5.3: Додавання та віднімання десяткових знаків

Додавання десяткових знаків

Додавання десяткових чисел досить схоже на додавання цілих чисел. Наприклад, припустимо, що нас просять додати 2.34 і 5.25. Ми могли б змінити ці десяткові числа на змішані дроби і додати.

$$\begin{aligned} 2.34 + 5.25 & = 2 \frac{34}{100} + 5 \frac{25}{100} \\ & = 7 \frac{59}{100} \end{aligned}\nonumber$$

Однак ми також можемо вирівняти десяткові числа на їх десяткових крапках і додати вертикально наступним чином.

$$\begin{array}{r} 2.34 \\ + 5.25 \\ \hline 7.59 \end{array}\nonumber$$

Відзначимо, що ця процедура вирівнювання дає той же результат, «сім і п'ятдесят дев'ять сотих». Це мотивує наступну процедуру додавання десяткових чисел.

Додавання десяткових знаків

Щоб додати десяткові числа, дійте наступним чином:

1. Помістіть числа, які потрібно додати, у вертикальному форматі, вирівнявши десяткові крапки.
2. Складіть числа так, ніби вони цілі числа.
3. Поставте десяткову крапку у відповіді в тому самому стовпчику, що і десяткові крапки над нею.

Приклад 1

Додайте 3.125 і 4.814.

Рішення

Помістіть числа у вертикальному форматі, вирівнявши по їх десяткових крапках. Додайте, а потім помістіть десяткову крапку у відповідь у той самий стовпець, що і десяткові крапки, що з'являються над відповіддю.

$$\begin{array}{r} 3.125 \\ +4.814 \\ \hline 7.939 \end{array}\nonumber$$

Таким чином, 3,125 + 4,814 = 7,939.

Вправа

Додати: 2,864 + 3.029

Відповідь

5.893

Приклад 2

Джейн має $4,35 в гаманці. У Джима в гаманці 5,62 долара. Якщо вони підсумують свої гроші, яка сума?

Рішення

Упорядкуйте числа у вертикальному форматі, вирівнюючи десяткові крапки, а потім додайте.

$$\begin{array}{r} \$ 4.35 \\ + \$ 5.62 \\ \hline \$ 9.97 \end{array}\nonumber$$

Вправа

Аліса має $8,63 в гаманці, а Джоанна має $2,29. Якщо вони об'єднають суму своїх грошей, яка сума?

Відповідь

$10.91

Перш ніж дивитися на інший приклад, згадаємо важливе спостереження.

Важливе спостереження

Додавання нулів до кінця дробової частини десяткового числа не змінює його значення. Аналогічно, видалення кінцевих нулів з кінця десяткового числа не змінює його значення.

Наприклад, ми могли б додати два нулі до кінця дробової частини 7.25, щоб отримати 7.2500. Цифри 7.25 і 7.2500 ідентичні, як показує наступний аргумент:

$$\begin{aligned} 7.2500 & = 7 \frac{2500}{10000} \\ & = 7 \frac{25}{100} \\ & = 7.25 \end{aligned}\nonumber$$

Приклад 3

Додайте 7,5 і 12.23.

Рішення

Упорядкуйте числа у вертикальному форматі, вирівнявши їх десяткові крапки в стовпці. Зверніть увагу, що ми додаємо кінцевий нуль, щоб покращити вирівнювання по стовпцях.

$$\begin{array}{r} 7.50 \\ +12.23 \\ \hline 19.73 \end{array}\nonumber$$

Значить, 7,5 + 12,23 = 19,73.

Вправа

Додати: 9,7 + 15.86

Відповідь

25.56

Приклад 4

Знайти суму: 12,2+8,352 + 22,44.

Рішення

Упорядкуйте числа у вертикальному форматі, вирівнявши їх десяткові крапки в стовпці. Зауважте, що ми додаємо кінцеві нулі для поліпшення стовпчастого вирівнювання.

$$\begin{array}{r} 12.200 \\ 8.352 \\ + 22.440 \\ \hline 42.992 \end{array}\nonumber$$

Значить, 12,2+8,352 + 22,44 = 42,992.

Вправа

Додати: 12,9+4,286 + 33.97

Відповідь

51.156

Віднімання десяткових знаків

Віднімання десяткових чисел протікає приблизно так само, як додавання десяткових чисел.

Віднімання десяткових знаків

Щоб відняти десяткові числа, дійте наступним чином:

1. Помістіть числа, які потрібно віднімати, у вертикальному форматі, вирівнявши десяткові крапки.
2. Відніміть числа так, ніби вони цілі числа.
3. Поставте десяткову крапку у відповіді в тому самому стовпчику, що і десяткові крапки над нею.

Приклад 5

Відніміть 12,23 з 33.57.

Рішення

Упорядкуйте числа у вертикальному форматі, вирівнявши їх десяткові крапки в стовпці, а потім відніміть. Зверніть увагу, що з 33.57 ми віднімаємо 12,23.

$$\begin{array}{r} 33.57 \\ -12.23 \\ \hline 21.34 \end{array}\nonumber$$

Отже, 33,57 − 12,23 = 21,34.

Вправа

Відніміть: 58,76 − 38,95

Відповідь

19.81

Як і при додаванні, ми додаємо кінцеві нулі до дробової частини десяткових чисел, щоб допомогти стовпчастому вирівнюванню.

Приклад 6

Знайти різницю: 13,3 − 8,572.

Рішення

Упорядкуйте числа у вертикальному форматі, вирівнявши їх десяткові крапки в стовпці. Зверніть увагу, що ми додаємо кінцеві нулі до дробової частини 13.3 для поліпшення стовпчастого вирівнювання.

$$\begin{array}{r} 13.300 \\ -8.572 \\ \hline 4.728 \end{array}\nonumber$$

Отже, 13,3 − 8,572 = 4,728.

Вправа

Відніміть: 15,2 − 8,756

Відповідь

6.44

Додавання та віднімання знакових десяткових чисел

Ми використовуємо ті ж правила для додавання знакових десяткових чисел, що і для додавання цілих чисел.

Додавання двох десяткових знаків з подібними знаками

Щоб додати дві десяткові знаки з подібними знаками, дійте наступним чином:

1. Складіть величини десяткових чисел.
2. Приставка загального знака.

Приклад 7

Спрощення: −3.2+ (−18.95).

Рішення

Щоб додати подібні знаки, спочатку додайте величини.

$$\begin{array}{r} 3.20 \\ +18.95 \\ \hline 22.15 \end{array}\nonumber$$

Приставка загального знака. Отже, −3,2+ (−18,95) = −22,15

Вправа

Спрощення: −5.7 + (−83.85)

Відповідь

−89.55

Ми використовуємо те ж правило, що і для цілих чисел при додаванні десяткових знаків з несхожими знаками.

Додавання двох десяткових знаків з несхожими знаками

Щоб додати дві десяткові знаки з несхожими знаками, дійте наступним чином:

1. Відніміть меншу величину від більшої величини.
2. Префікс знака десяткового числа з більшою величиною.

Приклад 8

Спрощення: −3 + 2.24.

Рішення

Щоб додати несхожі знаки, спочатку відніміть меншу величину від більшої величини.

$$\begin{array}{r} 3.00 \\ -2.24 \\ \hline 0.76 \end{array}\nonumber$$

Префікс знака десяткового числа з більшою величиною. Отже, −3+2,24 = −0,76.

Вправа

Спрощення: −8 + 5,74

Відповідь

−2.26

Віднімання все ще означає додати протилежне.

Приклад 9

Спрощення: −8.567 − (−12.3).

Рішення

Віднімання спочатку потрібно змінити на додавання, додавши протилежне.

$$−8.567 − (−12.3) = −8.567 + 12.3\nonumber$$

У нас несхожі знаки. Спочатку відніміть меншу величину від більшої величини.

$$\begin{array}{r} 12.300 \\ − 8.567 \\ \hline 3.733 \end{array}\nonumber$$

Префікс знака десяткового числа з більшою величиною. Звідси:

$$\begin{aligned} −8.567 − (−12.3) & = −8.567 + 12.3 \\ & = 3.733 \end{aligned}\nonumber$$

Вправа

Спрощення: −2.384 − (−15.2)

Відповідь

12.816

Порядок операцій вимагає, щоб ми спочатку спростили вирази, що містяться в дужках.

приклад 10

Спрощення: −11.2 − (−8.45 + 2.7).

Рішення

Нам потрібно спочатку додати всередині дужок. Оскільки у нас є несхожі знаки, віднімаємо меншу величину від більшої величини.

$$\begin{array}{r} 8.45 \\ − 2.70 \\ \hline 5.75 \end{array}\nonumber$$

Префікс знака числа з більшою величиною. Тому,

$$−11.2 − (−8.45 + 2.7) = −11.2 − (−5.75)\nonumber$$

Віднімання означає додати протилежне.

$$−11.2 − (−5.75) = −11.2+5.75\nonumber$$

Знову ж таки, у нас є несхожі ознаки. Відніміть меншу величину від більшої величини.

$$\begin{array}{r} 11.20 \\ − 5.75 \\ \hline 5.45 \end{array}\nonumber$$

Приставка знака числа з великою величиною.

$$−11.2+5.75 = −5.45\nonumber$$

Вправа

Спрощення: −12.8 − (−7.44 + 3.7)

Відповідь

−9.06

Написання математики

Рішення попереднього прикладу слід записати наступним чином:

$$\begin{aligned} −11.2 − (−8.45 + 2.7) & = −11.2 − (−5.75) \\ & = −11.2+5.75 \\ & = −5.45 \end{aligned}\nonumber$$

Будь-яка робота над подряпиною, наприклад, обчислення у вертикальному форматі в попередньому прикладі, повинна виконуватися в полі або на скретч-майданчику.

Приклад 11

Спростити: −12.3 −|− 4,6 − (−2.84) |.

Рішення

Спрощуємо вираз всередині брусків абсолютного значення спочатку, беремо абсолютне значення результату, потім віднімаємо.

$$\begin{aligned} -12.3 - |-4.6 -(-2.84)| ~ \\ = -12.3 -|-4.6 + 2.84| ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ = -12.3 -|-1.76| ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } -4.6 + 2.84 = -1.76.} \\ = -12.3-1.76 ~ & \textcolor{red}{ |-1.76|=1.76.} \\ =-12.3 + (-1.76) ~& \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ = -14.06 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } -12.3 + (-1.76) = -14.06.} \end{aligned}\nonumber$$

Вправа

Спрощення: −8.6 −|− 5.5 − (−8.32) |

Відповідь

−11.42

Вправи

У вправах 1-12 додайте десяткові знаки.

1. $31.9 + 84.7$

2. $9.39 + 7.7$

3. $4 + 97.18$

4. $2.645 + 2.444$

5. $4 + 87.502$

6. $23.69 + 97.8$

7. $95.57 + 7.88$

8. $18.7+7$

9. $52.671 + 5.97$

10. $9.696 + 28.2$

11. $4.76 + 2.1$

12. $1.5 + 46.4$

---

У вправах 13-24 відніміть десяткові знаки.

13. $9 − 2.261$

14. $98.14 − 7.27$

15. $80.9 − 6$

16. $9.126 − 6$

17. $55.672 − 3.3$

18. $4.717 − 1.637$

19. $60.575 − 6$

20. $8.91 − 2.68$

21. $39.8 − 4.5$

22. $8.210 − 3.7$

23. $8.1 − 2.12$

24. $7.675 − 1.1$

---

У вправах 25-64 додайте або відніміть десяткові знаки, як зазначено.

25. $−19.13 − 7$

26. $−8 − 79.8$

27. $6.08 − 76.8$

28. $5.76 − 36.8$

29. $−34.7+(−56.214)$

30. $−7.5+(−7.11)$

31. $8.4+(−6.757)$

32. $−1.94 + 72.85$

33. $−50.4+7.6$

34. $1.4+(−86.9)$

35. $−43.3+2.2$

36. $0.08 + (−2.33)$

37. $0.19 − 0.7$

38. $9 − 18.01$

39. $−7 − 1.504$

40. $−4.28 − 2.6$

41. $−4.47 + (−2)$

42. $−9+(−43.67)$

43. $71.72 − (−6)$

44. $6 − (−8.4)$

45. $−9.829 − (−17.33)$

46. $−95.23 − (−71.7)$

47. $2.001 − 4.202$

48. $4 − 11.421$

49. $2.6 − 2.99$

50. $3.57 − 84.21$

51. $−4.560 − 2.335$

52. $−4.95 − 96.89$

53. $−54.3 − 3.97$

54. $−2 − 29.285$

55. $−6.32 + (−48.663)$

56. $−8.8+(−34.27)$

57. $−8 − (−3.686)$

58. $−2.263 − (−72.3)$

59. $9.365 + (−5)$

60. $−0.12 + 6.973$

61. $2.762 − (−7.3)$

62. $65.079 − (−52.6)$

63. $−96.1+(−9.65)$

64. $−1.067 + (−4.4)$

---

У вправах 65-80 спростіть даний вираз.

65. $−12.05 − |17.83 − (−17.16)|$

66. $15.88 −|− 5.22 − (−19.94)|$

67. $−6.4 + |9.38 − (−9.39)|$

68. $−16.74 + |16.64 − 2.6|$

69. $−19.1 − (1.51 − (−17.35))$

70. $17.98 − (10.07 − (−10.1))$

71. $11.55 + (6.3 − (−1.9))$

72. $−8.14 + (16.6 − (−15.41))$

73. $−1.7 − (1.9 − (−16.25))$

74. $−4.06 − (4.4 − (−10.04))$

75. $1.2 + |8.74 − 16.5|$

76. $18.4 + |16.5 − 7.6|$

77. $−12.4 − |3.81 − 16.4|$

78. $13.65 − |11.55 − (−4.44)|$

79. $−11.15 + (11.6 − (−16.68))$

80. $8.5 + (3.9 − 6.98)$

---

81. Великі банки. Ринкова капіталізація чотирьох найбільших банків країни (станом на 23.04.2009)

JPMorgan Чейз і Ко	$124.8 мільярдів
Уеллс Фарго і Ко	$85.3 мільярдів
Голдман Сакс Груп Інк	$61.8 мільярдів
Банк Америки	$56.4 мільярдів

Яка загальна вартість чотирьох найбільших банків країни? Асоційований прес Часи Стандарт 4/22/09

82. Телескоп Дзеркало. Нещодавно запущений телескоп Гершеля має дзеркало діаметром 11,5 футів, а дзеркало Хаббла - 7,9 футів в діаметрі. Наскільки більше дзеркало Гершеля в діаметрі, ніж у Хаббла?

83. Середня температура. Середні температури в Сакраменто, штат Каліфорнія, в липні - це висока денна температура 93,8 градуса за Фаренгейтом і низька нічна температура 60,9 градусів за Фаренгейтом. Що таке зміна температури від дня до ночі? Підказка: Формулу порівняння температур див. у розділі 2.3.

84. Середня температура. Середні температури в Реддінгу, штат Каліфорнія, в липні - це висока денна температура 98,2 градуса за Фаренгейтом і низька нічна температура 64,9 градусів за Фаренгейтом. Що таке зміна температури від дня до ночі? Підказка: Формулу порівняння температур див. у розділі 2.3.

85. Чиста вартість. Чиста вартість визначається як активи мінус пасиви. Активи - це все, що має значення, яке можна перетворити на готівку, тоді як зобов'язання - це загальна сума боргів. General Growth Properties, власники торгового центру Bayshore, мають 29,6 мільярда доларів активів та 27 мільярдів доларів зобов'язань, і збанкрутували. Що було загальне зростання властивості чистої вартості до банкрутства? Часі-Стандарт 4/17/2009

86. Виноград розчавити. Попередній звіт про подрібнення винограду Міністерства продовольства та сільського господарства Каліфорнії показує, що держава виробила 3,69 мільйона тонн винного винограду в 2009 році. Ось тільки соромиться рекордного розчавлення 2005 року 3,76 мільйона тонн. На скільки тонн до рекорду виявилася тиснява 2009 року? Associated Press-Times-Standard Calif. виноград врожаю підскочив на 23% в

87. Оборот. Відкриття вакансій та обігу робочої сили Департаменту праці стверджує, що роботодавці найняли близько 4,08 мільйона людей у січні 2010 року, тоді як 4,12 мільйона людей були звільнені або іншим чином залишили роботу. Скільки більше людей втратили роботу, ніж було найнято? Перетворіть свою відповідь на ціле число. Associated Press-Times-Standard 03/10/10 Вакансії різко зросли в січні до 2.7M.

---

Відповіді

1. 116,6

3. 101.18

5. 91,502

7. 103,45

9. 58.641

11. 6,86

13. 6,739

15. 74,9

17. 52,372

19. 54.575

21. 35.3

23. 5,98

25. −26.13

27. −70.72

29. −90,914

31. 1,643

33. −42.8

35. −41.1

37. −0,51

39. −8,504

41. −6.47

43. 77,72

45. 7,501

47. −2.201

49. −0,39

51. —6,895

53. −58.27

55. —54,983

57. −4,314

59. 4,365

61. 10.062

63. —105.75

65. −47.04

67. 12,37

69. —37.96

71. 19,75

73. —19.85

75. 8,96

77. −24.99

79. 17.13

81. 328,3 мільярда доларів

83. -32,9 градусів за Фаренгейтом

85. 2,6 мільярда доларів

87. 40 000