5.2: Стандартна топологія реальної лінії

У цьому розділі ми представимо поняття відкритих, замкнутих, компактних і з'єднаних, оскільки вони відносяться до підмножин дійсних чисел. Ці властивості складають основу галузі математики, яка називається топологією (походить від грецьких слів tópos, що означає «місце, місцезнаходження» та логія, що означає «вивчення»). Топологія, яку іноді називають «геометрією гумового листа», стосується властивостей просторів, які є інваріантними при будь-якій безперервній деформації (наприклад, згинанні, скручуванні та розтягуванні, як гума, не дозволяючи розривати або склеювати). Основними поняттями в топології є безперервність, компактність та зв'язковість, які покладаються на такі ідеї, як «довільна близькість» та «далеко один від одного». Ці ідеї можна зробити точними, використовуючи відкриті набори.

Колись вважалася абстрактною галуззю чистої математики, топологія тепер має застосування в біології, інформатиці, фізиці та робототехніці. Мета цього розділу - познайомити вас з основами теоретико-множинних визначень, що використовуються в топології, і надати вам можливість повозитися з відкритими і закритими підмножинами дійсних чисел. У розділі 8.5 ми переглянемо ці поняття та вивчимо безперервні функції.

Для всього цього розділу наш всесвіт дискурсу - це сукупність дійсних чисел. Можна припустити всі звичайні базові алгебраїчні властивості дійсних чисел (додавання, віднімання, множення, ділення, комутативна властивість, розподіл і т.д.). Ми часто будемо посилатися на елемент у підмножині дійсних чисел як точку.

Визначення 5.53. Множиною\(U\) називається відкритий набір\(x \in U\), якщо для кожного існує обмежений відкритий інтервал, який\((a,b)\) містить\(x\) таке, що\((a,b)\subseteq U\).

Відразу з визначення випливає, що кожна відкрита множина - це об'єднання обмежених відкритих інтервалів.

Проблема 5.54. Визначте, чи відкритий кожен з наступних наборів. Обґрунтуйте свої твердження.

1. \((1,2)\)
2. \((1,\infty)\)
3. \((1,2)\cup (\pi,5)\)
4. \([1,2]\)
5. \((-\infty,\sqrt{2}]\)
6. \(\{4,17,42\}\)
7. \(\{\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\}\)
8. \(\{\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\}\cup \{0\}\)
9. \(\mathbb{R}\)
10. \(\mathbb{Q}\)
11. \(\mathbb{Z}\)
12. \(\emptyset\)

Як і очікувалося, кожен відкритий інтервал (тобто інтервали форми\((a,b)\)\((-\infty,b)\),\((a,\infty)\),, або\((-\infty,\infty)\)) є відкритим набором.

Теорема 5.55. Кожен відкритий інтервал - це відкритий набір.

Однак важливо зазначити, що відкриті набори можуть бути складнішими, ніж один відкритий інтервал.

Проблема 5.56. Наведіть приклад відкритого набору, який не є єдиним відкритим інтервалом.

Теорема 5.57. Якщо\(U\) і\(V\) є відкритими множинами, то

1. \(U\cup V\)це відкритий набір, і
2. \(U\cap V\)являє собою відкритий набір.

Згідно з наступними двома теоремами, об'єднання довільно багатьох відкритих множин відкрито, а перетин скінченного числа відкритих множин відкрито.

Теорема 5.58. Якщо\(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) це колекція відкритих наборів, то\(\bigcup_{\alpha\in\Delta} U_{\alpha}\) це відкритий набір.

Розглянемо використання індукції для доведення наступної теореми.

Теорема 5.59. Якщо\(\{U_{i}\}_{i=1}^n\) є кінцевою колекцією відкритих наборів для\(n\in \mathbb{N}\), то\(\bigcap_{i=1}^n U_{i}\) є відкритим набором.

Проблема 5.60. Поясніть, чому ми не можемо використовувати індукцію, щоб довести, що перетин нескінченно багатьох відкритих множин, індексованих натуральними числами, є відкритим.

Проблема 5.61. Наведіть приклад кожного з наступних.

1. Колекція відкритих наборів,\(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) таких, що\(\bigcap_{\alpha\in\Delta} U_{\alpha}\) є відкритим набором.
2. Колекція відкритих наборів,\(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) таких, що не\(\bigcap_{\alpha\in\Delta} U_{\alpha}\) є відкритим набором.

Згідно з попередньою проблемою, перетин нескінченно багатьох відкритих наборів може бути відкритим, а може і не бути відкритим. Отже, ми знаємо, що немає теореми, яка стверджує, що перетин довільно багатьох відкритих множин відкрито. Ми знаємо лише достеменно, що перетин скінченно багатьох відкритих множин відкрито теоремою 5.59.

Визначення 5.62. Припустимо\(A\subseteq \mathbb{R}\). Точка\(p\in \mathbb{R}\) є точкою накопичення\(A\) якщо для кожного обмеженого відкритого інтервалу\(p\),\((a,b)\) що містить, існує\(q \in (a,b)\cap A\) така точка, що\(q\neq p\).

Зверніть увагу, що якщо\(p\) є точкою накопичення\(A\), то\(p\) може або не може бути в\(A\). Вільно кажучи,\(p\) це точка накопичення множини,\(A\) якщо є точки в\(A\) довільно близьких до\(p\). Тобто, якщо ми збільшимо масштаб\(p\), ми завжди повинні бачити точки\(A\) поблизу.

Проблема 5.63. Розглянемо відкритий інтервал\(I=(1,2)\). Доведіть кожне з наступного.

1. Точки\(1\) і\(2\) є точками накопичення\(I\).
2. Якщо\(p\in I\), то\(p\) є точкою накопичення\(I\).
3. Якщо\(p<1\) або\(p>2\), то не\(p\) є точкою накопичення\(I\).

Теорема 5.64. Точка\(p\) - це точка накопичення інтервалів\((a,b)\),\((a,b]\),\([a,b)\), і\([a,b]\) якщо і тільки якщо\(p\in [a,b]\).

Проблема 5.65. Доведіть, що точка\(p=0\) є точкою накопичення\(A=\{\frac{1}{n}\mid n \in \mathbb{N}\}\). Чи є якісь інші точки накопичення\(A\)?

Проблема 5.66. Наведіть приклад набору\(A\) з рівно двома точками накопичення.

Розглянемо використання теорем 5.51 і 5.52 при доведенні наступного результату.

Теорема 5.67. Якщо\(p\in\mathbb{R}\), то\(p\) є точкою накопичення\(\mathbb{Q}\).

Визначення 5.68. Набір\(A\subseteq \mathbb{R}\) називається замкнутим, якщо\(A\) містить усі його точки накопичення.

Проблема 5.69. Визначте, чи закрита кожна з множин у Задачі 5.54. Обґрунтуйте свої твердження.

Підсумок частин (i) та (l) Задачі 5.54 та 5.69 полягає в тому, що\(\mathbb{R}\) і\(\emptyset\) є як відкритими, так і закритими. Виходить, що це єдині дві підмножини дійсних чисел з цією властивістю. Однією з проблем термінології, яка потенційно може створити плутанину, є те, що відкритий інтервал\((-\infty, \infty)\) є як відкритим, так і закритим набором.

Проблема 5.70. Наведіть приклад кожного з наведених нижче. Не потрібно доводити, що ваші відповіді правильні.

1. Набір, який відкритий, але не закритий.
2. Набір, який закритий, але не відкритий.
3. [prob:open vs закритий останній] Набір, який ні відкритий, ні закритий.

Ще однією потенційно дратівливою особливістю термінології, проілюстрованої проблемою 5.70, є те, що якщо набір не відкритий, він може бути закритий або не може бути закритий. Аналогічно, якщо набір не закритий, він може бути відкритим, а може і не бути. Тобто відкриті і закриті не є протилежностями один одного.

Наступний результат виправдовує звернення до\([a,b]\) замкнутого інтервалу.

Теорема 5.71. Кожен інтервал форми\([a,b]\),,\((-\infty,b]\)\([a,\infty)\), або\((-\infty,\infty)\) є замкнутим набором.

Теорема 5.72. Кожна скінченна підмножина\(\mathbb{R}\) закрита.

Незважаючи на те, що відкриті і закриті не є протилежностями один одному, між відкритими і закритими наборами існує приємна взаємозв'язок в плані доповнень.

Теорема 5.73. Нехай\(U\subseteq \mathbb{R}\). Потім\(U\) відкритий, якщо і тільки в тому випадку\(U^C\), якщо закритий.

Теорема 5.74. Якщо\(A\) і\(B\) є замкнутими множинами, то

1. \(A\cup B\)являє собою закритий набір, і
2. \(A\cap B\)являє собою закритий набір.

Наступні дві теореми аналогічні теоремам 5.58 і 5.59.

Теорема 5.75. Якщо\(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) це колекція закритих наборів, то\(\bigcap_{\alpha\in \Delta} A_{\alpha}\) це закритий набір.

Теорема 5.76. Якщо\(\{A_{i}\}_{i=1}^n\) є кінцевою колекцією замкнутих множин for\(n\in \mathbb{N}\), то\(\bigcup_{i=1}^n A_{i}\) є замкнутим набором.

Проблема 5.77. Наведіть приклад колекції закритих наборів,\(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) таких, що не\(\bigcup_{\alpha\in \Delta} A_{\alpha}\) є закритим набором.

Проблема 5.78. Визначте, чи є кожен з наступних наборів відкритим, закритим, і іншим, або ні.

1. \(\displaystyle V=\bigcup_{n=2}^{\infty} \left(n - \frac{1}{2},n\right)\)
2. \(\displaystyle W=\bigcap_{n=2}^{\infty} \left(n - \frac{1}{2},n\right)\)
3. \(\displaystyle X=\bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)\)
4. \(\displaystyle Y=\bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-n, n\right)\)
5. \(Z=(0,1)\cap \mathbb{Q}\)

Проблема 5.79. Доведіть або надайте контрприклад: Кожен незамкнутий набір має принаймні одну точку накопичення.

Тепер ми введемо три спеціальні класи підмножин\(\mathbb{R}\): компактний, підключений і відключений.

Визначення 5.80. Набір\(K\subseteq\mathbb{R}\) називається компактним, якщо\(K\) він одночасно закритий і обмежений.

Важливо зазначити, що існує більш загальне визначення компактності в довільному топологічному просторі. Однак, використовуючи наші поняття про відкритий і замкнутий, це теорема про те, що підмножина дійсної лінії компактна тоді і лише тоді, коли вона замкнута та обмежена.

Завдання 5.81. Визначте, чи є кожен з наступних наборів компактним. Коротко обгрунтуйте свої твердження.

1. \([0,1)\cup [2,3]\)
2. \([0,1)\cup (1,2]\)
3. \([0,1)\cup [1,2]\)
4. \(\mathbb{R}\)
5. \(\mathbb{Q}\)
6. \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)
7. \(\mathbb{Z}\)
8. \(\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\}\)
9. \([0,1]\cup\{1+\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\}\)
10. \(\{17,42\}\)
11. \(\{17\}\)
12. \(\emptyset\)

Завдання 5.82. Чи кожен кінцевий набір компактний? Обґрунтуйте своє твердження.

Наступна теорема говорить, що кожна непорожня компактна множина містить свою найбільшу нижню межу та найменшу верхню межу. Тобто кожен непорожній компактний набір досягає мінімального і максимального значення.

Теорема 5.83. Якщо\(K\) є непорожнім компактним підмножиною\(\mathbb{R}\), то\(\sup(K),\inf(K)\in K\).

Визначення 5.84. Множина\(A\subseteq \mathbb{R}\) від'єднується, якщо існує два нез'єднаних відкритих\(U_2\) множини\(U_1\) і такі, що\(A\cap U_1\) і\(A\cap U_2\) є непорожніми, але\(A\subseteq U_1\cup U_2\) (еквівалентно,\(A=(A\cap U_1)\cup(A\cap U_2)\)). Якщо набір не відключається, то говоримо, що він підключений.

Іншими словами, множина відключається, якщо її можна розділити на дві непорожні підмножини таким чином, щоб кожна підмножина не містила точок іншого і не містила точок накопичення іншої. Показувати, що набір відключений, як правило, простіше, ніж показувати набір підключений. Щоб довести, що набір відключений, потрібно просто виставити два відкритих множини з необхідними властивостями. Однак, щоб довести, що множина підключена, потрібно довести, що такої пари відкритих множин не існує.

Проблема 5.85. Визначте, чи є кожен із наборів у Задачі 5.81 підключений або відключений. Коротко обгрунтуйте свої твердження.

Теорема 5.86. Якщо\(a\in\mathbb{R}\), то\(\{a\}\) підключається.

Доказ наступної теореми складніше, ніж можна було б очікувати. Розглянемо доказ протиріччя і спробуйте скористатися аксіомою повноти.

Теорема 5.87. Кожен замкнутий інтервал\([a,b]\) підключається.

Виявляється, кожен підключений набір в\(\mathbb{R}\) є або синглтон, або інтервал. Ми офіційно не довели цю претензію, але у нас є інструменти для цього. Сміливо спробуйте свої сили в доведенні цього факту.