Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.3: Раціоналізувати знаменники

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59496

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Припустимо, дріб\(\dfrac{a}{b}\) містить радикал в знаменнику. Раціоналізація знаменника - це метод спрощення, який виключає радикали зі знаменника. Чисельник може містити радикали, але ми, як правило, не турбуємося про це. Раціоналізується тільки знаменник. Іноді знаменник стає раціональним на етапах спрощення. Давайте розглянемо найпростіший тип проблем в першому прикладі.

    Приклад Template:index

    Спростити вираз.

    1. \(\dfrac{5}{\sqrt[3]{27}}\)
    2. \(\sqrt{\dfrac{10}{49}}\)
    3. \(\sqrt{\dfrac{15}{12}}\)
    4. \(\dfrac{\sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{24}}\)

    Рішення

    1. \(\begin{array} &\dfrac{5}{\sqrt[3]{27}} &= \dfrac{5}{3} &\text{The denominator of the simplified fraction is rational.} \end{array}\)
    1. \(\begin{array}&\sqrt{\dfrac{10}{49}} &= \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{49}} &\text{The quotient property isolates the perfect square: \(49\).} \\ &=\ dfrac {\ sqrt {10}} {7} &\ text {Знаменник спрощеного дробу раціональний.} \ end {масив}\)
    1. \(\begin{array}&\sqrt{\dfrac{15}{12}} &= \sqrt{\dfrac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}} &\text{The order of operations allow us to reduce \(\dfrac{15}{12}\)на першому кроці.}\\ &=\ sqrt {\ dfrac {5} {4}} &\ text {Тепер, коли дріб зменшено, ми помічаємо ідеальний квадрат,\(4\).}\\ &=\ dfrac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {4}} &\ text {Частна властивість ізолює ідеальний квадрат:\(4\)} \\ & =\ dfrac {\ sqrt {5}} {2} &\ text {Знаменник спрощеного дробу раціональний.} \ end {масив}\)
    1. \(\begin{array}&\dfrac{\sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{24}} &= \sqrt[3]{\dfrac{21}{24}} &\text{The quotient property changes the order of operations.} \\ &= \sqrt[3]{\dfrac{3 \cdot 7}{3 \cdot 8}} &\text{The fraction is reducible. Cancel the common factor: \(3\).}\\ &=\ sqrt [3] {\ dfrac {7} {8}} &\ text {Зручно, куб знаходиться у знаменнику.}\\ &=\ dfrac {\ sqrt [3] {7}} {\ sqrt [3] {8}} &\ text {Частна властивість ізолює куб: 8.} \\ &=\ dfrac {\ sqrt [3] {7}} {2} &\ text {Знаменник спрощеного дробу раціональний.} \ end {масив}\)

    Найчастіше спрощення не усуне радикал від знаменника. Тобто, ми хочемо використовувати властивість\(\sqrt[n]{a^n} = a\)\((a ≥ 0)\), але радиканд є коротким необхідним фактором або двома для того, щоб це сталося. Для задач такого типу ми побудуємо дріб для раціоналізації знаменника.

    Грайте в гру «н-в-своєму роді».

    Мета - використовувати властивість\(\sqrt[n]{a^n} = a\)\((a ≥ 0)\) для раціоналізації знаменника. Які б фактори не бракували, помножте на верх і низ. Просто створіть знаменник (і, отже, чисельник), щоб це сталося.

    Приклад Template:index

    Спростити\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\) шляхом раціоналізації знаменника.

    Рішення

    Знаменник нераціональний, і ніяке спрощення радикала не кидається в очі відразу.

    clipboard_e044ae83477e42f378b61372ad50e60b9.png

    Індекс радикала, говорить нам\(n = 3\), скільки в своєму роді нам потрібно. Радиканд\(= 2\). У нас є один\(2\) з необхідних трьох\(2\), щоб спростити. Нам потрібно ще два\(2\), щоб зробити в\(3\) своєму роді.

    \(\boxed{2}\underbrace{\textcolor{red}{\boxed{2}\boxed{2}}}_{\text{two more \(2\)}\)

    \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt[3]{2 \cdot 2}}}{\textcolor{red}{\sqrt[3]{2 \cdot 2}}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{2} \)

    Тому даний дріб після раціоналізації знаменника дорівнює\( \dfrac{\sqrt[3]{4}}{2} \).

    Приклад Template:index

    Спростити\(\dfrac{3}{2 \sqrt{6x}}\)\((x > 0)\), раціоналізувавши знаменник.

    Рішення

    Знаменник містить\(2\sqrt{6x}\), але тільки\(\sqrt{6x}\) нераціональний. Тому будемо раціоналізувати тільки квадратний корінь.

    clipboard_ee3a044d06e83e8a9e99da2e0ae1652a5.png

    Індекс радикала, говорить нам\(n = 2\), скільки в своєму роді нам потрібно. Радиканд\(= 6x\). У нас є один\(6x\) з необхідних двох\(6x\), щоб спростити.

    \(\boxed{6x}\underbrace{\textcolor{red}{\boxed{6x}}}_{\text{one more \(6x\)}}\)

    \(\dfrac{3 \textcolor{red}{\cdot \sqrt{6x}}}{2 \sqrt{6x} \textcolor{red}{\cdot \sqrt{6x}}} = \dfrac{3 \sqrt{6x}}{2 \cdot 6x} = \dfrac{\cancel{3} \sqrt{6x}}{2 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot x} = \dfrac{\sqrt{6x}}{4x}\)

    Тому,\(\dfrac{3}{2 \sqrt{6x}} = \dfrac{\sqrt{6x}}{4x}\). Знаменник раціоналізований.

    Приклад Template:index

    Спростити\(\dfrac{2 \sqrt[4]{5}}{3 \sqrt[4]{18y^2}}\)\((y > 0)\) шляхом раціоналізації знаменника.

    Рішення

    Знаменник містить\(3 \sqrt[4]{18y^2}\), але тільки\(\sqrt[4]{18y^2}\) нераціональний. Тому будемо тільки раціоналізувати\(4^{\text{th}}\) корінь.

    clipboard_e65e68e3dd5664411a28c3e9066b11542.png

    Проведіть інвентаризацію факторів радиканда\(18y^2\). Нам потрібні повноваження\(4\) для спрощення.

    \(\boxed{2}\underbrace{\textcolor{red}{\boxed{2}\boxed{2}\boxed{2}}}_{\text{\(3\)більше\(2\)}}\ в коробці {3}\ в коробці {3}\ underbrace {\ textcolor {червоний} {\ в коробці {3}\ в коробці {3}}} _ {\ текст {y}}\ в коробці {y}\ underbrace {\ textcolor {червоний} {\(2\)більше\(y\)}}\)\(2\)\(3\)

    \(\begin{array} &\dfrac{2 \sqrt[4]{5}}{3 \sqrt[4]{18y^2}} &= \dfrac{2 \sqrt[4]{5} \textcolor{red}{\cdot \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^2 \cdot y^2}} }{3 \sqrt[4]{18y^2} \textcolor{red}{\cdot \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^2 \cdot y^2}}} &\text{Multiply necessary factors to numerator and denominator.} \\ &= \dfrac{2 \sqrt[4]{5 \textcolor{red}{\cdot 8 \cdot 9 \cdot y^2} }}{3 \sqrt[4]{18 \textcolor{red}{\cdot 8 \cdot 9 \cdot y^2} \cdot y^2}} &\text{Use the product property of radicals.} \\ &= \dfrac{2 \sqrt[4]{360y^2}}{3 \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4 y^4}} &\text{The denominator’s radicand indicates powers of \(4\).}\\ &=\ dfrac {\ cancel {2}\ sqrt [4] {360y^2}} {3\ cdot\ cancel {2}\ cdot 3\ cdot y} &\ text {Спростіть радикал знаменника. Зменшити дріб.}\\ &=\ dfrac {\ sqrt [4] {360y^2}} {9y} &\ text {Спростити повністю. Знаменник раціоналізовано.} \ end {масив}\)

    Раціоналізувати використання кон'югатів

    Ми запозичимо з Формули спеціальних продуктів (нижче), щоб раціоналізувати знаменники, які включають два члени, де один або обидва терміни містять квадратні корені. Нагадаємо з розділу 2.3 множення кон'югатів призводить до різниці квадратів:

    Спеціальний продукт = Різниця квадратів:\((A+B)(A-B) = A^2 - B^2\)

    Приклад Template:index

    Раціоналізувати знаменник:\(\dfrac{4}{3+\sqrt{x}}\) де\(x ≥ 0\).

    Рішення

    \(\begin{array} &\dfrac{4}{3+\sqrt{x}} &= \dfrac{4 \textcolor{red}{(3 - \sqrt{x})} }{(3+\sqrt{x})\textcolor{red}{(3 - \sqrt{x})}} &\text{Multiply numerator and denominator by the conjugate.} \\ &= \dfrac{12−4\sqrt{x}}{3^2−(\sqrt{x})^2} &\text{Use the Special Products Formula.} \\ &= \dfrac{12−4\sqrt{x}}{9−x} &\text{The denominator is rationalized.} \end{array}\)

    Спробуйте! (Вправи)

    Для 1-30 раціоналізуйте знаменник. Припустимо, всі змінні є невід'ємними значеннями. Спростити повністю.

    1. \(\dfrac{1}{\sqrt{36}}\)
    2. \(\dfrac{6}{\sqrt[3]{64}}\)
    3. \(\dfrac{10}{\sqrt[4]{16}}\)
    4. \(\dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{32}}\)
    5. \(\dfrac{\sqrt{45x}}{\sqrt{5x}}\)
    6. \(\sqrt{\dfrac{6}{200}}\)
    7. \(\sqrt[5]{\dfrac{972}{128}}\)
    8. \(\dfrac{\sqrt[3]{2y^2}}{\sqrt[3]{5}}\)
    9. \(\dfrac{8t}{\sqrt[3]{4t}}\)
    10. \(\dfrac{2h}{\sqrt[4]{6h^3}}\)
    11. \(\dfrac{10}{3\sqrt{5p}}\)
    12. \(\dfrac{15\sqrt{2w}}{7w \sqrt{5w}}\)
    13. \(\dfrac{24c \cdot \sqrt[3]{4c}}{3c^2 \cdot \sqrt[3]{6c}}\)
    14. \(\sqrt[3]{\dfrac{55}{21q^2}}\)
    15. \(\sqrt[4]{\dfrac{25}{12u^3}}\)
    16. \(\sqrt[5]{\dfrac{60a^3}{45a^7}}\)
    17. \(\dfrac{26n \sqrt[4]{5n}}{5 \sqrt[4]{8n^5}}\)
    18. \(\dfrac{2r}{3 \sqrt{2 \pi r}}\)
    19. \(\sqrt[3]{\dfrac{2b}{a^2}}\)
    20. \(\dfrac{54y \sqrt[4]{2x^3}}{\sqrt[4]{27y^2}}\)
    21. \(-\sqrt{\dfrac{20n^5m^3}{65n^9m^4}}\)
    22. \(\sqrt[3]{\dfrac{-21}{16x^2y}}\)
    23. \(\dfrac{−75pq}{\sqrt[5]{-3p^3}}\)
    24. \(\dfrac{−12uv^2}{5\sqrt{36uv}}\)
    25. \(\dfrac{9}{x-\sqrt{2}}\)
    26. \(\dfrac{\sqrt{y}}{1\sqrt{2y}}\)
    27. \(\dfrac{z+\sqrt{3}}{z−\sqrt{3}}\)
    28. \(\dfrac{\sqrt{10}−\sqrt{5a}}{\sqrt{2a}} \)
    29. \(\dfrac{\sqrt{2a}}{\sqrt{10}−\sqrt{5a}}\)
    30. \(\dfrac{\sqrt{u} - \sqrt{v}}{v - \sqrt{u}}\)

    Для #31 -36 використовуйте порядок операцій. Раціоналізуйте знаменники там, де це доречно.

    1. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} + \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
    2. \(16 \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} + 6\sqrt[3]{4}\)
    3. \(\dfrac{2−\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 4)}\)
    4. \(\dfrac{3}{4} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} \right)\)
    5. \( \left( \dfrac{2 \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{16}} \right)^3 - \left( \dfrac{5}{\sqrt{2}} \right)^2\)
    6. \(\left( \dfrac{2}{\sqrt{10}} \right)^4 - \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{10}} \right)^6\)