6.2: Комплексні функції

Комплексні функції

Комплексна функція - це всього лише правило для присвоєння певних комплексних чисел іншим комплексним числам. Найпростішим (непостійним) присвоєнням є функція ідентичності.\(f(z) \equiv z\) Можливо, наступна найпростіша функція присвоює кожному числу свій квадрат, т\(f(z) \equiv z^2\). Як ми розкладали аргумент\(f\), а саме значення\(z\)\(f\),\(z^2\) в даному випадку, на його реальну і уявну частини. Загалом, пишемо

\[f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y) \nonumber\]

де\(u\) і\(v\) є обома реальними функціями двох дійсних змінних. У тому випадку, коли\(f(z) \equiv z^{2}\) ми знаходимо

\[u(x,y) = x^{2}-y^{2} \nonumber\]

і

\[v(x,y) = 2xy \nonumber\]

За допомогою інструментів комплексних чисел ми можемо створювати комплексні многочлени

\[f(z) = z^{m}+c_{m-1}z^{m-1}+\cdots+c_{1}z+c_{0} \nonumber\]

Ми говоримо, що\(f\) такий порядок\(m\). Нам часто буде зручно представляти поліноми як добуток їх факторів, а саме

\[f(z) = (z- \lambda_{1})^{d^{1}}(z-\lambda_{2})^{d^{2}} \cdots (z-\lambda_{h})^{d^{h}} \nonumber\]

Кожен\(\lambda_{j}\) - це корінь ступеня\(d_{j}\). \(h\)Ось кількість різних коренів\(f\). Ми називаємо\(\lambda_{j}\) простий корінь при\(d_{j} = 1\) раціональних функціях. Припустимо

\[q(z) = \frac{f(z)}{g(z)} \nonumber\]

в раціональному,\(f\) тобто порядку в більшості, в\(m-1\)\(g\) той час як порядок\(m\) з простими корінням\(\{\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m}\}\). Не дивно, що такі\(q\) повинні визнати часткове розширення фракції.

\[q(z) = \sum_{j = 1}^{m} \frac{q_{j}}{z-\lambda_{j}} \nonumber\]

Один розкриває,\(q_{j}\) спочатку множивши кожну сторону,\(z-\lambda_{j}\) а потім дозволяючи,\(z\) як правило, до\(\lambda_{j}\). Наприклад, якщо

\[\frac{1}{z^{2}+1} = \frac{q_{1}}{z+i}+\frac{q_{2}}{z-i} \nonumber\]

потім множивши кожну сторону на\(z+i\) виробляє

\[\frac{1}{z-i} = q_{1}+\frac{q_{2}(z+i)}{z-i} \nonumber\]

Тепер для того, щоб ізолювати,\(q_{1}\) зрозуміло, що ми повинні встановити\(z = -i\). Таким чином, ми знаходимо, що\(q_{1} = \frac{i}{2}\). Для того, щоб знайти,\(q_{2}\) ми множимо Рівняння на,\(z-i\) а потім встановити\(z = i\). Таким чином, ми знаходимо\(q_{2} = -\frac{i}{2}\), і так

\[\frac{1}{z^2+i} = \frac{\frac{i}{2}}{z+i}+\frac{\frac{-i}{2}}{z-i} \nonumber\]

Повертаючись до загального випадку, закодуємо вищевикладене в просту формулу

\[q_{j} = \lim_{zZ \rightarrow \lambda_{j}} (z-\lambda_{j})q(z) \nonumber\]

Ви повинні мати можливість використовувати це, щоб підтвердити це

\[\frac{z}{z^2+1} = \frac{1/2}{z+i}+\frac{1/2}{z-i} \nonumber\]

Нагадаємо, що передавальна функція, яку ми зустріли в модулі Transform Лапласа, насправді була матрицею раціональних функцій. Тепер часткове часткове часткове розширення матриці раціональних функцій - це просто матриця часткових дробових розширень кожного з її елементів. Це зробити простіше, ніж сказано. Наприклад, передавальна функція

\[B = \begin{pmatrix} {0}&{-1}\\ {1}&{0} \end{pmatrix}\]

є

\[\begin{align*} (zI-B)^{-1} &= \frac{1}{z^{2}+1} \begin{pmatrix} {z}&{1}\\ {-1}&{z} \end{pmatrix} \\[4pt] &= \frac{1}{z+i} \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}}&{\frac{i}{2}}\\ {\frac{-i}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}+\frac{1}{z-i} \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}}&{\frac{-i}{2}}\\ {\frac{i}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{pmatrix} \end{align*}\]

Перший рядок формується або Гаусса-Йорданом вручну, або за допомогою символічного набору інструментів у Matlab. Що ще важливіше, другий рядок - це просто об'єднання рівняння та рівняння. Складні матриці остаточно увійшли в картину. Ми присвятимо всю главу 10 розкриттю чудових властивостей, якими користуються матриці, які з'являються в розширенні часткової частки Чи\((zI-B)^{-1}\) помітили ви, що в нашому прикладі дві матриці - це кожна проекція, і вони підсумовуються I і що їх добуток дорівнює 0? Чи може це бути випадковість?

У модулі «Трансформація Лапласа» ми зіткнулися зі складною експоненцією. За аналогією з реальною експонентою визначаємо

\[e^{z} \equiv \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \nonumber\]

і знайдіть, що

\[\begin{align*} e^{e} &= 1+i \theta+\frac{(i \theta)^2}{2}+\frac{(i \theta)^{3}}{3!}+\frac{(i \theta)^{4}}{4!}+ \cdots \\[4pt] &= 1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4}-\cdots+i(\theta-\frac{\theta^{3}}{3}+\frac{\theta^{5}}{5}-\cdots) \\[4pt] &= \cos \theta+i \sin \theta \end{align*}\]

При цьому спостереженні полярна форма тепер просто\(z = |z|e^{i \theta}\)

Можна так само легко перевірити, що

\[\cos(\theta) = \frac{e^{i \theta}+e^{(-i) \theta}}{2} \nonumber\]

і

\[\sin(\theta) = \frac{e^{i \theta}-e^{(-i) \theta}}{2i} \nonumber\]

Вони припускають визначення, для складних\(z\)

\[\cos(z) \equiv \frac{e^{iz}+e^{(-i)z}}{2} \nonumber\]

і

\[\sin(z) \equiv \frac{e^{iz}-e^{(-i)z}}{2i} \nonumber\]

Як і в реальному випадку, експоненціальна користується властивістю, яка

\[e^{z_{1}+z_{2}} = e^{z_{1}}e^{z_{2}} \nonumber\]

і зокрема

\[\begin{align*} e^{x+iy} &= e^{x}e^{iy} \\[4pt] &= e^{x} \cos(y)+ie^{x} \sin(y) \end{align*}\]

Нарешті, оберненою комплексною експоненціальною є комплексний логарифм,

\[\ln (z) \equiv \ln(|z|)+i \theta \nonumber\]

для\(z = |z|e^{i \theta}\). Один знаходить, що\(\ln(-1+i) = \ln(\sqrt{2})+i \frac{3\pi}{4}\).