8.2: Розв'язування задач з арифметичними послідовностями

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59539

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Арифметичні послідовності, введені в Розділі 8.1, мають багато застосувань у математиці та повсякденному житті. У цьому розділі розглядаються ці програми.

Приклад Template:index

Бак для води розвиває текти. Щотижня бак втрачає$5$ галони води через витік. Спочатку бак повний і містить$1500$ галони.

Скільки галонів у резервуарі через$20$ кілька тижнів?
Скільки тижнів, поки бак не заповниться наполовину?
Скільки тижнів, поки бак не спорожніє?

Рішення

Цю задачу можна розглядати як лінійну функцію, або як арифметичну послідовність. Таблиця значень дає нам кілька підказок до формули.

$clipboard_e5c7552a37ec3c13691ea706a3d499232.png$

За допомогою цієї проблеми ми можемо розпочати послідовність з будь-якого$n$ параметра −value, яке ми бажаємо. Найзручніше починати з$n = 0$ і встановлювати$a_0 = 1500$.

Тому,$a_n = −5n + 1500$

Скільки галонів у резервуарі через$20$ кілька тижнів?

Оскільки витік вперше помічається на першому$20$ тижні, тижні після початкового тижня відповідає с$n = 20$. Скористайтеся формулою, де$\textcolor{red}{n = 20}$:

$a_{20} = −5(\textcolor{red}{20}) + 1500 = −100 + 1500 = 1400$

Тому через$20$ тижні в резервуарі містяться$1400$ галони води.

Скільки тижнів, поки бак не заповниться наполовину? Напівповний бак буде$750$ галонами. Нам потрібно знайти,$n$ коли$\textcolor{red}{a_n = 750}$.

$\begin{array} &750 &= −5n + 1500 &\text{Substitute \(a_n = 750$у загальний термін.}\\ 750 − 1500 &= −5n + 1505 − 1500 &\ text {Відніміть$1500$ з кожного боку рівняння.}\\ −750 &= −5n &\ text {Спрощення кожної сторони рівняння.}\\ dfrac {−750} {−5} &=\ dfrac {−5n} {−5} &\ text {Розділіть обидві сторони на$−5$.}\\ 150 &= п & amp;\ end {масив}\)

Оскільки$n$ це число тижня, ця відповідь говорить нам$150$, що на тижні танк наполовину заповнений. Однак більшість людей краще зрозуміють відповідь, якщо заявити наступним чином: «Танк наполовину заповнений через 150 тижнів». Ця відповідь звучить більш природно і є кращим.

Скільки тижнів, поки бак не спорожніє? Резервуар порожній, коли$a_n = 0$ галони. Знайти$n$ таке, що$\textcolor{red}{a_n = 0}$.

$\begin{array}& 0 &= −5n + 1500 &\text{Substitute \(a_n=0$у загальний термін.}\\ 0 − 1500 &= −5n + 1500 − 1500 &\ text {Відніміть$1500$ з кожного боку рівняння.}\\ −1500 &= −5n &\ text {Спростити.}\\ dfrac {−1500} {−5} &=\ dfrac {−5n} {−5} &\ text {Розділити обидві сторони на$−5$.}\\ 300 &= n &\ end {масив}\)

Оскільки$n$ є тижневим числом, ця відповідь говорить нам$300$, що на тижні резервуар порожній. Однак більшість людей краще зрозуміють відповідь, якщо заявити наступним чином: «Бак порожній через 300 тижнів. Ця відповідь звучить більш природно і є кращим.

Приклад Template:index

Три етапи викрійки показані нижче, використовуючи сірникові палички. Кожен етап вимагає певної кількості сірників. Якщо ми будемо відставати від шаблону...

Скільки потрібно сірників, щоб фігура вийшла поетапно$34$?
На якому етапі потрібні$220$ сірники?

Рішення

$clipboard_e3cb0e75de710fefbbeea0c2d342f2609.png$	$clipboard_e64de99c72d853a3f4d859b06f4a881c2.png$	$clipboard_eb59659303898eeeca21851f42ece8e29.png$
Етап 1	Етап 2	Етап 3

Давайте створимо таблицю значень. Нехай номер$n =$ етапу, і нехай$a_n =$ кількість сірників, використовуваних на цьому етапі. Тоді зверніть увагу на загальну різницю.

$clipboard_e25ba1d367972bd713a4ef5118c739484.png$

Знайдіть значення$a_0$:

$\begin{array} &a_0 + 3 &= 4 \\ a_0 + 3 − 3 &= 4 − 3 \\ a_0 &= 1 \end{array}$

Загальним терміном послідовності є:

$a_n = 3n + 1$

Обчислити,$a_{34}$ щоб знайти кількість сірників на етапі$34$:

$a_{34} = 3(\textcolor{red}{34}) + 1 = 103$.

На$103$ сцені є сірники$34$.

На якому етапі потрібні$220$ сірники? Шукаємо номер етапу, враховуючи кількість сірників. Знайти,$n$ якщо$a_n = 220$.

$\begin{array} &220 &= 3n + 1 \\ 219 &= 3n \\ 73 &= n \end{array}$

Відповідь Етап$73$$220$ вимагатиме сірників.

Приклад Template:index

Корі купує$5$ товари в продуктовому магазині з цінами$a_1$,$a_2$,$a_3$,$a_4$,$a_5$ що представляє собою арифметичну послідовність. Найменш дорогим є товар$$1.89$, тоді як загальна вартість$5$ предметів є$$12.95$. Яка вартість кожного предмета?

Рішення

Поставте$5$ предмети в порядку витрат: мінімум до більшості і зліва направо. Оскільки це арифметична послідовність, кожен елемент$d$ більше доларів, ніж попередній елемент. Ціна кожного елемента може бути записана з точки зору ціни найменш дорогого товару$a_1$, і$a_1 = $1.89$.

$clipboard_e4455aea24708d7e0d8b83d55c771a802.png$

Діаграма вище дає$5$ вирази для витрат$5$ статей з точки зору$a_1$ і загальної різниці є$d$.

$\begin{array} &a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 &= 12.95 &\text{Total cost of \(5$елементи є$$12.95$.}\\ a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) &= 12,95 &\ текст {Див. діаграму для замін.}\\ 5s_1 + 10d &= 12,95 &\ текст {Зберіть як терміни.}\\ 5 (1.89) + 10d &= 12,95 &a_1 = 1.89.\\ 9.45 + 10d &= 12,95 &\ текст {Спрощення.}\\ 9.45 + 10d − 9.45 &= 12.95 − 9.45 &\ text {Відніміть$9.45$ з кожного боку рівняння.}\\ 10d &= 3.50 &\ text {Спрощення. Потім розділіть обидві сторони на$10$.}\\ d &= 0.35 &\ text {Загальна різниця полягає в тому, що$$0.35$.} \ end {масив}\)

Тепер, коли ми знаємо загальну різницю$d = $0.35$, ми можемо відповісти на питання.

$clipboard_e0e8f0221b97bd16399f771ecb8447115.png$

Ціна кожного предмета наступна:$$1.89, $2.24, $2.59, $2.94, $3.29$.

Спробуйте! (Вправи)

1. Кабельна компанія ZKonnect вимагає від клієнтів підписання$2$ -річного контракту на користування їхніми послугами. Нижче описано штраф за розірвання договору: Ваші послуги підлягають мінімальному терміну угоди$24$ місяців. Якщо договір розірваний до закінчення контракту на$24$ місяць, плата за дострокове розірвання нараховується наступним чином: плата за$$230$ розірвання стягується, якщо договір розірваний в перші$30$ дні обслуговування. Після цього плата за розірвання зменшується$$10$ на місяць контракту.

^{Якщо Джек укладає контракт із ZKonnect 1 квітня$2021$, але припиняє послугу 10 ^січня$2022$, які збори за дострокове розірвання Джека?}
Загальний термін$a_n$ описує плату за розірвання за заявленим договором. Опишіть значення змінної$n$ в контексті цієї задачі. Знайдіть загальний термін$a_n$.
Плата за дострокове розірвання - це кінцева послідовність або нескінченна послідовність? Поясніть.
Знайдіть значення$a_{13}$ і інтерпретуйте його значення в словах.

2. На сьогоднішній день фармацевтична компанія виготовила$4$ мільйон доз вакцини. Вони обіцяють додаткове виробництво зі швидкістю$1.2$ мільйона дозов/місяць протягом наступного року.

Скільки доз вакцини, в цілому, буде вироблено через рік?
Загальний термін$a_n$ описує загальну кількість доз виробленої вакцини. Опишіть значення змінної$n$ в контексті цієї задачі. Знайдіть загальний термін$a_n$.
Знайдіть значення$a_8$ і інтерпретуйте його значення в словах.

3. Театр, показаний праворуч, має$22$ місця в першому ряду секції «А центр». Кожен ряд позаду першого ряду отримує два додаткових місця.

Нехай$a_n = 22 + 2n$, починаючи з$n = 0$. Наведіть перші$10$ значення цієї послідовності.
Використовуючи$a_n = 22 + 2n$, знайдіть значення$a_{10}$ і інтерпретуйте його значення в словах в контексті даної проблеми. Обережно! Чи є номер$n=$ рядка?
Скільки місць, загалом, знаходиться в розділі «А Центр», якщо в секції є$12$ ряди?

$clipboard_e155e2fcdec756f87a528b58fbd4f1e5d.png$

4) Колоди укладаються в палю з$48$ колодами на нижньому ряду і$24$ на верхньому ряду. Кожен ряд зменшується на три колоди.

Стек, як описано, має скільки рядів колод?
Напишіть загальний термін,$a_n$ щоб описати кількість колод поспіль двома різними способами. Кожен загальний термін повинен виробляти одну і ту ж послідовність, незалежно від його початкового$n$ -значення.

i. Почніть з$n = 0$.

II. Почніть з$n = 1$.

5) Радіуси цільового кола є арифметичною послідовністю. Якщо площа самого внутрішнього кола є,$\pi \text{un}^2$ а площа всієї мети дорівнює$49 \pi \text{un}^2$, яка площа синього кільця? [Формула для площі кола є$A = \pi r^2$].

$clipboard_e3624435db52cd10cbabe0c840da4a4b8.png$

6) Три етапи викрійки показані нижче, використовуючи сірникові палички. Кожен етап додає ще один трикутник і вимагає певної кількості сірників. Якщо ми будемо відставати від шаблону...

Скільки потрібно сірників, щоб фігура вийшла поетапно$34$?
На якому етапі потрібні$325$ сірники?

$clipboard_e18c4290c686fe3b44e586ded85827bdf.png$	$clipboard_ec19b0ede179c5bd9a73db8dc18cc622b.png$	$clipboard_edf890e3bbdeef56b031c401c05c96ab3.png$
Етап 1	Етап 2	Етап 3

7) Три етапи викрійки показані нижче, використовуючи сірникові палички. Кожен етап вимагає певної кількості сірників. Якщо ми будемо відставати від шаблону...

Скільки потрібно сірників, щоб фігура вийшла поетапно$22$?
На якому етапі потрібні$424$ сірники?

$clipboard_e719f55232c125656cf9ed82e0ef1d0f2.png$	$clipboard_ef02b6ddba521a501b3d88c743adcff6c.png$	$clipboard_e818e430ba656d4b69074b6e78f7be84b.png$
Етап 1	Етап 2	Етап 3