2.6: Матриця зворотна
- T/F: ЯкщоA іB квадратні матриці деAB=I, тоBA=I.
- T/F: МатрицяA має рівно одну обернену, нескінченну зворотну або не обернену.
- T/F: Кожен особливий.
- T/F: ЯкщоA є оборотним, тоA→x=→0 має саме1 рішення.
- Що таке наслідок?
- Заповніть пробіли: матриця_ є інвертованою корисною; обчислення зворотного є_.
Ще раз відвідаємо старе рівняння алгебри,ax=b. Як ми вирішуємо дляx? Ми знаємо, що до тих пірa≠0,x=ba, or, stated in another way, x=a−1b.
Що такеa−1? Це число, яке при множенні наa повертає 1. Тобто,a−1a=1.
Давайте тепер подумаємо з точки зору матриць. Ми дізналися про матрицю ідентичностіI, яка «діє як число 1». Тобто якщоA квадратна матриця, то
IA=AI=A.
Якби у нас була матриця, яку ми будемо називатиA−1A−1A=I, де, то за аналогією з нашим прикладом алгебри вище здається, що ми могли б бути в змозі вирішити лінійну системуA→x=→b для→x шляхом множення обох сторін рівняння наA−1. Тобто, можливо
→x=A−1→b.
Звичайно, тут багато спекуляцій. Ми не знаємо, що така матриця, якA−1 існує. Однак ми знаємо, як вирішити матричне рівнянняAX=B, тому ми можемо використовувати цю технікуAX=I для вирішення рівнянняX. Це здається, що це наблизить нас до того, що ми хочемо. Давайте попрактикуємо це один раз, а потім вивчимо наші результати.
Нехай
A=[2111].
Знайдіть матрицюX таку, щоAX=I.
Рішення
Ми знаємо, як це вирішити з попереднього розділу: формуємо правильну доповнену матрицю, поміщаємо її в скорочену форму ешелону рядків і інтерпретуємо результати.
[21101101]→rref[101−101−12]
Ми читаємо з нашої матриці, що
X=[1−1−12].
Перевіримо нашу роботу:
AX=[2111][1−1−12]=[1001]=I
Звичайно, це працює.
Дивлячись на наш попередній приклад, ми спокушаємося стрибнути і викликати матрицюX, яку ми знайшли «»A−1. Однак є дві перешкоди на шляху до того, як ми це робимо.
По-перше, ми це знаємо в ціломуAB≠BA. Таким чином, хоча ми виявилиAX=I, що, ми не можемо автоматично припустити, щоXA=I.
По-друге, ми бачили приклади матриць деAB=AC, алеB≠C. Так просто томуAX=I, що, цілком можливо, що інша матрицяY існує деAY=I. Якщо це так, використання позначенняA−1 було б оманливим, оскільки воно може посилатися на кілька матриць.
Ці перешкоди, з якими ми стикаємося, не є непереборними. Першою перешкодою було те, що ми це знаємо,AX=I але цього не зналиXA=I. Це досить легко перевірити, хоча. Давайте розглянемоA іX з нашого попереднього прикладу.
AX=[1−1−12][2111]=[1001]=I
Можливо, ця перша перешкода врешті-решт не є великою перешкодою. Звичайно, у нас є лише один приклад, де він працював, тому це не означає, що він завжди працює. Однак у нас є хороші новини: це завжди працює. Єдина «погана» новина, яка приходить з цим, полягає в тому, що це трохи складніше довести. Ми не будемо турбуватися про те, щоб довести, що це завжди працює, але офіційно заявляємо, що це робиться в наступній теоремі.
Спеціальні комутуючі матричні продукти
AДозволяти бутиn×n матрицею.
- Якщо є матрицяX такаAX=In, що, тоXA=In.
- Якщо є матрицяX такаXA=In, що, тоAX=In.
Другу перешкоду легше вирішити. Ми хочемо знати, якщо інша матрицяY існує деAY=I=YA. Припустимо, що це так. Розглянемо виразXAY. Оскільки множення матриці асоціативне, ми можемо згрупувати це будь-яким способом, який ми вибираємо. Ми могли б згрупувати це як(XA)Y; це призводить до
(XA)Y=IY=Y.
Ми також могли бXAY згрупувати якX(AY). Це говорить нам
X(AY)=XI=X
Поєднуючи дві ідеї вище, ми бачимо, щоX=XAY=Y; тобтоX=Y. Робимо висновок, що існує тільки одна матрицяX деXA=I=AX. (Навіть якщо ми думаємо, що у нас є два, ми можемо виконати вищезазначену вправу і побачити, що насправді у нас є лише одна.)
Ми щойно довели наступну теорему.
Унікальність рішеньAX=In
AДозволятиn×n матриця іX нехай матриця деAX=In. ТодіX є унікальним; це єдина матриця, яка задовольняє цьому рівнянню.
Так з урахуванням квадратної матриціA, якщо ми можемо знайти матрицюX деAX=I, то ми знаємо, щоXA=I іX це єдина матриця, яка робить це. Це робитьX особливим, тому ми даємо йому особливу назву.
AXДозволяти і бутиn×n матриці деAX=I=XA. Потім:
- Aє оборотним.
- Xє оберненоюA, позначається символомA−1.
Давайте зробимо приклад.
Знайдіть зворотнеA=[1224].
Рішення
Розв'язуючи рівнянняAX=I for X will give us the inverse of A. Forming the appropriate augmented matrix and finding its reduced row echelon form gives us
[12102401]→rref[1201/2001−1/2]
Ікес! Ми очікували виявити, що зменшена форма ешелону рядків цієї матриці буде виглядати так:
[IA−1].
Однак у нас немає ідентичності на лівій стороні. Наш висновок:A is not invertible.
Ми щойно побачили, що не всі матриці є оборотними. 1Маючи на увазі цю думку, давайте завершити масив коробки, які ми почали перед прикладом. Ми виявили, що якщо матриця має зворотну, вона має тільки один. Тому ми дали цій спеціальній матриці ім'я, «зворотна». Нарешті, ми опишемо найзагальніший спосіб знайти зворотну матрицю та спосіб визначити, чи немає у неї такої.
AДозволяти бутиn×n матрицею. Щоб знайтиA−1, ставимо доповнену матрицю
[AIn]
в скорочену форму ешелону ряду. Якщо результат має вигляд
[InX],
потімA−1=X. Якщо немає, (тобто якщо першихn стовпчиків скороченого ряду ешелону форми немаєIn), то неA є оборотним.
Спробуємо ще раз.
Знайдіть зворотне, якщо воно існує, зA=[11−11−11123].
Рішення
Ми спробуємо вирішитиAX=I дляX і подивитися, що станеться.
[11−11001−11010123001]→rref[1000.50.500100.2−0.40.2001−0.30.10.2]
У нас є рішення, тому
A=[0.50.500.2−0.40.2−0.30.10.2].
Помножте,AA−1 щоб переконатися, що це дійсно зворотнеA.
Загалом, задана матрицяA, щоб знайтиA−1 нам потрібно сформувати доповнену матрицю[AI] і помістити її в скорочену форму ешелону рядків і інтерпретувати результат. У випадку з2×2 матрицею, однак, є ярлик. Наведемо ярлик з точки зору теореми. 2
Обернене2×2 матриці
Нехай
A=[abcd].
Aє оборотним, якщо і тільки якщоad−bc≠0.
Якщоad−bc≠0, то
A−1=1ad−bc[d−b−ca].
Ми не можемо розділити на 0, так що якщоad−bc=0, у нас немає зворотного. Згадаймо приклад2.6.2, де
A=[1224].
Тутad−bc=1(4)−2(2)=0, саме томуA не було зворотного.
Хоча ця ідея проста, ми повинні її практикувати.
Використовуйте теорему2.6.3, щоб знайти обернену
A=[32−19]
якщо він існує.
Рішення
З тих пірad−bc=29≠0,A−1 існує. За теоремою,
A−1=13(9)−2(−1)[9−213]=129[9−213]
Ми можемо залишити свою відповідь у такому вигляді, або ми могли б «спростити» її як
A−1=129[9−213]=[9/29−2/291/293/29].
Ми почали цей розділ з припущення, що так само, як ми вирішували алгебраїчні рівняння формиax=b шляхом обчисленьx=a−1b, ми можемо вирішити матричні рівняння формиA→x=→b шляхом обчислень→x=A−1→b. ЯкщоA−1 існує, то ми можемо вирішити рівнянняA→x=→b таким чином. Розглянемо:
A→x=→b(original equation)A−1A→x=A−1→b(multiply both sides on the left by A−1)I→x=A−1→b(since A−1A=I)→x=A−1→b(since I→x=→x)
Давайте відступимо і подумаємо про це на мить. Єдине, що ми знаємо про рівняння,A→x=→b це те, щоA є оборотним. Ми також знаємо, що рішенняA→x=→b мають бути трьох форм: рівно одне рішення, нескінченне рішення і відсутність рішення. Ми просто показали, що якщоA є оборотним, тоA→x=→b має хоча б одне рішення. Ми показали, що встановивши→x рівнийA−1→b, ми маємо рішення. Чи можливо, що існує більше рішень?
Ні. Припустимо, нам кажуть, що→v відомий вектор - це рішення рівнянняA→x=→b; тобто ми це знаємоA→v=→b. Ми можемо повторити наведені вище дії:
A→v=→bA−1A→v=A−1→bI→v=A−1→b→v=A−1→b.
Це показує, що всі рішенняA→x=→b є саме→x=A−1→b тоді, колиA є оборотними. Ми щойно довели наступну теорему.
Інвертовані матриці та рішенняA→x=→b
AДозволяти бути оборотнаn×n матриця, і нехай→b буде будь-який векторn×1 стовпця. Тоді рівнянняA→x=→b має рівно одне рішення, а саме
→x=A−1→b.
Наслідком цієї 3теореми є: Якщо неA обертається, тоA→x=→b не має рівно одного рішення. Він може мати нескінченні рішення, і він може не мати рішення, і нам потрібно буде вивчити зменшену форму ешелону рядків розширеної матриці,[A→b] щоб побачити, який випадок застосовується.
Продемонструємо нашу теорему на прикладі.
ВирішитиA→x=→b за допомогою обчислень→x=A−1→b, де
A=[10−3−3−4104−5−11]and→b=[−1557−46].
Рішення
Не показуючи наших кроків, ми обчислюємо
A−1=[9415−1271−1315−4].
Потім ми знаходимо рішенняA→x=→b шляхом обчисленняA−1→b:
→x=A−1→b=[9415−1271−1315−4][−1557−46]=[−3−24].
Ми можемо легко перевірити нашу відповідь:
[10−3−3−4104−5−11][−3−24]=[−1557−46].
Знання матриці є оборотною неймовірно корисно. 4Серед багатьох інших причин, якщо ви знаєте, щоA є оборотним, то ви точно знаєте, щоA→x=→b має рішення (як ми щойно заявили в теоремі2.6.4). У наступному розділі ми продемонструємо багато різних властивостей оборотних матриць, включаючи вказівку декількох різних способів, за допомогою яких ми знаємо, що матриця є оборотною.
Виноски
[1] Звідси наше попереднє визначення; навіщо турбувати, називаючиA «оборотним», якщо кожна квадратна матриця є? Якщо всі особливі, то ніхто не є. Знову ж таки, кожен особливий.
[2] Ми не доводимо цю теорему тут, але це насправді не важко зробити. Помістіть матрицю[ab10cd01] в зменшену форму ешелону рядків, і ви відкриєте результат теореми. Крім того,A помножте на те, що ми пропонуємо, є зворотним і побачити, що ми дійсно отримуємоI.
[3] наслідком є ідея, яка випливає безпосередньо з теореми
[4] Як би дивно це не звучало, корисно знати, що матриця є оборотною; насправді обчислення зворотного не є. Про це йдеться в кінці наступного розділу.