Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.2: Матричне трасування

Цілі навчання
  • T/F: Ми обчислюємо лише слід квадратних матриць.
  • T/F: Можна визначити, чи є матриця оборотною шляхом обчислення сліду.

У попередньому розділі ми дізналися про операцію, яку ми можемо виконати над матрицями, а саме про транспонування. З огляду на матрицюA, ми можемо «знайти транспонування»A, яка є іншою матрицею. У цьому розділі ми дізнаємося про нову операцію під назвою трасування. Це інший тип операції, ніж транспонування. З огляду на матрицюA, ми можемо «знайти слід»A, який не є матрицею, а числом. Ми формально визначаємо його тут.

Визначення: Трасування

AДозволяти бутиn×n матрицею. СлідA, позначаєтьсяtr(A), є сумою діагональних елементівA. Тобто,

tr(A)=a11+a22++ann.

Це здається простим визначенням, і це дійсно так. Просто щоб переконатися в цьому зрозуміло, давайте потренуємося.

Приклад3.2.1

Знайдіть слідAB, іCI4, де

A=[1234],B=[120381275]andC=[123456].

Рішення

Щоб знайти слідA, зверніть увагу, що діагональними елементамиA є1 і4. Тому,tr(A)=1+4=5.

Бачимо, що діагональні елементиB є1,8 і5, такtr(B)=1+85=4.

Матриця неC є квадратною матрицею, і наше визначення стверджує, що ми повинні почати з квадратної матриці. Томуtr(C) не визначено.

Нарешті, діагональI4 складається з чотирьох 1s. Томуtr(I4)=4.

Тепер, коли ми визначили слід матриці, ми повинні думати як математики і задавати деякі питання. Перші питання, які повинні з'явитися в нашій свідомості, повинні бути схожі на «Як працює трасування з іншими матричними операціями?» 1Слід подумати про те, як працює трасування з додаванням матриць, скалярним множенням, множенням матриць, зворотними матрицями та транспонуванням.

Ми дамо теорему, яка формально скаже нам, що правда в даний момент, але спочатку давайте пограємо з двома матрицями зразків і подивимося, якщо ми можемо побачити, що буде. Нехай

A=[213201313]andB=[201120021].

Повинно бути зрозуміло, щоtr(A)=5 іtr(B)=3. Що такеtr(A+B)?

tr(A+B)=tr([213201313]+[201120021])=tr([414121312])=8

Таким чином, ми помічаємо, щоtr(A+B)=tr(A)+tr(B). Це, мабуть, не випадковість.

Як працює трасування зі скалярним множенням? ЯкщоA помножити на4, то діагональні елементи будуть8,0 і12, такtr(4A)=20. Це збіг, що це4 раз слідA?

Перейдемо до множення матриці. Як слід будеAB ставитися до слідівA іB? Давайте подивимося:

tr(AB)=tr([213201313][201120021])=tr([381423740])=1

Не зовсім зрозуміло, які відносини міжtr(A),tr(B) іtr(AB). Перш ніж рухатися далі, знайдемоtr(BA):

tr(BA)=tr([201120021][213201313])=tr([719215115])=1

Ми це помічаємоtr(AB)=tr(BA). Це випадково?

Як проходять слідиA іA1 пов'язані з ними? Ми обчислюємоA1 і знаходимо, що

A1=[1/176/171/179/173/178/172/175/172/17].

Томуtr(A1)=6/17. Знову ж таки, відносини не зрозумілі. 2

Нарешті, давайте подивимося, як слід пов'язаний з транспонуванням. Ми насправді не повинні формально обчислювати що-небудь. Нагадаємо з попереднього розділу, що діагоналіA іAT однакові; отже,tr(A)=tr(AT). Це, ми точно знаємо, не випадковість.

Тепер ми формально заявляємо, які рівності є істинними при розгляді взаємодії сліду з іншими операціями матриці.

Теорема3.2.1: Properties of the Matrix Trace

ABДозволяти і бутиn×n матрицями. Потім:

  1. tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
  2. tr(AB)=tr(A)tr(B)
  3. tr(kA)=ktr(A)
  4. tr(AB)=tr(BA)
  5. tr(AT)=tr(A)

Однією з ключових речей, яку слід зазначити, є те, що ця теорема не говорить. Це нічого не говорить про те, як слід відноситься до зворотних. Причина мовчання в цих сферах полягає в тому, що стосунків просто немає.

Ми закінчуємо цей розділ, знову дивуючись, чому хтось буде піклуватися про слід матриці. Одна з причин, по якій математики цікавляться, полягає в тому, що він може дати вимір «3розміру» матриці.

Розглянемо наступні2×2 матриці:

A=[1211]andB=[67114].

Ці матриці мають однаковий слід, алеB явно мають більші елементи в ньому. Отже, як ми можемо використовувати трасування для визначення «розміру» цих матриць? Ми можемо розглянутиtr(ATA) іtr(BTB).

tr(ATA)=tr([1121][1211])=tr([2115])=7

tr(BTB)=tr([61174][67114])=tr([1572265])=222

Наше занепокоєння полягає не в тому, як інтерпретувати, що означає це «розмір» вимірювання, а скоріше, щоб продемонструвати, що слід (разом з транспонуванням) може бути використаний для надання (можливо, корисної) інформації про матрицю. 4

Виноски

[1] Нагадаємо, що ми задали подібне питання, коли дізналися про транспонування.

[2] Щось подумати: ми знаємо, що не всі квадратні матриці є оборотними. Чи зможемо ми сказати просто по сліду? Це здається малоймовірним.

[3] Існує багато різних вимірювань розміру матриці. У цьому тексті ми просто посилаємося на його розміри. Деякі вимірювання розміру відносяться до величини елементів в матриці. У наступному розділі описано ще одне вимірювання розміру матриці.

[4] Цей приклад виводить на світ багато цікавих ідей, які ми трохи втілимо тут.

  1. Зверніть увагу, що елементиA є12,1 і1. Складіть квадрати цих чисел:12+(2)2+12+12=7=tr(ATA).
    Зверніть увагу, що елементиB є67,11 і4. Додайте квадрати цих чисел:62+72+112+(4)2=222=tr(BTB).
    Чи можете ви зрозуміти, чому це правда? Дивлячись на множенняATA, зосередьтеся лише на тому, звідки беруться елементи на діагоналі, оскільки вони єдині, які мають значення при отриманні сліду.
  2. Ви можете самостійно підтвердити, що незалежно від габаритівA,tr(ATA)=tr(AAT). Щоб зрозуміти, чому це правда, розглянемо попередній пункт. (Нагадаємо також, щоATA іAAT завжди квадратні, незалежно від габаритівA.)
  3. Математиків насправді більше цікавитьtr(ATA), ніж простоtr(ATA). Причина цього трохи складна; коротка відповідь полягає в тому, що «він працює краще». Причина «це працює краще» пов'язана з теоремою Піфагора, всі речі. Якщо ми знаємо, що ніжки прямокутного трикутника мають довжинуa іb, нас більше цікавить,a2+b2 ніж простоa2+b2. Звичайно, це пояснення викликає більше питань, ніж відповідає; наша мета тут - просто підігріти апетит і змусити вас зробити трохи більше читання. Книга чисельної лінійної алгебри буде гарним місцем для початку.