Огляд
- Last updated
- Oct 27, 2022
- Save as PDF
Предмет цього підручника
Перш ніж почати зі змісту тексту, спочатку задаємо основне питання: що таке лінійна алгебра?
- Лінійні: пов'язані з лініями, площинами тощо.
- Алгебра: розв'язування рівнянь за участю невідомих.
Назва підручника виділяє важливу тему: синтез між алгеброю і геометрією. Нам буде дуже важливо розуміти системи лінійних рівнянь як алгебраїчно (написання рівнянь для їх розв'язків), так і геометрично (малювання малюнків і візуалізація).
Термін «алгебра» був придуманий математиком9 го століття Абу Джафар Мухаммад ібн Муса аль-Хорізмі. Воно походить від арабського слова al-jebr, що означає возз'єднання розбитих частин.
На найпростішому рівні вирішити систему лінійних рівнянь не дуже складно. Ви, напевно, дізналися в середній школі, як вирішити таку систему, як
{x+3y−z=42x−y+3z=17y−4z=−3.
Однак у реальному житті зазвичай доводиться бути розумнішими.
- Інженерам потрібно вирішити багато, багато рівнянь у багатьох, багатьох змінних. Ось крихітний приклад:
{3x1+4x2+10x3+19x4−2x5−3x6=1417x1+2x2−13x3−7x4+21x5+8x6=2567−x1+9x2+32x3+x4+14x5+27x6=2612x1+4x2+10x3+11x4+2x5+x6=−15 - Часто досить знати деяку інформацію про сукупність розв'язків, без необхідності вирішувати рівняння в першу чергу. Наприклад, чи існує рішення? Як виглядає набір рішень геометрично? Чи є ще рішення, якщо ми26 змінимо на27?
- Іноді коефіцієнти також містять параметри, такі як рівняння власного значення.
{(7−λ)x+y+3z=0−3x+(2−λ)y−3z=0−3x−2y+(−1−λ)z=0 - У моделюванні даних система рівнянь, як правило, фактично не має рішення. У такому випадку, яке найкраще приблизне рішення?
Відповідно, цей текст організований на три основні розділи.
-
Розв'яжіть матричне рівнянняAx=b (глави 2 — 4).
- Розв'язуйте системи лінійних рівнянь за допомогою матриць, скорочення рядків та обернень.
- Проаналізуйте системи лінійних рівнянь геометрично, використовуючи геометрію множин розв'язків та лінійних перетворень.
-
Розв'яжіть матричне рівнянняAx=λx (глави 5 — 6).
- Розв'язуйте задачі на власні значення, використовуючи характеристичний многочлен.
- Зрозумійте геометрію матриць за допомогою подібності, власних значень, діагоналізації та комплексних чисел.
-
Приблизно вирішуємо матричне рівнянняAx=b (глава 7).
- Знайдіть оптимальні рішення для систем лінійних рівнянь, які не мають фактичного розв'язку, використовуючи наближення найменших квадратів.
- Вивчіть геометрію найближчих векторів і ортогональних проекцій.
Цей текст має приблизно наполовину обчислювальний і наполовину концептуальний характер. Основна мета полягає в тому, щоб представити бібліотеку інструментів лінійної алгебри, і, що ще важливіше, навчити концептуальну основу для розуміння того, які інструменти слід застосовувати в даному контексті.
Якщо Matlab може знайти відповідь швидше, ніж ви можете, то ваше питання - це всього лише алгоритм: це не реальне вирішення проблеми.
Тонка частина предмета полягає в розумінні того, які обчислення попросити комп'ютер зробити для вас - набагато менш важливо знати, як виконувати обчислення, які комп'ютер може зробити краще, ніж ви в будь-якому випадку.
Використання лінійної алгебри в техніці
Переважна більшість магістрантів Georgia Tech повинні пройти курс лінійної алгебри. Для цього є причина:
Більшість інженерних завдань, якими б складними не були, можна звести до лінійної алгебри:
Ax=borAx=λxorAx≈b.
Тут ми наведемо деякі зразки задач в науці та техніці, які потребують лінійної алгебри для розв'язання.
На наступній схемі зображений транспортний потік навколо міської площі. Вулиці всі в одну сторону, а цифри та стрілки вказують на кількість автомобілів на годину, що протікають уздовж кожної вулиці, як вимірюється датчиками під дорогами.
Малюнок1
Під деякими вулицями немає датчиків, тому ми не знаємо, скільки трафіку тече навколо самої площі. Які значенняx,y,z,w? Оскільки кількість автомобілів, що входять на кожне перехрестя, має дорівнювати кількості автомобілів, що виходять з цього перехрестя, ми отримуємо систему лінійних рівнянь:
{w+120=x+250x+120=y+70y+530=z+390z+115=w+175
Певна хімічна реакція (горіння) приймає етан і кисень, і утворює вуглекислий газ і воду:
x_C2H6+y_O2→z_CO2+w_H2O
Яке співвідношення молекул необхідно для підтримки реакції? Наступні три рівняння виходять з того, що кількість атомів вуглецю, водню і кисню з лівого боку має дорівнювати числу атомів з правого, відповідно:
2x=z6x=2w2y=2z+w.
У популяції кроликів,
- половина новонароджених кроликів переживає свій перший рік;
- з них половина переживає свій другий рік;
- максимальна тривалість життя - три роки;
- кролики виробляють 0, 6, 8 дитячих кроликів у перший, другий і третій роки відповідно.
Якщо ви знаєте популяцію кроликів в 2016 році (за чисельністю кроликів першого, другого і третього року), то яка популяція в 2017 році? Правила розмноження призводять до наступної системи рівнянь, деx,y,z представляють чисельність новонароджених, першорічних і другорічних кроликів відповідно:
{6y2016+8z2016=x201712x2016=y201712y2016=z2017
Поширене питання: що таке асимптотична поведінка цієї системи? Як буде виглядати популяція кроликів через 100 років? Виявляється, це проблема з власним значенням.
Астероїд спостерігали в наступних місцях:
(0,2),(2,1),(1,−1),(−1,−2),(−3,1),(−1,−1).
Його орбіта навколо Сонця еліптична; вона описується рівнянням форми
x2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0.
Яка найбільш вірогідна орбіта астероїда, враховуючи, що мала місце якась значна похибка при вимірюванні його положення? Підстановка точок даних у вищевказане рівняння дає систему
(0)2+B(2)2+C(0)(2)+D(0)+E(2)+F=0(2)2+B(1)2+C(2)(1)+D(2)+E(1)+F=0(1)2+B(−1)2+C(1)(−1)+D(1)+E(−1)+F=0(−1)2+B(−2)2+C(−1)(−2)+D(−1)+E(−2)+F=0(−3)2+B(1)2+C(−3)(1)+D(−3)+E(1)+F=0(−1)2+B(−1)2+C(−1)(−1)+D(−1)+E(−1)+F=0.
Немає фактичного рішення цієї системи через похибку вимірювання, але ось найкраще підходить еліпс:
Малюнок3
Кожна веб-сторінка має певну важливість, якою вона ділиться через вихідні посилання на інші сторінки. Це призводить до мільярдів рівнянь у мільярдах змінних. Ларрі Пейдж і Сергій Брін зрозуміли, що це проблема лінійної алгебри в своїй основі, і використали розуміння, щоб знайти Google. Цей приклад ми детально розберемо в розділі 5.5. Результатом є так званий «власнийвектор на 25 мільярдів доларів». Дивіться розділ 6.6 повної версії книги для детального обговорення цього прикладу.
Як користуватися цим підручником
Існує ряд різних категорій ідей, які містяться в більшості розділів. Вони перераховані у верхній частині розділу, в розділі Цілі, для зручного перегляду. Класифікуємо їх наступним чином.
- Рецепти: це алгоритми, які, як правило, прості (якщо іноді нудні), і зазвичай виконуються комп'ютером в реальному житті. Тим не менш, їм важливо вчитися і практикувати.
- Словникові слова: формування концептуального розуміння предмета лінійної алгебри означає вміти спілкуватися набагато точніше, ніж у звичайній мові. Словникові слова мають точні визначення, які повинні бути вивчені і використані правильно.
- Основні словникові слова: ці словникові слова є важливими тим, що вони формують суть предмета лінійної алгебри. Наприклад, якщо ви не знаєте визначення власноговектора, то за визначенням ви не можете претендувати на розуміння лінійної алгебри.
- Теореми: вони точно описують, як об'єкти, що представляють інтерес, пов'язані один з одним. Знання того, який рецепт використовувати в даній ситуації, як правило, означає визнання того, які словникові слова використовувати для опису ситуації, і розуміння того, які теореми застосовуються до цієї проблеми.
- Зображення: візуалізація геометрії, що лежить в основі алгебри, означає інтерпретацію та малювання зображень задіяних об'єктів. Картинки покликані бути основною частиною матеріалу в тексті: вони не просто гарне доповнення.
Цей підручник орієнтований виключно на Math 1553 в Georgia Tech. Таким чином, він містить саме той матеріал, який викладається в цьому класі; не більше, і не менше: учні математики 1553 несуть відповідальність за розуміння всього видимого змісту. В онлайн-версії прихований додатковий матеріал (наприклад, більшість прикладів і доказів), в якому потрібно натиснути на посилання, щоб розкрити його, наприклад:
Нарешті, зауважимо, що в тексті міститься понад 140 інтерактивних демонстрацій, які були створені для ілюстрації геометрії теми. Натисніть посилання «переглянути в новому вікні», і пограйте з ними! Вам знадобиться сучасний браузер. Internet Explorer не є сучасним браузером; спробуйте Safari, Chrome або Firefox. Ось демо з розділу 6.4:
Зворотній зв'язок
Кожна сторінка онлайн-версії має посилання внизу для надання зворотного зв'язку. Це перенесе вас на сторінку проблем GitHub для цієї книги. Для доступу потрібен логін Georgia Tech.
\ tikzset {середина стрілки/.style= {postaction= {прикраса = {маркування, позначка = в позиції #1 з {\ стрілка {Stealth [масштаб = 1]}},}, прикрашати},}, rmid стрілка/.style= {прикраса = {маркування, позначка = в позиції #1 з {\ стрілка зворотна {[Stealth scale = 1]}}}, прикрасити}}, середня стрілка/.default= {0.5}, стрілка rmid/. default= {0.5},}\ begin {tikzpicture} [масштаб = 2, товстий, кожен вузл/.style= {внутрішній sep=3pt, відстань мітки = 1 мм}]\ вузол в (0,2,4) {потік трафіку (автомобілі/год)};\ точка [масштаб = 1,5] (A) при (-1,1);\ точка [масштаб = 1.5] (B) при (-1);\ точка [масштаб = 1,5] (B) в (1,1));\ точка [масштаб = 1.5] (C) в (1, -1);\ точка [масштаб = 1.5] (D) в (-1, -1);\ малювати [середню стрілку] (a.Center) до ["$x$"] (b.Center);\ малювати [середню стрілку] (b.Center) до ["$y$"] (C.Center);\ намалювати [середню стрілку] (C.Center) до ["$z$"] (D.Center);\ малювати [стрілка середини] (d.Center) до ["$w$"] (a.Center);\ малювати [стрілка rmid = .3] (a.Center)) до ["$120$"] + (-1,0);\ малювати [середню стрілку=.7] (A.Center) до ["$250$"] + (0,1);\ малювати [середню стрілку=.7] (b.Center) до ["$70$» swap] + (1,0);\ малювати [rmid стрілка = .3] (b.Center) до ["$120$» своп] + (0,1);\ малювати [rmid стрілка = .3] (C.Center) до ["$530$"] + (1,0);\ малювати [середина стрілка = .7] (C.Center) до ["$390 $"] + (0, -1);\ малювати [середина стрілка = .7] (D.Center) до ["$175 $» своп] + (-1,0);\ draw [rmid стрілка = .3] (d.Center) до ["$115 $» своп] + (0, -1);\ end {tikzpicture}