ² дає таке визначення безперервного.

Характеризується безперервністю; поширюється в просторі без переривання речовини; не має міжвузлів або розривів; мають його частини в безпосередньому з'єднанні; з'єднані, нерозривні.

Так само ми часто чуємо, як студенти обчислення говорять про безперервну функцію як про той, чий графік можна намалювати «не беручи олівець». Це визначення носить описовий характер. Однак, як ми дізналися в обчисленні, опис підхоплення-олівця не є ідеальним описом безперервних функцій. Це не математичне визначення.

Математичні визначення носять нормативний характер. Визначення повинно прописувати точне і правильне значення того чи іншого слова. Контраст описового визначення ОЕД неперервного з визначенням неперервного, знайденого в підручнику реального аналізу.

Функція\(f:A\to \mathbb{R}\) є безперервною в точці,\(c\in A\) якщо, для всіх\(\varepsilon>0\), існує\(\delta>0\) таке, що всякий раз\(|x-c|<\delta\) (і\(x\in A\)) з цього випливає\(|f(x)-f(c)|<\varepsilon\). Якщо\(f\) є безперервним в кожній точці в області\(A\), то ми говоримо,\(f\) що безперервно на\(A\). ³

У математиці дуже мало свободи в визначеннях. Математика є дедуктивною теорією, неможливо викласти і довести теореми без чітких визначень математичних термінів. Визначення терміна має повністю, точно і однозначно описувати термін. Кожне слово підбирається дуже ретельно і порядок слів критичний. У визначенні безперервності зміна «існує» на «для всіх», зміна порядків кількісних показників\(>\), зміна\(<\) на\(\leq\) або, або зміна\(\mathbb{R}\) на повністю змінить значення визначення.\(\mathbb{Z}\)

Що це означає для вас, студента? Наша рекомендація полягає в тому, щоб на цьому етапі ви запам'ятовували визначення слово в слово. Це найбезпечніший спосіб гарантувати, що у вас це правильно. Коли ви набуваєте впевненості та знайомства з темою, ви можете бути готові змінити формулювання. Можливо, ви захочете змінити «для всіх» на «заданий будь-який» або ви можете\(|x-c|<\delta\) змінити на\(-\delta<x-c<\delta\) або на «відстань між\(x\) і\(c\) менше»\(\delta\).

Звичайно, запам'ятовування недостатньо; ви повинні мати концептуальне розуміння терміна, ви повинні бачити, як формальне визначення збігається з вашим концептуальним розумінням, і ви повинні знати, як працювати з визначенням. Можливо, з першим з них корисні описові визначення. Вони корисні для побудови інтуїції і для малювання «загальної картини». Тільки через дні (тижні, місяці, роки?) досвіду можна отримати інтуїтивне відчуття для визначення спадкоємності епсилон-дельта; більшість математиків мають визначення «пікап-олівець» в голові. Це добре, якщо ми знаємо, що він недосконалий, і що коли ми доводимо теореми про неперервні функції в математиці, ми використовуємо математичне визначення.

Ми закінчуємо цю дискусію цікавим прикладом з реального життя, в якому описового визначення було недостатньо. У 2003 році німецька версія ігрового шоу Хто хоче стати мільйонером? містив наступне питання: «Кожен прямокутник: (а) ромб, (б) трапеція, (в) квадрат, (г) паралелограм».

Збентежений учасник вирішив пропустити питання і пішов з €4000. Після цього шоу отримали листи від роздратованих глядачів. Чому конкурсанта та глядачі засмутилися цією проблемою? Зрозуміло, що прямокутник - це паралелограм, тому (d) - це відповідь. Але як щодо (б)? Прямокутник - це трапеція? Ми б описали трапецію як чотирикутник з парою паралельних сторін. Але це залишає відкритим питання: чи може трапеція мати дві пари паралельних сторін або повинна бути тільки одна пара? Глядачі сказали, що дозволено дві пари, продюсери телевізійного шоу сказали, що це не так. Це випадок, в якому потрібно чітке, точне, математичне визначення.