2.7: Властивості зворотної матриці

Цілі навчання

• Що означає сказати, що два твердження є «еквівалентними?»
• T/F: Якщо не$A$ обертається, то не$A\vec{x}=\vec{0}$ може мати рішень.
• T/F: Якщо не$A$ є оборотним, то$A\vec{x}=\vec{b}$ може мати нескінченні рішення.
• Що таке зворотне від зворотного$A$?
• T/F: Рішення$A\vec{x}=\vec{b}$ за допомогою гаусової елімінації швидше, ніж використання зворотного$A$.

Ми закінчили попередній розділ тим, що оборотні матриці важливі. Так як вони є, то в цьому розділі ми вивчаємо оборотні матриці двома способами. По-перше, ми розглянемо способи визначити, чи є матриця оборотною, а по-друге, вивчаємо властивості оборотних матриць (тобто, як вони взаємодіють з іншими матричними операціями).

Почнемо зі збору способів, за допомогою яких ми знаємо, що матриця є оборотною. Істинність цієї теореми ми насправді вже знаємо з нашої роботи в попередньому розділі, але добре перерахувати наступні твердження в одному місці. Коли ми рухаємося через інші розділи, ми додамо до цієї теореми.

Теорема$\PageIndex{1}$: Invertible Matrix Theorem

$A$Дозволяти бути$n\times n$ матрицею. Наступні твердження рівнозначні.

1. $A$є оборотним.
2. Існує$B$ така матриця, що$BA = I$.
3. Існує$C$ така матриця, що$AC = I$.
4. Скорочений ряд ешелон форма$A$ є$I$.
5. Рівняння$A\vec{x}=\vec{b}$ має рівно один розв'язок для кожного$n\times 1$ вектора$\vec{b}$.
6. Рівняння$A\vec{x}=\vec{0}$ має рівно одне рішення (а саме,$\vec{x}=\vec{0}$).

Давайте звернемо увагу на кілька речей про теорему про оборотну матрицю.

1. По-перше, зауважте, що теорема використовує фразу «наступні твердження рівнозначні. Коли два або більше тверджень еквівалентні, це означає, що істина будь-якого з них означає, що решта також вірні; якщо будь-яке одне із тверджень є помилковим, то всі вони помилкові. Так, наприклад, якби ми$A\vec{x}=\vec{0}$ визначили, що рівняння має рівно одне рішення (і$A$ було$n\times n$ матрицею), то ми б знали, що$A$$A\vec{x}=\vec{b}$ було обернено, що було тільки одне рішення, що зменшений рядок ешелон форма$A$ була і$I$ т.д.
2. Давайте пройдемося по кожному з тверджень і подивимося, чому ми вже знали, що всі вони сказали по суті одне і те ж.
   1. Це просто говорить, що$A$ є оборотним — тобто існує$A^{-1}$ така матриця, що$A^{-1}A=AA^{-1}=I$. Ми продовжуватимемо, щоб показати, чому всі інші твердження в основному говорять нам «$A$є оборотним».
   2. Якщо ми знаємо, що$A$ є оборотним, то ми вже знаємо, що є матриця$B$ де$BA=I$. Це частина визначення оборотного. Однак ми також можемо «піти іншим шляхом». Нагадаємо з теореми 2.6.1, що навіть якщо все, що ми знаємо, що є матриця$B$ де$BA=I$, то ми також знаємо, що$AB=I$. Тобто ми знаємо, що$B$ є зворотним$A$ (а отже, і$A$ є оборотним).
   3. Ми використовуємо ту ж логіку, що і в попередньому твердженні, щоб показати, чому це те ж саме, що і «$A$обертається».
   4. Якщо$A$ обертається, ми можемо знайти зворотне за допомогою Key Idea 2.6.1 (що, в свою чергу, залежить від теореми 2.6.1). Суть Key Idea 2.6.1 полягає в тому, що зменшена форма ешелону рядків$A$ є$I$; якщо це щось інше, ми не можемо знайти$A^{-1}$ (його не існує). Знаючи, що$A$ є оборотним, означає, що зменшена форма ешелону ряду$A$ є$I$. Ми можемо піти іншим шляхом; якщо ми знаємо, що зменшена форма ешелону рядків$A$ є$I$, то ми можемо використовувати Key Idea 2.6.1, щоб знайти$A^{-1}$, так само$A$ є оборотним.
   5. З теореми 2.6.4 ми знаємо, що якщо$A$ є оборотним, то заданим будь-яким вектором$\vec{b}$, завжди$A\vec{x}=\vec{b}$ має рівно одне рішення, а саме$\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$. Однак ми можемо піти іншим шляхом; скажімо, ми знаємо, що$A\vec{x}=\vec{b}$ завжди має саме рішення. Як можна зробити висновок, що$A$ є оборотним?
      Подумайте про те, як ми до цього моменту визначили рішення$A\vec{x}=\vec{b}$. Налаштовуємо доповнену матрицю$\left[\begin{array}{cc}{A}&{\vec{b}}\end{array}\right]$ і поміщаємо її в зменшену форму ешелону рядка. Ми знаємо, що отримання матриці ідентичності зліва означає, що у нас було унікальне рішення (а не отримання ідентичності означає, що ми або не маємо рішення, або нескінченні рішення). Отже, потрапляючи$I$ ліворуч, означає мати унікальне рішення; маючи$I$ ліворуч означає, що зменшена форма ешелону рядка$A$ є$I$, яку ми знаємо зверху - це те саме,$A$ що бути оборотним.
   6. Це те саме, що і вище; просто$\vec{b}$ замініть вектор на вектор$\vec{0}$.

Ось ми і придумали список тверджень, які всі еквівалентні твердженню «$A$є оборотним». Знову ж таки, якщо ми знаємо, що якщо будь-який з них є істинним (або помилковим), то всі вони істинні (або всі помилкові).

Теорема формально$\PageIndex{1}$ стверджує, що якщо$A$ є оборотним, то$A\vec{x}=\vec{b}$ має рівно одне рішення, а саме$A^{-1}\vec{b}$. Що робити$A$, якщо не обертається? Які можливості для вирішення$A\vec{x}=\vec{b}$?

Ми знаємо, що$A\vec{x}=\vec{b}$ не може мати рівно одного рішення; якби це було, то за нашою теоремою воно було б обернене. Згадуючи, що лінійні рівняння мають або одне рішення, нескінченні розв'язки, або не розв'язок, ми залишаємося з останніми варіантами, коли не$A$ є оборотними. Ця ідея важлива, і тому ми знову заявимо про це як ключову ідею.

Ключова ідея$\PageIndex{1}$: Solutions to $A\vec{x}=\vec{b}$ and the Invertibility of $A$

Розглянемо систему лінійних рівнянь$A\vec{x}=\vec{b}$.

1. Якщо$A$ оборотний, то$A\vec{x}=\vec{b}$ має рівно одне рішення, а саме$A^{-1}\vec{b}$.
2. Якщо не$A$ є оборотним, то$A\vec{x}=\vec{b}$ має або нескінченні рішення, або немає.

У$\PageIndex{1}$ теоремі ми придумали список способів, за допомогою яких ми можемо сказати, чи є матриця оборотною. У той же час ми придумали список властивостей оборотних матриць — речі, які ми знаємо, які правдиві щодо них. (Наприклад, якщо ми знаємо, що$A$ є оборотним, то ми знаємо, що$A\vec{x}=\vec{b}$ має лише одне рішення.)

Тепер ми продовжуємо відкривати інші властивості оборотних матриць. Зокрема, ми хочемо з'ясувати, як оборотність взаємодіє з іншими матричними операціями. Наприклад, якщо ми знаємо, що$A$ і$B$ є оборотними, що таке зворотне$A+B$? Що таке зворотне$AB$? Що таке «зворотне від зворотного?» Ми розглянемо ці питання на прикладі.

Приклад$\PageIndex{1}$

Нехай

$$A=\left[\begin{array}{cc}{3}&{2}\\{0}&{1}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad B=\left[\begin{array}{cc}{-2}&{0}\\{1}&{1}\end{array}\right] . \nonumber$$

Знайти:

1. $A^{-1}$
2. $B^{-1}$
3. $(AB)^{-1}$
4. $(A^{-1})^{-1}$
5. $(A+B)^{-1}$
6. $(5A)^{-1}$

Крім того, постарайтеся знайти зв'язки між кожним з перерахованих вище.

Рішення

1. Обчислення$A^{-1}$ є простим; ми будемо використовувати теорему 2.6.3.
   $$A^{-1}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}{1}&{-2}\\{0}&{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{1/3}&{-2/3}\\{0}&{1}\end{array}\right] \nonumber$$
2. Обчислюємо$B^{-1}$ так само, як і вище.
   $$B^{-1}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-1}&{-2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{-1/2}&{0}\\{1/2}&{1}\end{array}\right] \nonumber$$
3. Для обчислення$(AB)^{-1}$ ми спочатку обчислюємо$AB$: Тепер
   $$AB=\left[\begin{array}{cc}{3}&{2}\\{0}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{-2}&{0}\\{1}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{-4}&{2}\\{1}&{1}\end{array}\right] \nonumber$$
   ми застосовуємо теорему 2.6.3, щоб знайти$(AB)^{-1}$.
   $$(AB)^{-1}=\frac{1}{-6}\left[\begin{array}{cc}{1}&{-2}\\{-1}&{-4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{-1/6}&{1/3}\\{1/6}&{2/3}\end{array}\right] \nonumber$$
4. Для обчислення$(A^{-1})^{-1}$ ми просто застосуємо теорему 2.6.3 до$A^{-1}$:
   $$(A^{-1})^{-1}=\frac{1}{1/3}\left[\begin{array}{cc}{1}&{2/3}\\{0}&{1/3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{3}&{2}\\{0}&{1}\end{array}\right]. \nonumber$$
5. Для обчислення ми спочатку обчислюємо$(A+B)^{-1}$,$A+B$ а потім застосовуємо теорему 2.6.3:
   $$A+B=\left[\begin{array}{cc}{3}&{2}\\{0}&{1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{-2}&{0}\\{1}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{1}&{2}\end{array}\right]. \nonumber$$
   Отже,
   $$(A+B)^{-1}=\frac{1}{0}\left[\begin{array}{cc}{2}&{-2}\\{-1}&{1}\end{array}\right]=! \nonumber$$
   наш останній вираз справді дурниця; ми знаємо$ad-bc=0$, що якщо, то дана матриця не є зворотною. Це стосується$A+B$, тому ми робимо висновок, що$A+B$ це не обертається.
6. Для обчислення ми обчислюємо$(5A)^{-1}$,$5A$ а потім застосовуємо теорему 2.6.3.
   $$(5A)^{-1}=\left(\left[\begin{array}{cc}{15}&{10}\\{0}&{5}\end{array}\right]\right)^{-1}=\frac{1}{75}\left[\begin{array}{cc}{5}&{-10}\\{0}&{15}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{1/15}&{-2/15}\\{0}&{1/5}\end{array}\right] \nonumber$$

Тепер ми шукаємо зв'язки між$A^{-1}$,$B^{-1}$,$(AB)^{-1}$,$(A^{-1})^{-1}$ і$(A+B)^{-1}$.

3. Чи існує якийсь зв'язок між$(AB)^{-1}$ і$A^{-1}$ і$B^{-1}$? Перше припущення, яке здається правдоподібним, є$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$. Це правда? Використовуючи нашу роботу зверху, ми маємо
   $$A^{-1}B^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{1/3}&{-2/3}\\{0}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{-1/2}&{0}\\{1/2}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{-1/2}&{-2/3}\\{1/2}&{1}\end{array}\right]. \nonumber$$
   Очевидно, що це не дорівнює$(AB)^{-1}$. Перш ніж ми зробимо якесь подальше ворожіння, давайте подумаємо про те,$AB$ що має робити зворотне. Зворотне - назвемо це$C$ - має бути матрицею, такою, що
   $$(AB)C=C(AB)=I. \nonumber$$
   При вивченні виразу ми бачимо$(AB)C$, що хочемо$B$ якось «скасувати» з$C$. Що «скасовує»$B$? Очевидною відповіддю є$B^{-1}$. Це дає нам думку: можливо, ми отримали порядок$A^{-1}$ і$B^{-1}$ неправильно раніше. Зрештою, ми сподівалися знайти, що,
   $$ABA^{-1}B^{-1}\stackrel{?}{=} I, \nonumber$$
   але алгебраїчно кажучи, важко скасувати ці умови. $^{1}$Однак перемикання порядку$A^{-1}$ і$B^{-1}$ дає нам деяку надію. Є$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$? Давайте подивимося.
   $$\begin{align}\begin{aligned}(AB)(B^{-1}A^{-1})&=A(BB^{-1})A^{-1} &\text{(regrouping by the associative property)} \\ &=AIA^{-1} &(BB^{-1}=I) \\ &=AA^{-1} &(AI=A) \\ &=I &(AA^{-1}=I)\end{aligned}\end{align} \nonumber$$
   Таким чином здається, що$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$. Підтвердимо це нашими прикладами матриць.
   $$B^{-1}A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{-1/2}&{0}\\{1/2}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1/3}&{-2/3}\\{0}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{-1/6}&{1/3}\\{1/6}&{2/3}\end{array}\right]=(AB)^{-1}. \nonumber$$
   Це спрацювало!

4. Чи існує якийсь зв'язок між$(A^{-1})^{-1}$ і$A$? Відповідь досить очевидна: вони рівні. «Обернене обернене» повертає одиницю до початкової матриці.

5. Чи є якісь відносини між$(A+B)^{-1}$,$A^{-1}$ і$B^{-1}$? Звичайно, якби ми були змушені зробити припущення, не працюючи жодних прикладів, ми б здогадалися, що
   $$(A+B)^{-1}\stackrel{?}{=} A^{-1}+B^{-1}. \nonumber$$
   Однак, ми побачили, що в нашому прикладі матриця навіть$(A+B)$ не обертається. Це в значній мірі вбиває будь-яку надію на зв'язок.

6. Чи існує зв'язок між$(5A)^{-1}$ і$A^{-1}$? Врахуйте:
   $$\begin{align}\begin{aligned}(5A)^{-1}&=\left[\begin{array}{cc}{1/15}&{-2/15}\\{0}&{1/5}\end{array}\right] \\ &=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}{1/3}&{-2/3}\\{0}&{1/5}\end{array}\right] \\ &=\frac{1}{5}A^{-1}\end{aligned}\end{align} \nonumber$$
   Так, зв'язок є!

Підіб'ємо підсумки цього прикладу. Якщо$A$ і$B$ є оборотними матрицями, то так і їх добуток,$AB$. Ми продемонстрували це на нашому прикладі, і є ще що сказати. Припустимо, що$A$ і$B$ є$n\times n$ матрицями, але ми ще не знаємо, чи є вони оборотними. Якщо$AB$ є оборотним, то кожен з$A$ і$B$ є; якщо$AB$ не обертається, то$A$ або$B$ теж не обертається.

Коротше кажучи, оборотність «добре працює» з матричним множенням. Однак ми побачили, що це погано працює з додаванням матриці. Знання того, що$A$ і$B$ є оборотними, не допомагає нам знайти зворотне$(A+B)$; насправді остання матриця може навіть не бути оборотною. $^{2}$

Давайте зробимо ще один приклад, потім підсумуємо результати цього розділу в теоремі.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти зворотне$A=\left[\begin{array}{ccc}{2}&{0}&{0}\\{0}&{3}&{0}\\{0}&{0}&{-7}\end{array}\right].$

Рішення

Ми знайдемо$A^{-1}$ using Key Idea 2.6.1.

$$\left[\begin{array}{cccccc}{2}&{0}&{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{3}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{-7}&{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{cccccc}{1}&{0}&{0}&{1/2}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}&{1/3}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}&{0}&{-1/7}\end{array}\right] \nonumber$$

Тому

$$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{1/2}&{0}&{0}\\{0}&{1/3}&{0}\\{0}&{0}&{-1/7}\end{array}\right]. \nonumber$$

Матриця$A$ в попередньому прикладі являє собою діагональну матрицю: єдині ненульові записи$A$ лежать по діагоналі. $^{3}$Відносини між$A$ і$A^{-1}$ в наведеному вище прикладі здаються досить міцними, і це справедливо в цілому. Ми викладемо це і підсумуємо результати цього розділу наступною теоремою.

Теорема$\PageIndex{2}$

Властивості оборотних матриць

$B$Дозволяти$A$ і бути$n\times n$ оборотними матрицями. Потім:

1. $AB$є оборотним;$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
2. $A^{-1}$є оборотним;$(A^{-1})^{-1}=A$.
3. $nA$обертається для будь-якого ненульового скаляра$n$;$(nA)^{-1}=\frac{1}{n}A^{-1}$.
4. Якщо$A$ діагональна матриця, з діагональними записами$d_{1},\: d_{2},\cdots , d_{n}$, де немає жодної діагональної записи$0$, то$A^{−1}$ існує і є діагональною матрицею. Крім того, діагональні записи$A^{−1}$ є$1/d_{1},\: 1/d_{2},\cdots , 1/d_{n}$.

Крім того,

1. Якщо продукт не$AB$ є оборотним, то$A$ або не$B$ є оборотним.
2. Якщо$A$ або не$B$ є оборотними, то не$AB$ є оборотними.

Закінчуємо цей розділ коментарем про рішення систем рівнянь «в реальному житті». $^{4}$Вирішення системи$A\vec{x}=\vec{b}$ за допомогою обчислень$A^{-1}\vec{b}$ здається досить гладким, тому було б сенс, що це так, як це зазвичай робиться. Однак на практиці це робиться рідко. Є дві основні причини, чому це так.

По-перше, обчислення$A^{-1}$ і$A^{-1}\vec{b}$ є «дорогим» в тому сенсі, що займає багато обчислювального часу. Звичайно, наші калькулятори не мають проблем з тими$3 \times 3$ випадками, які ми часто розглядаємо в цьому підручнику, але в реальному житті розглядаються матриці дуже великі (як у сотнях тисяч рядків і стовпців). $A^{-1}$Поодинці обчислення досить непрактичні, і ми витрачаємо багато часу, якщо прийдемо з'ясувати, що$A^{-1}$ не існує. Навіть якщо ми вже знаємо, що$A^{-1}$ таке, обчислення$A^{-1}\vec{b}$ коштують обчислювально дорого - гаусова елімінація швидше.

По-друге, обчислення$A^{-1}$ за допомогою описаного нами методу часто породжують числові помилки округлення. Незважаючи на те, що комп'ютери часто роблять обчислення з точністю до більш ніж 8 знаків після коми, після тисяч обчислень округлення можуть спричинити великі помилки. (У «маленькій»$1,000 \times 1,000$ матриці є$1,000,000$ записи! Ось багато місць, де накопичуються помилки округлення!) Це не нечуване мати комп'ютер обчислювати$A^{-1}$ для великої матриці, а потім відразу ж змусити його обчислити$AA^{-1}$ і не отримати ідентифікаційну матрицю. $^{5}$

Тому в реальному житті рішення зазвичай знаходять за допомогою методів,$A\vec{x}=\vec{b}$ які ми дізналися в розділі 2.4. Виявляється, навіть при всіх наших досягненнях в математиці важко обіграти базовий метод, який Гаусс давно ввів.

Виноски

[1] Нагадаємо, що множення матриці не є комутативним.

[2] Той факт, що оборотність добре працює з множенням матриць, не повинен стати несподіванкою. Адже кажучи, що$A$ є оборотним, робить твердження про багатоплікаційні властивості$A$. У ньому написано, що я можу помножити за$A$ допомогою спеціальної матриці, щоб отримати$I$. Зворотність, сама по собі, нічого не говорить про додавання матриць, тому ми не повинні бути занадто здивовані, що це погано працює з ним.

[3] Ми досі формально не визначили діагональ, але визначення є досить візуальним, тому ми ризикуємо. Докладніші відомості див. у Визначенні 3.1.2.

[4] Так, реальні люди вирішують лінійні рівняння в реальному житті. Не тільки математикам, але економістам, інженерам і вченим усіх смаків регулярно потрібно вирішувати лінійні рівняння, а матриці, які вони використовують, часто величезні.

Більшість людей бачать матриці на роботі, не замислюючись про це. Цифрові картинки - це просто «прямокутні масиви» чисел, що представляють кольори — вони є матрицями кольорів. Багато стандартних операцій обробки зображень включають операції з матрицею. Дружина автора має «7-мегапіксельну» камеру, яка створює знімки$3072\times 2304$ розміром, даючи понад 7 мільйонів пікселів, і це навіть не вважається «великою» картиною в наші дні.

[5] Результат, як правило, дуже близький, з цифрами на діагоналі близькими до 1, а інші записи близько 0. Але це не зовсім матриця ідентичності.