2.6: Матриця зворотна

Цілі навчання

• T/F: Якщо\(A\) і\(B\) квадратні матриці де\(AB = I\), то\(BA = I\).
• T/F: Матриця\(A\) має рівно одну обернену, нескінченну зворотну або не обернену.
• T/F: Кожен особливий.
• T/F: Якщо\(A\) є оборотним, то\(A\vec{x} =\vec{0}\) має саме\(1\) рішення.
• Що таке наслідок?
• Заповніть пробіли: матриця\(\underline{\qquad}\) є інвертованою корисною; обчислення зворотного є\(\underline{\qquad}\).

Ще раз відвідаємо старе рівняння алгебри,\(ax=b\). Як ми вирішуємо для\(x\)? Ми знаємо, що до тих пір\(a\neq 0\),\[x = \frac{b}{a}, \ \text{or, stated in another way,} \ x = a^{-1}b. \nonumber \]

Що таке\(a^{-1}\)? Це число, яке при множенні на\(a\) повертає 1. Тобто,\[a^{-1}a = 1. \nonumber \]

Давайте тепер подумаємо з точки зору матриць. Ми дізналися про матрицю ідентичності\(I\), яка «діє як число 1». Тобто якщо\(A\) квадратна матриця, то

\[IA=AI=A. \nonumber \]

Якби у нас була матриця, яку ми будемо називати\(A^{-1}\)\(A^{-1}A=I\), де, то за аналогією з нашим прикладом алгебри вище здається, що ми могли б бути в змозі вирішити лінійну систему\(A\vec{x}=\vec{b}\) для\(\vec{x}\) шляхом множення обох сторін рівняння на\(A^{-1}\). Тобто, можливо

\[\vec{x}=A^{-1}\vec{b}. \nonumber \]

Звичайно, тут багато спекуляцій. Ми не знаємо, що така матриця, як\(A^{-1}\) існує. Однак ми знаємо, як вирішити матричне рівняння\(AX=B\), тому ми можемо використовувати цю техніку\(AX=I\) для вирішення рівняння\(X\). Це здається, що це наблизить нас до того, що ми хочемо. Давайте попрактикуємо це один раз, а потім вивчимо наші результати.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Нехай

\[A=\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{1}\end{array}\right]. \nonumber \]

Знайдіть матрицю\(X\) таку, що\(AX=I\).

Рішення

Ми знаємо, як це вирішити з попереднього розділу: формуємо правильну доповнену матрицю, поміщаємо її в скорочену форму ешелону рядків і інтерпретуємо результати.

\[\left[\begin{array}{cccc}{2}&{1}&{1}&{0}\\{1}&{1}&{0}&{1}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{1}&{-1}\\{0}&{1}&{-1}&{2}\end{array}\right] \nonumber \]

Ми читаємо з нашої матриці, що

\[X=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{-1}&{2}\end{array}\right]. \nonumber \]

Перевіримо нашу роботу:

\[\begin{align}\begin{aligned}AX&=\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{-1}&{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}\right] \\ &=I\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Звичайно, це працює.

Дивлячись на наш попередній приклад, ми спокушаємося стрибнути і викликати матрицю\(X\), яку ми знайшли «»\(A^{-1}\). Однак є дві перешкоди на шляху до того, як ми це робимо.

По-перше, ми це знаємо в цілому\(AB\neq BA\). Таким чином, хоча ми виявили\(AX=I\), що, ми не можемо автоматично припустити, що\(XA=I\).

По-друге, ми бачили приклади матриць де\(AB=AC\), але\(B\neq C\). Так просто тому\(AX=I\), що, цілком можливо, що інша матриця\(Y\) існує де\(AY=I\). Якщо це так, використання позначення\(A^{-1}\) було б оманливим, оскільки воно може посилатися на кілька матриць.

Ці перешкоди, з якими ми стикаємося, не є непереборними. Першою перешкодою було те, що ми це знаємо,\(AX=I\) але цього не знали\(XA=I\). Це досить легко перевірити, хоча. Давайте розглянемо\(A\) і\(X\) з нашого попереднього прикладу.

\[\begin{align}\begin{aligned}AX&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{-1}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}\right] \\ &=I\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Можливо, ця перша перешкода врешті-решт не є великою перешкодою. Звичайно, у нас є лише один приклад, де він працював, тому це не означає, що він завжди працює. Однак у нас є хороші новини: це завжди працює. Єдина «погана» новина, яка приходить з цим, полягає в тому, що це трохи складніше довести. Ми не будемо турбуватися про те, щоб довести, що це завжди працює, але офіційно заявляємо, що це робиться в наступній теоремі.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Спеціальні комутуючі матричні продукти

\(A\)Дозволяти бути\(n\times n\) матрицею.

1. Якщо є матриця\(X\) така\(AX=I_{n}\), що, то\(XA=I_{n}\).
2. Якщо є матриця\(X\) така\(XA=I_{n}\), що, то\(AX=I_{n}\).

Другу перешкоду легше вирішити. Ми хочемо знати, якщо інша матриця\(Y\) існує де\(AY=I=YA\). Припустимо, що це так. Розглянемо вираз\(XAY\). Оскільки множення матриці асоціативне, ми можемо згрупувати це будь-яким способом, який ми вибираємо. Ми могли б згрупувати це як\((XA)Y\); це призводить до

\[\begin{align}\begin{aligned}(XA)Y&=IY \\ &=Y. \end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Ми також могли б\(XAY\) згрупувати як\(X(AY)\). Це говорить нам

\[\begin{align}\begin{aligned}X(AY)&=XI \\ &=X\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Поєднуючи дві ідеї вище, ми бачимо, що\(X=XAY=Y\); тобто\(X=Y\). Робимо висновок, що існує тільки одна матриця\(X\) де\(XA=I=AX\). (Навіть якщо ми думаємо, що у нас є два, ми можемо виконати вищезазначену вправу і побачити, що насправді у нас є лише одна.)

Ми щойно довели наступну теорему.

Теорема\(\PageIndex{2}\)

Унікальність рішень\(AX=I_{n}\)

\(A\)Дозволяти\(n\times n\) матриця і\(X\) нехай матриця де\(AX=I_{n}\). Тоді\(X\) є унікальним; це єдина матриця, яка задовольняє цьому рівнянню.

Так з урахуванням квадратної матриці\(A\), якщо ми можемо знайти матрицю\(X\) де\(AX=I\), то ми знаємо, що\(XA=I\) і\(X\) це єдина матриця, яка робить це. Це робить\(X\) особливим, тому ми даємо йому особливу назву.

Визначення: оборотні матриці та зворотні\(A\)

\(A\)\(X\)Дозволяти і бути\(n\times n\) матриці де\(AX=I=XA\). Потім:

1. \(A\)є оборотним.
2. \(X\)є оберненою\(A\), позначається символом\(A^{-1}\).

Давайте зробимо приклад.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть зворотне\(A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{2}&{4}\end{array}\right]\).

Рішення

Розв'язуючи рівняння\(AX=I\) for \(X\) will give us the inverse of \(A\). Forming the appropriate augmented matrix and finding its reduced row echelon form gives us

\[\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{1}&{0}\\{2}&{4}&{0}&{1}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{0}&{1/2}\\{0}&{0}&{1}&{-1/2}\end{array}\right] \nonumber \]

Ікес! Ми очікували виявити, що зменшена форма ешелону рядків цієї матриці буде виглядати так:

\[\left[\begin{array}{cc}{I}&{A^{-1}}\end{array}\right]. \nonumber \]

Однак у нас немає ідентичності на лівій стороні. Наш висновок:\(A\) is not invertible.

Ми щойно побачили, що не всі матриці є оборотними. \(^{1}\)Маючи на увазі цю думку, давайте завершити масив коробки, які ми почали перед прикладом. Ми виявили, що якщо матриця має зворотну, вона має тільки один. Тому ми дали цій спеціальній матриці ім'я, «зворотна». Нарешті, ми опишемо найзагальніший спосіб знайти зворотну матрицю та спосіб визначити, чи немає у неї такої.

Ключова ідея\(\PageIndex{1}\): Finding \(A^{-1}\)

\(A\)Дозволяти бути\(n\times n\) матрицею. Щоб знайти\(A^{-1}\), ставимо доповнену матрицю

\[\left[\begin{array}{cc}{A}&{I_{n}}\end{array}\right] \nonumber \]

в скорочену форму ешелону ряду. Якщо результат має вигляд

\[\left[\begin{array}{cc}{I_{n}}&{X}\end{array}\right], \nonumber \]

потім\(A^{-1}=X\). Якщо немає, (тобто якщо перших\(n\) стовпчиків скороченого ряду ешелону форми немає\(I_{n}\)), то не\(A\) є оборотним.

Спробуємо ще раз.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть зворотне, якщо воно існує, з\(A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{-1}\\{1}&{-1}&{1}\\{1}&{2}&{3}\end{array}\right]\).

Рішення

Ми спробуємо вирішити\(AX=I\) для\(X\) і подивитися, що станеться.

\[\left[\begin{array}{cccccc}{1}&{1}&{-1}&{1}&{0}&{0}\\{1}&{-1}&{1}&{0}&{1}&{0}\\{1}&{2}&{3}&{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\quad\vec{\text{rref}}\quad\left[\begin{array}{cccccc}{1}&{0}&{0}&{0.5}&{0.5}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0.2}&{-0.4}&{0.2}\\{0}&{0}&{1}&{-0.3}&{0.1}&{0.2}\end{array}\right] \nonumber \]

У нас є рішення, тому

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{0.5}&{0.5}&{0}\\{0.2}&{-0.4}&{0.2}\\{-0.3}&{0.1}&{0.2}\end{array}\right]. \nonumber \]

Помножте,\(AA^{-1}\) щоб переконатися, що це дійсно зворотне\(A\).

Загалом, задана матриця\(A\), щоб знайти\(A^{-1}\) нам потрібно сформувати доповнену матрицю\(\left[\begin{array}{cc}{A}&{I}\end{array}\right]\) і помістити її в скорочену форму ешелону рядків і інтерпретувати результат. У випадку з\(2\times 2\) матрицею, однак, є ярлик. Наведемо ярлик з точки зору теореми. \(^{2}\)

Теорема\(\PageIndex{3}\)

Обернене\(2\times 2\) матриці

Нехай

\[A=\left[\begin{array}{cc}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}\right]. \nonumber \]

\(A\)є оборотним, якщо і тільки якщо\(ad-bc\neq 0\).

Якщо\(ad-bc\neq 0\), то

\[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{array}\right]. \nonumber \]

Ми не можемо розділити на 0, так що якщо\(ad-bc=0\), у нас немає зворотного. Згадаймо приклад\(\PageIndex{2}\), де

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{2}&{4}\end{array}\right]. \nonumber \]

Тут\(ad-bc = 1(4) - 2(2) = 0\), саме тому\(A\) не було зворотного.

Хоча ця ідея проста, ми повинні її практикувати.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Використовуйте теорему\(\PageIndex{3}\), щоб знайти обернену

\[A=\left[\begin{array}{cc}{3}&{2}\\{-1}&{9}\end{array}\right] \nonumber \]

якщо він існує.

Рішення

З тих пір\(ad-bc = 29 \neq 0\),\(A^{-1}\) існує. За теоремою,

\[\begin{align}\begin{aligned}A^{-1}&=\frac{1}{3(9)-2(-1)}\left[\begin{array}{cc}{9}&{-2}\\{1}&{3}\end{array}\right] \\ &=\frac{1}{29}\left[\begin{array}{cc}{9}&{-2}\\{1}&{3}\end{array}\right]\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Ми можемо залишити свою відповідь у такому вигляді, або ми могли б «спростити» її як

\[A^{-1}=\frac{1}{29}\left[\begin{array}{cc}{9}&{-2}\\{1}&{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{9/29}&{-2/29} \\ {1/29}&{3/29}\end{array}\right]. \nonumber \]

Ми почали цей розділ з припущення, що так само, як ми вирішували алгебраїчні рівняння форми\(ax=b\) шляхом обчислень\(x = a^{-1}b\), ми можемо вирішити матричні рівняння форми\(A\vec{x}=\vec{b}\) шляхом обчислень\(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\). Якщо\(A^{-1}\) існує, то ми можемо вирішити рівняння\(A\vec{x}=\vec{b}\) таким чином. Розглянемо:

\[\begin{align}\begin{aligned}A\vec{x}&=\vec{b} &\text{(original equation)} \\ A^{-1}A\vec{x}&=A^{-1}\vec{b} &\text{(multiply both sides on the left by }A^{-1}) \\ I\vec{x}&=A^{-1}\vec{b} &\text{(since }A^{-1}A=I) \\ \vec{x}&=A^{-1}\vec{b} &\text{(since }I\vec{x}=\vec{x})\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Давайте відступимо і подумаємо про це на мить. Єдине, що ми знаємо про рівняння,\(A\vec{x}=\vec{b}\) це те, що\(A\) є оборотним. Ми також знаємо, що рішення\(A\vec{x}=\vec{b}\) мають бути трьох форм: рівно одне рішення, нескінченне рішення і відсутність рішення. Ми просто показали, що якщо\(A\) є оборотним, то\(A\vec{x}=\vec{b}\) має хоча б одне рішення. Ми показали, що встановивши\(\vec{x}\) рівний\(A^{-1}\vec{b}\), ми маємо рішення. Чи можливо, що існує більше рішень?

Ні. Припустимо, нам кажуть, що\(\vec{v}\) відомий вектор - це рішення рівняння\(A\vec{x}=\vec{b}\); тобто ми це знаємо\(A\vec{v}=\vec{b}\). Ми можемо повторити наведені вище дії:

\[\begin{align}\begin{aligned}A\vec{v}&=\vec{b} \\ A^{-1}A\vec{v}&=A^{-1}\vec{b} \\ I\vec{v}&=A^{-1}\vec{b} \\ \vec{v}&=A^{-1}\vec{b}.\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Це показує, що всі рішення\(A\vec{x}=\vec{b}\) є саме\(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\) тоді, коли\(A\) є оборотними. Ми щойно довели наступну теорему.

Теорема\(\PageIndex{4}\)

Інвертовані матриці та рішення\(A\vec{x}=\vec{b}\)

\(A\)Дозволяти бути оборотна\(n\times n\) матриця, і нехай\(\vec{b}\) буде будь-який вектор\(n\times 1\) стовпця. Тоді рівняння\(A\vec{x}=\vec{b}\) має рівно одне рішення, а саме

\[\vec{x}=A^{-1}\vec{b} . \nonumber \]

Наслідком цієї \(^{3}\)теореми є: Якщо не\(A\) обертається, то\(A\vec{x}=\vec{b}\) не має рівно одного рішення. Він може мати нескінченні рішення, і він може не мати рішення, і нам потрібно буде вивчити зменшену форму ешелону рядків розширеної матриці,\(\left[\begin{array}{cc}{A}&{\vec{b}}\end{array}\right]\) щоб побачити, який випадок застосовується.

Продемонструємо нашу теорему на прикладі.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вирішити\(A\vec{x}=\vec{b}\) за допомогою обчислень\(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\), де

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{-3}\\{-3}&{-4}&{10}\\{4}&{-5}&{-11}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{b}=\left[\begin{array}{c}{-15}\\{57}\\{-46}\end{array}\right]. \nonumber \]

Рішення

Не показуючи наших кроків, ми обчислюємо

\[A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{94}&{15}&{-12}\\{7}&{1}&{-1}\\{31}&{5}&{-4}\end{array}\right]. \nonumber \]

Потім ми знаходимо рішення\(A\vec{x}=\vec{b}\) шляхом обчислення\(A^{-1}\vec{b}\):

\[\begin{align}\begin{aligned}\vec{x}&=A^{-1}\vec{b} \\ &=\left[\begin{array}{ccc}{94}&{15}&{-12}\\{7}&{1}&{-1}\\{31}&{5}&{-4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{-15}\\{57}\\{-46}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c}{-3}\\{-2}\\{4}\end{array}\right].\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Ми можемо легко перевірити нашу відповідь:

\[\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{-3}\\{-3}&{-4}&{10}\\{4}&{-5}&{-11}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{-3}\\{-2}\\{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{-15}\\{57}\\{-46}\end{array}\right]. \nonumber \]

Знання матриці є оборотною неймовірно корисно. \(^{4}\)Серед багатьох інших причин, якщо ви знаєте, що\(A\) є оборотним, то ви точно знаєте, що\(A\vec{x}=\vec{b}\) має рішення (як ми щойно заявили в теоремі\(\PageIndex{4}\)). У наступному розділі ми продемонструємо багато різних властивостей оборотних матриць, включаючи вказівку декількох різних способів, за допомогою яких ми знаємо, що матриця є оборотною.

Виноски

[1] Звідси наше попереднє визначення; навіщо турбувати, називаючи\(A\) «оборотним», якщо кожна квадратна матриця є? Якщо всі особливі, то ніхто не є. Знову ж таки, кожен особливий.

[2] Ми не доводимо цю теорему тут, але це насправді не важко зробити. Помістіть матрицю\[\left[\begin{array}{cccc}{a}&{b}&{1}&{0}\\{c}&{d}&{0}&{1}\end{array}\right] \nonumber \] в зменшену форму ешелону рядків, і ви відкриєте результат теореми. Крім того,\(A\) помножте на те, що ми пропонуємо, є зворотним і побачити, що ми дійсно отримуємо\(I\).

[3] наслідком є ідея, яка випливає безпосередньо з теореми

[4] Як би дивно це не звучало, корисно знати, що матриця є оборотною; насправді обчислення зворотного не є. Про це йдеться в кінці наступного розділу.