6.6: Розподіл десяткових знаків
- Page ID
- 57372
Цілі навчання
- зрозуміти метод, який використовується для поділу десяткових знаків
- вміти ділити десяткове число на ненульове ціле число і на інше, ненульове, десяткове число
- вміти спростити ділення десяткового числа на ступінь 10
Логіка методу
Як ми зробили зі складанням, відніманням і множенням десяткових знаків, вивчимо метод ділення десяткових знаків шляхом перетворення їх у дроби, потім складемо загальне правило.
Ми продовжимо, скориставшись таким прикладом: Розділіть 196.8 на 6.
\(\begin{array} {r} {32\ \ \ } \\ {6\overline{)196.8}} \\ {\underline{18\ \ \ \ \ }} \\ {16\ \ \ } \\ {\underline{12\ \ \ }} \\ {4\ \ \ } \end{array}\)
До цього моменту ми розділили 196,8 на 6 і отримали частку 32 з залишком 4. Якщо ми слідуємо своїй інтуїції і збиваємо .8, у нас є поділ\(4.8 \div 6\).
\(\begin{array} {rcl} {4.8 \div 6} & = & {4 \dfrac{8}{10} \div 6} \\ {} & = & {\dfrac{48}{10} \div \dfrac{6}{1}} \\ {} & = & {\dfrac{\begin{array} {c} {^8} \\ {\cancel{48}} \end{array}}{10} \cdot \dfrac{1}{\begin{array} {c} {\cancel{6}} \\ {^1} \end{array}}} \\ {} & = & {\dfrac{8}{10}} \end{array}\)
Таким чином,\(4.8 \div 6 = .8\).
Тепер наша інтуїція та досвід поділу спрямовують нас на те, щоб розмістити .8 відразу праворуч від 32.
З цих спостережень ми пропонуємо наступний метод поділу.
Метод ділення десяткового числа на ненульове ціле число
Метод ділення десяткового числа на ненульове ціле число
Ділити десяткове число на ненульове ціле число:
Запишіть десяткову крапку над лінією ділення та безпосередньо над десятковою крапкою дивіденду.
Приступайте до ділення так, ніби обидва числа були цілими числами.
Якщо в частці перша ненульова цифра зустрічається праворуч від десяткової крапки, але не в десятій позиції, поставте нуль в кожній позиції між десятковою крапкою і першою ненульовою цифрою частки.
Набір зразків A
Знайдіть десяткові уявлення наступних коефіцієнтів.
\(114.1 \div 7 = 7\)
Рішення
\(\begin{array} {r} {16.3} \\ {7 \overline{)114.1}} \\ {\underline{7\ \ \ \ \ }} \\ {44\ \ \ } \\ {\underline{42\ \ \ }} \\ {2.1} \\ {\underline{2.1}} \\ {0} \end{array}\)
Таким чином,\(114.1 \div 7 = 16.3\)
Перевірка: Якщо\(114.1 \div 7 = 16.3\), то\(7 \cdot 16.3\) повинна дорівнювати 114.1.
\(\begin{array} {r} {^{4.2\ \ \ }} \\ {16.3} \\ {\underline{\ \ \ \ \ \ \ 7}} \\ {114.1} \end{array}\)Правда.
Набір зразків A
\(0.02068 \div 4\)
Рішення
Поставте нулі в десятих і сотих позиціях. (Див. Крок 3.)
Таким чином,\(0.02068 \div 4 = 0.00517\).
Практика Set A
Знайдіть наступні коефіцієнти.
\(184.5 \div 3\)
- Відповідь
-
61.5
Практика Set A
\(16.956 \div 9\)
- Відповідь
-
1.884
Практика Set A
\(0.2964 \div 4\)
- Відповідь
-
0.0741
Практика Set A
\(0.000496 \div 8\)
- Відповідь
-
0,000062
Метод ділення десяткового числа на ненульову десяткову
Тепер, коли ми можемо розділити десяткові числа на ненульові цілі числа, ми знаходимося в змозі розділити десяткові числа на ненульовий десятковий. Ми зробимо це шляхом перетворення ділення на десяткове число в ділення на ціле число, процес, з яким ми вже знайомі. Ми проілюструємо метод на цьому прикладі: Розділіть 4.32 на 1.8.
Давайте розглянемо цю проблему як\(4 \dfrac{32}{100} \div 1 \dfrac{8}{10}\).
\(\begin{array} {4 \dfrac{32}{100} \div 1 \dfrac{8}{10}} & = & {\dfrac{4 \dfrac{32}{100}}{1 \dfrac{8}{10}}} \\ {} & = & {\dfrac{\dfrac{432}{100}}{\dfrac{18}{10}}} \end{array}\)
Дільник є\(\dfrac{18}{10}\). Ми можемо\(\dfrac{18}{10}\) перетворити в ціле число, якщо помножити його на 10.
\(\dfrac{18}{10} \cdot 10 = \dfrac{18}{\begin{array} {c} {\cancel{10}} \\ {^1} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{10}} \end{array}}{1} = 18\)
Але, ми знаємо з нашого досвіду з дробами, що якщо ми помножимо знаменник дробу на ненульове ціле число, ми повинні помножити чисельник на те саме ненульове ціле число. Таким чином, при перетворенні\(\dfrac{18}{10}\) в ціле число шляхом множення його на 10, ми також повинні помножити чисельник\(\dfrac{432}{100}\) на 10.
\(\begin{array} {rcl} {\dfrac{432}{100} \cdot 10 = \dfrac{432}{\begin{array} {c} {\cancel{100}} \\ {^{10}} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{10}} \end{array}}{1}} & = & {\dfrac{432 \cdot 1}{10 \cdot 1} = \dfrac{432}{10}} \\ {} & = & {43 \dfrac{2}{10}} \\ {} & = & {43.2} \end{array}\)
Ми перетворили\(4.32 \div 1.8\) поділ на поділ\(43.2 \div 18\), тобто
\(1.8\overline{)4.32} \to 18 \overline{)43.2}\)
Зверніть увагу, що сталося.
Якщо ми «переміщаємо» десяткову крапку дільника на одну цифру вправо, ми також повинні «перемістити» десяткову крапку дивіденду на одне місце вправо. Слово «рухатися» фактично вказує на процес множення на ступінь 10.
Метод ділення десяткового числа на десяткове число Ділити десяткове число на ненульове десяткове число,
Перетворіть дільник на ціле число, перемістивши десяткову крапку в позицію відразу праворуч від останньої цифри дільника.
Перемістіть десяткову крапку дивіденду вправо на ту ж кількість цифр, яку було переміщено в дільнику.
Встановіть десяткову крапку в частковому, розмістивши десяткову крапку безпосередньо над щойно розташованої десятковою крапкою в дивіденді.
Ділимо як зазвичай.
Набір зразків B
Знайдіть наступні коефіцієнти.
\(32.66 \div 7.1\)
Рішення
\(7.1 \underline{)32.66}\)
Дільник має один десятковий розряд.
Перемістіть десяткову крапку як дільника, так і дивіденду на 1 місце вправо.
Встановіть десяткову крапку.
Ділимо як зазвичай.
Таким чином,\(32.66 \div 7.1 = 4.6\)
Перевірка:\(32.66 \div 7.1 = 4.6\) якщо\(4.6 \times 7.1 = 32.66\)
\(\begin{array} {c} {4.6} \\ {\underline{\times 7.1}} \\ {46} \\ {\underline{322\ \ }} \\ {32.66} \end{array}\)Правда.
Набір зразків B
\(1.0773 \div 0.513\)
Рішення
\(7.1 \underline{)32.66}\)
Дільник має 3 знака після коми.
Перемістіть десяткову крапку як дільника, так і дивіденду на 3 місця вправо.
Встановіть десятковий розряд і діліть.
Таким чином,\(1.0773 \div 0.513 = 2.1\)
Перевірка шляхом множення 2.1 і 0.513 переконає нас, що ми отримали правильний результат. (Спробуйте.)
Набір зразків B
\(12 \div 0.00032\)
Рішення
\(0.00032 \underline{)12.00000}\)
Дільник має 5 знаків після коми.
Перемістіть десяткову крапку як дільника, так і дивіденду на 5 знаків вправо. Нам потрібно буде додати 5 нулів до 12.
Встановіть десятковий розряд і діліть.
його тепер те ж саме, що і ділення цілих чисел.
\(\begin{array} {r} {37500.} \\ {32 \overline{)1200000.}} \\ {\underline{96\ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ {240\ \ \ \ \ \ \ } \\ {\underline{224\ \ \ \ \ \ \ }} \\ {160\ \ \ \ \ } \\ {\underline{160\ \ \ \ \ }} \\ {000} \end{array}\)
Перевірка нас це запевняє\(12 \div 0.00032 = 37,500\).
Практика Set B
Знайти десяткове подання кожного частки.
\(9.176 \div 3.1\)
- Відповідь
-
2.96
Практика Set B
\(5.0838 \div 1.11\)
- Відповідь
-
4.58
Практика Set B
\(16 \div 0.0004\)
- Відповідь
-
40 000
Практика Set B
\(8,162.41 \div 10\)
- Відповідь
-
816.241
Практика Set B
\(8,162.41 \div 100\)
- Відповідь
-
81.6241
Практика Set B
\(8,162.41 \div 1,000\)
- Відповідь
-
8.16241
Практика Set B
\(8,162.41 \div 10,000\)
- Відповідь
-
0.816241
Калькулятори
Калькулятори можуть бути корисні для знаходження коефіцієнтів десяткових чисел. Як ми бачили з іншими операціями калькулятора, іноді ми можемо очікувати лише приблизних результатів. Нас оповіщають про приблизні результати, коли дисплей калькулятора заповнюється цифрами. Ми знаємо, що можливо, що операція може дати більше цифр, ніж калькулятор має можливість показати. Наприклад, множення
\(\underbrace{0.12345}_{\text{5 decimal places}} \times \underbrace{0.4567}_{\text{4 decimal places}}\)
виробляє\(5 + 4 = 9\) десяткові розряди. Восьмизначний калькулятор відображення має лише можливість показувати вісім цифр та результати наближення. Спосіб розпізнавання можливого наближення проілюстровано в задачі 3 наступного набору вибірки.
Набір зразків C
Знайти кожен коефіцієнт за допомогою калькулятора. Якщо результатом є наближення, округліть до п'яти знаків після коми.
\(12.596 \div 4.7\)
Рішення
| Дисплей Читає | ||
| Тип | 12.596 | 12.596 |
| Преса | \(\div\) | 12.596 |
| Тип | 4.7 | 4.7 |
| Преса | = | 2.68 |
Оскільки дисплей не заповнений, ми очікуємо, що це буде точний результат.
Набір зразків C
\(0.5696376 \div 0.00123\)
Рішення
| Дисплей Читає | ||
| Тип | .5696376 | 0.5696376 |
| Преса | \(\div\) | 0.5696376 |
| Тип | .00123 | 0.00123 |
| Преса | = | 463.12 |
Оскільки дисплей не заповнений, ми очікуємо, що цей результат буде точним.
Набір зразків C
\(0.8215199 \div 4.113\)
Рішення
| Дисплей Читає | ||
| Тип | .8215199 | 0,8215199 |
| Преса | \(\div\) | 0,8215199 |
| Тип | 4.113 | 4.113 |
| Преса | = | 0.1997373 |
Є ВІСІМ ЦИФР - ДИСПЛЕЙ ЗАПОВНЕНИЙ! БУТИ В КУРСІ МОЖЛИВИХ НАБЛИЖЕНЬ.
Ми можемо перевірити наявність можливого наближення наступним чином. Так як ділення\(\begin{array} {r} {3\ \ \ } \\ {4 \overline{)12}} \end{array}\) можна перевірити множенням 4 і 3, ми можемо перевірити наше ділення, виконавши множення
\(\underbrace{4.113}_{\text{3 decimal places}} \times \underbrace{0.1997373}_{\text{7 decimal places}}\)
Це множення дає\(3 + 7 = 10\) десяткові цифри. Але наш підозрюваний коефіцієнт містить лише 8 десяткових знаків. Робимо висновок, що відповідь - наближення. Потім, округлення до п'яти знаків після коми, отримуємо 0,19974.
Практика Set C
Знайти кожен коефіцієнт за допомогою калькулятора. Якщо результатом є наближення, округліть до чотирьох знаків після коми.
\(42.49778 \div 14.261\)
- Відповідь
-
2.98
Практика Set C
\(0.001455 \div 0.291\)
- Відповідь
-
0,005
Практика Set C
\(7.459085 \div 2.1192\)
- Відповідь
-
3.5197645 - приблизний результат. Округлення до чотирьох знаків після коми отримуємо 3.5198
Ділення десяткових знаків на повноваження 10
У задачах 4 та 5 практики множини B ми знайшли десяткові зображення\(8,162.41 \div 10\) і\(8,162.41 \div 100\). Давайте розглянемо кожне з них ще раз, а потім, з цих спостережень, зробимо загальне твердження щодо ділення десяткового числа на ступені 10.
\(\begin{array} {r} {816.241} \\ {10 \overline{)8162.410}} \\ {\underline{80\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ {16\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ {\underline{10\ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ {62 \ \ \ \ \ \ \ } \\ {\underline{60\ \ \ \ \ \ \ }} \\ {24\ \ \ \ \ } \\ {\underline{20\ \ \ \ \ }} \\ {41\ \ \ } \\ {\underline{40\ \ \ }} \\ {10\ } \\ {\underline{10\ }} \\ {0\ } \end{array}\)
Таким чином,\(8,162.41 \div 10 = 816.241\)
Зверніть увагу, що дільник 10 складається з одного 0 і що частка 816.241 може бути отримана з дивіденду 8,162.41 шляхом переміщення десяткової крапки на одне місце вліво.
\(\begin{array} {r} {81.6241} \\ {100 \overline{)8162.4100}} \\ {\underline{800\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ {162\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ {\underline{100\ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ {624 \ \ \ \ \ \ \ } \\ {\underline{600\ \ \ \ \ \ \ }} \\ {241\ \ \ \ \ } \\ {\underline{200\ \ \ \ \ }} \\ {410\ \ \ } \\ {\underline{400\ \ \ }} \\ {100\ } \\ {\underline{100\ }} \\ {0\ } \end{array}\)
Таким чином,\(8,162.41 \div 100 = 81.6241\).
Зверніть увагу, що дільник 100 складається з двох 0 і що частка 81.6241 може бути отримана з дивіденду, перемістивши десяткову крапку на два розряди вліво.
Використовуючи ці спостереження, можна запропонувати наступний метод ділення десяткових чисел на ступені 10.
Ділення десяткового дробу на потужність 10
Щоб розділити десятковий дріб на ступені 10, перемістіть десяткову крапку десяткового дробу вліво стільки знаків, скільки є нулі в ступені 10. Додайте нулі при необхідності.
Набір зразків D
Знайти кожен частка.
\(9,248.6 \div 100\)
Рішення
Так як в цій степені 10 є 2 нулі, переміщаємо десяткову крапку на 2 розряди вліво.
Набір зразків D
\(3.28 \div 10,000\)
Рішення
Так як в цьому ступені 10 нулів 4, переміщаємо десяткову крапку на 4 розряди вліво. Для цього нам потрібно додати три нулі.
Практика Set D
Знайти десяткове подання кожного частки.
\(182.5 \div 10\)
- Відповідь
-
18.25
Практика Set D
\(182.5 \div 100\)
- Відповідь
-
1,825
Практика Set D
\(182.5 \div 1,000\)
- Відповідь
-
0,1825
Практика Set D
\(182.5 \div 10,000\)
- Відповідь
-
0,01825
Практика Set D
\(646.18 \div 100\)
- Відповідь
-
6.4618
Практика Set D
\(21.926 \div 1,000\)
- Відповідь
-
0.021926
Вправи
Для наступних 30 задач знайдіть десяткове подання кожного частки. Використовуйте калькулятор, щоб перевірити кожен результат.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
\(4.8 \div 3\)
- Відповідь
-
1.6
Вправа\(\PageIndex{2}\)
\(16.8 \div 8\)
Вправа\(\PageIndex{3}\)
\(18.5 \div 5\)
- Відповідь
-
3.7
Вправа\(\PageIndex{4}\)
\(12.33 \div 3\)
Вправа\(\PageIndex{5}\)
\(54.36 \div 9\)
- Відповідь
-
6.04
Вправа\(\PageIndex{6}\)
\(73.56 \div 12\)
Вправа\(\PageIndex{7}\)
\(159.46 \div 17\)
- Відповідь
-
9.38
Вправа\(\PageIndex{8}\)
\(12.16 \div 64\)
Вправа\(\PageIndex{9}\)
\(37.26 \div 81\)
- Відповідь
-
0,46
Вправа\(\PageIndex{10}\)
\(439.35 \div 435\)
Вправа\(\PageIndex{11}\)
\(36.98 \div 4.3\)
- Відповідь
-
8.6
Вправа\(\PageIndex{12}\)
\(46.41 \div 9.1\)
Вправа\(\PageIndex{13}\)
\(3.6 \div 1.5\)
- Відповідь
-
2.4
Вправа\(\PageIndex{14}\)
\(0.68 \div 1.7\)
Вправа\(\PageIndex{15}\)
\(60.301 \div 8.1\)
- Відповідь
-
6.21
Вправа\(\PageIndex{16}\)
\(2.832 \div 0.4\)
Вправа\(\PageIndex{17}\)
\(4.7524 \div 2.18\)
- Відповідь
-
2.18
Вправа\(\PageIndex{18}\)
\(16.2409 \div 4.03\)
Вправа\(\PageIndex{19}\)
\(1.002001 \div 1.001\)
- Відповідь
-
1.001
Вправа\(\PageIndex{20}\)
\(25.050025 \div 5.005\)
Вправа\(\PageIndex{21}\)
\(12.4 \div 3.1\)
- Відповідь
-
4
Вправа\(\PageIndex{22}\)
\(0.48 \div 0.08\)
Вправа\(\PageIndex{23}\)
\(30.24 \div 2.16\)
- Відповідь
-
14
Вправа\(\PageIndex{24}\)
\(48.87 \div 0.87\)
Вправа\(\PageIndex{25}\)
\(12.321 \div 0.111\)
- Відповідь
-
111
Вправа\(\PageIndex{26}\)
\(64,351.006 \div 10\)
Вправа\(\PageIndex{27}\)
\(64,351.006 \div 100\)
- Відповідь
-
643.51006
Вправа\(\PageIndex{28}\)
\(64,351.006 \div 1,000\)
Вправа\(\PageIndex{29}\)
\(64,351.006 \div 1,000,000\)
- Відповідь
-
0.064351006
Вправа\(\PageIndex{30}\)
\(0.43 \div 100\)
Для наступних 5 завдань знайдіть кожну частку. Округлити до зазначеного положення. Може використовуватися калькулятор.
Вправа\(\PageIndex{31}\)
\(11.2944 \div 6.24\)
| Фактичний коефіцієнт | Десяті | Соті | Тисячні |
- Відповідь
-
Фактичний коефіцієнт Десяті Сотні Тисячні 1.81 1.8 1.81 1.810
Вправа\(\PageIndex{32}\)
\(45.32931 \div 9.01\)
| Фактичний коефіцієнт | Десяті | Соті | Тисячні |
Вправа\(\PageIndex{33}\)
\(3.18186 \div 0.66\)
| Фактичний коефіцієнт | Десяті | Соті | Тисячні |
- Відповідь
-
Фактичний коефіцієнт Десяті Сотні Тисячні 4.821 4.8 4.82 4.821
Вправа\(\PageIndex{34}\)
\(4.3636 \div 4\)
| Фактичний коефіцієнт | Десяті | Соті | Тисячні |
Вправа\(\PageIndex{35}\)
\(0.00006318 \div 0.018\)
| Фактичний коефіцієнт | Десяті | Соті | Тисячні |
- Відповідь
-
Фактичний коефіцієнт Десяті Сотні Тисячні 0,00351 0.0 0.00 0,004
Для наступних 9 проблем знайдіть кожне рішення.
Вправа\(\PageIndex{36}\)
Розділіть твір 7,4 і 4,1 на 2,6.
Вправа\(\PageIndex{37}\)
Розділіть добуток 11,01 і 0,003 на 2,56 і округляйте до двох знаків після коми.
- Відповідь
-
0,01
Вправа\(\PageIndex{38}\)
Розділіть різницю добутків 2,1 і 9,3, а 4,6 і 0,8 на 0,07 і округліть до одного знака після коми.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Кільце вартістю $567,08 має бути погашено рівними щомісячними платежами в розмірі 46,84 долара. У скільки місяців окупиться кільце?
- Відповідь
-
12.11 місяців
Вправа\(\PageIndex{39}\)
Шість банок коли коштують 2,58 долара. Яка ціна однієї банки?
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Сім'я проїхала 538,56 миль на своєму автомобілі за один день у відпустці. Якщо їх автомобіль використовував 19.8 галонів газу, скільки миль на галон він отримав?
- Відповідь
-
27.2 миль на галон
Вправа\(\PageIndex{40}\)
Троє студентів коледжу вирішують зняти квартиру разом. Орендна плата становить 812.50 доларів на місяць. Скільки кожна людина повинна внести в орендну плату?
Вправа\(\PageIndex{41}\)
Жінка зауважує, що на повільній швидкості її відеокасетний магнітофон проходить через 296.80 магнітол за 10 хвилин і на швидкій швидкості через 1098,16 магнітоли. У скільки разів швидше швидка швидкість, ніж повільна швидкість?
- Відповідь
-
3.7
Вправа\(\PageIndex{42}\)
Клас 34 перший семестр бізнес-юридичні студенти платять в цілому $1,354.90, не враховуючи податок з продажів, за свої юридичні підручники. Яка вартість кожної книги?
Задачі калькулятора
Для наступних проблем скористайтеся калькулятором, щоб знайти коефіцієнти. Якщо результат приблизний (див. Набір зразків C), округляйте результат до трьох знаків після коми.
Вправа\(\PageIndex{43}\)
\(3.8994 \div 2.01\)
- Відповідь
-
1.94
Вправа\(\PageIndex{44}\)
\(0.067444 \div 0.052\)
Вправа\(\PageIndex{45}\)
\(14,115.628 \div 484.74\)
- Відповідь
-
29.120
Вправа\(\PageIndex{46}\)
\(219,709.36 \div 9941.6\)
Вправа\(\PageIndex{47}\)
\(0.0852092 \div 0.49271\)
- Відповідь
-
0.173
Вправа\(\PageIndex{48}\)
\(2.4858225 \div 1.11611\)
Вправа\(\PageIndex{49}\)
\(0.123432 \div 0.1111\)
- Відповідь
-
1.111
Вправа\(\PageIndex{50}\)
\(2.102838 \div 1.0305\)
Вправи для огляду
Вправа\(\PageIndex{51}\)
\(4 \dfrac{7}{8}\)Перетворити на неправильний дріб.
- Відповідь
-
\(\dfrac{39}{8}\)
Вправа\(\PageIndex{52}\)
\(\dfrac{2}{7}\)якого числа\(\dfrac{4}{5}\)?
Вправа\(\PageIndex{53}\)
Знайти суму. \(\dfrac{4}{15} + \dfrac{7}{10} + \dfrac{3}{5}\).
- Відповідь
-
\(\dfrac{47}{30}\)або\(1 \dfrac{17}{30}\)
Вправа\(\PageIndex{54}\)
Округлення 0,01628 до найближчих десятитисячних.
Вправа\(\PageIndex{55}\)
Знайти товар (2.06) (1.39)
- Відповідь
-
2.8634