6.7: Неприпиняючі підрозділи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57374

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

зрозуміти значення незавершеного поділу
вміти розпізнавати нескінченне число за його позначенням

Неприпиняючі підрозділи

Розглянемо два поділи:

$9.8 \div 3.5$
$4 \div 3$

Визначення: Припинення підрозділів

Раніше ми розглядали підрозділи як приклад, який є прикладом припинення поділу. Кінцеве ділення - це ділення, при якому частка закінчується після декількох ділень (залишок дорівнює нулю).

$Довгий поділ. 9,8 ділиться на 3,5. Знак після коми потрібно перемістити вправо на один пробіл, зробивши задачу 98 розділити на 35. 35 переходить на 98 двічі, з залишком 28. Збийте нуль, щоб знайти частку в десятковій формі. 35 йде в 280 рівно 8 разів. Коефіцієнт - 2,8$

Визначення: Точні поділи

Коефіцієнт у цій задачі закінчується в десятій позиції. Кінцеві поділи ще називають точними поділами.

Визначення: Неприпинення поділу

Поділ у прикладі є прикладом незавершеного поділу. Неприпиняється поділ - це поділ, який, незалежно від того, наскільки далеко ми його виконуємо, завжди має залишок.

$Довгий поділ. 4 поділений на 3 дорівнює 1.333, з повторюваним невирішеним залишком, що призводить до проблеми ділення, яка ніколи не закінчується.$

Визначення: Повторювані десяткові

Ми бачимо, що візерунок в дужці повторюється нескінченно. Такий десятковий коефіцієнт називається повторюваним десятковим.

Позначення незавершених коефіцієнтів

Ми використовуємо три точки в кінці числа, щоб вказати, що візерунок повторюється нескінченно.

\[4 \div 3 = 1.333... \nonumber\]

Інший спосіб, окрім використання трьох крапок, позначення нескінченно повторюваного візерунка - написати смужку () над повторюваною послідовністю цифр.

\[4 \div 3 = 1.\bar{3} \nonumber\]

Смужка позначає повторюваний візерунок 3.

Повторювані візерунки в поділі можна виявити двома способами:

У міру прогресування процесу поділу, якщо решта коли-небудь буде такою ж, як дивіденд, можна зробити висновок, що поділ не припиняється і що закономірність у частці повторюється. Цей факт проілюстрований у прикладі набору зразків A.
У міру прогресування процесу поділу, якщо візерунок «продукт, різниця» коли-небудь повторюється два рази поспіль, можна зробити висновок, що поділ є незавершеним і що візерунок у частці повторюється. Цей факт проілюстрований у прикладі і 4 набору зразків А.

Набір зразків A

Проводити кожне поділ до тих пір, поки не вдасться визначити повторюваний візерунок.

$100 \div 27$

Рішення

$\begin{array} {r} {3.70370} \\ {27 \overline{)100.00000}} \\ {\underline{81\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ {19\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ } \\ {\underline{18\ 9\ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ {100\ \ \ \ } \\ {\underline{81\ \ \ \ }} \\ {190\ \ } \\ {189\ \ } \end{array}$

Коли залишок ідентичний дивіденду, поділ не припиняється. Це означає, що візерунок в частці повторюється.

$100 \div 27 = 3.70370370...$Повторюваний блок - 703.
$100 \div 27 = 3.\overline{703}$

Набір зразків A

$1 \div 9$

Рішення

$Довге ділення. 1, розділена на 9, незавершена задача ділення з повторюваним часткою 0.111$

Ми бачимо, що цей візерунок «продукт, різниця» повторюється. Можна зробити висновок, що поділ є незавершеним і що частка повторюється.

$1 \div 9 = 0.111...$Повторюваний блок дорівнює 1.
$1 \div 9 = 0.\overline{1}$

Набір зразків A

Розділіть 2 на 11 і округліть до 3 знаків після коми.

Рішення

Оскільки ми хочемо округлити частку до трьох знаків після коми, ми проведемо поділ так, щоб частка мала чотири знака після коми.

$\begin{array} {r} {.1818} \\ {11 \overline{)2.0000}} \\ {\underline{1.1\ \ \ \ \ \ }} \\ {90\ \ \ \ } \\ {\underline{88\ \ \ \ }} \\ {20\ \ } \\ {\underline{11\ \ }} \\ {90} \end{array}$

Число .1818, округлене до трьох знаків після коми, дорівнює 0,182. Таким чином, поправте до трьох знаків після коми,

$2 \div 11 = 0.182$

Набір зразків A

Розділіть 1 на 6.

Рішення

$Довге ділення. 1 ділиться на шість дорівнює .166$

Ми бачимо, що цей візерунок «продукт, різниця» повторюється. Можна зробити висновок, що поділ є незавершеним і що частка повторюється на 6.

$1 \div 6 = 0.16\overline{6}$

Практика Набір A

Проводити наступні поділи до тих пір, поки не вдасться визначити повторюваний візерунок.

$1 \div 3$

Відповідь: $0.\overline{3}$

Практика Набір A

$5 \div 6$

Відповідь: $0.8\overline{3}$

Практика Набір A

$11 \div 9$

Відповідь: $1.\overline{2}$

Практика Набір A

$17 \div 9$

Відповідь: $1.\overline{8}$

Практика Набір A

Розділіть 7 на 6 і округліть до 2 знаків після коми.

Відповідь: 1.17

Практика Набір A

Розділіть 400 на 11 і округліть до 4 знаків після коми.

Відповідь: 36.3636

Вправи

Для наступних 20 завдань виконуйте кожне поділ до тих пір, поки не буде визначено повторюваний візерунок. Якщо повторюваний візерунок не видно, округляйте частку до трьох знаків після коми.

Вправа$\PageIndex{1}$

$4 \div 9$

Відповідь: $0.\overline{4}$

Вправа$\PageIndex{2}$

$8 \div 11$

Вправа$\PageIndex{3}$

$4 \div 25$

Відповідь: 0,16

Вправа$\PageIndex{4}$

$5 \div 6$

Вправа$\PageIndex{5}$

$1 \div 7$

Відповідь: $0.\overline{142857}$

Вправа$\PageIndex{6}$

$3 \div 1.1$

Вправа$\PageIndex{7}$

$20 \div 1.9$

Відповідь: 10.526

Вправа$\PageIndex{8}$

$10 \div 2.7$

Вправа$\PageIndex{9}$

$1.11 \div 9.9$

Відповідь: $0.1\overline{12}$

Вправа$\PageIndex{10}$

$8.08 \div 3.1$

Вправа$\PageIndex{11}$

$51 \div 8.2$

Відповідь: $6.\overline{21951}$

Вправа$\PageIndex{12}$

$0.213 \div 0.31$

Вправа$\PageIndex{13}$

$0.009 \div 1.1$

Відповідь: $0.00\overline{81}$

Вправа$\PageIndex{14}$

$6.03 \div 1.9$

Вправа$\PageIndex{15}$

$0.518 \div 0.62$

Відповідь: 0,835

Вправа$\PageIndex{16}$

$1.55 \div 0.27$

Вправа$\PageIndex{17}$

$0.333 \div 0.999$

Відповідь: $0.\overline{3}$

Вправа$\PageIndex{18}$

$0.444 \div 0.999$

Вправа$\PageIndex{19}$

$0.555 \div 0.27$

Відповідь: $2.0\overline{5}$

Вправа$\PageIndex{20}$

$3.8 \div 0.99$

Задачі калькулятора

Для наступних 10 завдань використовуйте калькулятор для виконання кожного поділу.

Вправа$\PageIndex{21}$

$7 \div 9$

Відповідь: $0.\overline{7}$

Вправа$\PageIndex{22}$

$8 \div 11$

Вправа$\PageIndex{23}$

$14 \div 27$

Відповідь: $0.\overline{518}$

Вправа$\PageIndex{24}$

$1 \div 44$

Вправа$\PageIndex{25}$

$2 \div 44$

Відповідь: $0.0\overline{45}$

Вправа$\PageIndex{26}$

$0.7 \div 0.9$(Порівняйте це з вправою вище)

Вправа$\PageIndex{27}$

$80 \div 110$(Порівняйте це з вправою вище)

Відповідь: $0.\overline{72}$

Вправа$\PageIndex{28}$

$0.0707 \div 0.7070$

Вправа$\PageIndex{29}$

$0.1414 \div 0.2020$

Відповідь: 0.7

Вправа$\PageIndex{30}$

$1 \div 0.9999999$

Вправа для огляду

Вправа$\PageIndex{31}$

У числі 411 105 скільки десять тисяч?

Відповідь: 1

Вправа$\PageIndex{32}$

Знайдіть частку, якщо вона існує. $17 \div 0$.

Вправа$\PageIndex{33}$

Знайдіть найменш поширене кратне 45, 63 та 98.

Відповідь: 4410

Вправа$\PageIndex{34}$

Відніміть 8.01629 з 9.00187 і округліть результат до трьох знаків після коми.

Вправа$\PageIndex{35}$

Знайдіть частку. $104.06 \div 12.1$.

Відповідь: 8.6