Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.10: Додавання та віднімання мішаних чисел (частина 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57830

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Модель складання мішаних чисел із загальним знаменником
    • Додайте мішані числа із загальним знаменником
    • Моделі віднімання мішаних чисел
    • Відніміть мішані числа зі спільним знаменником
    • Додавання та віднімання мішаних чисел з різними знаменниками
    будьте готові!

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Намалюйте фігуру до моделі\(\dfrac{7}{3}\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.1.6.
    2. \(\dfrac{11}{4}\)Змінити на змішане число. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.1.9.
    3. Зміна\(3 \dfrac{1}{2}\) на неправильний дріб. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.1.11.

    Моделі додавання мішаних чисел із спільним знаменником

    Поки що ми додали і віднімали належні та неправильні дроби, але не мішані числа. Почнемо з того, що подумаємо про додавання мішаних чисел за допомогою грошей.

    Якщо у Рона є\(1\) долар і\(1\) чверть, у нього є\(1 \dfrac{1}{4}\) долари. Якщо у Дона є\(2\) долари і\(1\) чверть, у нього є\(2 \dfrac{1}{4}\) долари. Що робити, якщо Рон і Дон складуть свої гроші разом? У них були б\(3\) долари і\(2\) чверті. Вони додають долари і додають чверті. Це робить\(3 \dfrac{2}{4}\) долари. Оскільки дві чверті - це півдолара, вони мали б\(3\) півтора долари, або\(3 \dfrac{1}{2}\) долари.

    \[\begin{split} & 1 \dfrac{1}{4} \\ + & 2 \dfrac{1}{4} \\ \hline \\ & 3 \dfrac{2}{4} = 3 \dfrac{1}{2} \end{split} \nonumber \]

    Коли ви додали долари, а потім додали квартали, ви додавали цілі числа, а потім додавали дроби.

    \[1 \dfrac{1}{4} + 2 \dfrac{1}{4} \nonumber \]

    Ми можемо використовувати дробові кола для моделювання цього ж прикладу:

    Почніть з\(1 \dfrac{1}{4}\). одне ціле і одна\(\dfrac{1}{4}\) штука \(1 \dfrac{1}{4}\)
    Додайте\(2 \dfrac{1}{4}\) ще. два цілих і одна\(\dfrac{1}{4}\) штука \(\begin{split}+ & 2 \dfrac{1}{4} \\ & \hline \end{split}\)
    Сума складає: три цілих і два\(\dfrac{1}{4}\) \(3 \dfrac{2}{4} = 3 \dfrac{1}{2}\)
    Приклад\(\PageIndex{1}\): model

    \(2 \dfrac{1}{3} + 1 \dfrac{2}{3}\)Змоделюйте і дайте суму.

    Рішення

    Ми будемо використовувати дробові кола, цілі кола для цілих чисел і\(\dfrac{1}{3}\) шматочки для дробів.

    два цілих і один\(\dfrac{1}{3}\) \(2 \dfrac{1}{3}\)
    плюс одне ціле і два\(\dfrac{1}{3}\) с \(\begin{split}+ & 1 \dfrac{2}{3} \\ & \hline \end{split}\)
    сума дорівнює трьом цілим і три\(\dfrac{1}{3}\) s \(3 \dfrac{3}{3} = 4\)

    Це те ж саме, що і\(4\) цілі. Отже,\(2 \dfrac{1}{3} + 1 \dfrac{2}{3} = 4\).

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Використовуйте модель, щоб додати наступне. Намалюйте малюнок, щоб проілюструвати свою модель. \(1 \dfrac{2}{5} + 3 \dfrac{3}{5}\)

    Відповідь

    \(5\)

    Ех 4.6.1.png

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Використовуйте модель, щоб додати наступне. Намалюйте малюнок, щоб проілюструвати свою модель. \(2 \dfrac{1}{6} + 2 \dfrac{5}{6}\)

    Відповідь

    \(5\)

    Ех 4.6.2.png

    Приклад\(\PageIndex{2}\): model

    \(1 \dfrac{3}{5} + 2 \dfrac{3}{5}\)Змоделюйте і дайте суму у вигляді мішаного числа.

    Рішення

    Ми будемо використовувати дробові кола, цілі кола для цілих чисел і\(\dfrac{1}{5}\) шматочки для дробів.

    одне ціле і три\(\dfrac{1}{5}\) с \(1 \dfrac{3}{5}\)
    плюс два цілих і три\(\dfrac{1}{5}\) s \(\begin{split}+ & 2 \dfrac{3}{5} \\ & \hline \end{split}\)
    сума дорівнює трьом цілим і шість\(\dfrac{1}{5}\) s \(3 \dfrac{6}{5} = 4 \dfrac{1}{5}\)

    Склавши цілі кола і п'яті частини, у нас вийшла сума\(3 \dfrac{6}{5}\). Ми бачимо, що\(\dfrac{6}{5}\) еквівалентно\(1 \dfrac{1}{5}\), тому ми додаємо, що\(3\) до отримати\(4 \dfrac{1}{5}\).

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Змоделюйте, і дайте суму у вигляді мішаного числа. Намалюйте малюнок, щоб проілюструвати свою модель. \(2 \dfrac{5}{6} + 1 \dfrac{5}{6}\)

    Відповідь

    \(4\dfrac{2}{3}\)

    Ех 4.6.3.png

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Змоделюйте, і дайте суму у вигляді мішаного числа. Намалюйте малюнок, щоб проілюструвати свою модель. \(1 \dfrac{5}{8} + 1 \dfrac{7}{8}\)

    Відповідь

    \(3\dfrac{1}{2}\)

    Ех 4.6.4.png

    Додати змішані числа

    Моделювання за допомогою дробових кіл допомагає проілюструвати процес додавання мішаних чисел: складаємо цілі числа і додаємо дроби, а потім спрощуємо результат, якщо це можливо.

    ЯК: ДОДАТИ МІШАНІ ЧИСЛА ІЗ ЗАГАЛЬНИМ ЗНАМЕННИКОМ

    Крок 1. Складіть цілі числа.

    Крок 2. Додайте дроби.

    Крок 3. Спрощуйте, якщо це можливо.

    Приклад\(\PageIndex{3}\): add

    Додати:\(3 \dfrac{4}{9} + 2 \dfrac{2}{9}\).

    Рішення

    Складіть цілі числа. \(\begin{split} & \textcolor{red}{3} \dfrac{4}{9} \\ + & \textcolor{red}{2} \dfrac{2}{9} \\ \hline \\ & \textcolor{red}{5} \end{split}\)
    Додайте дроби. \(\begin{split} & 3 \textcolor{red}{\dfrac{4}{9}} \\ + & 2 \textcolor{red}{\dfrac{2}{9}} \\ \hline \\ & 5 \textcolor{red}{\dfrac{6}{9}} \end{split}\)
    Спростити дріб. \(\begin{split} & 3 \dfrac{4}{9} \\ + & 2 \dfrac{2}{9} \\ \hline \\ & \textcolor{red}{5 \dfrac{6}{9}} = 5 \dfrac{2}{3} \end{split}\)
    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Знайдіть суму:\(4 \dfrac{4}{7} + 1 \dfrac{2}{7}\).

    Відповідь

    \(5\dfrac{6}{7}\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Знайдіть суму:\(2 \dfrac{3}{11} + 5 \dfrac{6}{11}\).

    Відповідь

    \(7\dfrac{9}{11}\)

    У\(\PageIndex{3}\) прикладі сума дробів була належним дробом. Тепер ми попрацюємо над прикладом, де сума є неправильним дробом.

    Приклад\(\PageIndex{4}\): add

    Знайдіть суму:\(9 \dfrac{5}{9} + 5 \dfrac{7}{9}\).

    Рішення

    Додайте цілі числа, а потім додайте дроби. \(\begin{split} & 9 \dfrac{5}{9} \\ + & 5 \dfrac{7}{9} \\ \hline \\ & 14 \dfrac{12}{9} \end{split}\)
    Перепишіть\(\dfrac{12}{9}\) як неправильний дріб. \(14 + 1 \dfrac{3}{9}\)
    Додати. \(15 \dfrac{3}{9}\)
    Спростити. \(15 \dfrac{1}{3}\)
    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Знайдіть суму:\(8 \dfrac{7}{8} + 7 \dfrac{5}{8}\).

    Відповідь

    \(16\dfrac{1}{2}\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Знайдіть суму:\(6 \dfrac{7}{9} + 8 \dfrac{5}{9}\).

    Відповідь

    \(15\dfrac{1}{3}\)

    Альтернативним методом додавання мішаних чисел є перетворення мішаних чисел у неправильні дроби, а потім додавання неправильних дробів. Цей спосіб зазвичай пишуть горизонтально.

    Приклад\(\PageIndex{5}\): add

    Додайте шляхом перетворення мішаних чисел у неправильні дроби:\(3 \dfrac{7}{8} + 4 \dfrac{3}{8}\).

    Рішення

    Перетворити на неправильні дроби. \(\dfrac{31}{8} + \dfrac{35}{8}\)
    Додайте дроби. \(\dfrac{31 + 35}{8}\)
    Спростити чисельник. \(\dfrac{66}{8}\)
    Перепишіть як мішане число. \(8 \dfrac{2}{8}\)
    Спростити дріб. \(8 \dfrac{1}{4}\)

    Оскільки задача була задана у вигляді мішаних чисел, ми запишемо суму як мішане число.

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Знайти суму шляхом перетворення мішаних чисел в неправильні дроби:\(5 \dfrac{5}{9} + 3 \dfrac{7}{9}\)

    Відповідь

    \(9\dfrac{1}{3}\)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Знайти суму шляхом перетворення мішаних чисел в неправильні дроби:\(3 \dfrac{7}{10} + 2 \dfrac{9}{10}\)

    Відповідь

    \(6\dfrac{3}{5}\)

    Таблиця\(\PageIndex{1}\) порівнює два способи додавання, використовуючи вираз\(3 \dfrac{2}{5} + 6 \dfrac{4}{5}\) як приклад. Який спосіб ви віддаєте перевагу?

    Таблиця\(\PageIndex{1}\)
    Змішані числа Неправильні дроби
    \(\begin{split} & 3 \dfrac{2}{5} \\ + & 6 \dfrac{4}{5} \\ \hline \\ & 9 \dfrac{6}{5} \end{split}\) \(3 \dfrac{2}{5} + 6 \dfrac{4}{5}\)
    \(9 + \dfrac{6}{5}\) \(\dfrac{17}{5} + \dfrac{34}{5}\)
    \(9 + 1 \dfrac{1}{5}\) \(\dfrac{51}{5}\)
    \(10 \dfrac{1}{5}\) \(10 \dfrac{1}{5}\)

    Моделі віднімання мішаних чисел

    Давайте знову подумаємо про піцу, щоб змоделювати віднімання змішаних чисел із загальним знаменником. Припустимо, ви тільки що спекли цілу піцу і хочете подарувати братові половину піци. Що ви повинні зробити, щоб піца дала йому половину? Ви повинні розрізати його як мінімум на дві частини. Потім можна дати йому половину.

    Ми будемо використовувати дробові кола (піци!) щоб допомогти нам візуалізувати процес. Почніть з одного цілого.

    Показано затінене коло. Нижче це 1. Є стрілки, що вказують на затінене коло, розділене на 2 рівні частини. Нижче це 2 над 2. Поруч з цим розташовані два кола, кожен розділений на 2 рівні частини. Верхнє коло має праву половину затінену, а нижнє коло має ліву половину затінену.

    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Алгебраїчно, ви б написали:

    Зліва написано 1 мінус 1 половина. Є стрілка, що вказує на 2 над 2 мінус 1 над 2. Існує ще одна стрілка, що вказує на 2 над 2 мінус 1 над 2 дорівнює 1 над 2.

    Приклад\(\PageIndex{6}\): subtract

    Використовуйте модель для віднімання:\(1 − \dfrac{1}{3}\).

    Рішення

    Є таблиця з п'ятьма рядками і трьома стовпцями. Перший стовпець не позначений. Друга колонка має позначку «Модель». Третій стовпець має назву «Математичні позначення». У першому стовпці перший рядок говорить: «Перепишіть вертикально. Почніть з одного цілого». Наступний ряд говорить: «Оскільки одна третина має знаменник 3, розріжте ціле на 3 частини. Ціле 1 стає 3 третинами». Наступний ряд говорить: «Візьміть третину». В останньому рядку написано: «Залишилося дві третини». У графі «Модель» є зображення затіненого кола. Нижче наведено зображення затіненого кола, розділеного на 3 рівні частини. Нижче наведено зображення кола, розділеного на 3 рівні частини з 2 шматками, затіненими. У стовпці «Математичні позначення» перший рядок показує 1 мінус 1 третій. Наступний ряд говорить 3 третини мінус 1 третина. Останній рядок говорить 3 третини мінус 1 третина дорівнює 2 третинам.

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Використовуйте модель для віднімання:\(1 − \dfrac{1}{4}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{3}{4}\)

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Використовуйте модель для віднімання:\(1 − \dfrac{1}{5}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{4}{5}\)

    Що робити, якщо ми почнемо з більш ніж одного цілого? Давайте дізнаємося.

    Приклад\(\PageIndex{7}\): subtract

    Використовуйте модель для віднімання:\(2 − \dfrac{3}{4}\).

    Рішення

    Є таблиця з чотирма рядками і трьома стовпцями. Перший стовпець не позначений. Друга колонка має позначку «Модель». Третій стовпець має назву «Математичні позначення». У першому стовпці перший рядок говорить: «Перепишіть вертикально. Почніть з двох цілих». Наступний ряд говорить: «Оскільки три четверті мають знаменник 4, розріжте одне з цілих на 4 частини. У вас є одне ціле і 4 четверті». Наступний ряд говорить: «Візьміть три чверті». Останній ряд говорить: «Залишилося 1 і 1 четвертий». У стовпці «Модель» є зображення двох затінених кіл. Нижче наведено зображення двох затінених кіл. Один з кіл ділимо на 4 рівні частини. Нижче наведено зображення одного повного затіненого кола та кола, розділеного на 4 рівні частини з 1 шматочком затіненого. У стовпці «Математичні позначення» перший рядок показує 2 мінус 3 четвертих. Наступний ряд говорить 1 і 4 четверті мінус 3 четверті. Останній ряд говорить 1 і 4 четвертих мінус 3 четвертих дорівнює 1 і 1 четвертої.

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Використовуйте модель для віднімання:\(2 − \dfrac{1}{5}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{9}{5}\)

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Використовуйте модель для віднімання:\(2 − \dfrac{1}{3}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{5}{3}\)

    У наступному прикладі ми віднімемо більше одного цілого.

    Приклад\(\PageIndex{8}\): subtract

    Використовуйте модель для віднімання:\(2 − 1 \dfrac{2}{5}\).

    Рішення

    Є таблиця з п'ятьма рядками і трьома стовпцями. Перший стовпець не позначений. Друга колонка має позначку «Модель». Третій стовпець має позначення «Математичні позначення». У першому стовпці перший рядок говорить: «Перепишіть вертикально. Почніть з двох цілих». Наступний ряд говорить: «Оскільки дві п'яті мають знаменник 5, розріжте одне з цілих на 5 частин. У вас є одне ціле і 5 п'ятих». Наступний ряд говорить: «Візьміть 1 і дві п'яті». Останній ряд говорить: «Залишилося 3 п'ятих». У стовпці «Модель» є зображення двох затінених кіл. Нижче наведено зображення двох затінених кіл. Один з кіл ділимо на 5 рівних частин. Нижче наведено зображення одного повного незаштрихованого кола і кола, розділеного на 5 рівних частин з 3 шматками, затіненими. У стовпці «Математичні позначення» перший рядок показує 2 мінус 1 і 2 п'ятих. Наступний ряд говорить 1 і 5 п'ятих мінус 1 і 2 п'ятих. Останній ряд говорить 1 і 5 п'ятих мінус 1 і 2 п'ятих дорівнює 3 п'ятих.

    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    Використовуйте модель для віднімання:\(2 − 1 \dfrac{1}{3}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{2}{3}\)

    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    Використовуйте модель для віднімання:\(2 − 1 \dfrac{1}{4}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{3}{4}\)

    Що робити, якщо почати з мішаного числа і потрібно відняти дріб? Подумайте над такою ситуацією: Вам потрібно поставити три чверті в паркометрі, але у вас є тільки\(\$1\) рахунок і одна чверть. Що ви могли зробити? Ви можете змінити доларову купюру на\(4\) квартали. Вартість\(4\) кварталів така ж, як і одна доларова купюра, але\(4\) квартали корисніше для паркувального лічильника. Тепер замість того, щоб мати\(\$1\) рахунок і одну чверть, у вас є\(5\) чверті і ви можете поставити\(3\) чверті в метрі.

    Це моделює те, що відбувається, коли ми віднімаємо дріб із змішаного числа. Ми віднімали три чверті від одного долара і однієї чверті.

    Ми також можемо моделювати це, використовуючи дробові кола, так само, як ми зробили для додавання змішаних чисел.

    Приклад\(\PageIndex{9}\): subtract

    Використовуйте модель для віднімання:\(1 \dfrac{1}{4} − \dfrac{3}{4}\)

    Рішення

    Перепишіть вертикально. Почніть з одного цілого і однієї четвертої. \(\begin{split} & \textcolor{red}{1 \dfrac{1}{4}} \\ - & \dfrac{3}{4} \\ \hline \end{split}\)
    Так як дроби мають знаменник 4, розріжте ціле на 4 частини. У вас тепер є\(\dfrac{4}{4}\) і\(\dfrac{1}{4}\) який є\(\dfrac{5}{4}\). \(\begin{split} & \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} \\ - & \dfrac{3}{4} \\ \hline \end{split}\)
    Візьміть\(\dfrac{3}{4}\). \(\dfrac{1}{2}\)Залишилося. \(\begin{split} & \dfrac{5}{4}\\\textcolor{red}{- & \dfrac}3}{4}}\\ \hline \\ & \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \end{split}\)
    Вправа\(\PageIndex{17}\)

    Використовуйте модель для віднімання. Намалюйте малюнок, щоб проілюструвати свою модель. \(1 \dfrac{1}{3} − \dfrac{2}{3}\)

    Відповідь

    Ех 4.6.17.png

    Вправа\(\PageIndex{18}\)

    Використовуйте модель для віднімання. Намалюйте малюнок, щоб проілюструвати свою модель. \(1 \dfrac{1}{5} − \dfrac{4}{5}\)

    Відповідь

    Ех 4.6.18.png

    Автори та атрибуція