Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.6: Матриця зворотна

Цілі навчання
  • T/F: ЯкщоA іB квадратні матриці деAB=I, тоBA=I.
  • T/F: МатрицяA має рівно одну обернену, нескінченну зворотну або не обернену.
  • T/F: Кожен особливий.
  • T/F: ЯкщоA є оборотним, тоAx=0 має саме1 рішення.
  • Що таке наслідок?
  • Заповніть пробіли: матриця_ є інвертованою корисною; обчислення зворотного є_.

Ще раз відвідаємо старе рівняння алгебри,ax=b. Як ми вирішуємо дляx? Ми знаємо, що до тих пірa0,x=ba, or, stated in another way, x=a1b.

Що такеa1? Це число, яке при множенні наa повертає 1. Тобто,a1a=1.

Давайте тепер подумаємо з точки зору матриць. Ми дізналися про матрицю ідентичностіI, яка «діє як число 1». Тобто якщоA квадратна матриця, то

IA=AI=A.

Якби у нас була матриця, яку ми будемо називатиA1A1A=I, де, то за аналогією з нашим прикладом алгебри вище здається, що ми могли б бути в змозі вирішити лінійну системуAx=b дляx шляхом множення обох сторін рівняння наA1. Тобто, можливо

x=A1b.

Звичайно, тут багато спекуляцій. Ми не знаємо, що така матриця, якA1 існує. Однак ми знаємо, як вирішити матричне рівнянняAX=B, тому ми можемо використовувати цю технікуAX=I для вирішення рівнянняX. Це здається, що це наблизить нас до того, що ми хочемо. Давайте попрактикуємо це один раз, а потім вивчимо наші результати.

Приклад2.6.1

Нехай

A=[2111].

Знайдіть матрицюX таку, щоAX=I.

Рішення

Ми знаємо, як це вирішити з попереднього розділу: формуємо правильну доповнену матрицю, поміщаємо її в скорочену форму ешелону рядків і інтерпретуємо результати.

[21101101]rref[10110112]

Ми читаємо з нашої матриці, що

X=[1112].

Перевіримо нашу роботу:

AX=[2111][1112]=[1001]=I

Звичайно, це працює.

Дивлячись на наш попередній приклад, ми спокушаємося стрибнути і викликати матрицюX, яку ми знайшли «»A1. Однак є дві перешкоди на шляху до того, як ми це робимо.

По-перше, ми це знаємо в ціломуABBA. Таким чином, хоча ми виявилиAX=I, що, ми не можемо автоматично припустити, щоXA=I.

По-друге, ми бачили приклади матриць деAB=AC, алеBC. Так просто томуAX=I, що, цілком можливо, що інша матрицяY існує деAY=I. Якщо це так, використання позначенняA1 було б оманливим, оскільки воно може посилатися на кілька матриць.

Ці перешкоди, з якими ми стикаємося, не є непереборними. Першою перешкодою було те, що ми це знаємо,AX=I але цього не зналиXA=I. Це досить легко перевірити, хоча. Давайте розглянемоA іX з нашого попереднього прикладу.

AX=[1112][2111]=[1001]=I

Можливо, ця перша перешкода врешті-решт не є великою перешкодою. Звичайно, у нас є лише один приклад, де він працював, тому це не означає, що він завжди працює. Однак у нас є хороші новини: це завжди працює. Єдина «погана» новина, яка приходить з цим, полягає в тому, що це трохи складніше довести. Ми не будемо турбуватися про те, щоб довести, що це завжди працює, але офіційно заявляємо, що це робиться в наступній теоремі.

Теорема2.6.1

Спеціальні комутуючі матричні продукти

AДозволяти бутиn×n матрицею.

  1. Якщо є матрицяX такаAX=In, що, тоXA=In.
  2. Якщо є матрицяX такаXA=In, що, тоAX=In.

Другу перешкоду легше вирішити. Ми хочемо знати, якщо інша матрицяY існує деAY=I=YA. Припустимо, що це так. Розглянемо виразXAY. Оскільки множення матриці асоціативне, ми можемо згрупувати це будь-яким способом, який ми вибираємо. Ми могли б згрупувати це як(XA)Y; це призводить до

(XA)Y=IY=Y.

Ми також могли бXAY згрупувати якX(AY). Це говорить нам

X(AY)=XI=X

Поєднуючи дві ідеї вище, ми бачимо, щоX=XAY=Y; тобтоX=Y. Робимо висновок, що існує тільки одна матрицяX деXA=I=AX. (Навіть якщо ми думаємо, що у нас є два, ми можемо виконати вищезазначену вправу і побачити, що насправді у нас є лише одна.)

Ми щойно довели наступну теорему.

Теорема2.6.2

Унікальність рішеньAX=In

AДозволятиn×n матриця іX нехай матриця деAX=In. ТодіX є унікальним; це єдина матриця, яка задовольняє цьому рівнянню.

Так з урахуванням квадратної матриціA, якщо ми можемо знайти матрицюX деAX=I, то ми знаємо, щоXA=I іX це єдина матриця, яка робить це. Це робитьX особливим, тому ми даємо йому особливу назву.

Визначення: оборотні матриці та зворотніA

AXДозволяти і бутиn×n матриці деAX=I=XA. Потім:

  1. Aє оборотним.
  2. Xє оберненоюA, позначається символомA1.

Давайте зробимо приклад.

Приклад2.6.2

Знайдіть зворотнеA=[1224].

Рішення

Розв'язуючи рівнянняAX=I for X will give us the inverse of A. Forming the appropriate augmented matrix and finding its reduced row echelon form gives us

[12102401]rref[1201/20011/2]

Ікес! Ми очікували виявити, що зменшена форма ешелону рядків цієї матриці буде виглядати так:

[IA1].

Однак у нас немає ідентичності на лівій стороні. Наш висновок:A is not invertible.

Ми щойно побачили, що не всі матриці є оборотними. 1Маючи на увазі цю думку, давайте завершити масив коробки, які ми почали перед прикладом. Ми виявили, що якщо матриця має зворотну, вона має тільки один. Тому ми дали цій спеціальній матриці ім'я, «зворотна». Нарешті, ми опишемо найзагальніший спосіб знайти зворотну матрицю та спосіб визначити, чи немає у неї такої.

Ключова ідея2.6.1: Finding A1

AДозволяти бутиn×n матрицею. Щоб знайтиA1, ставимо доповнену матрицю

[AIn]

в скорочену форму ешелону ряду. Якщо результат має вигляд

[InX],

потімA1=X. Якщо немає, (тобто якщо першихn стовпчиків скороченого ряду ешелону форми немаєIn), то неA є оборотним.

Спробуємо ще раз.

Приклад2.6.3

Знайдіть зворотне, якщо воно існує, зA=[111111123].

Рішення

Ми спробуємо вирішитиAX=I дляX і подивитися, що станеться.

[111100111010123001]rref[1000.50.500100.20.40.20010.30.10.2]

У нас є рішення, тому

A=[0.50.500.20.40.20.30.10.2].

Помножте,AA1 щоб переконатися, що це дійсно зворотнеA.

Загалом, задана матрицяA, щоб знайтиA1 нам потрібно сформувати доповнену матрицю[AI] і помістити її в скорочену форму ешелону рядків і інтерпретувати результат. У випадку з2×2 матрицею, однак, є ярлик. Наведемо ярлик з точки зору теореми. 2

Теорема2.6.3

Обернене2×2 матриці

Нехай

A=[abcd].

Aє оборотним, якщо і тільки якщоadbc0.

Якщоadbc0, то

A1=1adbc[dbca].

Ми не можемо розділити на 0, так що якщоadbc=0, у нас немає зворотного. Згадаймо приклад2.6.2, де

A=[1224].

Тутadbc=1(4)2(2)=0, саме томуA не було зворотного.

Хоча ця ідея проста, ми повинні її практикувати.

Приклад2.6.4

Використовуйте теорему2.6.3, щоб знайти обернену

A=[3219]

якщо він існує.

Рішення

З тих пірadbc=290,A1 існує. За теоремою,

A1=13(9)2(1)[9213]=129[9213]

Ми можемо залишити свою відповідь у такому вигляді, або ми могли б «спростити» її як

A1=129[9213]=[9/292/291/293/29].

Ми почали цей розділ з припущення, що так само, як ми вирішували алгебраїчні рівняння формиax=b шляхом обчисленьx=a1b, ми можемо вирішити матричні рівняння формиAx=b шляхом обчисленьx=A1b. ЯкщоA1 існує, то ми можемо вирішити рівнянняAx=b таким чином. Розглянемо:

Ax=b(original equation)A1Ax=A1b(multiply both sides on the left by A1)Ix=A1b(since A1A=I)x=A1b(since Ix=x)

Давайте відступимо і подумаємо про це на мить. Єдине, що ми знаємо про рівняння,Ax=b це те, щоA є оборотним. Ми також знаємо, що рішенняAx=b мають бути трьох форм: рівно одне рішення, нескінченне рішення і відсутність рішення. Ми просто показали, що якщоA є оборотним, тоAx=b має хоча б одне рішення. Ми показали, що встановившиx рівнийA1b, ми маємо рішення. Чи можливо, що існує більше рішень?

Ні. Припустимо, нам кажуть, щоv відомий вектор - це рішення рівнянняAx=b; тобто ми це знаємоAv=b. Ми можемо повторити наведені вище дії:

Av=bA1Av=A1bIv=A1bv=A1b.

Це показує, що всі рішенняAx=b є самеx=A1b тоді, колиA є оборотними. Ми щойно довели наступну теорему.

Теорема2.6.4

Інвертовані матриці та рішенняAx=b

AДозволяти бути оборотнаn×n матриця, і нехайb буде будь-який векторn×1 стовпця. Тоді рівнянняAx=b має рівно одне рішення, а саме

x=A1b.

Наслідком цієї 3теореми є: Якщо неA обертається, тоAx=b не має рівно одного рішення. Він може мати нескінченні рішення, і він може не мати рішення, і нам потрібно буде вивчити зменшену форму ешелону рядків розширеної матриці,[Ab] щоб побачити, який випадок застосовується.

Продемонструємо нашу теорему на прикладі.

Приклад2.6.5

ВирішитиAx=b за допомогою обчисленьx=A1b, де

A=[10334104511]andb=[155746].

Рішення

Не показуючи наших кроків, ми обчислюємо

A1=[9415127113154].

Потім ми знаходимо рішенняAx=b шляхом обчисленняA1b:

x=A1b=[9415127113154][155746]=[324].

Ми можемо легко перевірити нашу відповідь:

[10334104511][324]=[155746].

Знання матриці є оборотною неймовірно корисно. 4Серед багатьох інших причин, якщо ви знаєте, щоA є оборотним, то ви точно знаєте, щоAx=b має рішення (як ми щойно заявили в теоремі2.6.4). У наступному розділі ми продемонструємо багато різних властивостей оборотних матриць, включаючи вказівку декількох різних способів, за допомогою яких ми знаємо, що матриця є оборотною.

Виноски

[1] Звідси наше попереднє визначення; навіщо турбувати, називаючиA «оборотним», якщо кожна квадратна матриця є? Якщо всі особливі, то ніхто не є. Знову ж таки, кожен особливий.

[2] Ми не доводимо цю теорему тут, але це насправді не важко зробити. Помістіть матрицю[ab10cd01] в зменшену форму ешелону рядків, і ви відкриєте результат теореми. Крім того,A помножте на те, що ми пропонуємо, є зворотним і побачити, що ми дійсно отримуємоI.

[3] наслідком є ідея, яка випливає безпосередньо з теореми

[4] Як би дивно це не звучало, корисно знати, що матриця є оборотною; насправді обчислення зворотного не є. Про це йдеться в кінці наступного розділу.