3.8: Додатки - Підпростори

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.7: Добавки - Векторний простір
- 3.9: Добавки - Рядок зменшена форма

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Підпростір

Підпростір - це підмножина векторного простору, який сам по собі є векторним простором. Найпростіший приклад - лінія, що проходить через початок в площині. Для лінії, безумовно, підмножина, і якщо ми додамо будь-які два вектори на лінії, ми залишаємося на лінії, і якщо ми помножимо будь-який вектор на лінії скаляр, ми залишаємося на лінії. Те ж саме можна сказати і про лінію або площину через початок у просторі 3. Оскільки ми будемо подорожувати у просторах з багатьма вимірами, варто мати загальне визначення.

Визначення: Підпростір

$S$ Підмножина векторного простору $V$ є підпростором $V$ коли

якщо $x$ і $y$ належать, $S$ то так робить $x+y$
якщо $x$ належить $S$ і $t$ є реальним, то $tx$ належать $S$

Оскільки це часто непохитні об'єкти, він платить шукати кілька векторів, з яких може бути згенерована вся підмножина. Наприклад, сукупність $x$ для якої $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 0$ становить підпростір $\mathbb{R}^{4}$ . Чи можете ви «побачити» цей набір? Ви «бачите», що

$\begin{pmatrix} {-1}\\ {1}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix} \nonumber$

$\begin{pmatrix} {-1}\\ {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix} \nonumber$

$\begin{pmatrix} {-1}\\ {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix} \nonumber$

не тільки належать до набору, але насправді генерувати всі можливі елементи? Точніше скажемо, що ці вектори охоплюють підпростір всіх можливих рішень.

Визначення: Span

Скінченна $\{s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{n}\}$ колекція векторів у підпросторі, як кажуть, $S$ охоплює, $S$ якщо кожен елемент $S$ може бути записаний як лінійна комбінація цих векторів. Тобто, якщо для кожного $s \in S$ існує nn реалів $\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\}$ таких, що $s = x_{1}s_{1}+x_{2}s_{2}+ \cdots +x_{n}s_{n}$ .

При спробі створити підпростір як проміжок жменьки векторів природно запитати, яке найменша кількість можливих. Поняття лінійної незалежності допомагає нам прояснити це питання.

Визначення: Лінійна незалежність

Скінченна $\{s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{n}\}$ колекція векторів вважається лінійно незалежною, коли єдині реали, $\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\}$ для яких $x_{1}+x_{2} + \cdots+x_{n} = 0$ є $x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = 0$ Іншими словами, коли нульовий простір матриці, стовпці якої $\{s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{n}\}$ містять тільки нульовий вектор.

Поєднуючи ці визначення, ми досягаємо точного поняття «генеруючий набір».

Визначення: Основа

Будь-яка лінійно незалежна охоплююча множина підпростору $S$ називається основою $S$

Хоча підпростір може мати багато основ, всі вони мають одне спільне:

Визначення: вимір

Розмірність підпростору - це кількість елементів в його основі.