8.3: Геометричні послідовності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59538

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Геометричні послідовності мають загальне співвідношення. Кожен член після першого члена виходить шляхом множення попереднього члена на$r$, загальне співвідношення. Як приклад, наступна послідовність не має спільної різниці, тому вона не є арифметичною послідовністю. Замість цього ця послідовність має загальне співвідношення$r$:

\[\dfrac{a_n}{a_{n−1}} = r = 2 \nonumber\]

і це геометрична послідовність:

$2,4,8,16,32,64,128$

Зверніть увагу, що кожен термін подвоює попередній термін. Помноживши будь-який термін на$2$, отримуємо наступний термін. Поширеним співвідношенням є відмітна ознака підпису геометричної послідовності.

Визначення: Геометрична послідовність

Якщо послідовність:$a_1 , a_2, a_3, a_4 , … , a_{n−1}, a_n, …$ виставляє візерунок ($a ≠ 0$і$r ≠ 0$) такий, що

\[a_1, a_1r, a_1r^2 , a_1r^3 , … , a_1r^{n−1} , a_1r^n , …\]

Тоді послідовність геометрична і$r$ називається загальним співвідношенням, де$\dfrac{a_n}{a_{n-1}} = r$

Геометрична послідовність аналогічна експоненціальної функції$f(x) = ab^x$, де$a$ і$b$ є константами,$a=$ будь-яким дійсним числом і$b > 0$. Загальний термін$a_n$ для геометричної послідовності буде імітувати формулу експоненціальної функції, але модифікований наступним чином:

Замість$x =$ будь-якого дійсного числа областю функції геометричної послідовності є набір натуральних чисел$n$.
Константа$a$ стане першим терміном, або$a_1$, геометричної послідовності.
Постійна$b$ замінюється загальним співвідношенням$r$, але$r$ може бути позитивним або негативним.

Загальний термін геометричної послідовності

Геометрична послідовність із загальним співвідношенням$r$:

\[a_1, a_1r, a_1r^2 , a_1r^3 , … , a_1r^{n−1} , …\]

має загальний термін

\[f(n) = a_n = a_1r^{n−1}\]

Перший член геометричної послідовності - це$a_1$, або$a_1r^0$. Нагадаємо,$r^0 = 1$ що. Варто згадати, що в деяких випадках перший термін краще позначити як,$a_0$ а не$a_1$. Якщо ми використовуємо$a_0 =$ перший член (починаючи з послідовності$n = 0$), то геометрична послідовність буде позначена:$a_0, a_0r, a_0r^2 , a_0r^3$,... і загальний термін є$a_n = a_0r^n$. Хоча термін номер більше не відповідає індексу (тобто$a_1=$ другий член,$a_2 =$ третій член тощо), показник показника$r$ вказує нам, скільки разів$r$ було застосовано. У реальних завданнях, які мають початкове значення, на$r$ яке багаторазово множиться, дозвольте собі гнучкість називати початкову суму$a_0$.

Приклад Template:index

Визначте загальне співвідношення геометричної послідовності:$15, 45, 135, 405, …$ і дайте загальний термін,$a_n$. Потім знайдіть$10^{\text{th}}$ термін послідовності, або$a_{10}$.

Рішення

Знаходження загального співвідношення - це питання поділу будь-якого терміна на його попередній термін:

$\dfrac{45}{15} = 3 = r$.

Тому загальним терміном послідовності є:

$a_n = 15 \cdot 3^{n-1}$

Загальний термін дає нам формулу, яку потрібно знайти$a_{10}$. $n = 10$Підключіть до загального терміну$a_n$.

$a_{10} = 15 \cdot 3^{10−1} = 15 \cdot 3^9 = 295245$

Приклад Template:index

Визначте загальне співвідношення геометричної послідовності:$8, −12, 18, −27, …$ і дайте загальний термін$a_n$. Потім знайдіть$7^{\text{th}}$ термін послідовності.

Рішення

Зверніть увагу, що послідовність чергується знаком значення: позитивний, негативний, позитивний, негативний,... чергування послідовності відбувається, коли$r < 0$. Ми очікуємо, що$r$ -value буде від'ємним.

Загальне співвідношення знаходять шляхом ділення двох послідовних членів. Давайте розділимо$\dfrac{a_2}{a_1}$.

$\dfrac{−12}{8} = -\dfrac{3}{2} = -1.5 = r$

Тому загальним терміном послідовності є:

$a_n = -1.5 \cdot 8^{n-1}$

Загальний термін дає нам формулу, яку потрібно знайти$a_7$. Підключіть$n = 7$$a_n$, щоб знайти$7^{\text{th}}$ термін:

$a_7 = 8(−1.5)^{7−1} = 8(−1.5)^6 = 91.125$

Приклад Template:index

Процес фільтрації може зменшити хімічну B шляхом$10\%$. Процес може повторюватися і мати однакову швидкість зменшення$10\%$ кожного разу. Спочатку перед фільтруванням є$7$ мг хімічного В. Скільки хімічної речовини B залишається після процесів$4$ фільтрації? Округляйте відповідь до$2$ знаків після коми.

Рішення

Якщо хімічна В знижується на$10\%$, то$90\%$ залишається після фільтрування. Послідовність закінчиться після$4$ фільтрів. Загальне співвідношення$r = 0.9$ і застосовуємо це загальне співвідношення$4$ разів до початкового значення,$7$ мг:

$clipboard_e753a28668f9cb00c8821eddb1d853e6f.png$

Замість того, щоб виконувати кожне множення окремо, простіше обчислити решту кількості хімічної речовини B, використовуючи формулу для загального терміна:

$7 \cdot (0.9)^4 = 4.5927$

Відповідь Після процесів$4$ фільтрації залишається$4.59$ мг хімічного В.

Приклад Template:index

Середньорічна інфляція була$1.75\%$ між 2011 і 2020 роками. Вартість Біг-Мака зросла з інфляцією. Якби інфляція була єдиним фактором підвищення ціни на Біг-Мак, скільки коштував би Біг Мак у 2020 році, якби дев'ять років раніше, у 2011 році, це коштувало$$4.20$?

Рішення

Загальним співвідношенням є значення більше одиниці. Щороку інфляція підвищувала ціну на Біг-Мак, щоб споживачі платили$100 \% + 1.75\% = 101.75\%$ за бургер за вартість попереднього року. Загальним співвідношенням є відсоток у вигляді десяткового числа. $r = 1.0175$.

$\begin{array} &&4.20(1.0175)^9 ≈ 4.91 & a_0 = 4.20. \text{Apply the common ratio to each year 2011-2020.} \end{array}$

Відповідь Вартість Біг-Мака коштувала б$$4.91$ у 2020 році.

Відсоток збільшення або зменшення

Як показано в прикладі$8.3.3$ (процентне зменшення) та Приклад$8.3.4$ (процентне збільшення), якщо зміна початкової величини задається як постійний відсоток (сам відсоток не змінюється), послідовність буде геометричною. Послідовність також іноді називають геометричною прогресією.

Геометрична прогресія в прикладі$8.3.3$ є спадною послідовністю. $r$Значення −value обчислюється з урахуванням зсуву від$100\%$. Якщо відсоток, є зменшенням$p\%$, відніміть відсоток з$100\%$:$(100\% − p\%)$ потім змініть значення на десяткове, перемістивши десяткові два розряди вліво (або ділимо на$100$). Якщо послідовність зменшується,$0 < r < 1$ геометрична прогресія в прикладі$8.3.4$ є зростаючою послідовністю. $r$Значення −value обчислюється з урахуванням зсуву від$100\%$. Якщо відсоток, є збільшенням$p\%$, додайте відсоток до$100\%$:$(100\% + p\%)$ потім змініть значення на десяткове, перемістивши десяткові два розряди вліво (або ділимо на$100$). Якщо послідовність збільшується,$r > 1$.

Приклад Template:index

Аліса кладе$1$ зерна рису на перший квадрат$8 \times 8$ шахової дошки. Білий Кролик каже їй покласти подвоєну кількість рису в кожен наступний квадрат після цього. Чеширський кіт сміється і каже Алісі: «Ви повинні приєднатися до Божевільних Капелюшників, якщо ви думаєте, що можете виконати це завдання». Скільки зерен рису було б на$64^{\text{th}}$ площі?

$clipboard_eb4b43e9e1242e5bdb102f8ade9afb162.png$

Рішення

Якщо одне зерно рису займає перший квадрат,$2$ другий квадрат,$4$ третій квадрат, то загальне співвідношення -$r = 2$ подвоєння зерен рису в$63$ рази. Пам'ятайте, що ми не починаємо подвоювати до$2^{\text{nd}}$ квадрата, тому, хоча є$64$ квадрати, ми подвоюємо кількість рису$63$ раз.

$1 \cdot 2^{63} ≈ 9 x 10^{18}$крупинки рису на$64^{\text{th}}$ квадраті!

Важко зрозуміти таку велику кількість!

Спробуйте! (Вправи)

Для #1 -6 послідовність є арифметичною, геометричною або ні. Якщо арифметичні, то дайте загальну різницю. Якщо геометричний, то дайте загальне співвідношення. Якщо ні, покажіть, як він не має спільної різниці або загального співвідношення.

$100, 200, 300, 400, …$
$10, 100, 103 , 104 , …$
$1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , …$
$1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , . ..$
$8, −6, 4.5, −3.375, …$
$1, −3, −7, −11, …$

Для #7 -12 задано загальний термін послідовності.

Послідовність геометрична або арифметична?
Викладіть перші п'ять термінів, починаючи з$n = 1$.
Знайдіть значення$a_9$.

$a_n = 6 \cdot 2^{n−1}$
$a_n = 52 − 13n$
$a_n = 5n$
$a_n = 5 \left( \dfrac{2}{3} \right)^n$
$a_n = 2 + \dfrac{n}{4}$
$a_n = 3(−1)^n$

Для #13 -15 задано термін геометричної послідовності разом із загальним співвідношенням$r$. Знайдіть перші$5$ члени геометричної послідовності, починаючи з$n = 1$, і вкажіть загальний термін,$a_n$.

$a_1 = 2.5, r = 4$
$a_3 = 162, r = 3$
$a_5 = \dfrac{1}{8} , r = \dfrac{1}{2}$

Для #16 -18 задано два члени геометричної послідовності. Знайдіть перші$5$ члени геометричної послідовності, починаючи з$n = 1$, і вкажіть загальний термін,$a_n$.

$a_2 = 3, a_3 = \dfrac{9}{10}$
$a_1 = \dfrac{2}{5} , a_4 = −\dfrac{16}{5}$
$a_2 = 40, a_4 = \dfrac{32}{5}$
Сонячна компанія гарантує, що сонячні батареї, встановлені на будинку, можуть виробляти$3500$ кВт-год протягом першого року. Щороку після цього гарантований річний обсяг виробництва (у кВт·год) знижується на$2\%$. Скільки річних кВт-год енергії буде гарантовано через$8$ роки після установки? Круглий відповідь до найближчого цілого кВт-год.
Глобальні викиди вуглецю зростали приблизно$2.6\%$ щорічно з 1960 по 2010 рік. Якщо$2500$ мільйон метричних тонн вуглецю було викинуто в 1960 році, скільки метричних тонн вуглецю було викинуто в 2010 році? Округлите відповідь до найближчого цілого мільйона метричних тонн.
Коли IRS робить помилку на вашу користь, IRS повинен повернути вам, плюс відсотки, на переплату. Скільки, загалом, Податкова служба заборгувала б вам, якщо ви$$1,500$ переплатили IRS і цю суму зароблених відсотків протягом$3$ багатьох років з постійною ставкою$3\%$ річних відсотків? Округлите відповідь до найближчого цента.
Якщо в поколінні є$30$ роки, скільки прямих предків було у кожного з нас$150$ років тому? Під прямим предком ми маємо на увазі народжених батьків, бабусь і дідусів, прабабусь і так далі.
Організми в природі черпають вуглець-14 з навколишнього середовища, але як тільки організм гине, він починає втрачати вуглець-14 з експоненціальною швидкістю. Кожні 5730 років кількість Вуглець-14 скорочується навпіл. Вуглецеві датування можна використовувати на зразках кісткових, тканинних, деревних та рослинних волокон.
1. Скільки років гниття до цього$\dfrac{1}{4}$ залишається?
2. Скільки років гниття до цього$\dfrac{1}{8}$ залишається?
3. Скільки років гниття до цього$\dfrac{1}{2^6}$ залишається?
Якщо середні точки сторін рівностороннього трикутника з'єднуються прямими, то нова фігура буде рівностороннім трикутником з периметром, рівним половині оригіналу. Якщо почати з рівностороннього трикутника з периметром$3$ см, який периметр$5^{\text{th}}$ «вкладеного» трикутника, як описано?
Водойми можуть стати джерелом водопостачання мільйонів людей. Зміни можуть відбуватися в будь-якому водопостачанні через припливу і відтоку, але випаровування є одним з факторів виснаження води. Припустимо, резервуар містить в середньому$1.4$ мільярд галонів води і втрачає воду через випаровування зі швидкістю$2\%$ на місяць. Не враховуючи жодних інших змін об'єму водойми, скільки води випарується за один рік?
Парадокс Зенона - це спостереження, яке здається абсурдним, але воно починає звучати логічно прийнятно по відношенню до геометричних послідовностей! Парадокс Зенона говорить:

Припустимо, Аталанта бажає пройти до кінця шляху. Перш ніж вона зможе потрапити туди, вона повинна потрапити туди на півдорозі. Перш ніж вона зможе потрапити на півдорозі, вона повинна отримати чверть шляху туди. Перш ніж подорожувати чверть, вона повинна подорожувати одну восьму; перед восьмою, одну шістнадцяту; і так далі.

Парадокс Зенона ставить під сумнів висновок геометричної послідовності, яка парадоксально ставить під сумнів здатність Аталанти завершити свою прогулянку до кінця шляху! Наш мозок бореться з тим, що послідовність нескінченна проти нашого спостережуваного досвіду - звичайно, Аталанта може йти до кінця шляху! Пов'язаний парадокс для роздумів: коли б ви сказали, що периметр вкладеного трикутника в Задачі #24 дорівнює нулю? Це питання може здатися абсурдним, як і парадокс Зенона! Використовуйте власні думки, щоб споглядати питання і обговорити свій висновок логічним аргументом.