4.S: Дроби (резюме)

Ключові умови

складний дріб	Дріб, в якому чисельник або знаменник містить дріб.
еквівалентні дроби	Дві або більше дробів, які мають однакове значення.
фракція	Записується дріб\(\dfrac{a}{b}\). У дробі a - чисельник, а b - знаменник. Дріб являє собою частини цілого. Знаменник b - це кількість рівних частин, на які було поділено ціле, а чисельник a вказує, скільки частин включено.
найменш спільний знаменник (LCD)	Найменш спільний знаменник (РК) двох дробів - найменш спільний кратний (НКМ) їх знаменників.
змішане число	Мішане число складається з цілого числа a та дробу\(\dfrac{b}{c}\), де c ≠ 0. Він пишеться як\(a \dfrac{b}{c}\), де c ≠ 0.
правильні та неправильні дроби	Дріб\(\dfrac{a}{b}\) є правильним, якщо a < b and improper if a > b.
зворотний	Зворотний дріб\(\dfrac{a}{b}\) - це\(\dfrac{b}{a}\) де a ≠ 0 і b ≠ 0.
спрощений дріб	Дріб вважається спрощеним, якщо в чисельнику і знаменнику відсутні спільні множники.

Ключові поняття

4.1 - Візуалізація дробів

• Власність одного
  • Будь-яке число, крім нуля, розділене саме по собі, дорівнює одиниці. \(\dfrac{a}{a}\)= 1, де a ≠ 0.
• Змішані числа
  • Мішане число складається з цілого числа a та дробу\(\dfrac{b}{c}\), де c ≠ 0.
  • Вона пишеться наступним чином:\(a \dfrac{b}{c} \quad c \neq 0\)
• Правильні та неправильні дроби
  • Дріб\(\frac{a}{b}\) є правильним дробом, якщо a < b і неправильним дробом, якщо a ≥ b.
• Перетворення неправильного дробу в мішане число.
  1. Розділіть знаменник на чисельник.
  2. Визначте частку, залишок і дільник.
  3. Запишіть мішане число як\(quotient \dfrac{remainder}{divisor}\).
• Перетворення мішаного числа на неправильний дріб.
  1. Помножте все число на знаменник.
  2. Додайте чисельник до товару, знайденого на кроці 1.
  3. Напишіть остаточну суму над початковим знаменником.
• Властивість еквівалентних дробів: Якщо a, b і c - це числа, де b ≠ 0, c ≠ 0, то\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c}\).

4.2 - Множення та ділення дробів

• Властивість еквівалентних дробів
  • Якщо a, b, c - числа, де b ≠ 0, c ≠ 0, то\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c}\) і\(\dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} = \dfrac{a}{b}\).
• Спростити дріб.
  1. Перепишіть чисельник і знаменник, щоб показати загальні фактори. Якщо потрібно, перерахуйте чисельник і знаменник на прості числа.
  2. Спростіть, використовуючи властивість еквівалентних дробів, шляхом видалення загальних факторів.
  3. Помножте всі інші фактори.
• Множення дробу
  • Якщо a, b, c і d - числа, де b ≠ 0 і d ≠ 0, то\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\).
• Взаємний
  • Число і його зворотне мають добутку 1. \(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}\)= 1.

  • Таблиця 4.98

Навпаки	Абсолютна величина	Взаємний
має протилежний знак	ніколи не буває негативним	має однаковий знак, дріб інвертує

• Розділ дробу
  • Якщо a, b, c і d - числа, де b ≠ 0, c ≠ 0, а d ≠ 0, то\(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}\).
  • Для поділу дробів помножте перший дріб на зворотний другий.

4.3 - Множення та ділення мішаних чисел та складних дробів

• Помножити або ділити мішані числа.
  1. Перетворення мішаних чисел на неправильні дроби.
  2. Дотримуйтесь правил множення або ділення дробу.
  3. Спрощуйте, якщо це можливо.
• Спростити складний дріб.
  1. Перепишіть складний дріб як задачу ділення.
  2. Дотримуйтесь правил ділення дробів.
  3. Спрощуйте, якщо це можливо.
• Розміщення негативного знака в дробі.
  • Для будь-яких позитивних чисел a та b,\(\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = - \dfrac{a}{b}\).
• Спростіть вираз за допомогою рядка дробу.
  1. Спростити чисельник.
  2. Спростити знаменник.
  3. Спростити дріб.

4.4 - Додавання та віднімання дробів із загальними знаменниками

• Додавання дробу
  • Якщо a, b і c - числа, де c ≠ 0, то\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + c}{c}\).
  • Щоб додати дроби, додайте чисельники і помістіть суму над спільним знаменником.
• Віднімання дробу
  • Якщо a, b і c - числа, де c ≠ 0, то\(\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}\).
  • Для віднімання дробів відніміть чисельники і помістіть різницю над загальним знаменником.

4.5 - Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками

• Знайдіть найменш спільний знаменник (РК) двох дробів.
  1. Розподіліть кожен знаменник на прості числа.
  2. Перерахуйте прості числа, відповідні прості числа у стовпцях, коли це можливо.
  3. Збиваємо колони.
  4. Помножте коефіцієнти. Твір є НКМ знаменників.
  5. LCM знаменників - це РК-дисплей дробів.
• Властивість еквівалентних дробів
  • Якщо a, b і c - цілі числа, де b ≠ 0, c ≠ 0 то\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c}\) і\(\dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} = \dfrac{a}{b}\).
• Перетворіть два дроби в еквівалентні дроби з їх РК-дисплеєм як спільним знаменником.
  1. Знайдіть РК-дисплей.
  2. Для кожного дробу визначте число, необхідне для помноження знаменника, щоб отримати РК-дисплей.
  3. Використовуйте властивість еквівалентних дробів, щоб помножити чисельник і знаменник на число з кроку 2.
  4. Спростити чисельник і знаменник.
• Додавання або віднімання дробів з різними знаменниками.
  1. Знайдіть РК-дисплей.
  2. Перетворіть кожен дріб в еквівалентну форму з РК-дисплеєм як знаменником.
  3. Додавання або віднімання дробів.
  4. Напишіть результат в спрощеному вигляді.
• Резюме операцій з дробом
  • Множення дробів: Помножте чисельники та помножте знаменники. \(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\).
  • Ділення дробу: Помножте перший дріб на зворотний другий. \(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}\).
  • Додавання дробу: Додайте чисельники та розмістіть суму над спільним знаменником. Якщо дроби мають різні знаменники, спочатку перетворіть їх у еквівалентні форми з РК-дисплеєм. \(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\).
  • Віднімання дробу: Відніміть чисельники та розмістіть різницю над спільним знаменником. Якщо дроби мають різні знаменники, спочатку перетворіть їх у еквівалентні форми з РК-дисплеєм. \(\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}\).
• Спрощення складних дробів.
  1. Спростити чисельник.
  2. Спростити знаменник.
  3. Розділіть чисельник на знаменник.
  4. Спрощуйте, якщо це можливо.

4.6 - Додавання та віднімання змішаних чисел

• Додайте мішані числа із загальним знаменником.
  1. Складіть цілі числа.
  2. Додайте дроби.
  3. Спрощуйте, якщо це можливо.
• Відніміть мішані числа зі спільними знаменниками.
  1. Перепишіть проблему у вертикальному вигляді.
  2. Порівняйте два дроби. Якщо верхня фракція більша за нижню, перейдіть до кроку 3. Якщо немає, то в верхньому змішаному числі візьміть одне ціле і додайте його до дробної частини, зробивши змішане число з неправильним дробом.
  3. Відніміть дроби.
  4. Відніміть цілі числа.
  5. Спрощуйте, якщо це можливо.
• Відніміть мішані числа зі спільними знаменниками як неправильні дроби.
  1. Перепишіть мішані числа як неправильні дроби.
  2. Відніміть чисельники.
  3. Напишіть відповідь у вигляді змішаного числа, спрощуючи частину дробу, якщо це можливо.

4.7 - Розв'язувати рівняння з дробами

• Визначте, чи є число розв'язком рівняння.
  1. Підставляємо число для змінної в рівняння.
  2. Спростіть вирази з обох сторін рівняння.
  3. Визначте, чи істинно отримане рівняння. Якщо це правда, число - це рішення. Якщо це не відповідає дійсності, число не є рішенням.
• Властивості додавання, віднімання та поділу рівності: для будь-яких чисел a, b та c,
  • якщо a = b, то a + c = b + с. властивість додавання рівності
  • якщо a = b, то a - c = b - c. віднімання властивість рівності
  • якщо a = b, то\(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}\), c ≠ 0. Поділ власності рівності
• Властивість множення рівності
  • Для будь-яких чисел ab і c, a = b, тоді ac = bc.
  • Якщо помножити обидві сторони рівняння на однакову величину, ви все одно матимете рівність.

Автори та авторства

• Template:ContribOpenStaxPreAlgebra