5.E: Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Показувати карту$T$:$\mathbb{R}^n → \mathbb{R}^m$ визначено$T (\vec{x}) = A\vec{x}$ де$m\times n$ матриця і$A$$\vec{x}$ є вектором$m\times 1$ стовпця, є лінійним перетворенням.

Відповідь

Цей результат випливає з властивостей множення матриці.

Вправа$\PageIndex{2}$

Показати, що функція,$T_{\vec{u}}$ визначена, також$T_{\vec{u}} (\vec{v}) =\vec{v}−proj_{\vec{u}} (\vec{v})$ є лінійним перетворенням.

Відповідь

$$\begin{aligned}T_{\vec{u}}(a\vec{v}+b\vec{w})&=a\vec{v}+b\vec{w}-\frac{(a\vec{v}+b\vec{w}\bullet\vec{u})}{||\vec{u}||^2}\vec{u} \\ &=a\vec{v}-a\frac{(\vec{v}\bullet\vec{u})}{||\vec{u}||^2}\vec{u}+b\vec{w}-b\frac{(\vec{w}\bullet\vec{u})}{||\vec{u}||^2}\vec{u} \\ &=aT_{\vec{u}}(\vec{v})+bT_{\vec{u}}(\vec{w})\end{aligned}$$

Вправа$\PageIndex{3}$

$\vec{u}$Дозволяти бути фіксованим вектором. Функція,$T_{\vec{u}}$ визначена за допомогою,$T_{\vec{u}}\vec{v} =\vec{u}+\vec{v}$ має ефект перекладу всіх векторів шляхом додавання$\vec{u}\neq\vec{0}$. Покажіть, що це не лінійне перетворення. Поясніть, чому неможливо представити$T_{\vec{u}}$ в$\mathbb{R}^3$ множенні на$3×3$ матрицю.

Відповідь

Лінійні перетворення приймають$\vec{0}$,$\vec{0}$$T$ до яких ні. Також$T_{\vec{a}} (\vec{u}+\vec{v})\neq T_{\vec{a}}\vec{u}+T_{\vec{a}}\vec{v}$.

Вправа$\PageIndex{4}$

Розглянемо наступні функції, які відображаються$\mathbb{R}^n$ на$\mathbb{R}^n$.

1. $T$множить$j$ ту складову$\vec{x}$ на ненульове число$b$.
2. $T$замінює компонент$i$ th$b$ раз на той$j$ компонент, доданий до компонента.$\vec{x}$$i$
3. $T$перемикає$i$$j$ -й і ті компоненти.

Покажіть ці функції лінійних перетворень і опишіть їх матриці$A$ такі, що$T (\vec{x}) = A\vec{x}$.

Відповідь

1. Матриця$T$ - це елементарна матриця, яка множить$j$ діагональний запис матриці ідентичності на$b$.
2. Матриця$T$ - це елементарна матриця, яка займає$b$ 3 рази$j$ від го рядка і додає до$i$ го рядка.
3. Матриця$T$ - це елементарна матриця, яка перемикає$i$ th та$j$ th рядки, де дві складові знаходяться в$i$ th та$j$ th положеннях.

Вправа$\PageIndex{5}$

Вам дається лінійне перетворення$T$:$\mathbb{R}^n → \mathbb{R}^m$ і ви знаєте, що $$T(A_i)=B_i\nonumber$$ де$[A_1\cdots a_n]^{-1}$ існує. Показати, що$T$ матриця має вигляд $$[B_1\cdots B_n][A_1\cdots A_n]^{-1}\nonumber$$

Відповідь

Припустимо $$\left[\begin{array}{c}\vec{c}_1^{T} \\ \vdots \\ \vec{c}_n^T \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots &\vec{a}_n\end{array}\right]^{-1}\nonumber$$ , таким чином$\vec{c}_i^T\vec{a}_j=\delta_{ij}$. Тому $$\begin{aligned} \left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]^{-1}\vec{a}_i&=\left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\vec{c}_1^T \\ \vdots \\ \vec{c}_n^T\end{array}\right]\vec{a}_i\\ &=\left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\vec{e}_i \\ &=\vec{b}_i\end{aligned}$$ Таким чином$T\vec{a}_i=\left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]^{-1}\vec{a}_i=A\vec{a}_i$. Якщо$\vec{x}$ довільна, то так як матриця$\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]$ є оборотною, існує унікальна$\vec{y}$ така, що$\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]\vec{y}=\vec{x}$ Звідси $$T\vec{x}=T\left(\sum\limits_{i=1}^n y_i\vec{a}_i\right)=\sum\limits_{i=1}^n y_iT\vec{a}_i=\sum\limits_{i=1}^n y_iA\vec{a}_i=A\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i\vec{a}_i\right)=A\vec{x}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{6}$

Припустимо,$T$ це лінійне перетворення таке, що $$\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\2\\-6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}5\\1\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\5\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}1\\1\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}5\\3\\-2\end{array}\right]\end{aligned}$$ знайти матрицю$T$. Тобто знайти$A$ таке, що$T(\vec{x}) = A\vec{x}$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{ccc}5&1&5\\1&1&3\\3&5&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}3&2&1\\2&2&1\\4&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}37&17&11 \\ 17&7&5\\11&14&6\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{7}$

Припустимо,$T$ це лінійне перетворення таке, що $$\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\1\\-8\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}1\\3\\1\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\0\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}2\\4\\1\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\3\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}6\\1\\-1\end{array}\right]\end{aligned}$$ знайти матрицю$T$. Тобто знайти$A$ таке, що$T(\vec{x})=A\vec{x}$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{ccc}1&2&6\\3&4&1\\1&1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6&3&1\\5&3&1\\6&2&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}52&21&9\\44&23&8\\5&4&1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{8}$

Припустимо,$T$ це лінійне перетворення таке, що $$\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\3\\-7\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}-3\\1\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}1\\3\\-3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}5\\3\\-3\end{array}\right]\end{aligned}$$ знайти матрицю$T$. Тобто знайти$A$ таке, що$T(\vec{x})=A\vec{x}$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{ccc}-3&1&5\\1&3&3\\3&-3&-3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2&2&1\\1&2&1\\4&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}15&1&3\\17&11&7\\-9&-3&-3\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{9}$

Припустимо,$T$ це лінійне перетворення таке, що $$\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\1\\-7\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}3\\3\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\0\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\end{array}\right]\end{aligned}$$ знайти матрицю$T$. Тобто знайти$A$ таке, що$T(\vec{x})=A\vec{x}$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\3&2&3\\3&3&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6&2&1\\5&2&1\\6&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}29&9&5\\46&13&8\\27&11&5\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{10}$

Припустимо,$T$ це лінійне перетворення таке, що $$\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\2\\-18\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}5\\2\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\15\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}3\\3\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\4\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}2\\5\\-2\end{array}\right]\end{aligned}$$ знайти матрицю$T$. Тобто знайти$A$ таке, що$T(\vec{x})=A\vec{x}$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{ccc}5&3&2\\2&3&5\\5&5&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}11&4&1\\10&4&1\\12&3&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}109&38&10\\112&35&10\\81&34&8\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{11}$

Розглянемо наступні функції$T : \mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^2$. Покажіть, що кожне є лінійним перетворенням і визначте для кожного матрицю$A$ таку, що$T(\vec{x}) = A\vec{x}$.

1. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y-3x+z\end{array}\right]$
2. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7x+2y+z \\ 3x-11y+2z\end{array}\right]$
3. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x+2y+z \\ x+2y+6z\end{array}\right]$
4. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2y-5x+z \\ x+y+z\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{12}$

Розглянемо наступні функції$T : \mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^2$. Поясніть, чому кожна з цих функцій не$T$ є лінійною.

1. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z+1 \\ 2y-3x+z\end{array}\right]$
2. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y^2+3z \\ 2y+3x+z\end{array}\right]$
3. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sin x+2y+3z \\ 2y+3x+z\end{array}\right]$
4. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y+3x-\ln z\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{13}$

Припустимо, $$[A_1\cdots A_n]^{-1}\nonumber$$ існує там, де кожен$A_j ∈ \mathbb{R}^n$ і нехай вектори$\{B_1,\cdots ,B_n\}$ в$\mathbb{R}^m$ бути задані. Показати, що завжди існує лінійне перетворення$T$ таке, що$T(A_i) = B_i$.

Вправа$\PageIndex{14}$

Знайдіть матрицю для$T (\vec{w}) = proj_{\vec{v}}(\vec{w})$ де$\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}1&-2&3\end{array}\right]^T$.

Відповідь

Нагадаємо, що$proj_{\vec{u}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\bullet\vec{u}}{||\vec{u}||^2}\vec{u}$ і так потрібна матриця має$i$ стовпець, рівний$proj_{\vec{u}}(\vec{e}_i)$. Тому бажана матриця є $$\frac{1}{14}\left[\begin{array}{ccc}1&-2&3\\-2&4&-6\\3&-6&9\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{15}$

Знайдіть матрицю для$T (\vec{w}) = proj_{\vec{v}}(\vec{w})$ де$\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}1&5&3\end{array}\right]^T$.

Відповідь

$$\frac{1}{35}\left[\begin{array}{ccc}1&5&3\\5&25&15\\3&15&9\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{16}$

Знайдіть матрицю для$T (\vec{w}) = proj_{\vec{v}}(\vec{w})$ де$\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\end{array}\right]^T$.

Відповідь

$$\frac{1}{10}\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&0&0\\3&0&9\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{17}$

Показати, що якщо функція$T :\mathbb{R}^n → \mathbb{R}^m$ лінійна, то це завжди так$T(\vec{0})=\vec{0}$.

Вправа$\PageIndex{18}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, індуковане матрицею,$A=\left[\begin{array}{cc}3&1\\-1&2\end{array}\right]$ і$S$ лінійне перетворення, індуковане$B=\left[\begin{array}{cc}0&-2\\4&2\end{array}\right]$. Знайти матрицю$S\circ T$ і знайти$(S\circ T)(\vec{x})$ для$\vec{x}=\left[\begin{array}{r}2\\-1\end{array}\right]$.

Відповідь

Матриця$S\circ T$ задається за допомогою$BA$. $$\left[\begin{array}{cc}0&-2\\4&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3&1\\-1&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&-4\\10&8\end{array}\right]\nonumber$$ Тепер,$(S\circ T)(\vec{x})=(BA)\vec{x}$. $$\left[\begin{array}{cc}2&-4\\10&8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\12\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{19}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення і припустимо$T\left(\left[\begin{array}{r}1\\-4\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r}2\\-3\end{array}\right]$. Припустимо,$S$ це лінійне перетворення, індуковане матрицею$B=\left[\begin{array}{cc}1&2\\-1&3\end{array}\right]$. Знайти$(S\circ T)(\vec{x})$ для$\vec{x}=\left[\begin{array}{r}1\\-4\end{array}\right]$.

Відповідь

Щоб знайти,$(S\circ T)(\vec{x})$ обчислюємо$S(T(\vec{x}))$. $$\left[\begin{array}{cc}1&2\\-1&3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\-3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-4\\-11\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{20}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, індуковане матрицею$S$,$A=\left[\begin{array}{cc}2&3\\1&1\end{array}\right]$ і лінійне перетворення, індуковане$B=\left[\begin{array}{cc}-1&3\\1&-2\end{array}\right]$. Знайти матрицю$S\circ T$ і знайти$(S\circ T)(\vec{x})$ для$\vec{x}=\left[\begin{array}{c}5\\6\end{array}\right]$.

Вправа$\PageIndex{21}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, індуковане матрицею$A=\left[\begin{array}{cc}2&1\\5&2\end{array}\right]$. Знайдіть матрицю$T^{-1}$.

Відповідь

Матриця$T^{-1}$ є$A^{-1}$. $$\left[\begin{array}{cc}2&1\\5&2\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-2&1\\5&-2\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{22}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, індуковане матрицею$A=\left[\begin{array}{cc}4&-3\\2&-2\end{array}\right]$. Знайдіть матрицю$T^{-1}$.

Вправа$\PageIndex{23}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення і припустимо$T\left(\left[\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}9\\8\end{array}\right],\:T\left(\left[\begin{array}{r}0\\-1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}-4\\-3\end{array}\right]$. Знайдіть матрицю$T^{-1}$.

Вправа$\PageIndex{24}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор на кут$π/3$.$\mathbb{R}^2$

Відповідь

$\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{25}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор на кут$π/4$.$\mathbb{R}^2$

Відповідь

$\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{26}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор на кут$-π/3$.$\mathbb{R}^2$

Відповідь

$\left[\begin{array}{cc}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)&-\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \\ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)&\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{27}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор на кут$2π/3$.$\mathbb{R}^2$

Відповідь

$\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)&-\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \\ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)&\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{28}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор на кут$π/12$.$\mathbb{R}^2$ Підказка: Зауважте, що$\pi /12=\pi /3-\pi /4$.

Відповідь

$$\begin{aligned}&\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)&-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)&\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\end{array}\right] \\ =&\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{4}\sqrt{2}\sqrt{3}+\frac{1}{4}\sqrt{2}&\frac{1}{4}\sqrt{2}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{4}\sqrt{2}\sqrt{3}-\frac{1}{4}\sqrt{2}&\frac{1}{4}\sqrt{2}\sqrt{3}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\end{array}\right]\end{aligned}$$

Вправа$\PageIndex{29}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор$\mathbb{R}^2$ на кут,$2π/3$ а потім відображає поперек$x$ осі.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)&-\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \\ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)&\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\-\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{30}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор$\mathbb{R}^2$ на кут,$π/3$ а потім відображає поперек$x$ осі.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{31}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор$\mathbb{R}^2$ на кут,$π/4$ а потім відображає поперек$x$ осі.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{32}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор на кут,$π/6$ а потім відображає поперек$x$ осі з подальшим відображенням по$y$ осі.$\mathbb{R}^2$

Відповідь

$$\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{33}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор$\mathbb{R}^2$ поперек$x$ осі, а потім обертає кожен вектор на кут$\pi /4$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{34}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор$\mathbb{R}^2$ поперек$y$ осі, а потім обертає кожен вектор на кут$\pi /4$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{35}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор$\mathbb{R}^2$ поперек$x$ осі, а потім обертає кожен вектор на кут$\pi /6$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{36}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор$\mathbb{R}^2$ поперек$y$ осі, а потім обертає кожен вектор на кут$\pi /6$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{37}$

Знайдіть матрицю для лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор на кут$5\pi /12$.$\mathbb{R}^2$ Підказка: Зауважте, що$5\pi /12=2\pi /3-\pi /4$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{cc}\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)&-\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \\ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)&\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)&-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)&\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\end{array}\right]=\nonumber$$ $$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{4}\sqrt{2}\sqrt{3}-\frac{1}{4}\sqrt{2}&-\frac{1}{4}\sqrt{2}\sqrt{3}-\frac{1}{4}\sqrt{2} \\ \frac{1}{4}\sqrt{2}\sqrt{3}+\frac{1}{4}\sqrt{2}&\frac{1}{4}\sqrt{2}\sqrt{3}-\frac{1}{4}\sqrt{2}\end{array}\right]\nonumber$$ Зверніть увагу, що про порядок в даному випадку не має значення.

Вправа$\PageIndex{38}$

Знайдіть матрицю лінійного перетворення, яка обертає кожен вектор проти$\mathbb{R}^3$ годинникової стрілки навколо$z$ осі, якщо дивитися з позитивної$z$ осі на кут,$30^◦$ а потім відбивається через$xy$ площину.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)&0 \\ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)&0 \\ 0&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}&0\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&0\\0&0&-1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{39}$

$\vec{u}=\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$Дозволяти бути одиничний вектор в$\mathbb{R}^2$. Знайдіть матрицю, яка відображає всі вектори в цьому векторі, як показано на наступному малюнку.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Підказка: Зверніть увагу, що$\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\cos\theta \\ \sin\theta\end{array}\right]$ для деяких$\theta$. Спочатку обертаємо наскрізь$-\theta$. Далі відбиваємо через$x$ вісь. Нарешті обертаємо наскрізь$\theta$.

Відповідь

$$\begin{aligned} &\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )&-\sin(\theta) \\ \sin(\theta)&\cos(\theta)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos(-\theta)&-\sin(\theta) \\ \sin(-\theta)&\cos(-\theta)\end{array}\right] \\ =&\left[\begin{array}{cc}\cos^2\theta-\sin^2\theta &2\cos\theta\sin\theta \\ 2\cos\theta\sin\theta&\sin^2\theta-\cos^2\theta\end{array}\right]\end{aligned}$$ Тепер писати з точки зору$(a,b)$, зверніть увагу на те$a/\sqrt{a^2+b^2}=\cos\theta$, що,$b/\sqrt{a^2+b^2}=\sin\theta$. Тепер підключіть це до вищезазначеного. Результат - $$\left[\begin{array}{cc}\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}&2\frac{ab}{a^2+b^2} \\ 2\frac{ab}{a^2+b^2}&\frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}\end{array}\right]=\frac{1}{a^2+b^2}\left[\begin{array}{cc}a^2-b^2&2ab \\ 2ab&b^2-a^2\end{array}\right]\nonumber$$ Так як це одиничний вектор,$a^2+b^2=1$ і таким чином ви отримаєте $$\left[\begin{array}{cc}a^2-b^2&2ab \\ 2ab&b^2-a^2\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{40}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, задане $$T\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&1\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\nonumber$$ є$T$ один до одного? Є$T$ на?

Вправа$\PageIndex{41}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, задане $$T\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1&2\\2&1\\1&4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\nonumber$$ є$T$ один до одного? Є$T$ на?

Вправа$\PageIndex{42}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, задане $$T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\1&2&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\nonumber$$ є$T$ один до одного? Є$T$ на?

Вправа$\PageIndex{43}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, задане $$T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&3&-5\\2&0&2\\2&4&-6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\nonumber$$ є$T$ один до одного? Є$T$ на?

Вправа$\PageIndex{44}$

Наведіть приклад$3\times 2$ матриці з властивістю, що лінійне перетворення, визначене цією матрицею, є один до одного, але не на.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\0&0\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{45}$

Припустимо,$A$ це$m\times n$ матриця, в якій$m ≤ n$. Припустимо також, що ранг$A$ дорівнює$m$. Покажіть, що перетворення$T$ визначається$A$ картами$\mathbb{R}^n$ на$\mathbb{R}^m$. Підказка: Вектори$\vec{e}_1,\cdots ,\vec{e}_m$ зустрічаються у вигляді стовпців у зменшеній формі рядка-ешелону для$A$.

Відповідь

Це говорить про те, що стовпці$A$ мають підмножину$m$ векторів, які лінійно незалежні. Тому цей набір векторів є основою для$\mathbb{R}^m$. Звідси випливає, що проліт колон весь з$\mathbb{R}^m$. Таким$A$ чином, на.

Вправа$\PageIndex{46}$

Припустимо,$A$ це$m\times n$ матриця, в якій$m ≥ n$. Припустимо також, що ранг$A$ дорівнює$n$. Покажіть,$A$ що один до одного. Підказка: Якщо ні, існує вектор,$\vec{x}$ такий$A\vec{x} = 0$, що, і це означає, що принаймні один стовпець$A$ є лінійною комбінацією інших. Показати це вимагатиме, щоб ранг був меншим, ніж$n$.

Відповідь

Колони незалежні. Тому$A$ один до одного.

Вправа$\PageIndex{47}$

Поясніть, чому$n\times n$ матриця$A$ є як один до одного, так і на, якщо і тільки якщо її ранг$n$.

Відповідь

Ранг -$n$ це те саме, що говорити, що стовпці є незалежними, що те саме, що говорити$A$ один до одного, що те саме, що говорити стовпці є основою. Таким чином, проліт колон$A$ є все$\mathbb{R}^n$ і так$A$ знаходиться на. Якщо$A$ на, то стовпці повинні бути лінійно незалежними, оскільки в іншому випадку проліт цих стовпців буде мати розмір менше, ніж$n$ і тому розмір$\mathbb{R}^n$ буде менше$n$.

Вправа$\PageIndex{48}$

$W$Дозволяти$V$ і бути$\mathbb{R}^n$ підпростори і$\mathbb{R}^m$ відповідно і нехай$T : V → W$ бути лінійним перетворенням. Припустимо,$\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}$ що лінійно незалежний. Покажіть, що це повинен бути випадок, який також$\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}$ є лінійно незалежним.

Відповідь

Якщо$\sum_i^r a_i\vec{v}_r=0$, то використовуючи властивості лінійності$T$ ми отримуємо $$0=T(0)=T\left(\sum\limits_i^ra_i\vec{v}_r\right)=\sum\limits_i^ra_iT(\vec{v}_r).\nonumber$$ Так як ми припускаємо, що$\{T\vec{v}_a,\cdots ,T\vec{v}_r\}$ є лінійно незалежним, ми повинні мати все$a_i = 0$, і тому робимо висновок,$\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}$ що також лінійно незалежний.

Вправа$\PageIndex{49}$

Нехай $$V=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\2\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ нехай$T\vec{x}=A\vec{x}$ де$A$ є матриця $$\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&0\\0&1&2&1\\1&1&1&2\end{array}\right]\nonumber$$ Дайте основу для$im(T)$.

Вправа$\PageIndex{50}$

$$V=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\4\\4\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ Нехай$T\vec{x}=A\vec{x}$ де$A$ є матриця $$\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&0\\0&1&2&1\\1&1&1&2\end{array}\right]\nonumber$$ Знайти основу для$im(T)$. При цьому вихідні вектори не утворюють самостійного множини.

Відповідь

Так як третій вектор - це лінійні комбінації перших двох, то зображення третього вектора також буде лінійними комбінаціями зображення перших двох. Однак зображення перших двох векторів лінійно незалежні (перевірте!) , А значить, формують основу образу.

Таким чином, основою для$im(T)$ є: $$V=span\left\{\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}4\\2\\4\\5\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{51}$

Якщо$\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}$ лінійно незалежний і$T$ є лінійним перетворенням один до одного, показати,$\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}$ що також лінійно незалежний. Наведіть приклад, який показує, що якщо$T$ є лише лінійним, може статися, що, хоча і$\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}$ є лінійно незалежним, не$\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}$ є. Насправді, показати, що може статися, що кожен з$T\vec{v}_j$ дорівнює$0$.

Вправа$\PageIndex{52}$

$W$Дозволяти$V$ і бути$\mathbb{R}^n$ підпростори і$\mathbb{R}^m$ відповідно і нехай$T : V → W$ бути лінійним перетворенням. Показати, що якщо$T$ є на$W$ і якщо$\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}$ є основою для$V$, то$span\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\} = W$.

Вправа$\PageIndex{53}$

Визначте$T$:$\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ наступним чином. $$T\vec{x}=\left[\begin{array}{cccc}3&2&1&8\\2&2&-2&6\\1&1&-1&3\end{array}\right]\vec{x}\nonumber$$ Знайдіть основу для$im(T)$. Також знайдіть основу для$\text{ker}(T)$.

Вправа$\PageIndex{54}$

Визначте$T$:$\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ наступним чином. $$T\vec{x}=\left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\1&1&1\\0&1&1\end{array}\right]\vec{x}\nonumber$$ де праворуч, це просто матричне множення вектора,$\vec{x}$ який мається на увазі. Поясніть, чому$T$ є ізоморфізм$\mathbb{R}^3$ до$\mathbb{R}^3$.

Вправа$\PageIndex{55}$

Припустимо$T$:$\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ це лінійне перетворення,$A$ задане $$T\vec{x}=A\vec{x}\nonumber$$ де$3\times 3$ матриця. Покажіть, що$T$ є ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли$A$ є оборотним.

Вправа$\PageIndex{56}$

Припустимо$T$:$\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ це лінійне перетворення,$A$ задане $$T\vec{x}=A\vec{x}\nonumber$$ де$m\times n$ матриця. Покажіть,$T$ що ніколи не є ісморфізмом, якщо$m\neq n$. Зокрема, показати, що якщо$m>n$,$T$ не може бути на і якщо$m<n$, то$T$ не може бути один до одного.

Вправа$\PageIndex{57}$

Визначте$T$:$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ наступним чином. $$T\vec{x}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&1\\0&1\end{array}\right]\vec{x}\nonumber$$ де праворуч, це просто матричне множення вектора,$\vec{x}$ який мається на увазі. Покажіть,$T$ що один до одного. Далі нехай$W = im(T)$. Показати, що$T$ є ізоморфізмом$\mathbb{R}^2$ і$im (T)$.

Вправа$\PageIndex{58}$

У наведеній вище задачі знайдіть$2\times 3$ матрицю$A$ таку, що обмеження$A$ to$im(T)$ дає той же результат, що і$T^{−1}$ на$im(T)$. Підказка: Ви можете дозволити$A$ бути таким, що $$A\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right],\:A\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\nonumber$$ тепер знайти інший вектор,$\vec{v}\in\mathbb{R}^3$ такий, який $$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right],\:\vec{v}\right\}\nonumber$$ є основою. Ви можете вибрати, $$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\nonumber$$ наприклад. Поясніть, чому це працює або один на ваш вибір працює. Тоді ви можете визначити,$A\vec{v}$ щоб дорівнювати деякому вектору в$\mathbb{R}^2$. Поясніть, чому буде більше однієї такої матриці$A$, яка буде доставляти зворотний ізоморфізм$T^{−1}$$im(T)$.

Вправа$\PageIndex{59}$

Тепер давайте$V$ рівнятися$span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]\right\}$ і нехай$T$:$V\to W$ бути лінійним перетворенням, де $$W=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ і $$T\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\end{array}\right],\:T\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Поясніть, чому$T$ це ізоморфізм. Визначте матрицю,$A$ яка при множенні на ліворуч дає той самий результат,$T$ що$V$ і матрицю$B$, яка подає$T^{−1}$ далі$W$. Підказка: Ви повинні мати $$A\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\1&1\\0&1\end{array}\right]\nonumber$$ Тепер збільшити$\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]$, щоб отримати основу для$\mathbb{R}^3$. Ви можете додати,$\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]$ наприклад, а потім вибрати інший вектор в$\mathbb{R}^4$ і нехай$A\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]$ дорівнює цьому іншому вектору. Тоді ви б $$A\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\1&1&0\\0&1&1\end{array}\right]\nonumber$$ це передбачало б вибір для нового вектора в$\mathbb{R}^4$ векторі$\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1\end{array}\right]^T$. Тоді ви могли б знайти$A$. Ви можете зробити щось подібне, щоб знайти матрицю для$T^{−1}$ позначеного як$B$.

Вправа$\PageIndex{60}$

Нехай$V=\mathbb{R}^3$ і нехай $$W=span(S),\text{ where }S=\left\{\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-2\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\\3\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ Знайти основу$W$ складається з векторів в$S$.

Відповідь

У цьому випадку$\text{dim}(W) = 1$ і основу для складання$W$ векторів в$S$ можна отримати, взявши будь-який (ненульовий) вектор з$S$.

Вправа$\PageIndex{61}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, задане $$T\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\nonumber$$ Знайти основу для$\text{ker}(T)$ і$im(T)$.

Відповідь

Основа для$\text{ker}(T)$ є$\left\{\left[\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right]\right\}$ і основа для$im(T)$ є$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$. Є багато інших можливостей для конкретних баз, але в даному випадку$\text{dim}(\text{ker}(T))=1$ і$\text{dim}(im(T))=1$.

Вправа$\PageIndex{62}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, задане $$T\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\nonumber$$ Знайти основу для$\text{ker}(T)$ і$im(T)$.

Відповідь

У цьому випадку$\text{ker}(T)=\{0\}$ і$im(T)=\mathbb{R}^2$ (підібрати будь-яку основу$\mathbb{R}^2$).

Вправа$\PageIndex{63}$

Нехай$V=\mathbb{R}^3$ і нехай $$W=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\2\\-1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ Розширити цю основу$W$ до основи$V$.

Відповідь

Існує багато можливих таких розширень, одне є (звідки ми знаємо?) : $$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\2\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{64}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, задане $$T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\nonumber$$ What is$\text{dim}(\text{ker}(T))$?

Відповідь

Ми можемо легко це побачити, і$\text{dim}(im(T))=1$, таким чином$\text{dim}(\text{ker}(T))=3-\text{dim}(im(T))=3-1=2$.

Вправа$\PageIndex{65}$

$B=\left\{\left[\begin{array}{r}2\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}3\\2\end{array}\right]\right\}$Дозволяти бути основою$\mathbb{R}^2$ і нехай$\vec{x}=\left[\begin{array}{r}5\\-7\end{array}\right]$ бути вектор в$\mathbb{R}^2$. Знайти$C_B(\vec{x})$.

Вправа$\PageIndex{66}$

$B=\left\{\left[\begin{array}{r}1\\-1\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\1\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\0\\2\end{array}\right]\right\}$Дозволяти бути основою$\mathbb{R}^3$ і нехай$\vec{x}=\left[\begin{array}{r}5\\-1\\4\end{array}\right]$ бути вектор в$\mathbb{R}^2$. Знайти$C_B(\vec{x})$.

Відповідь

$C_B(\vec{x})=\left[\begin{array}{r}2\\1\\-1\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{67}$

$\mathbb{R}^2→\mathbb{R}^2$Дозволяти$T$: бути лінійним перетворенням, визначеним$T\left(\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\right]=\left[\begin{array}{c}a+b\\a-b\end{array}\right]$.

Розглянемо дві основи $$B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ і $$B_2=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Знайти матрицю$M_{B_2,B_1}$ по$T$ відношенню до основ$B_1$ і$B_2$.

Відповідь

$M_{B_2B_1}=\left[\begin{array}{rr}1&0\\-1&1\end{array}\right]$

Вправа $\PageIndex{68}$

Запишіть множину розв'язків наступної системи у вигляді лінійної комбінації векторів $$\left[\begin{array}{rrr}1&-1&2\\1&-2&1\\3&-4&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення таке:$\left[\begin{array}{r}-3\hat{t} \\ -\hat{t} \\ \hat{t}\end{array}\right],\:\hat{t}_3\in\mathbb{R}$. Основою для рішення простору є$\left[\begin{array}{r}-3\\-1\\1\end{array}\right]\nonumber$

Вправа$\PageIndex{69}$

За допомогою вправи$\PageIndex{68}$ знайдіть загальне рішення наступної лінійної системи. $$\left[\begin{array}{rrr}1&-1&2\\1&-2&1\\3&-4&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\2\\4\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Зверніть увагу, що це має ту ж матрицю, що і вищевказана проблема. Рішення полягає в:$\left[\begin{array}{r}-3\hat{t}_3 \\ -\hat{t}_3 \\ \hat{t}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{r}0\\-1\\0\end{array}\right],\:\hat{t}_3\in\mathbb{R}$

Вправа $\PageIndex{70}$

Запишіть множину розв'язків наступної системи у вигляді лінійної комбінації векторів $$\left[\begin{array}{rrr}0&-1&2\\1&-2&1\\1&-4&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення таке:$\left[\begin{array}{c}3\hat{t} \\ 2\hat{t} \\ \hat{t}\end{array}\right]$, Основою є$\left[\begin{array}{c}3\\2\\1\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{71}$

За допомогою вправи$\PageIndex{70}$ знайдіть загальне рішення наступної лінійної системи. $$\left[\begin{array}{rrr}0&-1&2\\1&-2&1\\1&-4&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[\begin{array}{c}3\hat{t} \\ 2\hat{t} \\ \hat{t}\end{array}\right] +\left[\begin{array}{c}-3\\-1\\0\end{array}\right],\:\hat{t}\in\mathbb{R}$

Вправа $\PageIndex{72}$

Запишіть набір розв'язків наступної системи у вигляді лінійної комбінації векторів. $$\left[\begin{array}{ccc}1&-1&2\\1&-2&0\\3&-4&4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення таке:$\left[\begin{array}{r}-4\hat{t} \\ -2\hat{t} \\ \hat{t}\end{array}\right]$. Основою є$\left[\begin{array}{r}-4\\-2\\1\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{73}$

За допомогою вправи$\PageIndex{72}$ знайдіть загальне рішення наступної лінійної системи. $$\left[\begin{array}{ccc}1&-1&2\\1&-2&0\\3&-4&4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\2\\4\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[\begin{array}{r}-4\hat{t} \\ -2\hat{t} \\ \hat{t}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{r}0\\-1\\0\end{array}\right],\:\hat{t}\in\mathbb{R}$

Вправа $\PageIndex{74}$

Запишіть множину розв'язків наступної системи у вигляді лінійної комбінації векторів $$\left[\begin{array}{ccc}0&-1&2\\1&0&1\\1&-2&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[\begin{array}{r}-\hat{t} \\ 2\hat{t} \\ \hat{t}\end{array}\right],\:\hat{t}\in\mathbb{R}$

Вправа$\PageIndex{75}$

За допомогою вправи$\PageIndex{74}$ знайдіть загальне рішення наступної лінійної системи. $$\left[\begin{array}{ccc}0&-1&2\\1&0&1\\1&-2&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[\begin{array}{r}-\hat{t} \\ 2\hat{t} \\ \hat{t}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\0\end{array}\right]$

Вправа $\PageIndex{76}$

Запишіть множину розв'язків наступної системи у вигляді лінійної комбінації векторів $$\left[\begin{array}{cccc}1&0&1&1\\1&-1&1&0\\3&-1&3&2\\3&3&0&3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[\begin{array}{r}0\\ -\hat{t} \\ -\hat{t} \\ \hat{t}\end{array}\right],\:\hat{t}\in\mathbb{R}$

Вправа$\PageIndex{77}$

За допомогою вправи$\PageIndex{76}$ знайдіть загальне рішення наступної лінійної системи. $$\left[\begin{array}{cccc}1&0&1&1\\1&-1&1&0\\3&-1&3&2\\3&3&0&3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\2\\4\\3\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[\begin{array}{r}0\\ -\hat{t} \\ -\hat{t} \\ \hat{t}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{r}2\\-1\\-1\\0\end{array}\right]$

Вправа $\PageIndex{78}$

Запишіть множину розв'язків наступної системи у вигляді лінійної комбінації векторів $$\left[\begin{array}{cccc}1&1&0&1\\2&1&1&2\\1&0&1&1\\0&0&0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення таке:$\left[\begin{array}{c}-s-t \\ s\\s\\t\end{array}\right],\:s,t\in\mathbb{R}$. Основою є $$\left\{\left[\begin{array}{r}-1\\1\\1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\0\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{79}$

За допомогою вправи$\PageIndex{78}$ знайдіть загальне рішення наступної лінійної системи. $$\left[\begin{array}{rrrr}1&1&0&1\\2&1&1&2\\1&0&1&1\\0&-1&1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}2\\-1\\-3\\0\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення полягає в: $$\left[\begin{array}{r}-\hat{t}\\ \hat{t} \\ \hat{t}\\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-8\\5\\0\\5\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа $\PageIndex{80}$

Запишіть множину розв'язків наступної системи у вигляді лінійної комбінації векторів $$\left[\begin{array}{rrrr}1&1&0&1\\1&-1&1&0\\3&1&1&2\\3&3&0&3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення таке: $$\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}s-\frac{1}{2}t \\ \frac{1}{2}s-\frac{1}{2}t \\ s\\t\end{array}\right]\nonumber$$ для$s,t\in\mathbb{R}$. Основою є $$\left\{\left[\begin{array}{r}-1\\1\\2\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{81}$

За допомогою вправи$\PageIndex{80}$ знайдіть загальне рішення наступної лінійної системи. $$\left[\begin{array}{rrrr}1&1&0&1\\1&-1&1&0\\3&1&1&2\\3&3&0&3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\2\\4\\3\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення полягає в: $$\left[\begin{array}{r}\frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2}\\0\\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}s-\frac{1}{2}t \\ \frac{1}{2}s-\frac{1}{2}t \\ s\\t\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа $\PageIndex{82}$

Запишіть множину розв'язків наступної системи у вигляді лінійної комбінації векторів $$\left[\begin{array}{rrrr}1&1&0&1\\2&1&1&2\\1&0&1&1\\0&-1&1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення таке:$\left[\begin{array}{r}-\hat{t} \\ \hat{t} \\ \hat{t}\\0\end{array}\right]$, основа є$\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\0\end{array}\right]$.

Вправа$\PageIndex{83}$

За допомогою вправи$\PageIndex{82}$ знайдіть загальне рішення наступної лінійної системи. $$\left[\begin{array}{rrrr}1&1&0&1\\2&1&1&2\\1&0&1&1\\0&-1&1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}2\\-1\\-3\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення таке:$\left[\begin{array}{r}-\hat{t} \\ \hat{t} \\ \hat{t}\\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{r}-9\\5\\0\\6\end{array}\right],t\in\mathbb{R}$.

Вправа$\PageIndex{84}$

$A\vec{x}=\vec{b}$Припустимо, є рішення. Поясніть, чому рішення унікальне саме тоді, коли$A\vec{x}=\vec{0}$ має лише тривіальне рішення.

Відповідь

Якщо ні, то було б нескінченно багато рішень,$A\vec{x}=\vec{0}$ і кожне з них додано до рішення, яке$A\vec{x}=\vec{b}$ буде рішенням$A\vec{x}=\vec{b}$.