9.7: Ізоморфізми

Результати

1. Застосовуйте поняття один до одного і onto до перетворень векторних просторів.
2. Визначте, чи є лінійне перетворення векторних просторів ізоморфізмом.
3. Визначте, чи є два векторних простори ізоморфними.

Один до одного і на перетворення

Нагадаємо наступні визначення, наведені тут в терміні векторних просторів.

Визначення\(\PageIndex{1}\): One to One Transformation

\(V, W\)Дозволяти бути векторні простори з\(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) векторами в\(V\). Тоді лінійне перетворення\(T: V \mapsto W\) називається один до одного, якщо всякий раз, коли\(\vec{v}_1 \neq \vec{v}_2\) випливає, що\[T(\vec{v}_1) \neq T (\vec{v}_2)\nonumber \]

Визначення\(\PageIndex{2}\): Onto Transformation

\(V, W\)Дозволяти бути векторні простори. Потім\(T: V \mapsto W\) викликається лінійне перетворення, якщо для всіх\(\vec{w} \in \vec{W}\) існує\(\vec{v} \in V\) таке, що\(T(\vec{v}) = \vec{w}\).

Нагадаємо, що кожне\(T\) лінійне перетворення має властивість, що\(T(\vec{0})=\vec{0}\). Це потрібно буде для того, щоб довести наступну корисну лему.

Лемма\(\PageIndex{1}\): One to One

Твердження про те, що\(T\) лінійне перетворення є один до одного, еквівалентно тому, що якщо\(T(\vec{v})=\vec{0},\) тоді\(\vec{v}=0.\)

Доказ

Припустимо, спочатку,\(T\) що один до одного.

\[T(\vec{0})=T\left( \vec{0}+\vec{0}\right) =T(\vec{0})+T(\vec{0})\nonumber \]і так, додаючи добавку, обернену\(T(\vec{0})\) в обидві сторони, можна побачити, що\(T(\vec{0})=\vec{0}\). Тому, якщо\(T(\vec{v})=\vec{0},\) це повинно бути\(\vec{v}=\vec{0}\) так, тому що це було просто показано\(T(\vec{0})=\vec{0}\).

Тепер припустимо, що\(\vec{v}=0.\) якщо\(T(\vec{v})=\vec{0},\)\(T(\vec{v})=T(\vec{u}),\) тоді, якщо тоді\(T(\vec{v})-T(\vec{u})=T\left( \vec{v}-\vec{u}\right) =\vec{0}\) який показує, що\(\vec{v}-\vec{u}=0\) або іншими словами,\(\vec{v}=\vec{u}\).

Розглянемо наступний приклад.

Приклад\(\PageIndex{1}\): One to One Transformation

\(S:\mathbb{P}_2\to\mathbb{M}_{22}\)Дозволяти лінійне перетворення, визначене\[S(ax^2+bx+c) = \left [\begin{array}{cc} a+b & a+c \\ b-c & b+c \end{array}\right ] \nonumber\] для всіх\(ax^2+bx+c\in \mathbb{P}_2.\)

Доведіть, що\(S\) це один до одного, але не на.

Рішення

За визначенням,\[\ker(S)=\{ax^2+bx+c\in \mathbb{P}_2 ~|~ a+b=0, a+c=0, b-c=0, b+c=0\}. \nonumber\]

Припустимо\(p(x)=ax^2+bx+c\in\ker(S)\). Це призводить до однорідної системи з чотирьох рівнянь у трьох змінних. Покладання доповненої матриці в зменшеному рядно-ешелоновому вигляді:

\[\left [\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right ] \rightarrow \cdots \rightarrow \left [\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right ].\nonumber\]

Рішення є\(a=b=c=0\). Це говорить нам, що якщо\(S(p(x)) = 0\), то\(p(x) = ax^2+bx+c = 0x^2 + 0x + 0 = 0\). Тому він один до одного.

Щоб показати,\(S\) що не на, знайти матрицю\(A\in\mathbb{M}_{22}\) таку, що для кожного\(p(x)\in \mathbb{P}_2\),\(S(p(x))\neq A\). Нехай\[A=\left [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right ], \nonumber\] і припустимо\(p(x)=ax^2+bx+c\in \mathbb{P}_2\) таке, що\(S(p(x))=A\). Тоді\[\begin{array}{ll} a+b=0 & a+c=1 \\ b-c=0 & b+c=2 \end{array}\nonumber \] Рішення цієї системи\[\left [\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right ] \rightarrow \left [\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right ]. \nonumber\]

Оскільки система непослідовна, немає\(p(x)\in \mathbb{P}_2\) так\(S(p(x))=A\), що, а значить,\(S\) не на.

Приклад\(\PageIndex{2}\): An Onto Transformation

\(T:\mathbb{M}_{22}\to\mathbb{R}^2\)Дозволяти лінійне перетворення, визначене\[T\left [\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right ] = \left [\begin{array}{c} a+d \\ b+c \end{array}\right ] \mbox{ for all } \left [\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right ] \in\mathbb{M}_{22}.\nonumber\]

Доведіть, що\(T\) це на, але не один до одного.

Рішення

\(\left [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right ]\)Дозволяти бути довільним вектором в\(\mathbb{R}^2\). З тих пір\(T\left [\begin{array}{cc} x & y \\ 0 & 0 \end{array}\right ] =\left [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right ]\),\(T\) є на.

За Лемма\(\PageIndex{1}\)\(T\) один до одного, якщо і тільки якщо\(T(A) = \vec{0}\) має на увазі, що\(A = 0\) нульова матриця. Зауважте, що\[T \left( \left [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right ] \right) = \left [ \begin{array}{c} 1 + -1 \\ 0 + 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber\]

Існує ненульова матриця\(A\) така, що\(T(A) = \vec{0}\). Звідси\(T\) випливає, що не один до одного.

Наступний приклад демонструє, що перетворення один в один зберігає лінійну незалежність.

Приклад\(\PageIndex{3}\): One to One and Independence

\(W\)Дозволяти\(V\) і бути векторні простори і\(T: V \mapsto W\) лінійне перетворення. Доведіть,\(T\) що якщо один до одного і\(\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\}\) є незалежним підмножиною\(V\), то\(\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}\) є незалежним підмножиною\(W\).

Рішення

Нехай\(\vec{0}_V\) і\(\vec{0}_W\) позначають нульові вектори\(V\) і\(W\), відповідно. Припустимо, що\[a_1T(\vec{v}_1) + a_2T(\vec{v}_2) +\cdots +a_kT(\vec{v}_k) =\vec{0}_W \nonumber\] для деяких\(a_1, a_2, \ldots, a_k\in\mathbb{R}\). Оскільки лінійні перетворення зберігають лінійні комбінації (додавання і скалярне множення),\[T(a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 +\cdots +a_k\vec{v}_k) =\vec{0}_W. \nonumber\]

Тепер, так як\(T\) один до одного\(\ker(T)=\{\vec{0}_V\}\), і таким чином\[a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 +\cdots +a_k\vec{v}_k =\vec{0}_V. \nonumber\]

Однак\(\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\}\) є незалежним так\(a_1=a_2=\cdots=a_k=0\). Тому\(\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}\) є незалежним.

Аналогічна претензія може бути висунута щодо перетворень. У цьому випадку перетворення на зберігає охоплюючий набір.

Приклад\(\PageIndex{4}\): Onto and Spanning

\(W\)Дозволяти\(V\) і бути векторні простори і\(T:V\to W\) лінійне перетворення. Доведіть,\(T\) що якщо на і\(V=span\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\}\), то\[W=span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}.\nonumber\]

Рішення

Припустимо, що\(T\) це на і нехай\(\vec{w}\in W\). Тоді існує\(\vec{v}\in V\) таке, що\(T(\vec{v})=\vec{w}\). Так як\(V=span\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\}\), існують\(a_1, a_2, \ldots a_k\in\mathbb{R}\) такі, що\(\vec{v} = a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + \cdots + a_k\vec{v}_k\). Використовуючи те, що\(T\) є лінійним перетворенням,\[\begin{aligned} \vec{w} =T(\vec{v}) & = T(a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + \cdots + a_k\vec{v}_k) \\ & = a_1T(\vec{v}_1) + a_2T(\vec{v}_2) + \cdots + a_kT(\vec{v}_k),\end{aligned}\] тобто\(\vec{w}\in span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}\), і таким чином\[W\subseteq span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}. \nonumber\]

Так як\(T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\in W\), випливає з того\(span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}\subseteq W\), а значить\(W=span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}\).

ізоморфізми

У цьому розділі основна увага приділяється лінійним перетворенням, які є як один до одного, так і на. Коли це так, ми називаємо трансформацію ізоморфізмом.

Визначення\(\PageIndex{3}\): Isomorphism

\(W\)Дозволяти\(V\) і бути два векторні простори і нехай\(T: V \mapsto W\) бути лінійним перетворенням. Потім\(T\) називається ізоморфізмом, якщо виконуються наступні дві умови.

• \(T\)один до одного.
• \(T\)знаходиться на.

Визначення\(\PageIndex{4}\): Isomorphic

\(W\)Дозволяти\(V\) і бути два векторні простори і нехай\(T: V \mapsto W\) бути лінійним перетворенням. Тоді якщо\(T\) це ізоморфізм, ми говоримо, що\(V\) і\(W\) є ізоморфними.

Розглянемо наступний приклад ізоморфізму.

Приклад\(\PageIndex{5}\): Isomorphism

\(T:\mathbb{M}_{22}\to\mathbb{R}^4\)Дозволяти визначатися\[T \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \left[ \begin{array}{c} a\\ b\\ c \\ d \end{array} \right] \mbox{ for all } \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] \in\mathbb{M}_{22}.\nonumber \] Шоу, що\(T\) є ізоморфізмом.

Рішення

Зверніть увагу, що якщо ми можемо довести, що\(T\) це ізоморфізм, це буде означати, що\(\mathbb{M}_{22}\) і\(\mathbb{R}^4\) є ізоморфними. Залишилося довести, що

1. \(T\)є лінійним перетворенням;
2. \(T\)є один-на-один;
3. \(T\)знаходиться на.

\(T\)є лінійним:\(k,p\) Дозволяти скалярам.

\[\begin{aligned} T \left( k \left[\begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{array}\right] + p \left[\begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{array}\right] \right) &= T \left( \left[\begin{array}{cc} k a_1 & k b_1 \\ k c_1 & k d_1 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} p a_2 & p b_2 \\ p c_2 & p d_2 \end{array}\right] \right) \\ &= T \left( \left[\begin{array}{cc} k a_1 + p a_2 & k b_1 + p b_2 \\ k c_1 + p c_2& k d_1 + p d_2 \end{array}\right] \right) \\ &= \left[ \begin{array}{c} k a_1 + p a_2 \\ k b_1 + p b_2 \\ k c_1 + p c_2 \\ k d_1 + p d_2 \end{array}\right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} k a_1 \\ k b_1 \\ k c_1 \\ k d_1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} p a_2 \\ p b_2 \\ p c_2 \\ p d_2 \end{array} \right] \\ &= k \left[ \begin{array}{c} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \\ d_1 \end{array} \right] + p \left[ \begin{array}{c} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \\ d_2 \end{array} \right] \\ &= k T \left(\left[\begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{array}\right] \right) + p T \left(\left[\begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{array}\right] \right)\end{aligned}\]

Тому\(T\) є лінійним.

\(T\)один до одного: Лемма\(\PageIndex{1}\) ми повинні показати, що якщо\(T(A) = 0\) тоді\(A = 0\) для якоїсь матриці\(A \in \mathbb{M}_{22}\). \[T\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c \\ d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\nonumber \]

Це явно відбувається лише тоді\(a=b=c=d=0\), коли це означає, що\[A = \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] = 0\nonumber \]

Отже\(T\), один до одного.

\(T\)знаходиться на: Нехай

\[\vec{x}=\left[\begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{array}\right]\in\mathbb{R}^4, \nonumber\]і визначити матрицю\(A\in\mathbb{M}_{22}\) наступним чином:\[A=\left[\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right]. \nonumber\]

Потім\(T(A)=\vec{x}\), і, отже,\(T\) знаходиться на.

Оскільки\(T\) є лінійним перетворенням, яке є один до одного і на,\(T\) є ізоморфізмом. Звідси\(\mathbb{M}_{22}\) і\(\mathbb{R}^4\) є ізоморфними.

Важливою властивістю ізоморфізмів є те, що зворотний ізоморфізм сам по собі є ізоморфізмом і склад ізоморфізмів - ізоморфізм. Насамперед нагадаємо визначення складу.

Визначення\(\PageIndex{5}\): Composition of Transformations

\(V, W, Z\)Дозволяти векторні простори і припустимо\(T: V \mapsto W\) і\(S: W \mapsto Z\) є лінійними перетвореннями. Тоді композит\(S\)\[S \circ T: V \mapsto Z\nonumber \] і\(T\) є і визначається\[(S \circ T) (\vec{v}) = S(T(\vec{v})) \mbox{ for all } \vec{v} \in V\nonumber \]

Розглянемо тепер наступну пропозицію.

Пропозиція\(\PageIndex{1}\): Composite and Inverse Isomorphism

Нехай\(T:V\rightarrow W\) буде ізоморфізм. Потім\(T^{-1}:W\rightarrow V\) ще й ізоморфізм. Крім того, якщо\(T:V\rightarrow W\) це ізоморфізм, а якщо\(S:W\rightarrow Z\) ізоморфізм для векторних просторів,\(V,W,Z,\) то\(S\circ T\)\(\left( S\circ T\right) \left( v\right) = S\left( T\left( v\right) \right)\) визначається також ізоморфізмом.

Доказ

Розглянемо першу претензію. Оскільки\(T\) є на, типовий вектор\(W\) in має форму\(T(\vec{v})\) де\(\vec{v} \in V\). Розглянемо тоді для\(a,b\) скалярів,\[T^{-1}\left( aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\right)\nonumber \] де\(\vec{v}_{1}, \vec{v}_2 \in V\). Розглянемо, якщо це\(T\) дорівнює\[aT^{-1}\left( T(\vec{v}_{1})\right) +bT^{-1}\left( T(\vec{v}_{2})\right) =a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}?\nonumber \] Оскільки один до одного, це буде так, якщо\[T\left( a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}\right) =T\left( T^{-1}\left( aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\right) \right) =aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\nonumber \] Однак вищевказане твердження є лише умовою, яка\(T\) є лінійною картою. Таким\(T^{-1}\) чином, дійсно лінійна карта. Якщо\(\vec{v} \in V\) дано, то\(\vec{v}=T^{-1}\left( T(\vec{v})\right)\) і\(T^{-1}\) так далі. Якщо\(T^{-1}(\vec{v})=\vec{0},\) тоді\[\vec{v}=T\left( T^{-1}(\vec{v})\right) =T(\vec{0})=\vec{0}\nonumber \] і так\(T^{-1}\) один до одного.

Далі припустимо\(T\) і\(S\) знаходяться, як описано. Чому\(S\circ T\) лінійна карта? Нехай для\(a,b\) скалярів,\[\begin{aligned} S\circ T\left( a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}\right) &\equiv S\left( T\left( a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}\right) \right) =S\left( aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\right) \\ &=aS\left( T(\vec{v}_{1})\right) +bS\left( T(\vec{v}_{2})\right) \equiv a\left( S\circ T\right) \left( \vec{v}_{1}\right) +b\left( S\circ T\right) \left( \vec{v}_{2}\right)\end{aligned}\] Отже\(S\circ T\), лінійна карта. Якщо\(\left( S\circ T\right) \left( \vec{v}\right) =0,\) потім\(S\left( T\left( \vec{v} \right) \right) =\vec{0}\) і випливає, що\(T(\vec{v})=\vec{0}\) і, отже, цією лемою знову,\(\vec{v}=\vec{0}\). Таким\(S\circ T\) чином, один до одного. Залишилося переконатися, що він знаходиться на. Нехай\(\vec{z}\in Z\). Тоді, оскільки\(S\) є на, існує\(\vec{w}\in W\) таке, що\(S(\vec{w})=\vec{z}.\) Також, оскільки\(T\) є на, існує\(\vec{v}\in V\) таке, що\(T(\vec{v})=\vec{w}.\) Випливає, що\(S\left( T\left( \vec{v}\right) \right) =\vec{z}\) і так\(S\circ T\) є також на.

Припустимо, ми говоримо, що два векторних простору\(V\) і\(W\) пов'язані, якщо існує ізоморфізм одного до іншого, записаний як\(V\sim W\). Тоді вищевказана пропозиція говорить про те, що\(\sim\) це відношення еквівалентності. Тобто:\(\sim\) задовольняє наступним умовам:

• \(V\sim V\)
• Якщо\(V\sim W,\) випливає, що\(W\sim V\)
• Якщо\(V\sim W\) і\(W\sim Z,\) тоді\(V\sim Z\)

Ми залишаємо доказ цього читачеві.

Наступна фундаментальна лема описує зв'язок між базами і ізоморфізмами.

Лемма\(\PageIndex{2}\): Bases and Isomorphisms

\(T:V\rightarrow W\)Дозволяти лінійна карта, де\(V,W\) векторні простори. Тоді лінійне перетворення\(T\), яке є одним до одного, має властивість,\(\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{k}\right\}\) що якщо лінійно незалежна, то так і є\(\left\{ T(\vec{u}_{1}),\cdots ,T(\vec{u}_{k})\right\}\). Більш загально,\(T\) це ізоморфізм, якщо і тільки тоді, коли коли\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) є основою для\(V,\) цього випливає, що\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) є основою для\(W\).

Доказ

По-перше, припустимо, що\(T\) це лінійна карта і один до одного і\(\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{k}\right\}\) лінійно незалежна. Потрібно показати, що також\(\left\{ T(\vec{u}_{1}),\cdots ,T(\vec{u}_{k})\right\}\) лінійно незалежний. Припустимо, що\[\sum_{i=1}^{k}c_{i}T(\vec{u}_{i})=\vec{0}\nonumber \] тоді, оскільки\(T\) є лінійним,\[T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{u}_{i}\right) =\vec{0}\nonumber \] Так як\(T\) один до одного, випливає, що\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{u}_{i}=0\nonumber \] Тепер той факт,\(\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{n}\right\}\) що лінійно незалежний означає, що кожен\(c_{i}=0\). Отже\(\left\{ T(\vec{u} _{1}),\cdots ,T(\vec{u}_{n})\right\}\), лінійно незалежний.

Тепер припустимо, що\(T\) це ізоморфізм і\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{ v}_{n}\right\}\) є основою для\(V\). Просто було показано, що\(\left\{ T(\vec{v} _{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) є лінійно незалежним. Залишається переконатися, що проміжок\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) є все з\(W\). Це де\(T\) використовується ono. Якщо\(\vec{w}\in W,\) існує\(\vec{v}\in V\) таке, що\(T(\vec{v})=\vec{w}\). Оскільки\(\left\{ \vec{v} _{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) це основа, випливає, що існують скаляри\(\left\{ c_{i}\right\} _{i=1}^{n}\) такі, що\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\vec{v}.\nonumber \] Отже,\[\vec{w}=T(\vec{v})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}c_{i}T\vec{v}_{i}\nonumber \] який показує, що проміжок цих векторів\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T (\vec{v}_{n})\right\}\) - це все\(W\) показує, що цей набір векторів є основою для\(W\).

Далі припустимо, що\(T\) це лінійна карта, яка бере основу до основи. Тоді для\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) основи для\(V,\) цього слід\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) основа для\(W.\) Тоді, якщо\(w\in W,\) існують скаляри\(c_{i}\) такі, що\(w=\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right)\) показують, що\(T\) є на. Якщо\(T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =0\) тоді\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=\vec{0}\) і оскільки вектори лінійно\(\left\{ T(\vec{v} _{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) незалежні, то випливає, що кожен\(c_{i}=0.\) Since\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\) є типовим вектором в\(V\), це показало, що якщо\(T(\vec{v})=0\) тоді\(\vec{v}=\vec{0}\) і так\(T\) також один до одного. Таким чином\(T\) відбувається ізоморфізм.

Наступна теорема ілюструє дуже корисну ідею для визначення ізоморфізму. В основному, якщо ви знаєте, що він робить з основою, то ви можете побудувати ізоморфізм.

Теорема\(\PageIndex{1}\): Isomorphic Vector Spaces

Припустимо\(W\),\(V\) і є двома векторними просторами. Тоді два векторні простори ізоморфні тоді і лише тоді, коли вони мають однакову розмірність. У разі, якщо два векторних простору мають однакову розмірність, то для лінійного перетворення\(T:V\rightarrow W\) наступні еквівалентні.

1. \(T\)один до одного.
2. \(T\)знаходиться на.
3. \(T\)це ізоморфізм.

Доказ

Припустимо, спочатку ці два векторні простори мають однакову розмірність. Нехай основа для\(V\) бути\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) і нехай основа для\(W\) бути\(\left\{ \vec{w}_{1},\cdots ,\vec{w}_{n}\right\}\). Тепер визначте\(T\) наступним чином. \[T(\vec{v}_{i})=\vec{w}_{i}\nonumber \]для\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\) довільного вектора\(V,\)\[T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n}c_{i}T (\vec{v}_{i})=\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}.\nonumber \] необхідно переконатися, що це чітко визначено. Припустимо\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{v}_{i}\nonumber \] тоді, що Тоді\[\sum_{i=1}^{n}\left( c_{i}-\hat{c}_{i}\right) \vec{v}_{i}=0\nonumber \] і так як\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) є основою,\(c_{i}=\hat{c}_{i}\) для кожного\(i\). Звідси\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}=\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{w}_{i}\nonumber \] і так відображення чітко визначено. Також якщо\(a,b\) скаляри,\[\begin{aligned} T\left( a\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}+b\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{v} _{i}\right) &=T\left( \sum_{i=1}^{n}\left( ac_{i}+b\hat{c}_{i}\right) \vec{v }_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}\left( ac_{i}+b\hat{c}_{i}\right) \vec{w}_{i} \\ &=a\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}+b\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{w}_{i} \\ &=aT\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) +bT\left( \sum_{i=1}^{n} \hat{c}_{i}\vec{v}_{i}\right)\end{aligned}\] Таким\(T\) чином, лінійна карта.

Тепер, якщо\[T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w} _{i}=\vec{0},\nonumber \] тоді, оскільки\(\left\{ \vec{w}_{1},\cdots ,\vec{w}_{n}\right\}\) вони незалежні, кожен\(c_{i}=0\) і так\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\vec{0}\) само. Отже\(T\), один до одного. Якщо\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}\) вектор в\(W,\) то він дорівнює\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}T\vec{v}_{i}=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right)\nonumber \] показуючи,\(T\) що також на. Звідси\(T\) є ізоморфізм і так\(V\) і\(W\) є ізоморфними.

Далі припустимо, що ці два векторні простори ізоморфні. \(T\)Дозволяти назву ізоморфізму. Тоді для\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) основи для\(V\), випливає, що основа для\(W\)\(\left\{ T\vec{v}_{1},\cdots ,T\vec{v}_{n}\right\}\) показує, що два векторні простори мають однакову розмірність.

Тепер припустимо, що два векторні простори мають однакову розмірність.

Спочатку розглянемо твердження, що\(1.)\Rightarrow 2.).\) Якщо\(T\) один до одного, то якщо\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v} _{n}\right\}\) є підставою для\(V,\)\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v }_{n})\right\}\) то лінійно незалежним. Якщо це не основа, то вона повинна вийти з ладу\(W\). Але тоді існувало б\(\vec{w}\notin span \left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) і випливає, що\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n}),\vec{w}\right\}\) було б лінійно незалежним, що неможливо, тому що існує основа для\(W\)\(n\) векторів. Звідси\[span\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v} _{n})\right\} =W\nonumber \] і так\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) є основою. Отже, якщо\(\vec{w}\in W,\) існують скаляри\(c_{i}\) такі, що\[\vec{w}=\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v} _{i}\right)\nonumber \] показують, що\(T\) є на. Це свідчить про те, що\(1.)\Rightarrow 2.).\)

Далі розглянемо твердження, що\(2.)\Rightarrow 3.).\) Оскільки\(2.)\) тримає, випливає, що\(T\) знаходиться на. Залишається переконатися,\(T\) що один до одного. Оскільки\(T\) є на, існує основа форми\(\left\{ T(\vec{v}_{i}),\cdots ,T (\vec{v}_{n})\right\} .\) Якщо\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) лінійно незалежний, то цей набір векторів також повинен бути основою для\(V\) тому, що якщо ні,\(\vec{u}\notin span\left\{ \vec{ v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) існував би лінійно незалежний набір, який неможливо, тому що за припущенням,\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v} _{n},\vec{u}\right\}\) існує основа, яка має\(n\) вектори. Так чому ж\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) лінійно незалежний? Припустимо,\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\vec{0}\nonumber \] тоді\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}T\vec{v}_{i}=\vec{0}\nonumber \] Отже, кожен\(c_{i}=0\) і так, як тільки що обговорювалося,\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots , \vec{v}_{n}\right\}\) є основою для\(V\). Тепер випливає, що типовий вектор в\(V\) має вигляд\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\). Якщо\(T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\vec{0},\) випливає, що\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=\vec{0}\nonumber \] і так, оскільки\(\left\{ T(\vec{v}_{i}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) є незалежним, то слід за кожним\(c_{i}=0\) і звідси\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v} _{i}=\vec{0}\). Таким\(T\) чином, один до одного, а також на і так це ізоморфізм.

Якщо\(T\) це ізоморфізм, це як один до одного, так і на за визначенням, так що\(3.)\) означає обидва\(1.)\) і\(2.)\).

Зверніть увагу на цікавий спосіб визначення лінійного перетворення в першій частині аргументу, описуючи те, що він робить до основи, а потім «розширюючи його лінійно».

Розглянемо наступний приклад.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Нехай\(V=\mathbb{R}^{3}\) і нехай\(W\) позначають многочлени ступеня не більше 2. Показати, що ці два векторні простори ізоморфні.

Рішення

По-перше, зауважте, що основа для\(W\) є\(\left\{ 1,x,x^{2}\right\}\) і основа для\(V\) є\(\left\{ \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\right\} .\) Оскільки ці два мають однаковий вимір, два є ізоморфними. Приклад ізоморфізму такий:

\[T(\vec{e}_{1})=1,T(\vec{e}_{2})=x,T(\vec{e}_{3})=x^{2}\nonumber \]і розширювати\(T\) лінійно, як у наведеному вище доказі. Таким чином\[T\left( a,b,c\right) =a+bx+cx^{2}\nonumber \]