2.1: Вступ до матриць

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67205

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся:

Додавання і віднімання матриць.
Помножте матрицю на скаляр.
Множимо дві матриці.

Матриця - це двовимірний масив чисел, розташованих у рядках і стовпцях. Матриці забезпечують метод організації, зберігання та роботи з математичною інформацією. Матриці мають велику кількість застосувань і використання в реальному світі. Матриці є корисним інструментом для роботи з моделями, заснованими на системах лінійних рівнянь. Ми будемо використовувати матриці в розділах 2.2, 2.3 і 2.4 для вирішення систем лінійних рівнянь з декількома змінними в цьому розділі.

Матриці використовуються в шифруванні, яке ми розглянемо в розділі 2.5 та в економічному моделюванні, дослідженому в розділі 2.6. Ми знову використовуємо матриці в розділі 4, в задачах оптимізації, таких як максимізація прибутку або доходу або мінімізація витрат. Матриці використовуються в бізнесі для планування, маршрутизації перевезень і відвантажень, а також управління запасами.

Майже будь-який додаток, який збирає і управляє даними, може застосовувати матриці. Використання матриць зросло в міру зростання доступності даних у багатьох сферах життя і бізнесу. Вони є важливими інструментами для організації даних та вирішення проблем у всіх галузях науки, від фізики та хімії, до біології та генетики, до метеорології та економіки. В інформатиці матрична математика лежить за анімацією зображень у фільмах та відеоіграх.

Інформатика аналізує діаграми мереж, щоб зрозуміти, як речі пов'язані один з одним, наприклад, відносини між людьми на соціальному веб-сайті, і відносини між результатами пошуку в лінії і як люди посилаються з одного веб-сайту на інший. Математика для роботи з мережевими діаграмами складається з області «теорії графів»; вона спирається на матриці для організації інформації на графіках, які діаграмують зв'язки та асоціації в мережі. Наприклад, якщо ви використовуєте Facebook або Linked-In, або інші сайти соціальних мереж, ці сайти використовують мережеві графіки та матриці для організації ваших відносин з іншими користувачами.

Вступ до матриць

Матриця являє собою прямокутний масив чисел. Матриці корисні для організації та маніпулювання великими обсягами даних. Для того щоб отримати деяке уявлення про те, що таке матриці, ми розглянемо наступний приклад.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Компанія Fine Furniture виробляє стільці та столи на своїх фабриках в Сан-Хосе, Хейворді та Окленді. Загальний обсяг виробництва, в сотнях, з трьох заводів за 2014 і 2015 роки наведено в таблиці нижче.

	2014		2015
	СТІЛЬЦІ	СТОЛИ	СТІЛЬЦІ	СТОЛИ
САН ХОСЕ	30	18	36	20
СІНОКРОВИЦЯ	20	12	24	18
ОКЛЕНД	16	10	20	12

Представляють виробництво за 2014 і 2015 роки у вигляді матриць А і В.
Знайдіть різницю в продажах між 2014 і 2015 роками.
Компанія прогнозує, що в 2020 році виробництво на цих заводах буде вдвічі більше, ніж у 2014 році. Яким буде виробництво на 2020 рік?

Рішення

а) Матриці такі:

\ [A=\ лівий [\ begin {масив} {ll}
30 & 18\\
20 & 12\\
16 & 10
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\ [\ mathrm {B} =\ лівий [\ почати {масив} {ll}
36 & 20\
24 & 18\\
20 & 12
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

б) Шукаємо матрицю\(B - A\). Коли дві матриці мають однакову кількість рядків і стовпців, матриці можна додавати або віднімати запис за записом. Тому отримуємо

\ [\ mathrm {B} -\ mathrm {A} =\ лівий [\ почати {масив} {ll}
36-30 & 20-18\\
24-20 & 18-12\\
20-16 & 12-10
\ кінець {масив}\ вправо] =\ лівий [\ почати {масив} {ll}
6\
4 & 6\
4 & 2
\ кінець { масив}\ право]\ nonumber\]

в) Ми хотіли б матрицю, яка вдвічі перевищує матрицю 2014 року, тобто\(2A\).

Кожен раз, коли матриця множиться на число, кожен запис множиться на число.

\ [2\ mathrm {A} =2\ лівий [\ почати {масив} {ll}
30 & 18\
20 & 12\\
16 & 10
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {ll}
60 & 36\\
40 & 24\\
32 & 20
\ end {масив}\ праворуч]\ номер\]

Перш ніж йти далі, нам потрібно ознайомитися з деякими термінами, які пов'язані з матрицями. Числа в матриці називаються записами або елементами матриці.

Всякий раз, коли ми говоримо про матрицю, нам потрібно знати розмір або розмірність матриці. Розмірність матриці - це кількість рядків і стовпців, які вона має. Коли ми говоримо, що матриця - це «матриця 3 на 4», ми говоримо, що вона має 3 рядки та 4 стовпці. Рядки завжди згадуються спочатку, а стовпці другі. Це означає, що\(3 \times 4\) матриця не має такого ж розміру, як\(4 \times 3\) матриця.

\ [A=\ ліворуч [\ почати {масив} {cccc}
1 & 4 & -2 & 0\\
3 & -1 & 7\\
6 & 2 & 0 & 5
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\ [B=\ left [\ begin {масив} {ccc}
2 & 9 & 8\\
-3 & 0 & 1\\
6 & 5\ -2\\
-4 & 7 & 8
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Матриця\(A\) має розміри,\(3 \times 4\) а матриця\(B\) має розміри\(4 \times 3\).

Матриця, яка має таку ж кількість рядків, як і стовпці, називається квадратною матрицею. Матриця з усіма нульовими записами називається нульовою матрицею. Квадратна матриця з 1 по головній діагоналі і нулями скрізь, називається матрицею ідентичності. Коли квадратна матриця множиться на ідентичну матрицю однакового розміру, матриця залишається такою ж.

\ [I=\ left [\ begin {масив} {lll}
1 & 0\\ 0 & 1\
0 & 0\ 0 &
0 & 0 & 1
\ 1\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\(I\)Матриця - матриця\(3 \times 3\) ідентичності

Матриця з одним рядком називається матрицею рядків або вектором рядків, а матриця з одним стовпцем називається матрицею стовпців або вектором стовпця. Дві матриці рівні, якщо вони мають однаковий розмір і відповідні записи рівні.

Ми можемо виконувати арифметичні операції з матрицями. Далі ми визначимо та наведемо приклади, що ілюструють операції додавання та віднімання матриць, скалярного множення та множення матриць. Зверніть увагу, що множення матриці досить сильно відрізняється від того, що ви б інтуїтивно очікували, тому уважно поставтеся до пояснення. Зауважте також, що здатність виконувати операції з матрицею залежить від сумісності матриць за розміром або розмірами для цієї операції. Визначення сумісних розмірів різне для різних операцій, тому уважно зверніть увагу на вимоги до кожної.

Додавання та віднімання матриць

Якщо дві матриці мають однаковий розмір, їх можна додавати або віднімати. Операції виконуються над відповідними записами.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

З огляду на матриці\(A\)\(B\),\(C\) і\(D\), нижче

\ [A=\ left [\ begin {масив} {lll}
1 & 2\\
2 & 3 & 1\\
5 & 0 & 3
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad B =\ лівий [\ begin {масив} {lll}
2 & -1 & 3\\
2 & 4\\
3 & 6 & 1
\ end {масив}\ право]\ quad C =\ лівий [\ почати {масив} {l}
4\\
2\
3
\ кінець {масив}\ право]\ квадрат D =\ лівий [\ begin {масив} {r}
-2\\
-3\\
4
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Знайдіть, якщо це можливо.

\(A + B\)
\(C - D\)
\(A + D.\)

Рішення

Як ми вже згадували раніше, додавання і віднімання матриці передбачає виконання цих операцій запис за записом.

а) Додаємо кожен елемент\(A\) до відповідного запису\(B\).

\ [A+B =\ left [\ begin {масив} {lll}
3 & 1 & 7\\
4 & 3\
8 & 6 & 4
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

б) Так само, як і проблема вище, ми виконуємо запис віднімання за записом.

\ [\ mathrm {C} -\ mathrm {D} =\ left [\ begin {масив} {c}
6\\
5\
-1
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

c) Сума\(A + D\) не може бути знайдена, оскільки дві матриці мають різні розміри.

Примітка: Дві матриці можна додавати або віднімати, лише якщо вони мають однакову розмірність.

Множення матриці на скаляр

Якщо матриця множиться на скаляр, кожен запис множиться на цей скаляр. Ми можемо розглядати скалярне множення як множення числа, а матрицю для отримання нової матриці як добутку.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

З огляду на матрицю\(A\) і\(C\) в прикладі вище знайдіть\(2A\) і\(- 3C\).

Рішення

Щоб знайти\(2A\), множимо кожен запис матриці\(A\) на 2, а щоб знайти\(-3C\), множимо кожен запис C на -3. Результати наведені нижче.

а) Кожен запис A множимо на 2.

\ [2\ mathrm {A} =\ left [\ begin {масив} {ccc}
2 & 4 & 8\
4 & 6\ 2\\
10 & 0 & 6
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

б) Кожну запис С множимо на -3.

\ [-3 C=\ left [\ begin {масив} {c}
-12\\
-6\\
-9
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Множення двох матриць

Помножити матрицю на іншу не так просто, як додавання, віднімання або скалярне множення матриць. Через його широке використання в проблемах із застосуванням важливо, щоб ми добре його вивчили. Тому ми постараємося освоїти процес поетапно. Спочатку ми почнемо з пошуку добутку матриці рядків і матриці стовпців.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайти товар\(AB\), заданий

\ [A=\ left [\ begin {масив} {lll}
2 & 3 & 4
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\ [B=\ left [\ begin {масив} {l}
a\\
b\
c
\ end {масив}\ справа]. \ номер\]

Рішення

Твір являє собою\(1 \times 1\) матрицю, запис якої виходить шляхом множення відповідних записів з подальшим формуванням суми.

\ [\ begin {align*}
\ mathrm {AB} &=\ лівий [\ почати {масив} {lll}
2 & 3 & 4
\ кінець {масив}\ вправо]\ лівий [\ початок {масив} {l}
\ mathrm {a}
\\ mathrm {b}\
\ mathrm {c}
\ кінець {масив}\ праворуч]\\ [4pt] &= [2 (\ матрм {a} +3\ математика {b} +4\ mathrm {c})]
\ end {align*}\ number\]

Зверніть увагу, що\(AB\) це\(1 \times 1\) матриця, і її єдиним записом є\(2a + 3b + 4c\).

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Знайти товар\(AB\), заданий

\ [A=\ left [\ begin {масив} {lll}
2 & 3 & 4
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\ [B=\ left [\ begin {масив} {l}
5\
6\\
7
\ end {масив}\ справа]\ nonumber\]

Рішення

Знову множимо відповідні записи і додаємо.

\ [\ begin {align*}\ mathrm {AB} &=\ лівий [\ begin {масив} {lll}
2 & 3 & 4
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ begin {масив} {l}
5\
6\
7
\ end {масив}\ праворуч]\\[4pt] &=[2 \cdot 5+3 \cdot 6+4 \cdot 7]\\[4pt] &=[10+18+28]\\[4pt] &=[56] \end{align*} \nonumber \]

Примітка: Для того, щоб добуток матриці рядків та матриці стовпців існував, кількість записів у матриці рядків повинна бути такою ж, як кількість записів у матриці стовпців.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Знайти товар AB, заданий

\ [A=\ left [\ begin {масив} {lll}
2 & 3 & 4
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\ [B=\ left [\ begin {масив} {ll}
5 & 3\\
6 & 4\\
7 & 5
\ end {масив}\ праворуч]. \ номер\]

Рішення

Ми знаємо, як помножити матрицю рядків на матрицю стовпців. Щоб знайти добуток\(AB\), в цьому прикладі ми помножимо матрицю рядків як\(A\) на перший, так і на другий стовпці матриці\(B\), в результаті чого отримуємо\(1 \times 2\) матрицю.

\ [\ mathrm {AB} =\ лівий [\ почати {масив} {lll}
2\ cdot 5+3\ cdot 6+4\ cdot 7 & 2\ cdot 3+3\ cdot 4+4\ cdot 5
\ кінець {масив}
\ кінець {масив}\ number\]

Ми помножили\(1 \times 3\) матрицю на матрицю, розмір якої дорівнює\(3 \times 2\). Так що на відміну від додавання і віднімання, є можливість множення двох матриць з різними розмірами, якщо кількість записів в рядках першої матриці збігається з кількістю записів в стовпцях другої матриці.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Знайдіть товар\(AB\), враховуючи:

\ [A=\ left [\ begin {масив} {lll}
2 & 3\\
1 & 2 & 3
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\ [\ mathrm {B} =\ left [\ begin {масив} {ll}
5 & 3\\
6 & 4\\
7 & 5
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Рішення

Цього разу ми множимо два рядки матриці\(A\) з двома стовпцями матриці\(B\). Оскільки кількість записів у кожному рядку\(A\) збігається з кількістю записів у кожному стовпці\(B\), то добуток можливий. Ми робимо саме те, що робили в останньому прикладі. Різниця лише в тому, що матриця\(A\) має ще один рядок.

Першу рядок\(A\) матриці множимо на два стовпчики\(B\), по одному, а потім повторюємо процес з другим рядком А.

\ [\ mathrm {AB} =\ ліворуч [\ почати {масив} {lll}
2 & 3\
1 & 2 & 3
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ початок {масив} {ll}
5 & 3\\
6 & 4\\
7 & 5
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {ll}
2\ точка 5+3\ точка 6+4\ точка 7 & 2\ точка 3+3\ точка 4+4\ точка 5\\
1\ точка 5+2\ точка 6+3\ точка 7 & 1\ точка 3+2\ точка 4+3\ точка 5
\ кінець {масив}\ справа]\ номер\]

\ [\ mathrm {AB} =\ лівий [\ почати {масив} {ll}
56 & 38\\
38 & 26
\ кінець {масив}\ справа]\ nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Знайдіть, якщо можливо:

\(EF\)
\(FE\)
\(FH\)
\(GH\)
\(HG\)

\ [\ mathrm {E} =\ left [\ begin {масив} {ll}
1 & 2\\
4 & 2\
3 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad\ mathrm {F} =\ лівий [\ begin {масив} {ll}
2 & 1\
3 & 2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad\ mathrm {G} =\ лівий\ { масив} {lll}
4 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad\ mathrm {H} =\ лівий [\ begin {масив} {l}
-3\\
-1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Рішення

а) Щоб знайти\(EF\), множимо перший рядок\ (\ left [\ begin {масив} {ll}
1 & 2
\ end {масив}\ right]\)

Е зі стовпцями\ (\ left [\ begin {array} {l}
2\\
3
\ end {масив}\ right]\ text {і}\ left [\ begin {array} {l}
1
\
-2\ end {масив}\ right]\) матриці F, а потім повторіть процес, перемноживши інші два рядки E з цими стовпцями F. Результат виглядає наступним чином:

\ [\ mathrm {EF} =\ лівий [\ почати {масив} {ll}
1 & 2\\
4 & 2\\
3 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ початок {масив} {cc}
2 & -1\\
3 & 2
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ початок {масив}
{cdot 2+2 \ cdot 3 & 1\ cdot-1+2\ cdot 2\\
4\ cdot 2+2\ cdot 3 & 4\ cdot-1+2\ cdot 2\
3\ cdot 2+1\ cdot-1+1\ cdot 2\ кінець {масив}
\ праворуч] =\ лівий [\ початок {масив} {масив} {cc}
8 & 3\
14 & 0\
9 & -1
\ end {масив}\ право]\ nonumber\]

б) Твір\(FE\) неможливий, оскільки матриця F має два записи в кожному рядку, тоді як матриця E має три записи в кожному стовпці. Іншими словами, матриця F має два стовпці, тоді як матриця E має три рядки.

c)\ [\ mathrm {FH} =\ лівий [\ почати {масив} {cc}
2 & -1\\
3 & 2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ початок {масив} {c}
-3\
-1\ кінець {масив}
\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {c}
2\ cdot-3+-1\ cdot-1\ 3\ cdot-1\
3\ cdot-t-3 3+2\ cdot-1
\ end {масив}\ справа] =\ лівий [\ begin {масив} {c}
-5\\
-11
\ кінець {масив}\ справа]\ nonumber\]

г)\ [\ mathrm {GH} =\ лівий [\ почати {масив} {ll}
4 & 1
\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ початок {масив} {l}
-3\
-1
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ початок {масив} {l}
4\ cdot-3+1\
cdot-1\ -1
\ кінець {масив}\ праворуч] = [-13] \ номер\]

д)\ [\ mathrm {HG} =\ лівий [\ почати {масив} {l}
-3\
\
-1\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ початок {масив} {ll}
4 & 1
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ початок {масив} {ll}
-3\ cdot 4 & -3\
cdot 1\ -1\ cdot 1
\ end {масив}\ правий] =\ лівий [\ begin {масив} {cc}
-12 & -3\\
-4 & -1
\ end {масив}\ справа]\ nonumber\]

Узагальнено деякі важливі властивості множення матриць, які ми спостерігали в попередніх прикладах.

Для того,\(\bf{AB}\) щоб продукт існував:

кількість стовпців\(\bf{A}\) має дорівнювати числу рядків\(\bf{B}\)
якщо матриця\(\bf{A}\) має розмірність,\(\bf{m \times n}\) а матриця\(\bf{B}\) має розмірність\(\bf{n \times p}\), то\(\bf{AB}\) добуток буде матрицею з розмірністю\(\bf{m \times p}\).

Матричне множення не є комутативним: якщо обидва добутки матриці так\(\bf{AB}\) і\(\bf{BA}\) існують, то більшу частину часу не\(\bf{AB}\) буде рівним\(\bf{BA}\).

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Задані матриці\(R\)\(S\), а\(T\) нижче, знайдіть\(2RS - 3ST\).

\ [R=\ ліворуч [\ почати {масив} {lll}
1 & 0 & 2\\
2 & 1\ 2 & 5\
2 & 3 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad S =\ лівий [\ begin {масив} {lll}
0 & -1 & 2\\
3 & 1 & 0\\
4 & 2 & 1
\ end {масив}\ праворуч]\ quad T=\ лівий [\ begin {масив} {lll}
-2 & 3 & 0\\
-3 & 2\\
-1 & 1 & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Рішення

Множимо матриці R і S.

\ почати {вирівняний}
&\ mathrm {RS} =\ лівий [\ почати {масив} {ccc}
8 & 3 & 4\\
23 & 9\\
13 & 3 & 5
\ кінець {масив}\ праворуч]\\
&\ почати {масив} {l}
2\ mathrm {RS} =2\ лівий [\ почати {масив} {ccc}
8 & 3 & 4\\
23 & 9 & 9\\
13 & 3 & 5
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ begin {масив} {ccc}
16 & 6 & 8\\
46 & 18\\
26 & 6 & 10
\ кінець {масив}\ праворуч]\
\ mathrm {ST} =\ лівий [\ почати {масив} {ccc}
1 & 0 & -2\\
-9 & 2\\
-15 & 17 & 4
\ кінець {масив}\ праворуч]\\
3\ mathrm {ST} =3\ ліворуч [\ почати {масив} {ccc}
1 & 0 & -2\\
-9 & 11 & 2\\
-15 & 17 & 4
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ початок {масив} {ccc}
3 & 0 & -6\\
-27 & 33\\
-45 & 51 & 12\ кінець {масив}\ праворуч]
\ кінець {масив}\ кінець {масив]
\ кінець {масив }
\ end {вирівняний}

Таким чином

\ [2\ mathrm {RS} -3\ mathrm {ST} =\ лівий [\ почати {масив} {ccc}
16 & 6 & 8\\
46 & 18\\
26 & 6 & 10
\ кінець {масив}\ вправо] -\ лівий [\ початок {масив} {ccc}
3 & 0 &
-6\ -27 & 6\\
-45 & 51 & 12
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {ccc}
13 & 6 & 14\\
73 & -15 & 12\\
71 & -45 & -2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Знайти\(F^2\) задану матрицю

\ [\ mathrm {F} =\ left [\ begin {масив} {ll}
2 & -1\\
3 & 2
\ end {масив}\ справа]\ nonumber\]

Рішення

\(F^2\)знаходить шляхом множення матриці\(F\) на себе, використовуючи множення матриці.

\ [\ mathrm {F} ^ {2} =\ лівий [\ почати {масив} {cc}
2 & -1\
3 & 2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ початок {масив} {cc}
2 & -1\\
3 & 2
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ початок {масив} {cc}
2\ cdot 2+ (-1)\ cdot 3 & 2\ cdot (-1) + (-1)\ cdot 2\\
3\ cdot 2+2\ cdot 3 & 3\ cdot (-1) +2\ cdot 2
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ початок {масив} {cc}
1 і -4\
12 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Зверніть увагу,\(F^2\) що не знайдено шляхом квадратизації кожного запису матриці\(F\). Процес підняття матриці до ступеня, наприклад знаходження, можливий тільки в тому випадку\(F^2\), якщо матриця є квадратною матрицею.

ВИКОРИСТАННЯ МАТРИЦЬ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕННЯ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

У цьому розділі ми будемо використовувати матриці для вирішення лінійних систем. У розділі 2.4 нам буде запропоновано висловити лінійні системи як матричне рівняння\(\bf{AX = B}\)\(A\), де\(X\), і\(B\) є матрицями.

Матриця\(A\) називається матрицею коефіцієнтів.
Матриця\(X\) - це матриця з 1 стовпцем, яка містить змінні.
Матриця\(B\) - матриця з 1 стовпцем, яка містить константи.

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Переконайтеся, що система двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

\ begin {масив} {л}
a x+b y=h\\
c x+d y=k
\ end {масив}

можна записати як\(AX = B\), де

\ [A=\ left [\ begin {масив} {ll}
a & b\\
c & d
\ end {масив}\ праворуч]\ quad X =\ left [\ begin {масив} {l}
x
\
y\ end {масив}\ право]\ текст {і} B =\ лівий [\ begin {масив} {l}
h\
k
\ кінець { масив}\ право]\ nonumber\]

Рішення

Якщо помножити матриці\(A\) і\(X\), то отримаємо

\ [A X =\ left [\ begin {масив} {ll}
a & b\\
c & d
\ end {масив}\ справа]\ лівий [\ початок {масив} {l}
x\
y
\ end {масив}\ право] =\ лівий [\ begin {масив} {c}
a x+b y\\
c x+d y
\ кінець {масив}\ справа ]\ номер\]

Якщо\(AX = B\) тоді

\ [\ left [\ begin {масив} {l}
a x+b y\\
c x+d y
\ end {масив}\ справа] =\ лівий [\ begin {масив} {l}
h\\
k
\ end {масив}\ справа]\ nonumber\]

Якщо дві матриці рівні, то відповідні їм записи рівні. Звідси випливає, що

\ begin {масив} {л}
a x+b y=h\\
c x+d y=k
\ end {масив}

Приклад\(\PageIndex{12}\)

Висловіть наступну систему у вигляді матричного рівняння\(AX = B\).

\ begin {масив} {л}
2 х+3 y-4 z = 5\\
3 x+4 y-5 z=6\
5 х\ квад-6 z=7
\ кінець {масив}

Рішення

Цю систему рівнянь можна виразити у вигляді\(AX = B\), як показано нижче.

\ [\ left [\ begin {масив} {ccc}
2 & 3 & -4\\
3 & 4 & -5\\
5 & 0 & -6
\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ begin {масив} {l}
x\
y\\
z
\ end {масив}\ праворуч] =\ left [\ begin {масив} {l}
5\\
6\\
7
\ end {масив}\ право]\ nonumber\]