6.2: Комплексні функції

Комплексні функції

Комплексна функція - це всього лише правило для присвоєння певних комплексних чисел іншим комплексним числам. Найпростішим (непостійним) присвоєнням є функція ідентичності.$f(z) \equiv z$ Можливо, наступна найпростіша функція присвоює кожному числу свій квадрат, т$f(z) \equiv z^2$. Як ми розкладали аргумент$f$, а саме значення$z$$f$,$z^2$ в даному випадку, на його реальну і уявну частини. Загалом, пишемо

$$f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y) \nonumber$$

де$u$ і$v$ є обома реальними функціями двох дійсних змінних. У тому випадку, коли$f(z) \equiv z^{2}$ ми знаходимо

$$u(x,y) = x^{2}-y^{2} \nonumber$$

і

$$v(x,y) = 2xy \nonumber$$

За допомогою інструментів комплексних чисел ми можемо створювати комплексні многочлени

$$f(z) = z^{m}+c_{m-1}z^{m-1}+\cdots+c_{1}z+c_{0} \nonumber$$

Ми говоримо, що$f$ такий порядок$m$. Нам часто буде зручно представляти поліноми як добуток їх факторів, а саме

$$f(z) = (z- \lambda_{1})^{d^{1}}(z-\lambda_{2})^{d^{2}} \cdots (z-\lambda_{h})^{d^{h}} \nonumber$$

Кожен$\lambda_{j}$ - це корінь ступеня$d_{j}$. $h$Ось кількість різних коренів$f$. Ми називаємо$\lambda_{j}$ простий корінь при$d_{j} = 1$ раціональних функціях. Припустимо

$$q(z) = \frac{f(z)}{g(z)} \nonumber$$

в раціональному,$f$ тобто порядку в більшості, в$m-1$$g$ той час як порядок$m$ з простими корінням$\{\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m}\}$. Не дивно, що такі$q$ повинні визнати часткове розширення фракції.

$$q(z) = \sum_{j = 1}^{m} \frac{q_{j}}{z-\lambda_{j}} \nonumber$$

Один розкриває,$q_{j}$ спочатку множивши кожну сторону,$z-\lambda_{j}$ а потім дозволяючи,$z$ як правило, до$\lambda_{j}$. Наприклад, якщо

$$\frac{1}{z^{2}+1} = \frac{q_{1}}{z+i}+\frac{q_{2}}{z-i} \nonumber$$

потім множивши кожну сторону на$z+i$ виробляє

$$\frac{1}{z-i} = q_{1}+\frac{q_{2}(z+i)}{z-i} \nonumber$$

Тепер для того, щоб ізолювати,$q_{1}$ зрозуміло, що ми повинні встановити$z = -i$. Таким чином, ми знаходимо, що$q_{1} = \frac{i}{2}$. Для того, щоб знайти,$q_{2}$ ми множимо Рівняння на,$z-i$ а потім встановити$z = i$. Таким чином, ми знаходимо$q_{2} = -\frac{i}{2}$, і так

$$\frac{1}{z^2+i} = \frac{\frac{i}{2}}{z+i}+\frac{\frac{-i}{2}}{z-i} \nonumber$$

Повертаючись до загального випадку, закодуємо вищевикладене в просту формулу

$$q_{j} = \lim_{zZ \rightarrow \lambda_{j}} (z-\lambda_{j})q(z) \nonumber$$

Ви повинні мати можливість використовувати це, щоб підтвердити це

$$\frac{z}{z^2+1} = \frac{1/2}{z+i}+\frac{1/2}{z-i} \nonumber$$

Нагадаємо, що передавальна функція, яку ми зустріли в модулі Transform Лапласа, насправді була матрицею раціональних функцій. Тепер часткове часткове часткове розширення матриці раціональних функцій - це просто матриця часткових дробових розширень кожного з її елементів. Це зробити простіше, ніж сказано. Наприклад, передавальна функція

$$B = \begin{pmatrix} {0}&{-1}\\ {1}&{0} \end{pmatrix}$$

є

$$\begin{align*} (zI-B)^{-1} &= \frac{1}{z^{2}+1} \begin{pmatrix} {z}&{1}\\ {-1}&{z} \end{pmatrix} \\[4pt] &= \frac{1}{z+i} \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}}&{\frac{i}{2}}\\ {\frac{-i}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}+\frac{1}{z-i} \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}}&{\frac{-i}{2}}\\ {\frac{i}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{pmatrix} \end{align*}$$

Перший рядок формується або Гаусса-Йорданом вручну, або за допомогою символічного набору інструментів у Matlab. Що ще важливіше, другий рядок - це просто об'єднання рівняння та рівняння. Складні матриці остаточно увійшли в картину. Ми присвятимо всю главу 10 розкриттю чудових властивостей, якими користуються матриці, які з'являються в розширенні часткової частки Чи$(zI-B)^{-1}$ помітили ви, що в нашому прикладі дві матриці - це кожна проекція, і вони підсумовуються I і що їх добуток дорівнює 0? Чи може це бути випадковість?

У модулі «Трансформація Лапласа» ми зіткнулися зі складною експоненцією. За аналогією з реальною експонентою визначаємо

$$e^{z} \equiv \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \nonumber$$

і знайдіть, що

$$\begin{align*} e^{e} &= 1+i \theta+\frac{(i \theta)^2}{2}+\frac{(i \theta)^{3}}{3!}+\frac{(i \theta)^{4}}{4!}+ \cdots \\[4pt] &= 1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4}-\cdots+i(\theta-\frac{\theta^{3}}{3}+\frac{\theta^{5}}{5}-\cdots) \\[4pt] &= \cos \theta+i \sin \theta \end{align*}$$

При цьому спостереженні полярна форма тепер просто$z = |z|e^{i \theta}$

Можна так само легко перевірити, що

$$\cos(\theta) = \frac{e^{i \theta}+e^{(-i) \theta}}{2} \nonumber$$

і

$$\sin(\theta) = \frac{e^{i \theta}-e^{(-i) \theta}}{2i} \nonumber$$

Вони припускають визначення, для складних$z$

$$\cos(z) \equiv \frac{e^{iz}+e^{(-i)z}}{2} \nonumber$$

і

$$\sin(z) \equiv \frac{e^{iz}-e^{(-i)z}}{2i} \nonumber$$

Як і в реальному випадку, експоненціальна користується властивістю, яка

$$e^{z_{1}+z_{2}} = e^{z_{1}}e^{z_{2}} \nonumber$$

і зокрема

$$\begin{align*} e^{x+iy} &= e^{x}e^{iy} \\[4pt] &= e^{x} \cos(y)+ie^{x} \sin(y) \end{align*}$$

Нарешті, оберненою комплексною експоненціальною є комплексний логарифм,

$$\ln (z) \equiv \ln(|z|)+i \theta \nonumber$$

для$z = |z|e^{i \theta}$. Один знаходить, що$\ln(-1+i) = \ln(\sqrt{2})+i \frac{3\pi}{4}$.