Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.3.2: Обсяг правих призм

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57885

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте розглянемо обсяги призм.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Three Prisms with the Same Volume

    Прямокутники A, B і C являють собою основи трьох призм.

    clipboard_e4508ff9f53b9f4d69b41420c251f034b.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)
    1. Якщо кожна призма має однакову висоту, яка з них буде мати найбільший обсяг, а яка - найменший? Поясніть свої міркування.
    2. Якщо кожна призма має однаковий обсяг, яка з них буде мати найвищу висоту, а яка - найкоротша? Поясніть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{2}\): Finding Volume with Cubes

    Цей аплет має 64 оснащення кубиків, всі сидять в одному місці на екрані, як прихований стек блоків. Ви завжди будете знати, де стек, тому що він сидить на сірому квадраті. Ви можете продовжувати перетягувати блоки з купи за їх червоними точками, поки у вас не буде достатньо, щоб побудувати те, що ви хочете.

    clipboard_ec289c431e69f9d04ec1704577010a7bc.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Натисніть на червоні точки, щоб перейти від руху вліво/вправо до руху вгору/вниз.

    clipboard_ef15117fdf19092754d5d85fc6c57b393.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    На сітці також є фігура. Він позначає слід фігур, які ви будете будувати.

    1. Використовуючи обличчя оснащення куба як одиниці площі, яка площа фігури? Поясніть або покажіть свої міркування.
    2. Використовуйте прив'язані кубики, щоб побудувати фігуру з паперу. Додайте ще один шар кубиків поверх побудованої вами фігури. Опишіть цей тривимірний об'єкт.
    3. Який обсяг вашого об'єкта? Поясніть свої міркування.
    4. Прямо зараз ваш об'єкт має висоту 2. Яким би був обсяг
      1. якщо він мав висоту 5?
      2. якби вона мала висоту 8,5?

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Can You Find the Volume?

    Аплет має набір тривимірних фігур.

    1. Для кожної фігури визначте, чи є форма призмою.
    2. Для кожної призми:
      1. Знайдіть площу підстави призми.
      2. Знайдіть висоту призми.
      3. Обчисліть обсяг призми.
    Це призма? площа підстави призми (см\(^{2}\)) висота (см) Обсяг (см\(^{3}\))
    \ (^ {2}\)) "> \ (^ {3}\)) ">
    \ (^ {2}\)) "> \ (^ {3}\)) ">
    \ (^ {2}\)) "> \ (^ {3}\)) ">
    \ (^ {2}\)) "> \ (^ {3}\)) ">
    \ (^ {2}\)) "> \ (^ {3}\)) ">
    \ (^ {2}\)) "> \ (^ {3}\)) ">
    Таблиця\(\PageIndex{1}\)
    • Почніть з захоплення сірої смуги зліва і перетягування її вправо, поки не побачите повзунок.
    • Вибираємо фігуру за допомогою повзунка.
    • Поверніть вигляд за допомогою інструмента «Поворот 3D-графіки», позначеного двома перетинаються вигнутими стрілками.
    • Зверніть увагу, що кожен багатогранник має лише одну мітку на унікальну грань. Там, де вимірювання не показані, грані є ідентичними копіями.
    • За допомогою інструменту відстані, позначеного «см», натисніть на будь-який відрізок і знайдіть висоту або довжину.
    • Порада щодо усунення несправностей: курсор повинен знаходитися у вікні 3D-графіки, щоб з'явилася повна панель інструментів.

    Ви готові до більшого?

    Уявіть собі великий суцільний куб, зроблений з 64 білих оснасткових кубиків. Хтось спреєм фарбує всі 6 граней великого куба синім кольором. Після висихання фарби розбирають великий куб на купу з 64 оснасткових кубиків.

    1. Скільки з цих 64 оснащення кубів мають рівно 2 грані, які сині?
    2. Які інші можливі числа синіх граней можуть мати кубики? Скільки з них є?
    3. Спробуйте цю проблему ще раз з деякими більшими кубами, які використовують більше 64 кубів оснащення для побудови. Які закономірності ви помічаєте?

    Вправа\(\PageIndex{4}\): What's the Prism's Height?

    Є 4 різних призми, які всі мають однаковий обсяг. Ось як виглядає основа кожної призми.

    clipboard_e9ac8d8d895e634d17f61819f75ade069.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\): Чотири багатокутники на сітці. Багатокутник А, блок 3 на 3 з блоком 1 на 1 відсутній з кута. Багатокутник B, прямокутний трикутник 3 блоки на 4 блоки. Багатокутник C, прямокутник 4 на 4 з трикутником 4 на 1 відсутній зверху. Багатокутник D, 5 блоків, розташованих як знак плюс.
    1. Замовте призми від найкоротших до найвищих. Поясніть свої міркування.
    2. Якщо обсяг кожної призми дорівнює 60 одиницям 3, якою буде висота кожної призми?
    3. Для обсягу, відмінного від 60 одиниць 3, якою може бути висота кожної призми?
    4. Обговоріть своє мислення зі своїм партнером. Якщо ви не згодні, працюйте, щоб досягти згоди.

    Резюме

    Будь-який перетин призми, паралельно підставі, буде ідентичним підставі. Це означає, що ми можемо нарізати призми, щоб допомогти знайти їх обсяг. Наприклад, якщо у нас є прямокутна призма, яка має висоту 3 одиниці і має основу, яка становить 4 одиниці на 5 одиниць, ми можемо думати про це як 3 шари, де кожен шар має\(4\cdot 5\) кубічні одиниці.

    clipboard_e08cc32b2eff62e7c962b912d8c31a90f.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Це означає, що об'єм вихідної прямокутної призми є\(3(4\cdot 5)\) кубічними одиницями.

    Це працює з будь-якою призмою! Якщо у нас є призма висотою 3 см, яка має підставу площею 20 см 2, то обсяг дорівнює 3\(3\cdot 20\) см незалежно від форми підстави. Загалом, обсяг призми з висотою\(h\) і площею\(B\) дорівнює

    \(V=B\cdot h\)

    Наприклад, ці дві призми обидві мають обсяг 100 см 3.

    clipboard_e58a3c3e774cb4ea58f0d7833ad8d91ca.png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Записи глосарію

    Визначення: Основа (призми або піраміди)

    Слово base може також ставитися до обличчя багатогранника.

    Призма має два однакових підстави, які паралельні. Піраміда має одну основу.

    Призма або піраміда названа за формою її підстави.

    clipboard_e191330f676dc1795f7b292f84e886054.png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\): Ліворуч фігура позначена п'ятикутною призмою. Зверху і знизу є два однакових п'ятикутника. Кожна вершина п'ятикутника з'єднана вертикальним відрізком з відповідною вершиною інших п'ятикутників. П'ятикутники затінені, причому база слів вказує на кожен. На малюнку праворуч позначена шестикутна піраміда. На дні є шестикутник, затінений зеленим кольором. З точки над шестикутником відходять 6 відрізків, кожен з'єднаний з вершиною шестикутника.

    Визначення: Поперечний переріз

    Поперечний переріз - це нове обличчя, яке ви бачите, коли розрізаєте тривимірну фігуру.

    Наприклад, якщо ви нарізаєте прямокутну піраміду паралельно основі, ви отримаєте менший прямокутник як поперечний переріз.

    Визначення: Призма

    Призма - це тип багатогранника, який має дві основи, які є однаковими копіями один одного. Підстави з'єднуються прямокутниками або паралелограмами.

    Ось деякі малюнки призм.

    clipboard_e7e6a728838af063c32f37472e750bf6f.png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Визначення: Піраміда

    Піраміда - це тип багатогранника, який має одну основу. Всі інші грані є трикутниками, і всі вони зустрічаються в одній вершині.

    Ось деякі малюнки пірамід.

    clipboard_e40b1f91f22c07794b62aa432821c1e64.png
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    Визначення: Обсяг

    Обсяг - це кількість кубічних одиниць, які заповнюють тривимірну область, без будь-яких зазорів або перекриттів.

    Наприклад, обсяг цієї прямокутної призми становить 60 одиниць 3, тому що вона складається з 3 шарів, які кожен 20 одиниць 3.

    clipboard_e0713f90c2acc984585cdb88d13e6e803.png
    Малюнок\(\PageIndex{10}\)

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    1. Виділіть всі призми.
    2. Для кожної призми заштрихуйте одну її підставу.
    clipboard_e4240145362f32de0243027f86ade6b37.png
    Малюнок\(\PageIndex{11}\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Обсяг обох цих трапецієподібних призм становить 24 кубічних одиниці. Їх висоти становлять 6 і 8 одиниць, як маркуються. Яка площа трапецієподібної основи кожної призми?

    clipboard_edcc45db572a33e556d21166511b6a80f.png
    Малюнок\(\PageIndex{12}\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Два кута взаємодоповнюють один одного. Один має міру 19 градусів. Яка міра іншого?

    (З блоку 7.1.2)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Два кута є додатковими. Один має міру, яка вдвічі більша за іншу. Знайдіть два кутові міри.

    (З блоку 7.1.2)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Зіставте кожний вираз у першому списку з еквівалентним виразом з другим списком.

    1. \(7(x+2)-x+3\)
    2. \(6x+3+4x+5\)
    3. \(\frac{-2}{5}x-7+\frac{3}{5}x-3\)
    4. \(8x-5+4-9\)
    5. \(24x+36\)
    1. \(\frac{1}{5}x-10\)
    2. \(6x+17\)
    3. \(2(5x+4)\)
    4. \(12(2x+3)\)
    5. \(8x+(-5)+4+(-9)\)

    (З блоку 6.4.5)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Клер заплатила за свій блокнот на 50% більше, ніж за неї заплатила Прия. Прия заплатила\(x\) за свій блокнот, а Клер заплатила\(y\) долари за неї. Напишіть рівняння, яке представляє зв'язок між\(y\) і\(x\).

    (З блоку 4.2.3)