6.2: Додавання та віднімання радикальних виразів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59505

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Правила радикального множення і ділення мають простоту і легкість, яка заколисує студентів в мислення додавання і віднімання буде слідувати цьому. Однак правила додавання і віднімання мають більшу складність і меншу гнучкість. Почнемо з найпоширенішого підводного каменю:

$\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} \neq \sqrt[n]{a+b}$

Примітка: Символ$\neq$ говорить «не дорівнює».

Ці два приклади мають ще більше спокуси помилитися через квадрат і змінні:

$\sqrt{x^2 + y^2} \neq x+y$

Крім того,

$\sqrt{x^2 - y^2} \neq x-y$

Це не змінює жодної властивості, яка була введена раніше! Наступне все ще відповідає дійсності! ($x ≥ 0$а$y ≥ 0$$n$ якщо навіть)

$\sqrt{x^2} + \sqrt{y^2} = x + y$

$\sqrt{x^2} - \sqrt{y^2} = x - y$

І взагалі,

$\sqrt[n]{x^n} + \sqrt[n]{y^n} = x ± y$

Скористайтеся калькулятором, щоб переконати себе:

$\sqrt{6} + \sqrt{2} \neq \sqrt{8}$

З лівого боку знайдіть значення$\sqrt{6} + \sqrt{2}$ до найближчої сотої:

$\sqrt{6} + \sqrt{2} ≈ 3.86$

З правого боку,

$\sqrt{8} ≈ 2.83$

Тепер ми бачимо, що радиканди не можуть бути додані:

$3.86 \neq 2.83$

Використовуйте порядок операцій в якості подання задачі. Будь-який інший порядок обчислень може бути підводним каменем.

$\textcolor{green}{\checkmark} \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{8} = 3+ 2 =5 $

Порядок операцій говорить нам спочатку взяти корінь куба, а потім додати. Використовуйте вказаний порядок, і він буде правильним!

Використання «Like Terms» для додавання або віднімання «Як радиканди»

Додавання і віднімання радикалів починається зі спрощення радикалів. Використовуйте якомога частіше властивість$\sqrt[n]{a^n} = a$ спрощувати радикали. Ми будемо продовжувати вважати, що змінні приймають тільки невід'ємні значення. Давайте вивчимо, як збирати подібні терміни можна використовувати з радикалами.

$2x + x = 3x$$x =$будь-яке дійсне число

Збір подібних термінів - це техніка, яку ви використовували незліченну кількість разів раніше. Чому б не використовувати з радикалами? Радикали - це реальні числа, теж! Цей підхід відкриває наш набір інструментів для додавання або віднімання радикальних виразів. Ми можемо додати радикали, якщо радиканд ідентичний, а індекс$n$ також збігається.

$clipboard_e5b839b7d59c7487ff6af0c292561f2da.png$

Припустимо$x = \sqrt{5}$. Збираються як радикали:

$2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

Визначення: Як радикали

Кажуть, що два радикальні терміни схожі на радикалів, якщо вони мають однаковий індекс і однаковий радиканд.

Приклад Template:index

Яке з трьох виразів можна спростити? Поясніть.

$4 \sqrt[3]{10} + 7 \sqrt[3]{10}$
$3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{11}$
$\sqrt[3]{6} + \sqrt{6}$

Рішення

Це єдиний даний вираз з трьох, які можна спростити.

$4 \sqrt[3]{10} + 7 \sqrt[3]{10} = 11\sqrt[3]{10}$

$4 \sqrt[3]{10} \text{ and } 7 \sqrt[3]{10}$обидва містять$\sqrt[3]{10}$ як подібні радикали.

Не можна спростити.

$3 \sqrt{2} \neq 3 \sqrt{11}$

Радиканди не рівні.

Не можна спростити.

$\sqrt[3]{6} \neq \sqrt{6}$

Індекси не рівні.

Спрощення по-перше

Не бачите матчу? Переконайтеся, що ваші радикали повністю спрощені, перш ніж намагатися додати або відняти радикали. Наступні приклади демонструють, як спрощення може допомогти вам знайти подібних радикалів.

Приклад Template:index

Спростити$\sqrt{75} + 2 \sqrt{12} − \sqrt{3}$

Рішення

$\begin{array} &\sqrt{75} + 2 \sqrt{12} − 5 \sqrt{3}& &\text{At first glance, none of the radicals are like radicals. However, both \(\sqrt{75}$і$\sqrt{12}$ може бути спрощено.}\\ & =\ sqrt {25\ cdot 3} + 2\ sqrt {4\ cdot 3} −\ sqrt {3} &\ text {Фактор ідеальних квадратів у кожному радиканді.}\\ &= 5\ sqrt {3} + 2\ cdot 2\ sqrt {3} −\ sqrt {3} &\ text {Спрощення}\\ &= 5\ sqrt {3} + 4\ sqrt {3} −\ sqrt {3} &\ text {Об'єднати подібне радикали.}\\ (5 + 4 − 1)\ sqrt {3} &= 8\ sqrt {3} &\ end {масив}\)

Приклад Template:index

Додати$\sqrt[3]{54x^2} + \sqrt[3]{3x^2} + \sqrt[3]{16x^2}$

Рішення

$\begin{array} &&\sqrt[3]{54x^2} + \sqrt[3]{3x^2} + \sqrt[3]{16x^2} &\text{Simplify each radical.} \\ &= \sqrt[3]{27 \cdot 2x^2} + \sqrt[3]{3x^2} + \sqrt[3]{8 \cdot 2x^2} &\text{Factor the radicands.} \\ &= 3 \textcolor{red}{\sqrt[3]{2x^2}} + \sqrt[3]{3x^2} + 2 \textcolor{red}{\sqrt[3]{3x^2}} &\text{Two terms contain like radicals. Simplify. } \\ &= 5 \sqrt[3]{3x^2} + \sqrt[3]{3x^2} & \end{array}$

Приклад Template:index

Знайдіть площу і периметр зображеного прямокутника.

$clipboard_e9e5cd0bd0869ddef6196db5a9138cd68.png$

Довжина$= (6 \sqrt{3} + \sqrt{5})$ ніг

Ширина$= (\sqrt{3} + 5\sqrt{5})$ ніг

Рішення

Використовуйте ФОЛЬГУ:

$\begin{array} &&\text{Area } &= (6 \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} + 5\sqrt{5}) &= \underbrace{(6 \sqrt{3})(\sqrt{3})}_{\text{F}} + \underbrace{(6 \sqrt{3})(5\sqrt{5})}_{\text{O}} + \underbrace{(\sqrt{5})(\sqrt{3})}_{\text{I}} + \underbrace{(\sqrt{5})(5\sqrt{5})}_{\text{L}} \\ &&&= 6 \cdot 3 + 6 \cdot 5 \cdot \sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{5 \cdot 3} + 5 \cdot 5 \\&&&= 18 + 30\sqrt{15} + \sqrt{15} +25 \\&&&= 43 +31\sqrt{15} \text{ ft}^2 \end{array}$

$\begin{array} &&\text{Perimeter } &= \overbrace{2(6 \sqrt{3} + \sqrt{5}) + 2(\sqrt{3} + 5\sqrt{5})}^{P = 2L + 2W} &= \underbrace{(2 \cdot 6 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{5})}_{\text{Distributive Property}} + \underbrace{(2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot 5\sqrt{5})}_{\text{Distributive Property}} \\ &&&= (12 \sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) + (2 \sqrt{3} + 2 \cdot 5\sqrt{5}) \\&&&= \underbrace{12 \sqrt{3} + 2\sqrt{3}}_{\text{Like Radicals}} + \underbrace{2\sqrt{5}+10\sqrt{5}}_{\text{Like Radicals}} \\&&&= 14\sqrt{3} + 12\sqrt{5} \text{ ft}^2 \end{array}$

Спробуйте! (Вправи)

Для #1 -4 додайте або відніміть вирази, якщо це можливо. Припустімо, що змінні представляють невід'ємні числа.

$7\sqrt{5} − 2\sqrt{5} + \sqrt{5}$
$3\sqrt{3x} − 4\sqrt{3x} + 6\sqrt{6x} − 8\sqrt{6x}$
$\sqrt[3]{9y} + \sqrt[4]{9y} − \sqrt[3]{2y} + 2\sqrt[4]{9y}$
$7b \sqrt[5]{16b^2} − 4b\sqrt[3]{16b^2} − 3b\sqrt[5]{3b^2}$

Для #5 -8 спростіть кожне радикальне вираз, а потім додайте або відніміть вирази, якщо це можливо. Припустімо, що змінні представляють невід'ємні числа.

$2\sqrt{3a^3} + 5a\sqrt{3a} − \sqrt{27a^3}$
$\sqrt[3]{56c^6} − 2c^2 \cdot \sqrt[3]{189} + \sqrt[3]{7c^2} $
$3\sqrt[4]{4p^7} − 3p\sqrt[4]{324p^3} + 2\sqrt[4]{64p^7}$
$2b\sqrt[5]{192b^3} − \sqrt[5]{64b} + 3\sqrt[5]{6b^8} + \sqrt[5]{486b}$

Для #9 -14 оцініть кожне з наступного. Спрощуйте, де це можливо. Припустімо, що змінні представляють невід'ємні числа.

$\sqrt{12}(\sqrt{2} − \sqrt{18})$
$(7\sqrt[3]{10} + 3\sqrt[3]{4})(2\sqrt[3]{20} − \sqrt[3]{50})$
$(9\sqrt{2x} + 6\sqrt{3x})^2$
$(\sqrt{26} − 4\sqrt{10})(\sqrt{26} + 4\sqrt{10})$
$(\sqrt[3]{24} − \sqrt[3]{54})^2$
$5(3\sqrt{7} − 1)(4\sqrt{14} + 1)$

Для #15 -16 знайдіть площу і периметр кожного прямокутника. Довжина і ширина позначені на малюнках, а одиниці - фути.

$clipboard_ee3bb371de39b456d6c73cfeeb3def10f.png$
$clipboard_e2ae9bd4a09dde96bb8e3712b6624465a.png$
Квадрат має довжину сторін =$(\sqrt[4]{4} + 2)$ фути. Знайдіть кожну площу і периметр квадрата.
Якщо квадрат має площу$= 540$$\text{ft}^2$. Який периметр квадрата?