9.7: Ізоморфізми

Результати

1. Застосовуйте поняття один до одного і onto до перетворень векторних просторів.
2. Визначте, чи є лінійне перетворення векторних просторів ізоморфізмом.
3. Визначте, чи є два векторних простори ізоморфними.

Один до одного і на перетворення

Нагадаємо наступні визначення, наведені тут в терміні векторних просторів.

Визначення$\PageIndex{1}$: One to One Transformation

$V, W$Дозволяти бути векторні простори з$\vec{v}_1, \vec{v}_2$ векторами в$V$. Тоді лінійне перетворення$T: V \mapsto W$ називається один до одного, якщо всякий раз, коли$\vec{v}_1 \neq \vec{v}_2$ випливає, що $$T(\vec{v}_1) \neq T (\vec{v}_2)\nonumber$$

Визначення$\PageIndex{2}$: Onto Transformation

$V, W$Дозволяти бути векторні простори. Потім$T: V \mapsto W$ викликається лінійне перетворення, якщо для всіх$\vec{w} \in \vec{W}$ існує$\vec{v} \in V$ таке, що$T(\vec{v}) = \vec{w}$.

Нагадаємо, що кожне$T$ лінійне перетворення має властивість, що$T(\vec{0})=\vec{0}$. Це потрібно буде для того, щоб довести наступну корисну лему.

Лемма$\PageIndex{1}$: One to One

Твердження про те, що$T$ лінійне перетворення є один до одного, еквівалентно тому, що якщо$T(\vec{v})=\vec{0},$ тоді$\vec{v}=0.$

Доказ

Припустимо, спочатку,$T$ що один до одного.

$$T(\vec{0})=T\left( \vec{0}+\vec{0}\right) =T(\vec{0})+T(\vec{0})\nonumber$$ і так, додаючи добавку, обернену$T(\vec{0})$ в обидві сторони, можна побачити, що$T(\vec{0})=\vec{0}$. Тому, якщо$T(\vec{v})=\vec{0},$ це повинно бути$\vec{v}=\vec{0}$ так, тому що це було просто показано$T(\vec{0})=\vec{0}$.

Тепер припустимо, що$\vec{v}=0.$ якщо$T(\vec{v})=\vec{0},$$T(\vec{v})=T(\vec{u}),$ тоді, якщо тоді$T(\vec{v})-T(\vec{u})=T\left( \vec{v}-\vec{u}\right) =\vec{0}$ який показує, що$\vec{v}-\vec{u}=0$ або іншими словами,$\vec{v}=\vec{u}$.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{1}$: One to One Transformation

$S:\mathbb{P}_2\to\mathbb{M}_{22}$Дозволяти лінійне перетворення, визначене $$S(ax^2+bx+c) = \left [\begin{array}{cc} a+b & a+c \\ b-c & b+c \end{array}\right ] \nonumber$$ для всіх$ax^2+bx+c\in \mathbb{P}_2.$

Доведіть, що$S$ це один до одного, але не на.

Рішення

За визначенням, $$\ker(S)=\{ax^2+bx+c\in \mathbb{P}_2 ~|~ a+b=0, a+c=0, b-c=0, b+c=0\}. \nonumber$$

Припустимо$p(x)=ax^2+bx+c\in\ker(S)$. Це призводить до однорідної системи з чотирьох рівнянь у трьох змінних. Покладання доповненої матриці в зменшеному рядно-ешелоновому вигляді:

$$\left [\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right ] \rightarrow \cdots \rightarrow \left [\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right ].\nonumber$$

Рішення є$a=b=c=0$. Це говорить нам, що якщо$S(p(x)) = 0$, то$p(x) = ax^2+bx+c = 0x^2 + 0x + 0 = 0$. Тому він один до одного.

Щоб показати,$S$ що не на, знайти матрицю$A\in\mathbb{M}_{22}$ таку, що для кожного$p(x)\in \mathbb{P}_2$,$S(p(x))\neq A$. Нехай $$A=\left [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right ], \nonumber$$ і припустимо$p(x)=ax^2+bx+c\in \mathbb{P}_2$ таке, що$S(p(x))=A$. Тоді $$\begin{array}{ll} a+b=0 & a+c=1 \\ b-c=0 & b+c=2 \end{array}\nonumber$$ Рішення цієї системи $$\left [\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right ] \rightarrow \left [\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right ]. \nonumber$$

Оскільки система непослідовна, немає$p(x)\in \mathbb{P}_2$ так$S(p(x))=A$, що, а значить,$S$ не на.

Приклад$\PageIndex{2}$: An Onto Transformation

$T:\mathbb{M}_{22}\to\mathbb{R}^2$Дозволяти лінійне перетворення, визначене $$T\left [\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right ] = \left [\begin{array}{c} a+d \\ b+c \end{array}\right ] \mbox{ for all } \left [\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right ] \in\mathbb{M}_{22}.\nonumber$$

Доведіть, що$T$ це на, але не один до одного.

Рішення

$\left [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right ]$Дозволяти бути довільним вектором в$\mathbb{R}^2$. З тих пір$T\left [\begin{array}{cc} x & y \\ 0 & 0 \end{array}\right ] =\left [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right ]$,$T$ є на.

За Лемма$\PageIndex{1}$$T$ один до одного, якщо і тільки якщо$T(A) = \vec{0}$ має на увазі, що$A = 0$ нульова матриця. Зауважте, що $$T \left( \left [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right ] \right) = \left [ \begin{array}{c} 1 + -1 \\ 0 + 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber$$

Існує ненульова матриця$A$ така, що$T(A) = \vec{0}$. Звідси$T$ випливає, що не один до одного.

Наступний приклад демонструє, що перетворення один в один зберігає лінійну незалежність.

Приклад$\PageIndex{3}$: One to One and Independence

$W$Дозволяти$V$ і бути векторні простори і$T: V \mapsto W$ лінійне перетворення. Доведіть,$T$ що якщо один до одного і$\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\}$ є незалежним підмножиною$V$, то$\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}$ є незалежним підмножиною$W$.

Рішення

Нехай$\vec{0}_V$ і$\vec{0}_W$ позначають нульові вектори$V$ і$W$, відповідно. Припустимо, що $$a_1T(\vec{v}_1) + a_2T(\vec{v}_2) +\cdots +a_kT(\vec{v}_k) =\vec{0}_W \nonumber$$ для деяких$a_1, a_2, \ldots, a_k\in\mathbb{R}$. Оскільки лінійні перетворення зберігають лінійні комбінації (додавання і скалярне множення), $$T(a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 +\cdots +a_k\vec{v}_k) =\vec{0}_W. \nonumber$$

Тепер, так як$T$ один до одного$\ker(T)=\{\vec{0}_V\}$, і таким чином $$a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 +\cdots +a_k\vec{v}_k =\vec{0}_V. \nonumber$$

Однак$\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\}$ є незалежним так$a_1=a_2=\cdots=a_k=0$. Тому$\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}$ є незалежним.

Аналогічна претензія може бути висунута щодо перетворень. У цьому випадку перетворення на зберігає охоплюючий набір.

Приклад$\PageIndex{4}$: Onto and Spanning

$W$Дозволяти$V$ і бути векторні простори і$T:V\to W$ лінійне перетворення. Доведіть,$T$ що якщо на і$V=span\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\}$, то $$W=span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}.\nonumber$$

Рішення

Припустимо, що$T$ це на і нехай$\vec{w}\in W$. Тоді існує$\vec{v}\in V$ таке, що$T(\vec{v})=\vec{w}$. Так як$V=span\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k\}$, існують$a_1, a_2, \ldots a_k\in\mathbb{R}$ такі, що$\vec{v} = a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + \cdots + a_k\vec{v}_k$. Використовуючи те, що$T$ є лінійним перетворенням, $$\begin{aligned} \vec{w} =T(\vec{v}) & = T(a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + \cdots + a_k\vec{v}_k) \\ & = a_1T(\vec{v}_1) + a_2T(\vec{v}_2) + \cdots + a_kT(\vec{v}_k),\end{aligned}$$ тобто$\vec{w}\in span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}$, і таким чином $$W\subseteq span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}. \nonumber$$

Так як$T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\in W$, випливає з того$span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}\subseteq W$, а значить$W=span\{T(\vec{v}_1), T(\vec{v}_2), \ldots, T(\vec{v}_k)\}$.

ізоморфізми

У цьому розділі основна увага приділяється лінійним перетворенням, які є як один до одного, так і на. Коли це так, ми називаємо трансформацію ізоморфізмом.

Визначення$\PageIndex{3}$: Isomorphism

$W$Дозволяти$V$ і бути два векторні простори і нехай$T: V \mapsto W$ бути лінійним перетворенням. Потім$T$ називається ізоморфізмом, якщо виконуються наступні дві умови.

• $T$один до одного.
• $T$знаходиться на.

Визначення$\PageIndex{4}$: Isomorphic

$W$Дозволяти$V$ і бути два векторні простори і нехай$T: V \mapsto W$ бути лінійним перетворенням. Тоді якщо$T$ це ізоморфізм, ми говоримо, що$V$ і$W$ є ізоморфними.

Розглянемо наступний приклад ізоморфізму.

Приклад$\PageIndex{5}$: Isomorphism

$T:\mathbb{M}_{22}\to\mathbb{R}^4$Дозволяти визначатися $$T \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \left[ \begin{array}{c} a\\ b\\ c \\ d \end{array} \right] \mbox{ for all } \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] \in\mathbb{M}_{22}.\nonumber$$ Шоу, що$T$ є ізоморфізмом.

Рішення

Зверніть увагу, що якщо ми можемо довести, що$T$ це ізоморфізм, це буде означати, що$\mathbb{M}_{22}$ і$\mathbb{R}^4$ є ізоморфними. Залишилося довести, що

1. $T$є лінійним перетворенням;
2. $T$є один-на-один;
3. $T$знаходиться на.

$T$є лінійним:$k,p$ Дозволяти скалярам.

$$\begin{aligned} T \left( k \left[\begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{array}\right] + p \left[\begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{array}\right] \right) &= T \left( \left[\begin{array}{cc} k a_1 & k b_1 \\ k c_1 & k d_1 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} p a_2 & p b_2 \\ p c_2 & p d_2 \end{array}\right] \right) \\ &= T \left( \left[\begin{array}{cc} k a_1 + p a_2 & k b_1 + p b_2 \\ k c_1 + p c_2& k d_1 + p d_2 \end{array}\right] \right) \\ &= \left[ \begin{array}{c} k a_1 + p a_2 \\ k b_1 + p b_2 \\ k c_1 + p c_2 \\ k d_1 + p d_2 \end{array}\right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} k a_1 \\ k b_1 \\ k c_1 \\ k d_1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} p a_2 \\ p b_2 \\ p c_2 \\ p d_2 \end{array} \right] \\ &= k \left[ \begin{array}{c} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \\ d_1 \end{array} \right] + p \left[ \begin{array}{c} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \\ d_2 \end{array} \right] \\ &= k T \left(\left[\begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{array}\right] \right) + p T \left(\left[\begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{array}\right] \right)\end{aligned}$$

Тому$T$ є лінійним.

$T$один до одного: Лемма$\PageIndex{1}$ ми повинні показати, що якщо$T(A) = 0$ тоді$A = 0$ для якоїсь матриці$A \in \mathbb{M}_{22}$. $$T\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c \\ d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\nonumber$$

Це явно відбувається лише тоді$a=b=c=d=0$, коли це означає, що $$A = \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] = 0\nonumber$$

Отже$T$, один до одного.

$T$знаходиться на: Нехай

$$\vec{x}=\left[\begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{array}\right]\in\mathbb{R}^4, \nonumber$$ і визначити матрицю$A\in\mathbb{M}_{22}$ наступним чином: $$A=\left[\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right]. \nonumber$$

Потім$T(A)=\vec{x}$, і, отже,$T$ знаходиться на.

Оскільки$T$ є лінійним перетворенням, яке є один до одного і на,$T$ є ізоморфізмом. Звідси$\mathbb{M}_{22}$ і$\mathbb{R}^4$ є ізоморфними.

Важливою властивістю ізоморфізмів є те, що зворотний ізоморфізм сам по собі є ізоморфізмом і склад ізоморфізмів - ізоморфізм. Насамперед нагадаємо визначення складу.

Визначення$\PageIndex{5}$: Composition of Transformations

$V, W, Z$Дозволяти векторні простори і припустимо$T: V \mapsto W$ і$S: W \mapsto Z$ є лінійними перетвореннями. Тоді композит$S$ $$S \circ T: V \mapsto Z\nonumber$$ і$T$ є і визначається $$(S \circ T) (\vec{v}) = S(T(\vec{v})) \mbox{ for all } \vec{v} \in V\nonumber$$

Розглянемо тепер наступну пропозицію.

Пропозиція$\PageIndex{1}$: Composite and Inverse Isomorphism

Нехай$T:V\rightarrow W$ буде ізоморфізм. Потім$T^{-1}:W\rightarrow V$ ще й ізоморфізм. Крім того, якщо$T:V\rightarrow W$ це ізоморфізм, а якщо$S:W\rightarrow Z$ ізоморфізм для векторних просторів,$V,W,Z,$ то$S\circ T$$\left( S\circ T\right) \left( v\right) = S\left( T\left( v\right) \right)$ визначається також ізоморфізмом.

Доказ

Розглянемо першу претензію. Оскільки$T$ є на, типовий вектор$W$ in має форму$T(\vec{v})$ де$\vec{v} \in V$. Розглянемо тоді для$a,b$ скалярів, $$T^{-1}\left( aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\right)\nonumber$$ де$\vec{v}_{1}, \vec{v}_2 \in V$. Розглянемо, якщо це$T$ дорівнює $$aT^{-1}\left( T(\vec{v}_{1})\right) +bT^{-1}\left( T(\vec{v}_{2})\right) =a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}?\nonumber$$ Оскільки один до одного, це буде так, якщо $$T\left( a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}\right) =T\left( T^{-1}\left( aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\right) \right) =aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\nonumber$$ Однак вищевказане твердження є лише умовою, яка$T$ є лінійною картою. Таким$T^{-1}$ чином, дійсно лінійна карта. Якщо$\vec{v} \in V$ дано, то$\vec{v}=T^{-1}\left( T(\vec{v})\right)$ і$T^{-1}$ так далі. Якщо$T^{-1}(\vec{v})=\vec{0},$ тоді $$\vec{v}=T\left( T^{-1}(\vec{v})\right) =T(\vec{0})=\vec{0}\nonumber$$ і так$T^{-1}$ один до одного.

Далі припустимо$T$ і$S$ знаходяться, як описано. Чому$S\circ T$ лінійна карта? Нехай для$a,b$ скалярів, $$\begin{aligned} S\circ T\left( a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}\right) &\equiv S\left( T\left( a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}\right) \right) =S\left( aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\right) \\ &=aS\left( T(\vec{v}_{1})\right) +bS\left( T(\vec{v}_{2})\right) \equiv a\left( S\circ T\right) \left( \vec{v}_{1}\right) +b\left( S\circ T\right) \left( \vec{v}_{2}\right)\end{aligned}$$ Отже$S\circ T$, лінійна карта. Якщо$\left( S\circ T\right) \left( \vec{v}\right) =0,$ потім$S\left( T\left( \vec{v} \right) \right) =\vec{0}$ і випливає, що$T(\vec{v})=\vec{0}$ і, отже, цією лемою знову,$\vec{v}=\vec{0}$. Таким$S\circ T$ чином, один до одного. Залишилося переконатися, що він знаходиться на. Нехай$\vec{z}\in Z$. Тоді, оскільки$S$ є на, існує$\vec{w}\in W$ таке, що$S(\vec{w})=\vec{z}.$ Також, оскільки$T$ є на, існує$\vec{v}\in V$ таке, що$T(\vec{v})=\vec{w}.$ Випливає, що$S\left( T\left( \vec{v}\right) \right) =\vec{z}$ і так$S\circ T$ є також на.

Припустимо, ми говоримо, що два векторних простору$V$ і$W$ пов'язані, якщо існує ізоморфізм одного до іншого, записаний як$V\sim W$. Тоді вищевказана пропозиція говорить про те, що$\sim$ це відношення еквівалентності. Тобто:$\sim$ задовольняє наступним умовам:

• $V\sim V$
• Якщо$V\sim W,$ випливає, що$W\sim V$
• Якщо$V\sim W$ і$W\sim Z,$ тоді$V\sim Z$

Ми залишаємо доказ цього читачеві.

Наступна фундаментальна лема описує зв'язок між базами і ізоморфізмами.

Лемма$\PageIndex{2}$: Bases and Isomorphisms

$T:V\rightarrow W$Дозволяти лінійна карта, де$V,W$ векторні простори. Тоді лінійне перетворення$T$, яке є одним до одного, має властивість,$\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{k}\right\}$ що якщо лінійно незалежна, то так і є$\left\{ T(\vec{u}_{1}),\cdots ,T(\vec{u}_{k})\right\}$. Більш загально,$T$ це ізоморфізм, якщо і тільки тоді, коли коли$\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}$ є основою для$V,$ цього випливає, що$\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}$ є основою для$W$.

Доказ

По-перше, припустимо, що$T$ це лінійна карта і один до одного і$\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{k}\right\}$ лінійно незалежна. Потрібно показати, що також$\left\{ T(\vec{u}_{1}),\cdots ,T(\vec{u}_{k})\right\}$ лінійно незалежний. Припустимо, що $$\sum_{i=1}^{k}c_{i}T(\vec{u}_{i})=\vec{0}\nonumber$$ тоді, оскільки$T$ є лінійним, $$T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{u}_{i}\right) =\vec{0}\nonumber$$ Так як$T$ один до одного, випливає, що $$\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{u}_{i}=0\nonumber$$ Тепер той факт,$\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{n}\right\}$ що лінійно незалежний означає, що кожен$c_{i}=0$. Отже$\left\{ T(\vec{u} _{1}),\cdots ,T(\vec{u}_{n})\right\}$, лінійно незалежний.

Тепер припустимо, що$T$ це ізоморфізм і$\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{ v}_{n}\right\}$ є основою для$V$. Просто було показано, що$\left\{ T(\vec{v} _{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}$ є лінійно незалежним. Залишається переконатися, що проміжок$\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}$ є все з$W$. Це де$T$ використовується ono. Якщо$\vec{w}\in W,$ існує$\vec{v}\in V$ таке, що$T(\vec{v})=\vec{w}$. Оскільки$\left\{ \vec{v} _{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}$ це основа, випливає, що існують скаляри$\left\{ c_{i}\right\} _{i=1}^{n}$ такі, що $$\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\vec{v}.\nonumber$$ Отже, $$\vec{w}=T(\vec{v})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}c_{i}T\vec{v}_{i}\nonumber$$ який показує, що проміжок цих векторів$\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T (\vec{v}_{n})\right\}$ - це все$W$ показує, що цей набір векторів є основою для$W$.

Далі припустимо, що$T$ це лінійна карта, яка бере основу до основи. Тоді для$\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}$ основи для$V,$ цього слід$\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}$ основа для$W.$ Тоді, якщо$w\in W,$ існують скаляри$c_{i}$ такі, що$w=\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right)$ показують, що$T$ є на. Якщо$T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =0$ тоді$\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=\vec{0}$ і оскільки вектори лінійно$\left\{ T(\vec{v} _{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}$ незалежні, то випливає, що кожен$c_{i}=0.$ Since$\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}$ є типовим вектором в$V$, це показало, що якщо$T(\vec{v})=0$ тоді$\vec{v}=\vec{0}$ і так$T$ також один до одного. Таким чином$T$ відбувається ізоморфізм.

Наступна теорема ілюструє дуже корисну ідею для визначення ізоморфізму. В основному, якщо ви знаєте, що він робить з основою, то ви можете побудувати ізоморфізм.

Теорема$\PageIndex{1}$: Isomorphic Vector Spaces

Припустимо$W$,$V$ і є двома векторними просторами. Тоді два векторні простори ізоморфні тоді і лише тоді, коли вони мають однакову розмірність. У разі, якщо два векторних простору мають однакову розмірність, то для лінійного перетворення$T:V\rightarrow W$ наступні еквівалентні.

1. $T$один до одного.
2. $T$знаходиться на.
3. $T$це ізоморфізм.

Доказ

Припустимо, спочатку ці два векторні простори мають однакову розмірність. Нехай основа для$V$ бути$\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}$ і нехай основа для$W$ бути$\left\{ \vec{w}_{1},\cdots ,\vec{w}_{n}\right\}$. Тепер визначте$T$ наступним чином. $$T(\vec{v}_{i})=\vec{w}_{i}\nonumber$$ для$\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}$ довільного вектора$V,$ $$T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n}c_{i}T (\vec{v}_{i})=\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}.\nonumber$$ необхідно переконатися, що це чітко визначено. Припустимо $$\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{v}_{i}\nonumber$$ тоді, що Тоді $$\sum_{i=1}^{n}\left( c_{i}-\hat{c}_{i}\right) \vec{v}_{i}=0\nonumber$$ і так як$\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}$ є основою,$c_{i}=\hat{c}_{i}$ для кожного$i$. Звідси $$\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}=\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{w}_{i}\nonumber$$ і так відображення чітко визначено. Також якщо$a,b$ скаляри, $$\begin{aligned} T\left( a\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}+b\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{v} _{i}\right) &=T\left( \sum_{i=1}^{n}\left( ac_{i}+b\hat{c}_{i}\right) \vec{v }_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}\left( ac_{i}+b\hat{c}_{i}\right) \vec{w}_{i} \\ &=a\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}+b\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{w}_{i} \\ &=aT\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) +bT\left( \sum_{i=1}^{n} \hat{c}_{i}\vec{v}_{i}\right)\end{aligned}$$ Таким$T$ чином, лінійна карта.

Тепер, якщо $$T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w} _{i}=\vec{0},\nonumber$$ тоді, оскільки$\left\{ \vec{w}_{1},\cdots ,\vec{w}_{n}\right\}$ вони незалежні, кожен$c_{i}=0$ і так$\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\vec{0}$ само. Отже$T$, один до одного. Якщо$\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}$ вектор в$W,$ то він дорівнює $$\sum_{i=1}^{n}c_{i}T\vec{v}_{i}=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right)\nonumber$$ показуючи,$T$ що також на. Звідси$T$ є ізоморфізм і так$V$ і$W$ є ізоморфними.

Далі припустимо, що ці два векторні простори ізоморфні. $T$Дозволяти назву ізоморфізму. Тоді для$\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}$ основи для$V$, випливає, що основа для$W$$\left\{ T\vec{v}_{1},\cdots ,T\vec{v}_{n}\right\}$ показує, що два векторні простори мають однакову розмірність.

Тепер припустимо, що два векторні простори мають однакову розмірність.

Спочатку розглянемо твердження, що$1.)\Rightarrow 2.).$ Якщо$T$ один до одного, то якщо$\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v} _{n}\right\}$ є підставою для$V,$$\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v }_{n})\right\}$ то лінійно незалежним. Якщо це не основа, то вона повинна вийти з ладу$W$. Але тоді існувало б$\vec{w}\notin span \left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}$ і випливає, що$\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n}),\vec{w}\right\}$ було б лінійно незалежним, що неможливо, тому що існує основа для$W$$n$ векторів. Звідси $$span\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v} _{n})\right\} =W\nonumber$$ і так$\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}$ є основою. Отже, якщо$\vec{w}\in W,$ існують скаляри$c_{i}$ такі, що $$\vec{w}=\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v} _{i}\right)\nonumber$$ показують, що$T$ є на. Це свідчить про те, що$1.)\Rightarrow 2.).$

Далі розглянемо твердження, що$2.)\Rightarrow 3.).$ Оскільки$2.)$ тримає, випливає, що$T$ знаходиться на. Залишається переконатися,$T$ що один до одного. Оскільки$T$ є на, існує основа форми$\left\{ T(\vec{v}_{i}),\cdots ,T (\vec{v}_{n})\right\} .$ Якщо$\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}$ лінійно незалежний, то цей набір векторів також повинен бути основою для$V$ тому, що якщо ні,$\vec{u}\notin span\left\{ \vec{ v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}$ існував би лінійно незалежний набір, який неможливо, тому що за припущенням,$\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v} _{n},\vec{u}\right\}$ існує основа, яка має$n$ вектори. Так чому ж$\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}$ лінійно незалежний? Припустимо, $$\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\vec{0}\nonumber$$ тоді $$\sum_{i=1}^{n}c_{i}T\vec{v}_{i}=\vec{0}\nonumber$$ Отже, кожен$c_{i}=0$ і так, як тільки що обговорювалося,$\left\{ \vec{v}_{1},\cdots , \vec{v}_{n}\right\}$ є основою для$V$. Тепер випливає, що типовий вектор в$V$ має вигляд$\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}$. Якщо$T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\vec{0},$ випливає, що $$\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=\vec{0}\nonumber$$ і так, оскільки$\left\{ T(\vec{v}_{i}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}$ є незалежним, то слід за кожним$c_{i}=0$ і звідси$\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v} _{i}=\vec{0}$. Таким$T$ чином, один до одного, а також на і так це ізоморфізм.

Якщо$T$ це ізоморфізм, це як один до одного, так і на за визначенням, так що$3.)$ означає обидва$1.)$ і$2.)$.

Зверніть увагу на цікавий спосіб визначення лінійного перетворення в першій частині аргументу, описуючи те, що він робить до основи, а потім «розширюючи його лінійно».

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{6}$

Нехай$V=\mathbb{R}^{3}$ і нехай$W$ позначають многочлени ступеня не більше 2. Показати, що ці два векторні простори ізоморфні.

Рішення

По-перше, зауважте, що основа для$W$ є$\left\{ 1,x,x^{2}\right\}$ і основа для$V$ є$\left\{ \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\right\} .$ Оскільки ці два мають однаковий вимір, два є ізоморфними. Приклад ізоморфізму такий:

$$T(\vec{e}_{1})=1,T(\vec{e}_{2})=x,T(\vec{e}_{3})=x^{2}\nonumber$$ і розширювати$T$ лінійно, як у наведеному вище доказі. Таким чином $$T\left( a,b,c\right) =a+bx+cx^{2}\nonumber$$