Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.8: Додатки - Підпростори

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62854

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Підпростір

    Підпростір - це підмножина векторного простору, який сам по собі є векторним простором. Найпростіший приклад - лінія, що проходить через початок в площині. Для лінії, безумовно, підмножина, і якщо ми додамо будь-які два вектори на лінії, ми залишаємося на лінії, і якщо ми помножимо будь-який вектор на лінії скаляр, ми залишаємося на лінії. Те ж саме можна сказати і про лінію або площину через початок у просторі 3. Оскільки ми будемо подорожувати у просторах з багатьма вимірами, варто мати загальне визначення.

    Визначення: Підпростір

    \(S\)Підмножина векторного простору\(V\) є підпростором\(V\) коли

    • якщо\(x\) і\(y\) належать,\(S\) то так робить\(x+y\)
    • якщо\(x\) належить\(S\) і\(t\) є реальним, то\(tx\) належать\(S\)

    Оскільки це часто непохитні об'єкти, він платить шукати кілька векторів, з яких може бути згенерована вся підмножина. Наприклад, сукупність\(x\) для якої\(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 0\) становить підпростір\(\mathbb{R}^{4}\). Чи можете ви «побачити» цей набір? Ви «бачите», що

    \[\begin{pmatrix} {-1}\\ {1}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix} \nonumber\]

    і

    \[\begin{pmatrix} {-1}\\ {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix} \nonumber\]

    і

    \[\begin{pmatrix} {-1}\\ {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix} \nonumber\]

    не тільки належать до набору, але насправді генерувати всі можливі елементи? Точніше скажемо, що ці вектори охоплюють підпростір всіх можливих рішень.

    Визначення: Span

    Скінченна\(\{s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{n}\}\) колекція векторів у підпросторі, як кажуть,\(S\) охоплює,\(S\) якщо кожен елемент\(S\) може бути записаний як лінійна комбінація цих векторів. Тобто, якщо для кожного\(s \in S\) існує nn реалів\(\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\}\) таких, що\(s = x_{1}s_{1}+x_{2}s_{2}+ \cdots +x_{n}s_{n}\).

    При спробі створити підпростір як проміжок жменьки векторів природно запитати, яке найменша кількість можливих. Поняття лінійної незалежності допомагає нам прояснити це питання.

    Визначення: Лінійна незалежність

    Скінченна\(\{s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{n}\}\) колекція векторів вважається лінійно незалежною, коли єдині реали,\(\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\}\) для яких\(x_{1}+x_{2} + \cdots+x_{n} = 0\) є\(x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = 0\) Іншими словами, коли нульовий простір матриці, стовпці якої\(\{s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{n}\}\) містять тільки нульовий вектор.

    Поєднуючи ці визначення, ми досягаємо точного поняття «генеруючий набір».

    Визначення: Основа

    Будь-яка лінійно незалежна охоплююча множина підпростору\(S\) називається основою\(S\)

    Хоча підпростір може мати багато основ, всі вони мають одне спільне:

    Визначення: вимір

    Розмірність підпростору - це кількість елементів в його основі.