3.8: Додатки - Підпростори
Підпростір
Підпростір - це підмножина векторного простору, який сам по собі є векторним простором. Найпростіший приклад - лінія, що проходить через початок в площині. Для лінії, безумовно, підмножина, і якщо ми додамо будь-які два вектори на лінії, ми залишаємося на лінії, і якщо ми помножимо будь-який вектор на лінії скаляр, ми залишаємося на лінії. Те ж саме можна сказати і про лінію або площину через початок у просторі 3. Оскільки ми будемо подорожувати у просторах з багатьма вимірами, варто мати загальне визначення.
SПідмножина векторного просторуV є підпросторомV коли
- якщоx іy належать,S то так робитьx+y
- якщоx належитьS іt є реальним, тоtx належатьS
Оскільки це часто непохитні об'єкти, він платить шукати кілька векторів, з яких може бути згенерована вся підмножина. Наприклад, сукупністьx для якоїx1+x2+x3+x4=0 становить підпростірR4. Чи можете ви «побачити» цей набір? Ви «бачите», що
(−1100)
і
(−1010)
і
(−1001)
не тільки належать до набору, але насправді генерувати всі можливі елементи? Точніше скажемо, що ці вектори охоплюють підпростір всіх можливих рішень.
Скінченна{s1,s2,⋯,sn} колекція векторів у підпросторі, як кажуть,S охоплює,S якщо кожен елементS може бути записаний як лінійна комбінація цих векторів. Тобто, якщо для кожногоs∈S існує nn реалів{x1,x2,⋯,xn} таких, щоs=x1s1+x2s2+⋯+xnsn.
При спробі створити підпростір як проміжок жменьки векторів природно запитати, яке найменша кількість можливих. Поняття лінійної незалежності допомагає нам прояснити це питання.
Скінченна{s1,s2,⋯,sn} колекція векторів вважається лінійно незалежною, коли єдині реали,{x1,x2,⋯,xn} для якихx1+x2+⋯+xn=0 єx1=x2=⋯=xn=0 Іншими словами, коли нульовий простір матриці, стовпці якої{s1,s2,⋯,sn} містять тільки нульовий вектор.
Поєднуючи ці визначення, ми досягаємо точного поняття «генеруючий набір».
Будь-яка лінійно незалежна охоплююча множина підпросторуS називається основоюS
Хоча підпростір може мати багато основ, всі вони мають одне спільне:
Розмірність підпростору - це кількість елементів в його основі.