5.6: Ізоморфізми
- Page ID
- 63077
- Визначте, чи є лінійне перетворення ізоморфізмом.
- Визначте, чи\(\mathbb{R}^n\) є два підпростори ізоморфними.
Нагадаємо визначення лінійного перетворення. \(V\)\(W\)Дозволяти і бути два\(\mathbb{R}^{n}\) підпростори і\(\mathbb{R}^{m}\) відповідно. Відображення\(T:V\rightarrow W\) називається лінійним перетворенням або лінійною картою, якщо воно зберігає алгебраїчні операції додавання та скалярного множення. Зокрема, якщо\(a,b\) скаляри і\(\vec{x},\vec{y}\) вектори,
\[T\left( a\vec{x}+b\vec{y}\right) =aT(\vec{x})+bT(\vec{y})\nonumber \]
Розглянемо наступне важливе визначення.
Лінійна карта\(T\) називається ізоморфізмом, якщо виконуються наступні дві умови.
- \(T\)один до одного. Тобто, якщо\(T(\vec{x})=T(\vec{y}),\) тоді\(\vec{x}=\vec{y}.\)
- \(T\)знаходиться на. Тобто, якщо\(\vec{w}\in W,\) існує\(\vec{v}\in V\) таке, що\(T(\vec{v})=\vec{w}\).
Два таких підпростори, які мають ізоморфізм, як описано вище, вважаються ізоморфними.
Розглянемо наступний приклад ізоморфізму.
\(T: \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2\)Дозволяти визначатися\[T \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} x + y \\ x - y \end{array} \right ] \nonumber\] Шоу, що\(T\) є ізоморфізмом.
Рішення
Щоб довести, що\(T\) це ізоморфізм, ми повинні показати.
- \(T\)є лінійним перетворенням;
- \(T\)один до одного;
- \(T\)знаходиться на.
Діємо наступним чином.
- \(T\)є лінійним перетворенням:
\(k, p\)Дозволяти скалярам. \[\begin{aligned} T \left( k \left [ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right ] + p \left [ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right ] \right) &= T \left( \left [ \begin{array}{c} kx_1 \\ ky_1 \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{c} px_2 \\ py_2 \end{array} \right ] \right) \\ &= T \left( \left [ \begin{array}{c} kx_1 + px_2 \\ ky_1 + py_2 \end{array} \right ] \right) \\ &= \left [ \begin{array}{c} (kx_1 + px_2) + (ky_1 + py_2) \\ (kx_1 + px_2) - (ky_1 + py_2) \end{array} \right ] \\ &= \left [ \begin{array}{c} (kx_1 + ky_1) + (px_2 + py_2) \\ (kx_1 - ky_1) + (px_2 - py_2) \end{array} \right ] \\ &= \left [ \begin{array}{c} kx_1 + ky_1 \\ kx_1 - ky_1 \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{c} px_2 + py_2 \\ px_2 - py_2 \end{array} \right ] \\ &= k \left [ \begin{array}{c} x_1 + y_1 \\ x_1 - y_1 \end{array} \right ] + p \left [ \begin{array}{c} x_2 + y_2 \\ x_2 - y_2 \end{array} \right ] \\ &= k T \left( \left [ \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right ] \right) + p T \left( \left [ \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right ] \right)\end{aligned}\]
Тому\(T\) є лінійним.
- \(T\)один до одного:
Потрібно показати, що якщо\(T (\vec{x}) = \vec{0}\) для вектора\(\vec{x} \in \mathbb{R}^2\), то з цього випливає\(\vec{x} = \vec{0}\). Нехай\(\vec{x} = \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ]\).
\[T \left( \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] \right) = \left [ \begin{array}{c} x + y\\ x - y \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber \]Це забезпечує систему рівнянь, заданих\[\begin{aligned} x + y &= 0\\ x - y &= 0\end{aligned}\] Ви можете перевірити, що рішення цієї системи якщо\(x = y =0\). Тому\[\vec{x} = \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber \] і\(T\) є один до одного.
- \(T\)знаходиться на:
\(a,b\)Дозволяти скалярам. Ми хочемо перевірити, чи завжди є рішення для\[T \left( \left [ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ] \right) = \left [ \begin{array}{c} x + y\\ x - y \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right ]\nonumber\]
Це можна представити у вигляді системи рівнянь.\[\begin{aligned} x + y &= a\\ x - y &= b\end{aligned}\]
Налаштування розширеної матриці та зменшення рядків дає\[\left [ \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & a \\ 1 & -1 & b \end{array} \right ] \rightarrow \cdots \rightarrow \left [ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{a+b}{2} \\ 0 & 1 & \frac{a-b}{2} \end{array} \right ]\nonumber\] Це має рішення для всіх\(a,b\) і, отже,\(T\) знаходиться на.
Тому\(T\) є ізоморфізм.
Важливою властивістю ізоморфізмів є те, що його зворотним є також ізоморфізм.
\(T:V\rightarrow W\)Дозволяти бути ізоморфізм і\(V,W\) бути підпростори\(\mathbb{R}^n\). Потім\(T^{-1}:W\rightarrow V\) ще й ізоморфізм.
- Доказ
-
Нехай\(T\) буде ізоморфізм. Оскільки\(T\) є на, типовий вектор\(W\) in має форму\(T(\vec{v})\) де\(\vec{v} \in V\). Розглянемо тоді для\(a,b\) скалярів,\[T^{-1}\left( aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\right)\nonumber\] де\(\vec{v}_{1}, \vec{v}_2 \in V\). Це дорівнює\[aT^{-1}\left( T (\vec{v}_{1})\right) +bT^{-1}\left( T(\vec{v}_{2})\right) =a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}?\nonumber\] Оскільки один до одного,\(T\) це буде так, якщо\[T\left( a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}\right) =T\left( T^{-1}\left( aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2})\right) \right) =aT(\vec{v}_{1})+bT(\vec{v}_{2}).\nonumber\] Однак вищевказане твердження є лише умовою, яка\(T\) є лінійною картою. Таким\(T^{-1}\) чином, дійсно лінійна карта. Якщо\(\vec{v} \in V\) дано, то\(\vec{v}=T^{-1}\left( T(\vec{v})\right)\) і\(T^{-1}\) так далі. Якщо\(T^{-1} (\vec{v})=0,\) тоді\[\vec{v}=T\left( T^{-1}(\vec{v})\right) =T(\vec{0})=\vec{0}\nonumber\] і так\(T^{-1}\) один до одного.
Ще одним важливим результатом є те, що склад множинних ізоморфізмів також є ізоморфізмом.
\(T:V\rightarrow W\)\(S:W\rightarrow Z\)Дозволяти і бути ізоморфізми\(V,W,Z\), де є підпростори\(\mathbb{R}^n\). Тоді\(S\circ T\)\(\left( S\circ T\right) \left( \vec{v} \right) = S\left( T\left( \vec{v} \right) \right)\) визначається також ізоморфізм.
- Доказ
-
Припустимо\(T:V\rightarrow W\) і\(S:W\rightarrow Z\) є ізоморфізмами. Чому\(S\circ T\) лінійна карта? Для\(a,b\) скалярів,
\[\begin{aligned} S\circ T\left( a\vec{v}_{1}+b(\vec{v}_{2})\right) &= S\left( T\left(a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}\right) \right) =S\left( aT\vec{v}_{1}+bT\vec{v}_{2}\right) \\ &=aS\left( T\vec{v}_{1}\right) +bS\left( T\vec{v}_{2}\right) = a\left( S\circ T\right) \left( \vec{v}_{1}\right) +b\left( S\circ T\right) \left( \vec{v}_{2}\right)\end{aligned}\nonumber\]
\(S\circ T\)Звідси і лінійна карта. Якщо\(\left( S\circ T\right) \left( \vec{v} \right) =0,\) потім\(S\left( T\left( \vec{v} \right) \right) =0\) і випливає, що\(T(\vec{v})=\vec{0}\) і, отже, цією лемою знову,\(\vec{v}=\vec{0}\). Таким\(S\circ T\) чином, один до одного. Залишилося переконатися, що він знаходиться на. Нехай\(\vec{z} \in Z\). Тоді, оскільки\(S\) є на, існує\(\vec{w} \in W\) таке, що\(S(\vec{w})=\vec{z}.\) Також, оскільки\(T\) є на, існує\(\vec{v}\in V\) таке, що\(T(\vec{v})=\vec{w}.\) Випливає, що\(S\left( T\left( \vec{v}\right) \right) =\vec{z}\) і так\(S\circ T\) є також на.
Розглянемо два\(V\) підпростори і\(W\), і припустимо, що існує ізоморфізм відображення один на інший. Таким чином, два підпростори пов'язані, які ми можемо написати як\(V \sim W\). Тоді попередні дві пропозиції разом стверджують, що\(\sim\) це відношення еквівалентності. Тобто:\(\sim\) задовольняє наступним умовам:
- \(V\sim V\)
- Якщо\(V\sim W,\) випливає, що\(W\sim V\)
- Якщо\(V\sim W\) і\(W\sim Z,\) тоді\(V\sim Z\)
Перевірку цих умов залишаємо як вправу.
Розглянемо наступний приклад.
\(T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}\)Дозволяти визначатися\(T(\vec{x}) = A(\vec{x})\) де\(A\) є оборотна\(n\times n\) матриця. Потім\(T\) йде ізоморфізм.
Рішення
Причина цього полягає в тому, що, оскільки\(A\) є оборотним, єдиним вектором, який він посилає,\(\vec{0}\) є нульовий вектор. Звідси\(A(\vec{x})=A(\vec{y}),\), якщо тоді\(A\left( \vec{x}-\vec{y}\right) =\vec{0}\) і так\(\vec{x}=\vec{y}\). Це на тому, що якщо
\[\vec{y}\in \mathbb{R}^{n},A\left( A^{-1} (\vec{y})\right) =\left( AA^{-1}\right) (\vec{y}) =\vec{y}. \nonumber\]
Насправді всі ізоморфізми від\(\mathbb{R}^{n}\) до\(\mathbb{R}^{n}\) можуть бути виражені як\(T(\vec{x}) = A(\vec{x})\) де\(A\) знаходиться оборотна\(n \times n\) матриця. Один просто розглядає матрицю,\(i^{th}\) стовпець якої є\(T\vec{e}_{i}\).
Нагадаємо, що основою підпростору\(V\) є набір лінійно незалежних векторів, які охоплюють\(V\). Наступна фундаментальна лема описує зв'язок між базами і ізоморфізмами.
\(T:V\rightarrow W\)Дозволяти лінійне перетворення, де\(V,W\) є підпростори\(\mathbb{R}^n\). Якщо\(T\) один до одного, то він має властивість, що якщо\(\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{k}\right\}\) лінійно незалежний, так і є\(\left\{ T(\vec{u}_{1}),\cdots ,T(\vec{u}_{k})\right\}\).
Більш загально,\(T\) це ізоморфізм, якщо і тільки тоді, коли коли\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) є основою для\(V,\) цього випливає, що\(\left\{ T (\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) є основою для\(W\).
- Доказ
-
По-перше, припустимо, що\(T\) це лінійне перетворення і є один до одного і\(\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{k}\right\}\) лінійно незалежним. Потрібно показати, що також\(\left\{ T(\vec{u}_{1}),\cdots ,T(\vec{ u}_{k})\right\}\) лінійно незалежний. Припустимо, що\[\sum_{i=1}^{k}c_{i}T(\vec{u}_{i})=\vec{0}\nonumber\] тоді, оскільки\(T\) є лінійним,\[T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{u}_{i}\right) =\vec{0}\nonumber\] Так як\(T\) один до одного, випливає, що\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{u}_{i}=0\nonumber\] Тепер той факт,\(\left\{ \vec{u}_{1},\cdots ,\vec{u}_{n}\right\}\) що лінійно незалежний означає, що кожен\(c_{i}=0\). Отже\(\left\{ T(\vec{u} _{1}),\cdots ,T(\vec{u}_{n})\right\}\), лінійно незалежний.
Тепер припустимо, що\(T\) це ізоморфізм і\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{ v}_{n}\right\}\) є основою для\(V\). Просто було показано, що\(\left\{ T(\vec{v} _{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) є лінійно незалежним. Залишилося перевірити, що проліт\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}=W\). Якщо\(\vec{w}\in W,\) тоді, так як\(T\) є на існує\(\vec{v}\in V\) таке, що\(T(\vec{v})=\vec{w}\). Оскільки\(\left\{ \vec{v} _{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) це основа, випливає, що існують скаляри\(\left\{ c_{i}\right\} _{i=1}^{n}\) такі, що\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\vec{v}.\nonumber \] Отже,\[\vec{w}=T(\vec{v})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})\nonumber \] випливає, що проміжок\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots , T(\vec{v}_{n})\right\} =W\) показує, що цей набір векторів є основою для\(W\).
Далі припустимо, що\(T\) це лінійне перетворення, яке бере основу до основи. Це означає, що якщо\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) є основою для\(V,\) цього слід\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) є основою для\(W.\) Тоді, якщо\(w\in W,\) існують скаляри\(c_{i}\) такі, що\(w=\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right)\) показують, що\(T\) знаходиться на. Якщо\(T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\vec{0}\) тоді\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=\vec{0}\) і оскільки вектори лінійно\(\left\{ T(\vec{v} _{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) незалежні, то випливає, що кожен\(c_{i}=0.\) Since\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\) є типовим вектором в\(V\), це показало, що якщо\(T(\vec{v})=\vec{0}\) тоді\(\vec{v}=\vec{0}\) і так\(T\) також один до одного. Таким чином\(T\) відбувається ізоморфізм.
Наступна теорема ілюструє дуже корисну ідею для визначення ізоморфізму. В основному, якщо ви знаєте, що він робить з основою, то ви можете побудувати ізоморфізм.
Припустимо\(W\),\(V\) і є двома підпросторами\(\mathbb{R}^n\). Тоді два підпростори ізоморфні тоді і лише тоді, коли вони мають однакову розмірність. У випадку, якщо два підпростори мають однакову розмірність, то для лінійної карти\(T:V\rightarrow W\) наступні еквівалентні.
- \(T\)один до одного.
- \(T\)знаходиться на.
- \(T\)це ізоморфізм.
- Доказ
-
Припустимо спочатку, що ці два підпростори мають однакову розмірність. Нехай основа для\(V\) бути\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) і нехай основа для\(W\) бути\(\left\{ \vec{w}_{1},\cdots ,\vec{w}_{n}\right\}\). Тепер визначте\(T\) наступним чином. \[T(\vec{v}_{i})=\vec{w}_{i}\nonumber\]для\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\) довільного вектора\(V,\)\[T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n}c_{i}T \vec{v}_{i}=\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}.\nonumber\] необхідно переконатися, що це чітко визначено. Припустимо\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{v}_{i}\nonumber\] тоді, що Тоді\[\sum_{i=1}^{n}\left( c_{i}-\hat{c}_{i}\right) \vec{v}_{i}=\vec{0}\nonumber\] і так як\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) є основою,\(c_{i}=\hat{c}_{i}\) для кожного\(i\). Звідси\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}=\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{w}_{i}\nonumber\] і так відображення чітко визначено. Також якщо\(a,b\) є скалярами,\[\begin{aligned} T\left( a\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}+b\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{v}_{i}\right) &=T\left( \sum_{i=1}^{n}\left( ac_{i}+b\hat{c}_{i}\right) \vec{v}_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}\left( ac_{i}+b\hat{c}_{i}\right) \vec{w}_{i} \\ &=a\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}+b\sum_{i=1}^{n}\hat{c}_{i}\vec{w}_{i} \\ &=aT\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) +bT\left( \sum_{i=1}^{n} \hat{c}_{i}\vec{v}_{i}\right)\end{aligned}\] Таким чином,\(T\) є лінійним перетворенням.
Тепер, якщо\[T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}=\vec{0},\nonumber \] тоді, оскільки\(\left\{ \vec{w}_{1},\cdots ,\vec{w}_{n}\right\}\) вони незалежні, кожен\(c_{i}=0\) і так\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\vec{0}\) само. Отже\(T\), один до одного. Якщо\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{w}_{i}\) вектор в\(W,\) то він дорівнює\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right)\nonumber \] показуючи,\(T\) що також на. Звідси\(T\) є ізоморфізм і так\(V\) і\(W\) є ізоморфними.
Далі припустимо,\(T:V \mapsto W\) це ізоморфізм, тому ці два підпростори ізоморфні. Тоді для\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v}_{n}\right\}\) основи для\(V\), випливає, що основа для\(W\)\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) показує, що два підпростори мають однаковий вимір.
Тепер припустимо, що два підпростори мають однаковий вимір. Розглянемо три заявлені еквіваленти.
Спочатку розглянемо твердження, що\(1.)\Rightarrow 2.).\)\(T\) If один до одного, і якщо\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v} _{n}\right\}\) є підставою для\(V,\)\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v }_{n})\right\}\) то лінійно незалежний. Якщо це не основа, то вона повинна вийти з ладу\(W\). Але тоді існувало б\(\vec{w}\notin \mathrm{span} \left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) і випливає, що\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n}),\vec{w} \right\}\) було б лінійно незалежним, що неможливо, тому що існує основа для\(W\)\(n\) векторів.
Звідси\(\mathrm{span}\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\} =W\) і так\(\left\{ T(\vec{v}_{1}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) є основою. Якщо\(\vec{w}\in W,\) існують скаляри\(c_{i}\) такі, що\[\vec{w}=\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v} _{i}\right)\nonumber \] показують, що\(T\) є на. Це свідчить про те, що\(1.)\Rightarrow 2.).\)
Далі розглянемо твердження, що\(2.)\Rightarrow 3.).\) Оскільки\(2.)\) тримає, випливає, що\(T\) знаходиться на. Залишається переконатися,\(T\) що один до одного. Оскільки\(T\) є на, існує основа форми\(\left\{ T(\vec{v}_{i}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\} .\) Потім випливає, що\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots , \vec{v}_{n}\right\}\) є лінійно незалежним. Припустимо,\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}=\vec{0}\nonumber\] тоді\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=\vec{0}\nonumber\] Отже, кожен\(c_{i}=0\) і так,\(\left\{ \vec{v}_{1},\cdots ,\vec{v} _{n}\right\}\) є основою для\(V\). Тепер випливає, що типовий вектор в\(V\) має вигляд\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\). Якщо\(T\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v}_{i}\right) =\vec{0},\) випливає, що\[\sum_{i=1}^{n}c_{i}T(\vec{v}_{i})=\vec{0}\nonumber\] і так, оскільки\(\left\{ T(\vec{v}_{i}),\cdots ,T(\vec{v}_{n})\right\}\) є незалежним, то слід за кожним\(c_{i}=0\) і звідси\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{v} _{i}=\vec{0}\). Таким\(T\) чином, один до одного, а також на і так це ізоморфізм.
Якщо\(T\) це ізоморфізм, це як один до одного, так і на за визначенням так\(3.)\) означає і те,\(1.)\) і інше\(2.)\).
Зверніть увагу на цікавий спосіб визначення лінійного перетворення в першій частині аргументу, описуючи те, що він робить до основи, а потім «розширюючи його лінійно» на весь підпростір.
Нехай\(V=\mathbb{R}^{3}\) і нехай\(W\) позначають\[\mathrm{span}\left\{ \left [ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ] ,\left [ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right ] ,\left [ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right ] \right\}\nonumber \] Показати, що\(V\) і\(W\) ізоморфні.
Рішення
Спочатку зауважте, що ці підпростори мають розмірність 3 і тому вони ізоморфні за теоремою\(\PageIndex{1}\). Три вектори, які\(W\) охоплюють, легко розглядаються як лінійно незалежні, роблячи їх стовпцями матриці та рядків, що зменшуються до зменшеної форми рядка-ешелону.
Виявити ізоморфізм цих двох просторів можна наступним чином. \[T(\vec{e}_{1})=\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ], T(\vec{e}_{2})=\left [ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right ], T(\vec{e}_{3})=\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber \]і розширювати лінійно. Нагадаємо, що матриця цього лінійного перетворення - це якраз матриця, яка має ці вектори як стовпці. Таким чином, матриця цього ізоморфізму є\[\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Ви повинні перевірити, що множення ліворуч цією матрицею відтворює заявлений ефект, отриманий в результаті застосування на\(T\).
Розглянемо наступний приклад.
Нехай\(V=\mathbb{R}^{3}\) і нехай\(W\) позначають
\[\mathrm{span}\left\{ \left [ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ] ,\left [ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right ] ,\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right ] \right\}\nonumber \]
\(T: V \mapsto W\)Дозволяти визначатися наступним чином. \[T\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ] ,T\left [ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right ] ,T\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right ]\nonumber \]Знайдіть матрицю цього ізоморфізму\(T\).
Рішення
По-перше, зауважте, що вектори дійсно\[\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] ,\left [ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ] ,\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ]\nonumber \] є основою для того,\(\mathbb{R}^{3}\) як можна побачити, зробивши їх стовпцями матриці та використовуючи зменшену форму рядка-ешелону.
Тепер нагадаємо матрицю матриці,\(A\) яка дає той же ефект, що і\(T.\) Таким чином, від того, як ми множимо матриці,\[A\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Отже,\(T\)\(4\times 3\)\[A=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right ] ^{-1}=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{array} \right ]\nonumber \]
Зверніть увагу, що проміжок стовпців цієї нової матриці повинен бути таким же, як і проміжок векторів, що визначають\(W\).
Ця ідея визначення лінійного перетворення тим, що воно робить на основі, працює для лінійних карт, які не обов'язково є ізоморфізмами.
Дозволяти\(V=\mathbb{R}^{3}\) і\[\mathrm{span}\left\{ \left [ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ] ,\left [ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right ] ,\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right ] \right\}\nonumber \] нехай\(W\) позначають\(T: V \mapsto W\) Дозволяти визначатися наступним чином. \[T\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ] ,T\left [ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right ] ,T\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right ]\nonumber \]Знайдіть матрицю цього лінійного перетворення.
Рішення
Зауважте, що в цьому випадку три вектори, які\(W\) охоплюють не лінійно незалежні. Проте вищевказана процедура все одно спрацює. Міркування такі ж, як і раніше. Якщо\(A\) це матриця, то\[A\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right ]\nonumber \] і так\[A=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right ] ^{-1}=\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right ]\nonumber \]
Стовпці цієї останньої матриці, очевидно, не лінійно незалежні.