5: Лінійні перетворення
- Page ID
- 63062
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- 5.1: Лінійні перетворення
- Нагадаємо, що коли ми множимо матрицю m×n на вектор стовпця n × 1, результатом є вектор стовпця m × 1. У цьому розділі ми обговоримо, як за допомогою множення матриці матриця m×n перетворює вектор стовпця n × 1 у вектор стовпця m × 1.
- 5.2: Матриця лінійного перетворення I
- У наведених вище прикладах дія лінійних перетворень полягала в множенні на матрицю. Виявляється, так завжди буває при лінійних перетвореннях.
- 5.3: Властивості лінійних перетворень
- \(T: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\)Дозволяти лінійне перетворення. Потім є деякі важливі властивості\(T\), які будуть розглянуті в цьому розділі.
- 5.4: Спеціальні лінійні перетворення в R²
- У цьому розділі ми розглянемо деякі спеціальні приклади лінійних перетворень в\(\mathbb{R}^2\) тому числі обертань і відображень.
- 5.5: Один на один і на перетворення
- Цей розділ присвячений вивченню двох важливих характеристик лінійних перетворень, які називаються One to One і Onto.
- 5.6: Ізоморфізми
- Відображення\(T:V\rightarrow W\) називається лінійним перетворенням або лінійною картою, якщо воно зберігає алгебраїчні операції додавання та скалярного множення.
- 5.7: Ядро та зображення лінійної карти
- У цьому розділі ми розглянемо випадок, коли лінійне перетворення не обов'язково є ізоморфізмом.
- 5.8: Матриця лінійного перетворення II
- Ми обговорюємо основний результат цього розділу, тобто як представляти лінійне перетворення стосовно різних основ.
- 5.9: Загальне рішення лінійної системи
- Виявляється, ми можемо використовувати лінійні перетворення для вирішення лінійних систем рівнянь.
Мініатюра: Лінійна комбінація одного базового набору векторів (фіолетовий) отримує нові вектори (червоний). Якщо вони лінійно незалежні, вони утворюють новий базовий набір. Лінійні комбінації, що стосуються першого набору до іншого, поширюються на лінійне перетворення, яке називається зміною основи. (CC0; Машен через Вікіпедію)